浙教版八年级数学上册试题2.7.3勾股定理与方程思想（含答案）

2.7.3勾股定理与方程思想
一、单选题
1．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
2．如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
3．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ）
B．
C． D．
4．如图，在中，，两直角边，，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）2
6．如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题： “今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？ ”．其大意是：如图，有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺 (丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺) 的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意，所列方程正 确的是( )
A．102＋(x－1)2＝x2 B．102＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2
C．52＋(x－1)2＝x2 D．52＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2
8．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）.
A． B． C．3 D．
10．如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；过点D作交AB的延长线于点F，若，，则CE的长为（ ）
A．13 B． C． D．
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC∶BC=1∶7，AB=100米，则AC=_________米．
12．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．
14．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高 1 丈（1 丈=10 尺），折断后顶端落在离竹子底端 3 尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意，可列出关于 x 方程为:__________.
15．如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处断裂，且旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部________m位置断裂．
16．如图，已知长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为__________cm．
《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．
18．如图，的两直角边AC、BC的长分别为6、8，按图示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则______．
19．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为__．
三、解答题
20．如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？
21．如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、B两村之间的公路旁E点，修建一个大樱桃批发市场，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大樱桃批发市场E应建什么位置才能符合要求？
22．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．
(1) 求小岛两端A，B的距离．
(2) 过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求值．
23．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
24．在△ABC中，，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，求t的值．
已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．
26．（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形．
（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．
（3）应用：测量旗杆的高度：校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）．
27.如图，某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌，广告牌高．根据商场规定广告牌最高点不得高于地面20m，经测量，测角仪支架高，在F处测得广告牌底部点B的仰角为30°，在E处测得标语牌顶部点A的仰角为45°，，请计算说明，商家这样放广告牌是否符合规定？（图中点A，B，C，D，E，F，G，H在同一平面内）
28．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
(1) 出发3s后，求PQ的长；
(2) 当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
(3) 当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
答案
一、单选题
1．C 2．A 3．C 4．A 5．C 6．A 7．C 8．B 9．D 10．D
二、填空题
11．
12．8
13．
14．
15．6
16．4
17．
18．
19．3或6
三、解答题
20．
设，利用勾股定理列方程求解即可.
解：设，
∵在中，，
∴，
∴．
答：这棵树在离地面6米处被折断
21．
解：设大樱桃批发市场E应建在离A站x千米的地方，则千米．
在直角中，根据勾股定理得：，
∴，
在直角中，根据勾股定理得：，
∴．
又∵C、D两村到E点的距离相等，
∴，
∴，
所以，
解得．
∴大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方．
22．
解：(1)在△DCE中，∠CED＝90°，DE＝60海里，CE＝80海里，
由勾股定理可得（海里），
∵B是CD的中点，
∴（海里），
∴AB＝BE－AE＝50－16.6＝33.4（海里）
答：小岛两端A、B的距离是33.4海里；
(2)设BF＝x海里．
在Rt△CFB中，∠CFB＝90°，
∴CF2＝CB2－BF2＝502－x2＝2500－x2，
在Rt△CFE中，∠CFE＝90°，
∴CF2＋EF2＝CE2，即，
解得x＝14，
∴
答：值为．
23．解：设秋千的绳索长为，则，
，
在中，
，即，
解得，
答：绳索的长度是．
24．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴BC＝4cm，
由题意得：BP＝tcm．，
①当∠APB为直角时，
如图①，点P与点C重合，
BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP为直角时，
如图②，BP＝tcm．CP＝（t－4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，，
在Rt△BAP中，，
即，
解得，
答：当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
25．
解： m＞0， 3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，
（3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2，
解得：m＝1．
26．
解：（1）如图
（2）
=
=
∴
(3)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长．
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E
∵ AB⊥BC，DC⊥BC
∴∠B=∠C=∠DEB=90
∴四边形BCDE是矩形
∴ED=BC=4，BE=DC=0.5
设AB=，则AD=+0.5，AE=-0.5
在RtΔAED中
AD2=AE2+ED2
(+0.5)2=(-0.5)2+42
解得：=8
答：旗杆的高为8米．
27．解：设
且
解得：
商家这样放广告牌不符合规定．
28．
解：(1)当t＝3时，则AP＝3，BQ＝2t＝6，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），
在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝（cm）．
（2）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
(3)①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝，
∴CE＝＝＝，
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．