浙教版八年级数学上册试题 5.5.2 一次函数中的三角形全等问题（含答案）

5.5.2 一次函数中的三角形全等问题
一、解答题
1．如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第四像限内作等腰，，求C点坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点．
(1) 直接写出点、、的坐标；
(2) 求的面积．
3．已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．
(1) 如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；
(2) △AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
(3) 如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
4．如图，直线AB：y=x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，连接AF．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求出线段AB的长．
（2）猜想线段AF与BE之间的数量与位置关系，并证明；
（3）过点O作OM⊥EF垂足为D，OM分别交AF、BA的延长线于点C、M若BE=，求CF的长．
5．如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于.
（1）求证：.
（2）已知直线与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式.
6．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动．
(1) 求A，B两点的坐标；
(2) 求的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式；
(3) 求当t为何值时，并求此时M点的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．
(1) 直接写出点A、B、C的坐标；
(2) 求△ADE的面积．
8．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为，连接BC，过点О作于点D，点为线段BC上一个动点．
(1)求BC，OD的长；
(2)在线段BO上是否存在一点P，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点C关于OQ的对称点恰好落在的边上，请直接写出点Q的坐标．
9.如图，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B
作线段，且，直线交x轴于点D．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______，点C的坐标为______；直线的函数关系式______；
(2)点P是直线上的一点，且到x轴，y轴距离相等，连接，求出的面积；
(3)若点Q是图中坐标平面内不同于点B、点C的一点，当以点C，D，Q为顶点的三角形与全等时，直接写出点Q的坐标．
10．矩形的边在x轴上，点C、D在第一象限，且，点A的坐标为，如图（1）．
(1)直接写出点C的坐标为（ ， ）；
(2)过点A的直线l与矩形的一条边交于点E，如果直线l把矩形分成两部分图形的面积比为，求直线l的解析式；
(3)P是线段上动点，，连接，以为直角边在的逆时针方向作等腰直角三角形，且，，如图（2）．
①求出点Q的坐标（用含m的式子表示）；②连接，当线段的长度最短时，求m的值；
11．如图，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使．
(1) 分别求点B，C的坐标；
(2) 在x轴上求一点P，使它到B，C两点的距离之和最小．
12.如图，已知直线AB的解析式为y＝x＋m，线段CD所在直线解析式为y＝﹣x＋n，连接AD，点E为线段OA上一点，连接BE，使得∠EBO＝2∠BAD．
（1）求证：△AOD≌△BOC；
（2）求证：BE＝EC；
（3）当AD＝10，BE＝5时，求m与n的值．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P．
（1）求∠OAB的度数和△AOB的面积；
（2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标；
（3）当时，求直线l的解析式．
14．如图，直线y＝kx+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且AB＝2．
（1）求点A的坐标；
（2）求k的值；
（3）C为OB的中点，过点C作直线AB的垂线，垂足为D，交x轴正半轴于点P，试求点P的坐标及直线CP的函数表达式．
15．如图1所示，直线l：y＝k（x﹣2）（k＜0）与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A、B两点．
（1）当OA＝OB时，求直线l的表达式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设C为线段AB延长线上一点，作直线OC，过点A、B两点分别作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E，若AD＝，求BE的长；
（3）如图3所示，当K取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为底向上作等腰直角△ABP，试问：B点运动时，点P是否始终在某一直线上运动？若是，请写出该直线对应的函数表达式并说明理由；若不是，请说明理由．
16．在平面直角坐标系中，正方形的点B在x轴上，C在y轴上，．
（1）如图1，若在线段上，N在第二象限，且满足和，则N的坐标为______________；
（2）如图2，若M在的延长线上，N在y轴上，使得，若，，求的面积；
（3）连接交于点P，在（2）的条件下__________．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x＋9于点C．
（1）点C的坐标是　 　．
（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x＋9上一点，连接线段MN，若MNx轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
18．[建立模型]如图1，已知，，，顶点在直线上．
操作：过点作于点，过点作于点．求证：≌．
[模型应用]
（1）如图2，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到，求的函数表达式．（提示：可以以为直角边建立模型）
（2）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点，作轴于点，是线段上的一个动点，点位于第一象限内．问点，，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，设点C的纵坐标为m．
（1）求点B的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求线段BO长度的最小值．
20.已知：如图，直线：y＝﹣x＋4分别交x，y轴于A、B两点．以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°；直线l2经过点C与点D
（4，0），且与直线l1在x轴下方相交于点E
（1）请求出直线l2的函数关系式；
（2）求出△ADE的面积；
（3）在直线l2上不同于点E，是否存在一点P，使得△ADP与△ADE面积相等，如若存在，请求出点P的坐标；如若不存在，请说明理由；
（4）在坐标轴上是否存在点F，使△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
21．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，，
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BC的解析式．
（3）在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
23．如图，正比例函数经过点A，点A在第二象限，过点A作轴于
点，，且的面积为．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）若直线上有一点满足，且，求的值．
24．如图1，直线与、轴分别交于，以为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，
（1）点坐标为______；
（2）如图2，点为线段上的一个动点（不与、重合），连接，以为直角边作等腰直角△AEF，连接交轴于，求证：是的中点；
（3）如图3，将沿着轴向左平移得到，直线与轴交于点，若以为顶点的三角形是等腰三角形，请求出点的坐标．
答案
一、解答题
1．解：对于一次函数，
令得：；令，解得，
∴B的坐标是，A的坐标是，
作轴于点D，如图所示：
，
，
，
∴．
在与中，
，
，
，
∴C的坐标是．
2．（1）解：由题意，直线与轴、轴分别交于点，，
令，得，
点的坐标为，
令，得，
点的坐标为，
，，
，
将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，
即，
，
点的坐标为．
（2）解：由翻折的性质可得，，，
，
，
，
，
≌，
点，
，
．
3.(1)解：连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，
当y=0时，-3x+3=0，
解得x=1，
∴A（1，0），
当x=0时，y=3，
∴OB=3，B（0，3），
∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3，
∴D（-3，0），
∵点E到两坐标轴的距离相等，
∴EG=EH，
∵EH⊥OC，EG⊥OC，
∴OE平分∠BOC，
∵OB=OC=3，
∴CE=BE，
∴E为BC的中点，
∴E（，）；
（2）解: △AOB≌△FOD，
设直线DE表达式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴y=x+1，
∵F是直线DE与y轴的交点，
∴F（0，1），
∴OF=OA=1，
∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，
∴△AOB≌△FOD；
(3)
解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3），
∴点G（0，-3），
∵C（3，0），
设直线GC的解析式为：y=ax+c，
，
解得：，
∴y=x-3，
AB== ，
设P（m，m-3），
①当AB=AP时，
=
整理得：m2-4m=0，
解得：m1=0，m2=4，
∴P（0，-3）或（4，1），
②当AB=BP时，=
m2-6m+13=0,
△＜0
故不存在，
③当AP=BP时，
=，
解得：m=，
∴P（， ），
综上所述P（0，-3）或（4，1）或（，），
4．解：（1）y=x-4中，令x=0，则y=-4，
∴B（0，-4），
∴OB=4，
令y=0，则x=4，
∴A（4，0），
∴OA=4，
在Rt△AOB中，
AB=；
（2）猜想：AF=BE，AF⊥BE，
理由如下：∵OE⊥OF，OA⊥OB，
∴∠FOA=∠EOB，
∵点A（4，0），点B（0，-4），
∴OA=OB，
在△FOA和△EOB中，
，
∴△FOA≌△EOB（SAS）
∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，
∵∠EBO+∠OAB=90°，
∴∠FAO+∠OAB=90°，即∠FAB=90°，
∴AF⊥BE，
∴AF=BE，AF⊥BE；
（3）连接CE，
∵BE=3，AB=4，
∴AF=BE=3，AE=，
∵OE=OF，OM⊥EF，
∴OM是线段EF的垂直平分线，
∴CF=CE，
设CF=x，则CE=x，AC=3-x，
在Rt△ACE中，
CE2=AE2+AC2，即x2=（）2+（3-x）2，
解得，x=，即CF=．
5．
解：(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB=CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠BCE=180° 90°=90°，
又∵∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴ (AAS)；
(2)过点B作BC⊥AB于点B,交l2于点C,过C作CD⊥x轴于D,
∵∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
由(1)可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直线l1:y=x+4，
∴A(0,4),B( 3,0)，
∴BD=AO=4.CD=OB=3，
∴OD=4+3=7，
∴C( 7,3),
设l2的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴ ，
∴ ，
∴l2的解析式：y=x+4；
6．
（1）解：对于直线，
当时，；当时，，
则A，B两点的坐标分别为，；
（2）∵，，
∴，
当时，，
∴；
当t＝2时，无法组成三角形；
当时，，
∴；
（3）解：分为两种情况：
①当M在OA上时，
∵，
∴，
∴，
∴t＝2÷2＝1秒，；
②当M在AO的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∴t＝6÷2＝3秒，；
即秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是．
7．
(1)解：由题意，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，
令x＝0，得y＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
令y＝0，0＝﹣x+4，
解得x＝3，
∴点A的坐标为（3，0），
∴OB＝4，OA＝3，
∴AB＝＝5，
∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝5+3＝8，
∴点C的坐标为（8，0）．
(2)解：由翻折的性质可得，∠ABD＝∠ACD，∠BDA＝∠ADC，
∵∠BAO＝∠CAE，
∴∠CAE＋∠ACD＝∠BAO＋∠ABD＝180°－∠AOB＝90°，
∴∠AEC＝180°－（∠CAE＋∠ACD）＝90°，
∴∠AED＝180°－∠AEC＝90°，
∴∠AOD＝∠AED，
∵AD＝AD，
∴△AOD≌△AED（AAS），
∵点D（0，﹣6），
∴OD＝6，
∴S△ADE＝S△AOD＝×OA×OD＝×3×6＝9．
8．（1）解：∵令，，得：，
∴，
又∵，
∴，
∴．
令，，得，
∴，
∵，
∴．
（2）存在，理由如下：
由（1）可知，
，
，
，
，
,，
，
即，
所以与全等分两种情况：
①当时，，
因为，
所以，即；
②当时，，
设点关于OQ的对称点为，
①当落在上时，作QE⊥CO于点E，QF⊥BO于点F，
∴∠COQ＝∠OQ＝45°，
又∵QE⊥CO，QF⊥BO，
∴QE＝QF，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×OC×QE＋×OB×QF，
∴6×8＝（6＋8）×QE，
∴QE＝QF＝，
∴点Q的坐标为．
②点C关于OQ的对称点落在AB上时，
∴OC＝O＝OA，CQ＝Q，∠OCQ＝∠OQ，
∴∠AO＝∠OA，
∴∠OCQ＝∠OQ＝∠AO＝∠OA，
∴∠CBA＝∠QB，
∴BQ＝Q，
∴CQ＝BQ＝Q，
∴点Q是BC的中点，
∴点Q（ 3，4），
综上所述：点Q坐标为或
9．（1）解：∵一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴，
设点C的坐标为（m、n），
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点C的坐标为（3，1），
设直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为；
（2）解：①当时，即点P在第二象限．
∴，
∴点P的坐标为（-3，3）
同理可求出直线BP的解析式为，则直线交y轴于点
∴．
②当时，即点P在第一象限．
∴
∴点
同理可求出直线BP解析式为
当时，，
∴．
（3）解：∵直线AC解析式为，D是直线AC与x轴的交点，
∴点D的坐标为（6，0）
∵B（1，0），C（3，1），
∴BD=5，
当△BCD≌△QDC时,
∴BC=QD，BD=QC，
设Q（s，t），
∴，，
解得或，
当△BCD≌△QCD时，
∴BC=QC，BD=QD，
∴，，
解得，
∴；；
10．
（1）解：由题意知：
，，
；
（2）解：①当点E在上时，如图：
设：，
则，
由题 意得：
，
即，
∴，
，
，
设直线l的表达式为：
则：，
，
，
②当点E在上时，如图：
设：，
则，
由题 意得：
，
即，
∴，
，
，
设直线l的表达式为：，
则：
，
综上可知直线l的表达式为：或；
（3）解：
①如图作PN⊥AB，交AB于点N，作QM⊥PN，垂足为点M，
，，
，
在与中，
，
,
，
,
，
②，
∴当最小时，．
11.（1）
解：对于一次函数，
当时，，即，
∴，
当时，，解得，即，
∴，
如图1，过点作轴于点，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
，
∴点的坐标为．
（2）
解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，
∵，
∴，
由轴对称的性质可知，，
，
由两点之间线段最短可知，此时点到两点的距离之和最小，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，
，
即点到两点的距离之和最小．
12.解：1）证明：在y＝x＋m中，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝﹣m，
∴A（﹣m，0），B（0，m），
∴OA＝OB＝m，
在y＝﹣x＋n中，令x＝0，则y＝n，令y＝0，则x＝n，
∴C（n，0），D（0，n），
∴OC＝OD＝n，
在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
（2）证明：由（1）知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠CDO＝45°，
∵△AOD≌△BOC，
∴∠ADB＝∠BCO，
∵∠ADO＝∠ABO＋∠BAD＝45°＋∠BAD，
∠BCO＝∠DCO＋∠BCD，
∴∠BAD＝∠BCD，
设∠BAD＝∠DCB＝，则∠EBO＝2∠BAD＝2，
∴∠DBC＝45°﹣，
∵∠ECB＝∠DCO＋∠BCD＝45°＋，
∠EBC＝∠EBO＋∠CBO＝2α＋45°﹣＝45°＋，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝EC；
（3）解：由（1）知OA＝OB＝m，OC＝OD＝n，
∵∠AOD＝∠BOE＝90°，
∴AO2＋OD2＝AD2，OB2＋OE2＝BE2，
∵AD＝10，BE＝CE＝5，
∴m2＋n2＝102，m2＋（5﹣n）2＝（5）2，
∴m＝4，n＝2．
13．
解：（1）∵A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA
＝
＝
＝45°，
S△AOB＝＝＝18；
（2）设直线AB的解析式是：y＝kx＋b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x＋6，
∴，
∴，
∴P（2，4）；
（3）如图1，
设点P（a，b），
当点P在AB上时，
作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，
∵，
，
∵OA＝OB，
∴＝，
∴PD＝2PC，
∴a＝2b，
又∵b＝﹣a＋6，
∴a＝4，b＝2，
∴P（4，2），
设直线l的解析式是y=mx，代入（4，2）得2=4m
∴m=
∴直线l的解析式是：y＝x，
如图2，
当点P在BA的延长线上时，
作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，
∴∠AFP＝∠AOB＝90°，
∵，
∴＝，
∴AP＝BP，
∴AP＝AB，
∵∠OAB＝∠PAF，
∴△APF≌△ABO（AAS），
∴AF＝OA＝6，PF＝OB＝6，
∴OF＝12，
∴P（12，﹣6），
设直线l的解析式是y=nx，代入（12，﹣6）得-6=12n
∴n=-
∴直线l的解析式是：y＝﹣；
综上所述：直线l的解析式是：y＝或y＝﹣x．
14．
解：（1）把x=0代入直线y＝kx+4可得：y＝4，
∴，
∴OB=4，
在Rt△AOB中，AB＝2，由勾股定理可得：，
∴；
（2）由（1）可把点代入直线y＝kx+4得：
，解得：；
（3）∵点C为OB的中点，OB=4，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵∠AOB=∠COP=90°，
∴△AOB≌△COP（AAS），
∴OP=OB=4，
∴，
设直线CP的解析式为，则把点，代入得：
∴，解得：，
∴直线CP的解析式为．
15．解：（1）对于直线l：y＝k（x﹣2）（k＜0），当x=0,y=-2k，当y=0，x=2，
∴A（2，0），B（0，-2k）
∴OA=2，OB=-2k
∵OA=OB
∴-2k=2
∴k=-1
∴直线l：y＝k（x﹣2）=-(x-2)=-x+2
（2）∵
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
又∵
∴△
∴
在中，
∴
（3）过点P作PG⊥y轴，PH⊥x轴，垂足分别为G，H
∴四边形OGPH是矩形，
∴，,
在等腰直角三角形APB中，
又∠
∴∠
又∠
∴△
∴
∴矩形OGPH是正方形
∴
∴点P的横、纵坐标相等，
∴点P在直线y=x上移动．
16．
解：∵四边形ABCD是正方形，A（6，6）
∴
过点N作ND⊥x轴于点D
∵∠
∴∠
∴∠
在和中，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为；
（2）设，AN交x轴于点E
∵
∴
∵
∴
∵∠
在和中，
∴
∴，
∵
=
∴
而
∴
∴
解得，
∴
（3）设直线CM的解析式为，
把代入得，
解得，
所以，直线CM的解析式为
设直线AN的解析式为
把代入得
解得，
∴直线AN的解析式为
联立方程组 ，
解得，
∴
∵
∴，
∴
故答案为：
17．解：（1）联立两直线
解得
∴点C的坐标是（1，7）
故答案为：（1，7）；
（2）设点M的横坐标为a，则M（a，a+6），
∵MNx轴
∴N点的纵坐标为a+6，代入直线y＝﹣2x＋9
∴a+6＝﹣2x＋9
∴x=
∴N（，a+6）
∵MN＝6，
∴
解得a=-3或a=5
∴M（-3，3）或M（5，11）
（3）存在
令直线y＝x＋6中x=0，y=6
故B（0，6）
∴OB=6
故MN=OB=6
故当△BOP和△MNC全等时，对应线段相等
①当M（-3，3）、N（3，3）时
在△MNC中，MC=，NC=，
设点P（x1，x2），故BP=，OP=
当BP= NC，OP= MC时，则，解得或；
当BP= MC，OP= NC时，则，解得或；
∴P点坐标为（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）；
②当M（5，11）、N（-1，11）时，四种情况与①一致；
综上，P点坐标为（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）．
18．解：操作：如图1：
∵，
∴．
在和中，
∴≌（AAS）
（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点
令x=0，得y=4，令y=0，解得x=-3
∴，
如图2，过点作交直线于点，过点作轴
在和中，
∴≌（AAS），
∴，，
∴点坐标为
设的解析式为，将，点坐标代入，
得解得:
∴的函数表达式为；
（2）由题意可知，点是直线上一点．
如图3，
过点作轴，分别交轴和直线于点，．
在和中，
∴≌（AAS），
，即，
解得
如图4，
过点作轴，分别交轴和直线于点、，
，．
在和中，
∴≌（AAS），
∴，即，解得
综上所述：，，可以构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，的值为或4．
19．
解：（1）过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，
∴∠BHC＝90°，
∴∠HCB+∠HBC＝90°，
∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，
∴∠BAC＝90°，CB＝CA，
∴∠HCB+∠ACO＝90°，
∴∠HBC＝∠ACO，
在△AOC和△CHB中，
∴△AOC≌△CHB（AAS），
∴HC＝OA，HB＝OC，
∵点C（0，m），点A（1，0），
∴HC＝OA=1，HB＝OC=m，
∴OH=OC+CH=m+1
∴点B的坐标为（m，m+1）；
（2）∵点B的坐标为（m，m+1）；
∴B的运动轨迹是直线y＝x+1，
如图，设直线y＝x+1与y轴交点为M，与x轴交点为N，
则点M坐标为（0，1），点N坐标为（-1，0），
∴OM=ON=1，
∴△MON为等腰直角三角形，
∴MN=，
∴当OB⊥MN时，OB最短，
∴此时OB=MN=．
20．
解：（1）在y=-x+4中，
令x=0，则y=4，
∴B（0，4），
令y=0，则x=3，
∴A（3，0），
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠BOA=∠BAC=∠AMC=90°，
∴∠OBA+∠OAB=∠CAM+∠OAB=90°，
∴∠OBA=∠CAM，
又∵AB=AC，
∴△BOA≌△AFC（AAS），
∴AM=BO=4，CM=OA=3，
∴OM=OA+AM=7，
∴C点坐标为（7，3），
设直线l2的函数关系式为y=kx+b，
将D（4，0），C（7，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线l2的函数关系式为y=x-4；
（2）联立方程组
，
解得：，
∴E点坐标为，
∴S △ADE =AD yE=×(4-3)×=，
即△ADE的面积为；
（3）设直线l2上点P坐标为（x，x-4），
∵△ADP与△ADE等底，
∴当△ADP与△ADE面积相等时，
x-4=，解得：x=，
∴P点坐标为（，）；
（4）在Rt△AOB中，，
S四边形ABCD=S梯形BOMC-S△AOB-S△CDM=×(3+4)×7-×3×4-×3×3=14，
①当点F在y轴上时，设F点坐标为（0，y），
∵△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等，
∴|y-4|×7=14，
解得：y=8或y=0，
∴F点坐标为（0，8）或（0，0），
②当F点在x轴上时，设F点坐标为（m，0），
若F点在O点左侧，
此时S△BCF=S△BOF+S梯形BOMC-S△FCM=14，
∴×4×(-m)+×7×7-×(7-m)=14，
解得：m=0（不合题意，舍去），
若点F在线段OM上，
此时S△BCF=S梯形BOMC-S△BOF-S△FCM=14，
∴×7×7-×3m-×3(7-m)=14，
此时方程无解，
若点F位于M点右侧，
此时S△BCF=S△FCM+S梯形BOMC-S△BOF=14，
∴×3(m-7)+×7×7-×3m=14，
此时方程无解，
或S△BCF=S△BOF-S△FCM-S梯形BOMC=14，
×4m-×7×7-×3(m-7)=14，
解得：m=56，
∴F点坐标为（56，0），
综上，F点坐标为（0，8）或（0，0）或（56，0）．
21．
解：（1）如图1，过点D、点C作DM、CN垂直于x轴，CH垂直于DM于H，
在正方形ABCD中，BC=CD，∠DCB=∠DCH+∠BCH=90°，
∵∠HCB+∠BCN=90°，
∴∠DCH=∠BCN，
又∵∠DHC=∠CNB=90°，
∴△DHC≌△BNC（AAS），
∴DH=BN，CH=CN，
同理可证△BNC≌△AOB（AAS），
又∵A（0，4），B（3，0），
∴CH=CN=OB=3，DH=BN=OA=4，
∴C（7，3），D（4，7）；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
将C（7，3），B（3，0）代入，得，
解得，
∴直线BC的解析式为；
（3）存在，
设P点坐标为（t，0），
∵C（7，3），B（3，0），
∴，BP=|3-t|，
要使△PBC为等腰三角形存在以下三种情况：
①BC=BP时，
即|3-t|=5，
解得t=-2或8，
∴P（-2，0）或（8，0）；
②PC=BC时，
即=5，
解得t=11或t=3（舍去），
∴P（11，0）；
③PC=BP时，
即=|3-t|，
解得t，
综上，P点坐标为：（-2，0）或（8，0）或（11，0）或（，0）．
22．
解：（1）①由题意，
解得
所以C(4，4)；
②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0），
所以．
（2）存在；由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ，
∵OP平分∠AOC，
∴∠AOQ=∠COQ，
又OQ=OQ，
∴△POQ≌△MOQ（SAS），
∴PQ=MQ，
∴AQ+PQ=AQ+MQ，
当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．
即AQ+PQ存在最小值．
∵AB⊥OP，所以∠AEO=∠CEO，
∴△AEO≌△CEO（ASA），
∴OC=OA=4，
∵△OAC的面积为6，所以AM=2×6÷4=3，
∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．
23．
解：（1）轴，
，
的面积为，
，
又，
．
，
将点代入，
解得，
正比例函数的解析式为；
①当点B在第二象限时，如图，
∵∠AOB＝45°，且OB＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形．
∴∠ABO＝90°，
∴∠ABF+∠EBO＝90°，
如图，过B作BE⊥x轴于E，交CA延长线于点F．
∵∠FEO＝∠EOC＝∠ACO＝90°，
∴四边形CFEO是矩形，∠CFB＝90°，
∴∠ABF+∠FAB＝90°，
∴∠EBO＝∠FAB，
∴△EBO≌△FAB（AAS）．
∴BE＝AF，EO＝FB．
又∵OC＝FE＝FB+BE＝5，
AC＝CF﹣AF＝2，
∴EO+BE＝5，EO﹣BE＝2，
解得：EO＝，BE＝．
∴B（﹣，），
将B（﹣，）代入y＝ax，
解得a＝﹣．
∴a＝﹣．
②当点B在第一象限时，OB1＝OB，过点O作OB1⊥OB，则∠AOB1＝45°，如图所示，
过点B1作B1G⊥x轴于点G，则∠B1GO＝∠BEO＝90°，
又∵∠B1OB＝90°，
∴∠B1OG+∠BOE＝90°，
∵∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠OBE＝∠B1OG，
∴△OBE≌△B1OG（AAS），
∴OE＝B1G＝，BE＝OG＝，
∴B1（，），
将B1（，）代入y＝a1x，
解得a1＝．
综上所述，a的值为﹣或．
24．
解：（1）如图：
过点作轴于点
等腰直角△ABC是等腰直角
,
又
的解析式为：
令，即
令，即
（2）如图，在轴上截取，连接．
等腰直角
，
，
（SAS）
，
等腰直角
，
，
，
又，
（3）设直线，
则，，，．
①时，，，
②时，，或－4，
不合题意，舍去，取
③时，，，