浙教版八年级数学上册试题 4.3.4 平面直角坐标系：最值问题（含答案）

4.3.4 平面直角坐标系-最值问题
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，，点B是x轴上一点，则线段的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．已知m为整数，点关于y轴的对称点在第一象限，则m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图，点，分别为轴、轴上的动点，，点是的中点，点，，过作轴．点为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，，点P是线段上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．3
6．如图，正的边长为6，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上一动点，则的最小值是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　 　）
A． B． C． D．
8．平面直角坐标系xOy中，已知，两点，C为x轴上一动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
9．如图，点在y轴上，点、在轴上，，，与关于轴对称，，点、分别是边、上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．在平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，是等边三角形，是边上动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．的面积为，的中点为，当点在边上运动时，线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0），且，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为______．
12．如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等边三角形，AB丄x轴，AB=2，点C的坐标为（1，0），点P为OB边上的一个动点，则PA+PC的最小值为_______．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），AB＝5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP＋PQ的最小值为___．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在x轴上，点A，C坐标分别为A（0，4），C（3，0），AB＝AC＝5，点P在y轴上移动，点Q在线段AB上移动．则BP+PQ的最小值为 _____．
在平面直角坐标系中，A（2,0），B（0,4），过点B作直线lx轴，点P（a，4）是线l上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt APQ，使∠APQ＝90°．
（1）当a＝0时，则点Q的坐标是____________．
（2）当点P在直线1上运动时，点Q也随之运动，则OQ的最小值是________________．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴正半轴上，点B（－3，0）在x轴负半轴上，且AB=5，点M坐标为（3，0），N点为线段OA上一动点，P为线段AB上的一动点，则MN+NP的最小值为___________．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣3.2，0)，点B(1.8，0)，点C在y轴上，且AC⊥BC，AC＝4，BC＝3，点P为线段AB上一动点，连接CP，过点P作PM⊥AC于点M，作PN⊥BC于点N，则当线段CP取最小值时，的值为_________．
18．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，则取得最小值为______．
19．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（3，），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是______．
20．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A=30°，点A（-3，0），B（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为______．
三、解答题
21．在如图所示的方格(每个小正方形的边长为1)中，的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为．
(1) 在方格图中建立坐标系，并标出原点；
(2) 的面积是________；
(3) 试确定y轴上一点P，使得的和最小，求出的最小值，并画出点P，保留作图痕迹．
22．在平面直角坐标系xoy中，等腰的三个顶点A的坐标是（0，1），点B在x轴的正半轴上且，点C在y轴上．
(1) 写出所有满足题意的点C的坐标；
(2) 若点P关于直线AB的对称点在x轴上，且，图中、、、中，符合条件的点P是___________；
(3) 在（2）的条件下，在y轴上找到一点M，使的值最小，则这个最小值为_________．
23．如图，在平面直角坐标系中，每格代表1个单位，三角形的三个顶点都在格点上．
请写出A，B，C的坐标．
求出三角形ABC的面积．
点P是x轴上的一个动点，求PA＋PC的最小值
24．请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分．
（1）a＋b＋c＝　 　；
（2）点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值；
（3）如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
25.如图，，，都在边长为1个单位的正方形网格的格点上．
判断的形状，并说明理由；
画出点关于直线的对称点，连，．直接写出为 ；
点，分别为边，上的动点，请找出点，的位置，使得最小，直接写出的最小值为 ．
26．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，为等边三角形，点C为y轴上一动点，以AC为边在AC下方作等边，连接BC，OP．
（1）如图1，当点C在y轴正半轴上时，求证：；
（2）如图2，当点C在y轴负半轴上时，请在图2中补全图形，并判断（1）中的结论是否还成立？并说明理由；
（3）设点P的横坐标为m，根据上述探究，请问OP的长是否有最小值？若有，直接写出OP长的最小 值及此时m的值；若没有，请简要说明理由．
27．直线AB与x轴交于A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足．
m= ，S△ABO= ；
如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
如图2，P为y轴正半轴上一点，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射线AF上一动点，N是线段OA上一动点，求OM+MN的最小值．（图1与图2中点A的坐标相同）
答案
一、单选题
1．B 2．A 3．A 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 9．C 10．A
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15． （4，6）
16．
17．
18．5
19．；
20．3
三、解答题
21．
解：如图所示，即为所求；
（2）解：；
（3）解：如图所示，作点A关于y轴的对称点D，连接交y轴于P，点P即为所求；
∵点A与点D关于y轴对称，
∴，
∴，
∴当B、D、P三点共线时有最小值，即有最小值，
∵，
∴，
∴，
∴最小值为．
22．解：（1）解：符合条件的有两点，以 为圆心，以为半径画弧，交轴于点，
∵，
∴，
在中，，
∴， ，
即，
∴，，
∴的坐标是(0，3)或(0，)；
（2）解：点P关于直线AB的对称点在x轴上，且，
如图，的对称点不在x轴上，
∴不满足题意；
如图，的对称点也不在x轴上，
∴不满足题意；
如图，的对称点与原点重合，在x轴上，符合题意；
∵，
∴不满足题意，
综上，符合条件的点为；
（3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求，
∴，
过点作轴，过作，
则：轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，轴，
∴．
∴故答案为：3
23．（1）解：A（－2，5）；B（－5，－2）；C（3，3）．
（2）解：△ABC的面积=
（3）解：作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，与x轴的交点即为所求的点P．
∴PA+PC的最小值即为A'C的长，
∵A（－2，5），
∴A’（－2，-5），
由勾股定理得A'C=．
∴PA+PC的最小值为．
24．
（1）解：∵，
∴，解得：，
∵，
∴的整数部分是2，
∴，
∴．
故答案为：-5．
（2）解：∵A（a，0），B（0，b），C（0，c），
∴A（-4，0），B（0，2），C（0，-3），
∴，
∵S△PBC＝2S△ABC，
∴，
∵，
∴点P到BC的距离为：，
∵点B、C在y轴的直线上，
∴点P在平行于y轴的直线上，且与y轴的距离为8，
∴点P在直线或直线上，
∵点A到直线的最小距离为，点A到直线的最小距离为：
∴点A与点P之间最小距离为：．
（3）解：连接OD、OE，如图所示：
设点D的坐标为（m，n），
∵，
∴，
∴，
∴D点坐标为（2n-4，n），
∵点D向右平移4个单位长度得到点E，
∴E（2n，n），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．
解：（1）△ACB是直角三角形，
∵AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形；
（2）如图所示：
△CDB的面积为：×CD×4=×4×4=8，
故答案为：8；
如图所示：先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短，
∵，
∴，
∴DQ=，
∴CP+PQ的最小值，
故答案为：．
26．
解：（1）在等边和等边中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）补全图形（如图）
（1）中的结论仍然成立；
证明：同（1）可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）∵△AOP≌△ABC，
∴OP=BC，
∴当BC的值最小时，OP的值最小，
当BC⊥y轴时，BC的值最小，最小值为3，
∴OP的最小值为3．
四边形ABCO中，∠BCO=∠COA=90°，∠BAO=60°，过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示：
∴∠ABC=∠AOP=120°，
∵∠AOB=60°，
∵∠AOB+∠AOP=180°，
∴B、O、P三点共线，
∴，
∵∠PDO=90°，
∴，
∴OD=OP=BC=，
∴m=．
27．（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
∴OA=OB=4，
∴，
故答案是：4，8；
(2)解：如图1，过点作轴于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
∵，
，
，
，
，
，
，
；
(3)解：如图所示，过点M作MH⊥OA于H，MG⊥AP于G，
∵AF平分∠OAP，MH⊥OA，MG⊥PA，
∴MH=MG，
∵点到直线的距离垂线段最短，
∴，即，
∴，
∴当O、M、G三点共线，且OG⊥AP时，OM+MG有最小值，即OM+MN有最小值，
∵∠OAP=45°，
∴△OAG是等腰直角三角形，
∴OG=AG，
∴，
∴OM+MN的最小值为 ．