八年级数学上册试题 2.4.1 等边三角形及其性质与判定同步测试-浙教版（含答案）

2.4.1 等边三角形及其性质与判定
一、单选题
1．以下判断中错误的是（ ）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
2．三角形中，最大角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列条件中，不能判断是等边三角形的是（ ）．
A．， B．，
C． D．
4．如图，△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF，则△DEF是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点（可移动），连接OP，以线段OP为一边作等边△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
9．如图，在等边中，，为上任意一点（不与端点，重合），过点分别作于点，点．若，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
10．在等腰三角形中，是的高，若，则的底角的度数为（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
二、填空题
11．如图，在等边中，，，则的长为___．
12．如图，正三角形的三个内角平分线交于点，则______．
13．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是________．
14．如图，在中，，，于D，于E，若，则的长为_______．
15．如图，中，，将沿折痕对折，点恰好与的中点重合，若，则的长为______．
16．如图，在中，，，，将沿射线的方向平移2个单位后，得到△A’B’C’，连接，则线段的长为________．
17．如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为_____．
18．如图，直线两两相交于点A，B，C，是等边三角形，点D是直线上一动点，连接，过点D作//交直线于点E，当时，则___________．
三、解答题
19．如图，已知在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的长．
20．如图，AC＝BC，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若点A为CD的中点，求∠C的度数．
21．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
22．如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处
23.已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．
（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是 _____三角形；
（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为 _____．
24．（1）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，与相等吗？请你给出证明；
（2）变式拓展：如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：
①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
答案
一、单选题
1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．B 9．D 10．B
二、填空题
11．2.5
12．
13．4
14．9
15．6
16．5
17．130°
18．40°或100°
19．
三、解答题
20．
解：（1）∵AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B，
∴∠CAE＝∠CBD＝90°，
在△CAE和△CBD中，
，
∴△CAE≌△CBD（ASA）．
∴CD＝CE；
（2）连接DE，
∵由（1）可得CE＝CD，
∵点A为CD的中点，AE⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CE＝DE＝CD，
∴△CDE为等边三角形．
∴∠C＝60°．
21．
解：△APQ为等边三角形．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
22．
解：∵为的外角，，，
，
，，
，
在中，，
，
∴从B到D用的时间为：（小时），
则当船继续航行，11时到达灯塔C的正东方向D处．
23．
解：（1）∵BC＝2BD，
∴BD＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAD＝∠DAC＝30°，
∵点D关于直线AC的对称点为点E，
∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
故答案为：等边；
（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．
∴△ACD≌△ACE，
∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，
∵BG＝CD，
∴CE＝BG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，
∴∠ACD＝∠GBC＝120°，
∴∠ACE＝∠GBC＝120°，
∴△ACE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，
∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，
∴∠BCE+∠BGC＝180°，
∴BG∥CE，
∴∠G＝∠FCE，
∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵∠BFG＝∠CFE，
∴△CEF≌△GBF（AAS），
∴CF＝GF，
∴CF＝CG＝AE＝6．
故答案为：6．
24．
解：（1）证明：如图1，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①结论：．理由如下：
如图2，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②结论：．理由如下：
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．