浙教版八年级数学上册试题 4.3.1 平面直角坐标系-存在性问题 （含答案）

4.3.1 平面直角坐标系-存在性问题
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，点的坐标为（6，4），线段的位置如图所示，其中点的坐标为（3，0），点的坐标为．
（1）将线段平移得到线段，其中点的对应点为点，点的对应点为点；
①点在______轴上；
②点的坐标为______；
（2）在（1）的条件下，连接、，请直接写出三角形的面积；
（3）在轴上是否存在点，使得以点、点、点三点为顶点的三角形的面积为6，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.在平面直角坐标系中，A（－2，4），B（－3，－1），C（0，2）．将△ABC
平移至△A1B1C1，点A对应点A1（3，3），点B对应点B1，点C对应点C1．
(1) 画出平移后的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
(2) 求△ABC的面积；
(3) 若存在点D（m，n）使得△BB1D和△BB1C面积相等，其中m，n均为绝对值不超过5的整数，则点D的坐标为_________．
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3) ，B(6，3) ，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
(1) 求点C，D的坐标；
(2) 点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
(3) 在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
4.如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．
(1) 点的坐标为_________，点的坐标为_________，四边形的面积为_________；
(2) 在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将，两点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，，．
（1）写出点，的坐标分别是______，______；四边形的面积为______；
（2）在轴上是否存在点，连接，，使得三角形面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）若点是直线上一点，连接，，请你直接写出，与的数量关系．
6．在平面直角坐标系中，点A，B在y轴正半轴上，且点A在B的下方，将线段AB进行平移得到线段CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，
（1）若点A（0，1），B（0，3），D（3，2），求点C的坐标；
（2）点E是第二象限上的一个动点，过点E作EF垂直x轴于F，连接DF，DE，EC．若点A（0，m），B（0，b），C（a+b+1，m+3），D（m，﹣2m+3），三角形DEF的面积为S△DEF＝，点D到直线EF的距离为3，试问是否存在m，使得S△BCE＝S△ACE？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，三角形ABC的顶点A在原点，B，C坐标分别为B(3，0) ，C(2，2) ，将三角形ABC向左平移1个单位后再向下平移2个单位，可得到三角形．
（1）请画出平移后的三角形的图形．
（2）写出三角形各个顶点的坐标．
（3）在x轴上是否存在点P，使三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的一半，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图（1），在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接，．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形的面积等于平行四边形的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且．求证：．
9．如图，已知三角形把三角形先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形．
（1）在图中画出三角形，并写出的坐标；
（2）连接，求三角形的面积；
（3）在轴上是否存在一点，使得三角形与三角形面积相等？若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-1，0) ，(3，0) ，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为，点C坐标为．过点A作轴，垂足为D．
(1) 求OD的长及点A的坐标；
(2) 取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；
(3) 连接OA，已知，试探究在x轴上是否存在点Q，使是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，三个顶点的坐标分别为
(1) 若与关于y轴成轴对称，在图中画出，点坐标为__________；
(2) 若直线与y轴相交于点，在y轴上是否存在点Q．使得，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由；
(3) 在x轴上找一点P，使的值最小，点P的坐标是____________．
13．如图，在平面直角坐标系中，A(-1，5) ，B(-1，0) ，C(-4，3) ．
(1) 作出ABC关于y轴的对称图形；
(2) 写出点的坐标；
(3) 若坐标轴上存在一点E，使EBC是以BC边为底边的等腰三角形，直接写出点E的坐标．
(4) 在y轴上找一点P，使PA＋PC的长最短．
14．在平面直角坐标系中，点O为原点，点B（0，﹣4）是y轴负半轴上一点，将点B向右平移6个单位得到点A（6，﹣4）．
（1）如图1，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA方向运动，同时动点Q从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴向上运动，当点P运动到点A时，P、Q同时停止运动，设点P运动时间为t秒．
①用含t的式子表示P，Q两点的坐标．
②是否存在t使△BPQ的面积为4t＋12？若存在，求出t，并写出此时点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
（2）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N，若∠ODF＝α，请用含α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，，，，现将四边形经过平移后得到四边形，点的对应点的坐标为．
（1）请直接写点、、的坐标；
（2）求四边形与四边形重叠部分的面积；
（3）在轴上是否存在一点，连接、，使，若存在这样一点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．
(1) 点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论．
(2) 连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
答案
一、解答题
1．解：（1）①点在轴上．
故答案为：．
②．
故答案为：．
（2）三角形的面积．
（3）设，则有，
解得或5，
点坐标为或．
2．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，B1的坐标（2，﹣2）；
（2）△ABC的面积＝3×52×23×31×5＝6；
（3）如图，点D的坐标为（﹣5，3）或（0，2）或（5，1）或（﹣1，﹣5）．
故答案为：（﹣5，3）或（0，2）或（5，1）或（﹣1，﹣5）．
3．解：（1）∵点A，B的坐标分别为A(0，3) ，B(6，3) ，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位
∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．
由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3) ，B(6，3) ，
∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，
设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，
∴OM=t．
∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，
∴,
即，
解得t=2；
（3）解：不变．
理由如下：
如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2) ，
过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，
∵=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，
∴=S△ONB+S△OMB
=
=
=6-3t+3t
=6；
∴为定值6，故其值不会变化．
4.解：（1）解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
；
（2）解：存在．理由如下：
设点的坐标为，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：，理由如下：
过点作交轴于，如图所示：
∴
∴，，
∴．
5．解：（1）点，的坐标分别为，，
将，两点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点，的坐标分别是，
AB=CD，
四边形ABCD为平行四边形
四边形的面积为：；
（2）存在，理由如下：
D ， C
∵AB、CD之间的距离为2，且三角形面积是三角形面积的2倍，
，
∵两个三角形等高，且
又∵
∴，
点B的坐标为
点P的坐标为或；
（3）①当点在线段上运动时，延长DQ交x轴于E点，如图2-1
；
②当点在线段延长线运动时，如图2-2
；
③当点在线段延长线运动时，如图2-3
；
综上所述：当点在线段上运动时，；
当点在线段延长线运动时，；
当点在线段延长线运动时，．
6．
解：（1）∵A（0，1），D（3，2），
∴点A先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点D，
∴点B（0，3）先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，
∴点C（3，4）；
如图，存在m，使得S△BCE＝S△ACE，理由如下：
∵将线段AB进行平移得到线段CD，
∴AB=CD，
∵点A（0，m），B（0，b），C（a+b+1，m+3），D（m，﹣2m+3），
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴，
∵EF垂直x轴，点D到直线EF的距离为3，S△DEF＝，
∴ ，
解得： ，
∴ 轴，
∴点A到CE的距离为，
∵S△BCE＝S△ACE，
∴点B到EC的距离为 ，
∴ ，
即 ，
解得： 或 ，
∴存在m，使得S△BCE＝S△ACE，此时 或 ．
7．
解：（1）如图所示：
（2）A'（﹣1，﹣2），B'（2，﹣2），C'（1，0）；
（3）设P（x，0），则OP＝|x|，
∵三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的一半，
∴OP×2＝AB×2，
∴|x|×2＝3×2，
解得x＝±，
∴P1（，0），P2（﹣，0）．
8．解：（1）解：∵m，n满足，
∴，且，
∴，，
∴，，
由平移的性质得：，；
（2）解：存在，理由如下：
设，
由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或；
（3）证明：由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．解：如图所示，三角形即为所求
；
；
设P（0，p）
∵△BCP与△ABC同底等高。
∴|2+p|=3，即p+2=1或p+2=-3，解得p1=1或p2=-5
∴P（0，1）或（0，-5）．
答:存在.或．
10．
解：（1）依题意得：，，
；
（2）存在，当时，三角形的面积是三角形面积的2倍．
，，
，．
，
或．
11．解：（1）∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，，
∵，
∴，
且，
∴，
且，
，
∴（AAS），
∴，
∴，，
∴点A的坐标；
（2）且；
证明：过E作轴于F，并交AD于G，
则且，
∵，，E为AB中点，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
且和都为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
（3）①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，
∵轴，
∴点，O关于直线AD对称，即：；
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，则，
∴；
③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，则，
∴，
综上所述：Q的坐标为：或或．
12．
解：（1）∵与关于y轴成轴对称，三个顶点的坐标分别为， ，，
∴，，,
在网格图中画出，点坐标为（﹣4，2）；
（2）存在．设Q（0，m），
∵，
∴，
∴
解得或，∴或．
（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，此时PA+PB的值最小，
取点F(1,-2) ，连接CF，，设CF与x轴的交点为E，
则CF=3，，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴PE=CE=1，
∴OP=OE+PE=1+1=2，
∴P（2，0）．
13．
(1) 解：如图1，是所求作的三角形，
(2) 解：由图1可得：
(3) 解：如图1，为等腰三角形，且为底边，
根据网格图的特点画的垂直平分线交坐标轴于
则
解：如图2，由（1）得：关于轴对称，
所以连接交轴于
则
此时最短，所以即为所求作的点.
14．
解：（1）①∵将点B（0，﹣4）向右平移6个单位得到点A（6，﹣4）．
∴BA∥x轴，
∵点B（0，﹣4），动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA方向运动，
∴P（2t，﹣4），
∵动点Q从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴向上运动，
∴Q（0，3t）；
②∵Q（0，3t），B（0，﹣4），
∴BQ＝3t＋4，BP＝2t，
∴S△BPQ＝＝＝3t2＋4t，
∴3t2＋4t＝4t＋12，
∴t2＝4，
解得t＝2，t＝﹣2舍去，
∴P（4，﹣4），Q（0，6）．
（2）如图2，过点N作NM∥x轴，
∵NM∥x轴，AB∥x轴，
∴NM∥AB∥x轴，
∴∠MNO＝∠NOE，
∵ON是∠EOD的角平分线，
∴∠MNO＝∠NOE＝∠EOD，
又∵MN∥AB
∴∠MNF＝∠NFA，
∵FN是∠AFD的角平分线，
∴∠MNF＝∠NFA＝∠AFD，
∵AB∥x轴，
∴∠OED＝∠AFD，
∵∠ODF＝∠EOD＋∠AFD＝α，
∴∠ONF＝∠MNO＋∠MNF＝（∠EOD＋∠AFD）＝α．
15．解：（1）∵，，
∴平移的规则为：向右平移2个单位，向上平移一个单位；
∵，，，
∴；
（2）如图，延长交x轴于点E，过点做
由平移可知，重叠部分为平行四边形，高为2，
∴重叠部分的面积为
（3）存在；
设点的坐标为，
∵，
，
∴，
∴点的坐标为或．
16．（1）解：，证明如下：
证明：∵
∴，，解得，，
∴，，
∵将点A、B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到对应点C、D，
∴，，
过点P作，由平移的性质可得，
∴，
∴，，
∴，
即．
（3）解：存在，M点坐标为，，，．理由如下：
的面积为，
①M在x轴上，根据的高与相等的高，
∴，
∴点M坐标为，，
②M在y轴上，的高为，的面积为5，
即
∴
又∵，
∴点M坐标为，．
故存在符合条件的M点坐标为，，，．