浙教版八年级数学上册试题 5.5.3 一次函数中的平移和旋转问题（含答案）

5.5.3 一次函数中的平移和旋转问题
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1) 求这个一次函数的解析式；
(2) 当函数的值大于一次函数的值时，直接写出x的取值范围．
2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（2，2）．
(1) 求这个一次函数的表达式；
(2) 当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
3.如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．
4．如图，直线与直线交于轴上一点，直线与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）将直线向左平移个单位后刚好经过点，求的值．
5.如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于.
（1）求证：.
（2）已知直线与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式.
6．如图,直线l 在平面直角坐标系中,直线l与y轴交于点A,点B(-3,3)也在直线1上,将点B先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l上．
(1) 求点C的坐标和直线l的解析式
(2) 若将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,请你判断点D是否在直线l上;
(3) 已知直线l:y=x+b经过点B,与y轴交于点E,求△ABE的面积．
如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动．
(1) 求A，B两点的坐标；
(2) 求的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式；
(3) 求当t为何值时，并求此时M点的坐标．
8．如图，一次函数y＝﹣kx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，且∠BAO＝30°．
(1) 如图1，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到，则点的坐标是多少？
(2) 如图2，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是多少？
(3) 如图3，若存在x轴上一点C，使△ACB为等腰三角形，直接写出点C坐标．
9．一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．
(1)求C点的坐标；
(2)在第二象限内有一点M（m，2），使，求M点的坐标；
(3)将△ABC沿着直线AB翻折，点C落在点E处；再将△ABE绕点E顺时针方向旋转15°，点B落在点F处，过点F作FG⊥y轴于G．求△EFG的面积．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．
11.如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）
[模型应用]若一次函数y＝kx+4（h≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)如图2，当k＝﹣1时，若B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求A到直线l的距离AD的长．
(2)如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标．
(3)当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，当Q在第一象限落在直线y＝0.5x+1上时，在x轴上求一点H，使HQ+HB的值最小，请求出H的坐标．
12.如图，一次函数y＝k1x﹣4的图象与反比例函数y（x＞0）的图象相交于A（3，﹣6），并与x轴交于点B，点D是线段AB上一点，连结OD、OA，且S△BOD：S△BOA＝1：3．
（1）求一次函数与反比例函数解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若将△BOD绕点O逆时针旋转，得到△B'OD'，其中点D'落在x轴的正半轴上，判断点B'是否落在反比例函数y（x＞0）图象上，并说明理由．
13．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点．
（1）求一次函数解析式和m的值；
（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；
（3）在第二象限是否存在点D，使是以BC为腰的等腰直角等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：BOC≌CED；
（2）求经过 A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程）
15．如图1，已知一次函数y＝x＋2的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）边AB的长为 ；
（2）求点C，D的坐标；
（3）作直线BD，将∠BAD绕点B逆时针旋转，两边分别交正方形的边AD，DC于点M，N（如图2），若M恰为AD的中点，请求出点N的坐标．
16．如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积．
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
17．【问题背景】
平移、旋转和翻折是初中阶段三大基本几何变换．平移、旋转或翻折后的图形与原图形全等，所以我们又把这些几何变换称之保形变换．我市某校数学思维社团成员在学面直角坐标系及一次函数以后，尝试在平面直角坐标系中研究几何变换．
【初步研究】
（1）本着简单到复杂的原则，他们先研究了点的变换：已知平面内一点．
①将点向左平移个单位，平移后点的坐标为_ ；
②点关于直线的对称点的坐标为_ ；
③将点绕点旋转，旋转后点的坐标为 ；
【深度探究】
数学思维社团成员认为线的变换只要抓住一些关键点的变换就可以了．已知如图，直线分别与轴、轴交于点两点，直线交直线于点．
① 直线向右平移个单位，平移后的直线表达式为 ；
② 将直线沿直线翻折，翻折后的直线表达式为 ；
③ 将直线绕点旋转，旋转后的直线表达式为 ；
④ 将直线绕点逆时针旋转，添加一个你认为合适的角度_ ；并直接写出旋转后的直线表达式_ ．
18．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，若∠BAO＝30°，AB＝4，点C的坐标为（2，0）．
(1) 如图1，求证：△ABC是等边三角形．
(2) 如图2，点D是x轴上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，在点D运动过程中，求线段CE的最小值．
(3) 如图3，若将△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△，在平移过程中，是否存在这样的点，使得△为等腰三角形？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，说明理由．
答案
一、解答题
1．
（1）解：一次函数的图象由直线平移得到，
，
将点代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）由题意得，
解得，
x的取值范围是．
2．
解：（1）∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，把（2，2）代入，解得
∴这个一次函数的表达式为．
（2）分析两个临界图象如图所示：
分析可得到答案为：．
3．
解：在直线中，
当x=0时，y=0+4=4，即，
当y=0时，0=，
∴ ，即；
∵与全等，
∴分两种情况：
当时，，如图所示，
则，
∴点Q的横坐标为：，
当时，，如图所示，
则，
∵ ，
∴点Q的横坐标为：；
综上所述：点Q的横坐标为7或8．
4．
解：（1）解：把代入可得：
∴
把代入可得：
（2）把代入可得：
∴
又∵向左平移个单位后解析式为：
∴把代入可得：
5．
解：(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB=CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠BCE=180° 90°=90°，
又∵∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴ (AAS)；
(2)过点B作BC⊥AB于点B,交l2于点C,过C作CD⊥x轴于D,
∵∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
由(1)可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直线l1:y=x+4，
∴A(0,4),B( 3,0)，
∴BD=AO=4.CD=OB=3，
∴OD=4+3=7，
∴C( 7,3),
设l2的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴ ，
∴ ，
∴l2的解析式：y=x+4；
6．
解：(1)∵B(-3,3),将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C,
∴-3+1=-2,3-2=1，
∴C的坐标为(-2,1)
设直线l的解析式为y=kx+c,
∵点B，C在直线l上
代入得
解得k=-2,c=-3,
∴直线l的解析式为y=-2x-3
(2)∵将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,C(-2,1),
∴-2-3=-5,1+6=7
∴D的坐标为(-5,7)
代入y=-2x-3时,左边=右边,
即点D在直线l上
(3)把B的坐标代入y=x+b得:3=-3+b,
解得:b=6
∴y=x+6,
∴E的坐标为(0,6),
∵直线y=-2x-3与y轴交于A点,
∴A的坐标为(0,-3)
∴AE=6+3=9;
∵B(-3,3)
∴△ABE的面积为×9×|-3|=13.5
7．
（1）解：对于直线，
当时，；当时，，
则A，B两点的坐标分别为，；
（2）∵，，
∴，
当时，，
∴；
当t＝2时，无法组成三角形；
当时，，
∴；
（3）解：分为两种情况：
①当M在OA上时，
∵，
∴，
∴，
∴t＝2÷2＝1秒，；
②当M在AO的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∴t＝6÷2＝3秒，；
即秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是．
8．（1）解：∵一次函数y＝﹣kx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令x＝0，则y＝1，
∴点B（0，1），
∴OB＝1，
∵∠BAO＝30°．
∴AB＝2，OA＝，
∵旋转角是60°，
∴∠OA＝30°+60°＝90°，A＝AB＝2，
∴A⊥x轴，
∴点（，2）；
（2）∵把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，
∴＝OA＝，＝OB＝1，＝90°，∠＝∠AOB＝90°，
∴⊥x轴，x轴，
∴点到x轴距离为，到y轴距离为+1，
∴点的坐标为（+1，）；
（3）如图，
①当AB＝BC时，
∵OB⊥x轴，
∴OA＝OC，
∴点的坐标为：（﹣，0）；
②当AB＝AC时，
∵AB＝2，
点（2+，0），点（﹣2，0）；
③当AC＝BC时，
设点（x，0），
则﹣x＝，
解得：x＝，
∴点的坐标为：（，0）；
综上可得：点C的坐标为：（﹣，0）或（2+，0）或（﹣2，0）或（，0）．
9．（1）解：对于一次函数y＝x＋2，
当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
当y＝0时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OB＝2，OA＝2，
∴AB＝，
如图1，取AB的中点D，连接OD，则OD＝BD＝AB＝2，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝4，
∴∠CAO＝90°，
∴CA⊥AO，
∴C（﹣2，4）；
（2）过点C作CMAB，如图2，
∵CMAB，
∴，
设直线CM的解析式为y＝，将点C的坐标代入得：（﹣2）+b＝4，
解得b＝6，
∴直线CM的解析式为yx+6，
将y＝2代入MC的解析式得：2x+6，
解得：x＝﹣4，
∴M（﹣4，2）；
（3）∵∠ABC＝∠ABO＝60°，
∴点E落在y轴上，
如图3所示，取EG上取一点H使，EH＝FH，连接FH，
由（1）知A（﹣2，0），B（0，2），AB＝4，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝4，
由折叠知，BE＝BC＝4，
由旋转知，EF＝BE＝4，∠BEF＝15°，
∴∠EFH＝∠BEF＝15°，
∴∠FHG＝∠EFH＋∠BEF＝30°，
设FG＝a，
∴FH＝2a，
∴EH＝FH＝2a，
在Rt△FHG中，由勾股定理得，
HG＝，
∴EG＝EH+HG＝2aa＝（2）a，
在Rt△EFG中，根据勾股定理得，，
即a2+[（2）a]2＝16，
∴a2，
∴EG×FG（2）a×aa22．
10．
解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，
∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=，
∴A（，0），B（0，﹣3），
∴OA=，OB=3，
过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E．
则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，
∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，
∴∠OAB=∠AFE．
又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴ AB＝AF
∴△AOB≌△FEA（AAS）
∴AE＝OB，EF＝OA，
∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝，
∴F（，－）．
设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中，
∴－＝k－3，
∴k＝，
∴直线BC的函数表达式为．
11．
解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），
∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
令x=0，则y=4
∴B（0，4），OB＝4，
∵BE＝3，
∴由勾股定理得，OE＝=，
∴AD＝；
（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，
当y=0时，x=3
∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，
如图3﹣1，过点M作MN⊥y轴，
∴∠MNB＝∠AOB＝∠ABM＝90°，
∵∠ABO+∠MBN＝90°＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BAO＝∠MBN，
又∵AB＝BM，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
∴MN＝OB，BN＝OA，
∴MN＝4，BN＝3，
∴M（4，7）；
②如图3﹣2，当AB⊥AM，且AM＝AB时，
过点M作x轴垂线MK，
同理可证：△ABO≌△AMK（AAS），
∴OB＝AK，OA＝MK，
∴AK＝4，MK＝3，
∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时，
如图3﹣3，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，
同理可证：△BMG≌△AHM（AAS），
∴BG＝AH，GM＝MH，
∴GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，
∴MH＝，
∴M（，）；
综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；
（3）设AB的解析式为y＝kx+4，
∴点A（﹣，0），点B（0，4），
如图4，过点B作MN//AO，过点A作AM⊥MN于M，过点Q作QN⊥MN于N，
∵将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，
∴AB＝BQ，∠ABQ＝90°，
∴∠ABM+∠MAB＝90°，∠MBA+∠NBQ＝90°，
∴∠MAB＝∠NBQ，
在△MAB与△NBQ中，
，
∴△MAB≌△NBQ（AAS），
∴BN＝AM＝4，NQ＝MB＝|﹣|＝||，
∴点Q（4，||），
∴||＝0.5×4+1，
∴点Q（4，3），
作点Q关于x轴的对称点Q'（4，﹣3），连接BQ'，交x轴于H，
此时HB+HQ最小，
设直线BQ'解析式为y＝mx+n，
由题意可得：，
解得：，
∴直线BQ'解析式为y＝﹣x+4，
当y＝0时，﹣x+4＝0，
∴x＝，
∴点H坐标为（，0）．
12．
（1）解：将点A（3，-6）代入y=k1x-4，
得-6=3k1-4，
解得k1=-，
将点A（3，-6）代y=（x＞0）得，-6=，
∴k2=-18，
∴一次函数的解析式为y=-x-4，反比例函数的解析式为y=-；
（2）解：如图，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵，
∴，
∵点A的坐标为（3，-6），
∴AN=6，
∴DM=2，即点D的纵坐标为-2，
把y=-2代入y=-x-4中，
得x=-3，
∴点D（-3，-2）；
（3）解：令y=0，则0=-x-4，解得：x=-6，
∴点B（-6，0），
∵点D（-3，-2），
∴OM=3，DM=2，OB=6，
∴OD'=OD= ，OB'=OB=6，
如图，过点B'作B'G⊥x轴于点G，
∵S△ODB=S△OD′B′，
∴OB DM=OD' B'G，即6×2=×B'G，
∴B'G=，
在Rt△OB'G中，
∵OG=，
∴B'点坐标（，），
∵×（）≠-18，
∴点B'不在函数y=-的图象上．
13．
解：（1）把点，代入，
得，解得，，
∴一次函数解析式为，的值为；
（2）过点作轴，垂足为点Q，
由（1）得，，点，
∴，，，
∵线段AB 绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处，
∴，∴，
∴，
若直线把分成面积之比为2：1的两部分，则有以下两种情况：
①当时，，
∴，∴点的纵坐标为，
将其代入一次函数得，点的坐标为，
设直线的解析式为，将点，点代入得，
，解得，
∴直线的解析式；
②当时，，
∴，
将其代入一次函数得，点的坐标为，
设直线的解析式为，将点，点代入得，
，解得
∴直线的解析式；
综上所述：直线的解析式或；
（3）存在，
∵是以为腰的等腰直角等腰三角形，
①当时，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，∴，，
∴点；
②当时，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，，
∴点；
综上所述，点坐标或．
14．
解：（1），
，
，
，
在与中，
，
（AAS），
（2）设直线的解析式为，
将代入，得：
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
设，
，
，
点在直线上，将代入，
即，
解得，
，
（3）存在，理由如下：
设，
，
，
①当时，
，
解得，
②当时，
，
解得：，
③当时，
，
解得或（与C点重合，舍），
综上所述，的坐标为： 或或或
15．
解：(1)在y＝x＋2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－4，
∴A(0，2)，B(－4，0)．∴OA＝2，OB＝4
∴AB＝；
故答案为：；
(2)过点D作DH⊥x轴于点H，过点C作CG⊥y轴一点G.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°=∠AOB=∠BGC，
∴∠CBG+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBG=∠BAO，
在△ABO和△BCG中，
∴△BCG≌△ABO，
∴CG＝OB＝4，BG＝OA＝2.
∴OG＝6.
∴C(－6，4)，
同理可得D(－2，6)；
(3)如图，过点E分别作EP⊥BE，交BF于点P，EQ⊥x轴，交x轴有的Q，过点P作PR⊥EQ于点R，取AH得中点M，
由三角形的中位线的性质可得：，
∴EM=1，E(-1，4)，
∴BQ=3，
同(2)方法可证：△BEQ≌△EPR，
∴PR=EQ=4，RE=BQ=3，
∴P(-5，7)，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
将C(－6，4)，D(－2，6)代入得，，
解得，，
∴设直线CD的解析式为，
同理可得直线BP的解析式为y=-7x-28，
联立CD，BP的解析式，
解得，，
∴N(，)
16．
解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），
∴3＝2+b，
解得b＝1，
∴y＝2x+1，
令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝1，
∴A ，B（0，1），
∴OA＝，OB＝1
∴△AOB的面积＝＝；
（2）过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，
∴OD＝OB﹣BD＝ ，
∴C ，
设直线l的解析式为y＝mx+n，
把A ，C 代入得，
解得，
∴直线l的解析式为．
17．
解：（1）①点P向左平移5个单位，则纵坐标不变，横坐标减5，即3-5=-2，
∴平移后点P的坐标为：；
②点P关于直线y=x的对称点坐标为：；
③当点绕点顺时针旋转时，过点P作PN⊥x轴，过P′作P′M⊥x轴，连接OP，OP′，如图：
则∠POP′=∠PON+∠MOP′=90°，
又∵∠PON+∠OPN=90°，
∴∠OPN=∠MOP′，
又∵∠ONP=∠P′MO=90°，OP=OP′，
∴ ONP P′MO，
∴ON=P′M=3，PN=OM=4，
∴P′（4，-3）．
同理：当点绕点逆时针旋转时，P′（-4，3）．
故答案是：①；②；③或；
（2）①直线向右平移个单位，平移后的直线表达式为：，
即：，
②对于直线，当y=0时，x=-2；当x=0时，y=1，
∴A（-2，0），B（0，1），
∵A点关于直线OC的对称点A′（0，-2），B点关于直线OC的对称点B′（1，0），
∴根据待定系数法，可得，将直线沿直线翻折，翻折后的直线表达式为：；
③由第（1）③可知：点B绕点A顺时针旋转90°后，B′（-1，-2），
根据待定系数法，得，将直线绕点顺时针旋转，旋转后的直线表达式为：，
同理：点B绕点A逆时针旋转90°后，B′′（-3，2），
根据待定系数法，得，将直线绕点逆时针旋转，旋转后的直线表达式为：，
综上所述：将直线绕点旋转，旋转后的直线表达式为：；
④将直线绕点逆时针旋转，则点A的对应点A′（3，0），
根据待定系数法，得，将直线绕点C逆时针旋转，旋转后的直线表达式为：．
故答案是：①；②；③；④．
18．
（1）证明：在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4
∴BO=2，∠ABC=60°，
∵点C的坐标为（2，0），
∴CO=2，
∴BO=CO，
∴直线AO垂直平分BC，
∴AB=AC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图2，过点E作x轴垂线EH，过点A作y轴垂线，两条垂线相交于点F，
∴∠AOD=∠AFE=90°，∠DAE=90°，∠OAF=90°，
∴∠OAD=∠FAE，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AE=AD，
∴△ADO≌△AEF（AAS）．
∴AO=AF．
在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4，
∴AO＝，
∴AF＝．
∴点E的运动轨迹是直线FE，
∴当点E与H重合时，CE的值最小，CE的最小值=CH= 2；
（3）解：存在，
∵△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△A'B'O'，
∴，，，
∴=OA=，
①如图， = =，过点O′作H⊥C于H，延长交x轴于D，
∴A′H=CH=C，
∵，
∴∠=∠OAC=30°，
∴H=3，
∴C=6，
∴CD=3，D=，
∴OD=CD=OC=3-2=1，
∴点A'的坐标是（-1，）；
②=C，如图，交x轴于D，
∵AC=AB=4，
∴C==，
∵OA，
∴∠C=∠OAC=30°，
∴CD=，A′D=3，
∴OD=OC-CD=2-，
∴点A'的坐标是（2-，3）；
③C= C，如图，交x轴于D，
∵OA，OA⊥BC，
∴⊥BC，
∴D=D==，
∵∠C=∠OAC=30°，
∴CD=1，
∴OD=OC-CD=2-1=1，
∴点A'的坐标是（1，）；
④C=，如图，过点作D⊥y轴于D，
∴C= =2，
∴A=4+2，
∵∠OAC=30°，
∴D=2+，AD=2+3，
∴OD=AD-OA=2+3-2=3，
∴点的坐标是（2+3，-3）；
综上，存在，点的坐标是（-1，3）或（2-，3）或（1，）或（2+3，-3）．