八年级数学上册试题 2.7.2勾股定理与最值问题 -浙教版（含答案）

2.7.2勾股定理与最值问题
一、单选题
1．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　）
A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4
2．如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
3．如图，在中，，若是上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．5.5 B．6.4 C．7.4 D．8
4．中，有一点在上移动．若，，的最小值为（　　）
A．10 B．9.8 C．8.8 D．4.8
5．函数的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
7．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
8．已知点是平分线上的一点，且，作于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9.如图，在△ABC中，AB＝13，BC=14，S△ABC=84，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A．15 B．12 C．10 D．9
10．如图，在中，，，，点是内的一点，连接，，，满足，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．13
二、填空题
11．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．
12．如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为_____．
13．△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB＝AC＝5，BC＝6，AP+BP+CP的最小值为_____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值为____________．
将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值__，h的最大值__．
16．如图， 有三条两两相交的公路，从地测得公路的走向是北偏东48°，从地测得公路的走向是北偏西42°，若、、的长分别为12千米，5千米、13千米．如果点是公路上任意一点，则线段的最小值为________________.
17．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为________．
18．已知一个等腰三角形纸板的顶角为，腰长为．采用先把它剪开成两个部分，再利用所得的两个部分重新拼接出三角形纸板的方法，将其改造成一个新的三角形纸板（不重不折）．在利用这个方法所得到的新的三角形纸板中，周长的最大值为__________．
19．如图，已知中，，，动点M满足，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_________．
20．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连结PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP+DP的最小值为_____．
21．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝_______，PC+PQ的最小值是_______．
22．已知，则的最小值=_______．
三、解答题
23．如图，在中，，，，是上一点，且，是边上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，求的最小值．
24．如图，，两个工厂位于一段直线形河道的异侧，工厂至河道的距离为，工厂至河道的距离为，经测量河道上、两地间的距离为，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂．
(1)设，请用的代数式表示的长______；（结果保留根号）
(2)为了使，两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂位置，并求出排污管道最短长度？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出的最小值为多少？
25．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，折叠纸片的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕，请回答下列问题：
（1）求线段DE的长度；
（2）若点P为线段AE上的一个动点，连接BP和FP，则线段BP+FP的最小值是 　 　．
26．在边长为8的等边ABC中，点D是边AB上的一动点，点E在边AC上，且CE = 2AD，射线DE绕点D顺时针旋转60°交BC边于F．
（1）如图1，求证：∠AED = ∠BDF；
（2）如图2，在射线DF上取DP=DE，连接BP，
①求∠DBP的度数；
②取边BC的中点M，当PM取最小值时，求AD的长.
27．（1）问题探究
①如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AB＝5，若P是BC边上一动点，连接AP，求AP的最小值．
②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求边AB的长度（用含a的代数式表示）．
（2）问题解决
如图3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，D是边BC的中点，若P是AB边上一动点，E是AC边上一动点，请直接写出PD＋PE的最小值．
28．在锐角中，∠BAC=45°．
（1）如图1，BD⊥AC于D，在BD上取点E，使DE=CD，连结AE，F为AC的中点，连结EF并延长至点M，使FM=EF，连结CM、BM．
①求证：△AEF≌△CMF；
②若BC=2，求线段BM 的长．
如图2，P 是△ABC内的一点， （即），AC=3，求PA+PB+PC 的最小值，并求此时∠APC的度数．
答案
一、单选题
1．A 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．C
二、填空题
11．13
12．
13．9.8．
14．
15． 11cm 12cm
16．
17．
18．
19．
20．15
21． 5
22．
三、解答题
23．解：如解图，以为圆心，长为半径作圆，
∵，∴点在的一段弧上运
动，连接，交于点，此时最小．
∵，，，，
∴，∴，
∴．
∴的最小值为．
24．(1)解：在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE＝，BE＝，
∴AE+BE＝+；
(2)解：根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置，如图：
过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1，
∴AF＝AC＋CF＝6，
在Rt△ABF中，BA＝＝＝10，
∴排污管道最短长度10km；
(3)解：根据以上推理，可作出下图：
设ED＝x，AC＝3，DB＝2，CD＝12．当A、E、B共线时求出AB的值即为原式最小值．
当A、E、B共线时，＝＝13，
即其最小值为13．
故答案为：13．
25．
解：（1）长方形纸片ABCD中，折叠纸片，使点D落在BC边上的点F处，
则AF＝AD＝BC＝10，
BF＝，
FC＝BC BF＝10 6＝4，
∵折叠纸片，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，
∴DE＝EF，
设DE＝EF＝x，
则EC＝DC DE＝8 x，
又∵△EFC为直角三角形，
∴FC2＋EC2＝FE2，
即42＋（8 x）2＝x2，
∴x＝5，
∴DE＝5；
（2）连接BP，PF，PD，BD，
∵折叠纸片，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，
∴D、F关于AE对称，
∴PF＝PD，
则BP＋PF＝BP＋PD≥BD，
∴BP＋PF最小为BD，
BD＝，
∴BP＋PF最小值为：．
故答案为：．
26．
解：（1）在等边△ABC中，∵AB=AC，∠A= ∠ABC=∠C = 60°，
∵∠EDF = 60°，∴∠ADE+∠BDF= ∠ADE+∠AED= 120°，
∴∠AED = ∠BDF；
（2）①方法一：如答题图1，连接EP，过点P作GQ∥BC分别交AB，AC于点G，Q，
易知 △AGQ和△DEP均为等边三角形，
∴BG=CQ，∠AGQ＝60°，
∴∠ADE+∠BDF＝∠ADE+∠AED＝120°，
∴∠AED = ∠BDF，同理∠BDF＝∠EPQ，
∴可证：△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），
∴AD=GP=QE，
∵CE = 2AD=CQ+EQ=AD+BG，∴PG=BG，
∴∠DBP＝∠BPG＝30°；
方法二：如答题图2，在DB上取DG=AE，
∵∠AED = ∠BDF
又∵DP = DE，∴△ADE≌△GPD（SAS），
∴PG = AD，∠PGD＝60°，
∵CE =AC-AE =AB-DG =AD+BG=2AD，
∴BG =AD =PG，
∴∠DBP＝∠BPG＝30°；
②如答图3，在DB上取DG=AE，
由①可知∠MBP＝30°， AD =BG =PG；
当时，PM取得最小值；
在Rt△BMP中，∠MBP＝30°，BM =4，
∴PM = 2，PB = 2；
过点G作GH⊥BP于点H，∵BG =PG， ∴BH =；
在Rt△BGH中，∠GBP＝30°，BH =
∴BG =2，∴AD = BG = 2.
27．（1）①；②AB＝a；（2）3
解：（1）问题探究
①如图1，过A作AE⊥CB于E，
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，
∴AC＝＝12，
∵＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴AE＝
＝，
根据垂线段最短可知当AP与AE重合时，AP的值最小，最小值为；
②如图2，
∵∠ABC＝90°，AB＝AC，
∴，
∵AC＝a，
∴，
∴AB＝a或AB＝﹣a（舍去），
∴AB＝a；
（2）问题解决
作关于的对称点 过作于 交AB于，如图3，
则
则最短，
为中点，为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠BCA＝45°，为等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝，
同理可得：为等腰直角三角形，
PD＋PE的最小值为3．
28．解：（1）①∵F为AC的中点，
∴AF=CF
在△AEF和△CMF中
∴△AEF≌△CMF
②由（1）得△AEF≌△CMF，
∴AE=CM，∠DAE=∠FCM，
∵BD⊥AC，∠BAC=45°，
∴AD=BD
在△AED和△BCD中
∴△AED≌△BCD，．
∴AE=BC，∠DAE=∠DBC，
∴BC=CM，∠FCM=∠DBC，
∵∠BCF+∠DBC=90°，
∴∠BCF+∠FCM=90°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
由勾股定理得，
（2）将△APB 绕点A逆时针旋转 90°得到△AFE，连接FP、CE，
易知△AFP 是等腰直角三角形，
∴，∠EAC=135°，
作 EH⊥CA 交 CA 的延长线于 H．
在Rt△ EAH 中， ，
∵∠H=90° ， ∠EAH=45°，
∵=8，
∴EH=AH=2，
∴CH=5，
在 Rt△EHC 中，
∵PA+PB+PC=FP+EF+PC≥CE，
∴点C、P、F、E四点共线时，PA+PB+PC的最小值为CE，
此时，∠AFP+∠AFE=90°，∠BPC+∠APF=180°，
∵∠AFP=∠APF=45°，
∴∠AFE=∠BPC=135°，
∴∠APB=∠BPC=135°
∴∠APC=360°-135°-135°=90°
∴PA+PB+PC 的最小值为，此时∠APC=90°