八年级数学上册试题 5.5.4 一次函数中的动点问题-浙教版（含答案）

5.5.4 一次函数中的动点问题
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、B两点，与正比例函数交于点D（2，2）．
(1) 求一次函数和正比例函数的表达式；
(2) 若点P（m，m）为直线上的一个动点（点P不与点D重合），点Q在一次函数的图象上，轴，当PQ=OA时，求m的值．
2．综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择 　 　题．
A．试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
B．如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1) 求m的值及的解析式；
(2) 若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
(3) 一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．
4．如图，一次函数y＝x+3的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
(1)若点P（﹣2，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由．
(2)在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是6，求m的值．
5．已知一次函数的图象经过A（2，4），B（﹣2，0）两点，且与y轴交于点C．求：
(1) 一次函数的解析式；
(2) △AOC的面积；
(3) 点D（m，0）是x轴上一个动点，过D作x轴的垂线，交直线AB于E，若DE＝6，求m的值．
6．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A．
(1) 求的面积；
(2) 观察图象，直接写出时，x的取值范围；
(3) 点C是直线OB上一动点，过点C作轴交直线AB于点D．当时，求点C的坐标．
7.如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点
，．点是线段上的一个动点（不与，重合），连接．设点的横坐标为．
(1) 求一次函数的解析式：
(2) 求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3) 当的面积时：
① 判断此时线段与的数量关系并说明理由；
② 第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与一次函数的图像交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)结合图像，当时，请直接写出x的取值范围；
(3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，与一次函数的图像交于点E．当时，求DE的长．
9．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点E、F，一次函数y＝kx﹣4的图象与直线EF交于点A（m，2），且交于x轴于点P，
（1）求m的值及点E、F的坐标；
（2）求△APE的面积；
（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10.如图，一次函数的图象经过点和点，以线段为边在第二象限内作等腰直角，使.
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 求出点的坐标；
(3) 若点是轴上一动点，直接写出的最小值.
11．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__．
12.在平面直角坐标系中，直线经过点与点，一次函数
的图象为直线．
（1）求此直线的解析式；
（2）过动点且垂直于轴的直线与的交点分别为，当点位于点上方时，请直接写出的取值范围
13．如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 若为轴上一动点，当的面积为6时，求点的坐标．
14.如图，一次函数与x轴，y轴分别交于点A，B，点是直线AB
上一点，直线MC交x轴于点；
(1) 求直线MC的函数解析式；
(2) 若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若的面积是面积的2倍，求P点坐标．
15．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
(1) 求A，B两点的坐标；
(2) 求OC的长；
(3) 设P是x轴上一动点，若使△PAB是等腰三角形，写出点P的坐标（不需计算过程）
16.如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B．点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），连接OF，设点F的横坐标为x．
(1) 求A，B两点的坐标；
(2) 求△OAF的面积S与x之间的函数关系式：
(3) 当△OAF的面积时．直接写出线段OF与AB的数量关系；
17．平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．
(1) 求这两个函数的表达式；
(2) 在轴上有一动点，过点作直线垂直于轴，交直线于点，交直线于点．
① 当时，求的面积；
② 当的长为4时，求点的坐标．
18.如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，直线经过点B与点．
(1)求A、B点的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)在x轴上有一动点，过点M做x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，若EF＝OB，求t的值．
19．如图，已知两个一次函数y1＝x与y2＝﹣2x﹣2的图象相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）观察图象，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围；
（3）点A（t，0）为x轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线与直线l1和l2分别交于点M，N，当MN＝4时，求t的值．
20.如图，一次函数的图象与、轴分别交于、两点，点与点关于轴对称．动点、分别在线段，上（点与点，不重合），且满足．
（1）点的坐标为______，点的坐标为______，线段的长度______；
（2）当点在什么位置时，？说明理由；
（3）当为等腰三角形时，求点的坐标．
21．综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．
(1)求直线BC的表达式与点C的坐标；
(2)如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
答案
一、解答题
1．
解：（1）∵一次函数与正比例函数交于点D（2，2），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为：，正比例函数解析式为：；
（2）当x=0时，，
当y=0时，，即，
∴A点坐标为(3,0)，B点坐标为(0,6)，
∴OA=3，
∵PQ=OA，
∴PQ=，
∵轴，
∴点Q、点P的横坐标相等，
∵P点坐标为(m,m)，
∴Q点的横坐标为m，
∵Q点在直线上，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
解得：或者，
即m的值为或者．
2．
解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A点坐标为（﹣6，0）；
当x＝0时，y＝x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝﹣x+b得：b＝3，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则C点坐标为（3，0）；
（3）A．过点P作PH⊥x轴于H，
设点P（x，x+3），
∴PH＝，
∵A点坐标为（﹣6，0），C点坐标（3，0），
∴AC＝9，
∵S△ACP＝AC PH＝×9 PH＝18，
∴PH＝4，
∴x+3＝±4，
当x+3＝4时，x＝2；当x+3＝﹣4时，x＝﹣14，
∴存在，点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；
B．如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．
设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3），
∴PQ＝，
∵B点坐标（0，3），C点坐标（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝，
∵PQ＝BC，
∴，解得：x＝或﹣，
∴存在，点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
3．解：（1）与交于点．
设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，可得，
，，
解得，，
的解析式为
（2）设，
，令，则，令，则
，
又
的面积是面积的2倍，
即
解得或
或
（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，
或
当过点C（2,4）时,将点C坐标代入y=kx＋2并解得:k=l,
或或1
4．
（1）解：不变，理由是：
一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B，
则点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3），
∴．
（2）解：∵
=
∴
=
解得m=-3．
5.(1)解：设该一次函数的解析式为：y＝kx+b，
将A（2，4），B（﹣2，0）代入该一次函数解析式，得，
解得，
∴该一次函数的解析式为：y＝x+2．
(2)解：如图，连接OA，过点A作AF⊥y轴于点F，
∵一次函数y＝x+2与y轴交于点C，
∴C（0，2），
∴AF＝2，OC＝2，
∴S△AOC＝ AF OC＝×2×2＝2．
(3)解：∵DE⊥x轴，D（m，0），
∴E（m，m+2），
∴DE＝|m+2|＝6，
解得m＝﹣8或4．
∴m的值为4或﹣8．
6.（1）解：令y1=-x+3中y=0，得x=3，∴A（3，0），
∴OA=3，
当-x+3=2x时，得x=1，
∴y=2，
∴B（1，2），
∴S△AOB=；
（2）由图象得：当x<1时，；
（3）设点C的坐标为（m，2m），
∵轴交直线AB于点D．
∴D（3-2m，2m），
∵,
∴CD=2，
∴，
解得m=或m=，
∴点C的坐标为（，）或（，）．
7.（1）解：将点，点代入一次函数得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：∵点是线段上的一个动点（不与，重合），
设点的横坐标为，过点作轴，
∴点坐标为，
∴的面积：
，
∴的面积与之间的函数关系式为．
（3）解：①．理由如下：
当的面积时，
，
解得：，
∴F点坐标为，
∵轴，
∴在中，，
∵在中，，
∴．
②存在，点的坐标为或．
详解如下：过点作轴，过点作，过点作轴，分两种情况：
情况一：∵是等腰直角三角形
∴，
∴
∴
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即；
情况二：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
8.(1)解：当x＝3时，y＝x+2＝4，
∴B点坐标为（3，4）．
直线y1＝kx+b经过A（5，0）和B（3，4），
则，
解得：，
∴一次函数y1＝kx+b（k≠0）的解析式为y1＝﹣2x+10；
(2)解：由图像以及B（3，4）可知，x＜3时，y1＞y2；
(3)解：设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2），
∴CE＝m+2，CD＝2m﹣10，
∵CE＝3CD，
∴m+2＝3（2m﹣10），解得m＝6．
∴D（6，﹣2），E（6，6），
∴DE＝8．
9.解：（1）一次函数y＝﹣x+4的图象经过点A（m，2），
得﹣m+4＝2，
解得m＝，
∵一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于点E，F．
∴当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3即E（3，0）；
当x＝0时，y＝4，即F（0，4）；
（2）把点A（，2）一次函数y＝kx﹣4，得2＝k﹣4，解得k＝4，
y＝4x﹣4，当y＝0时，x＝1，即P（1，0）．
PE＝3﹣1＝2，
S△APE＝×2×2＝2；
（3）存在Q点，B点是x轴上的动点，点Q是直线y＝﹣x+4上的点，设Q（m，n）．
由两点间的距离，得AE＝＝ ，AP＝＝，PE＝2．
①当点A与点B为对应顶点时，
∵△APE≌△BQE，
∴S△BQE＝S△APE＝2，
∴BE×|n|＝2．
∵BE＝AE＝，
∴|n|＝，n＝±．
当n＝时，﹣x+4＝，解得m＝，即Q1（，）；
当n＝﹣时，﹣x+4＝﹣，解得m＝ ，即Q2（，﹣）；
②当点A与点Q为对应顶点时，∵△APE≌△QBE，
则n＝﹣2，把n＝﹣2代入y＝﹣x+4得m＝ ，
∴Q3（，﹣2），
综上所述：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．
故答案为（1）m＝，E（3，0）；F（0，4）；（2）S△APE＝2；（3）Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．
10.解：(1)由题意得：
将和点代入，
即：
，即，
;
（2）如图所示：
作轴，
,
在和中，
,
,
C点坐标为.
(3)作轴,并延长至点F使得,过F点作FH⊥y轴，垂足为H
连接交x轴与点P,此时有最小值即BF，
,
有最小值即.
11.解：∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
根据勾股定理可得AB＝=5，
如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，
设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝3+5＝8，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
∴m＝﹣6；
如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，
设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝5﹣3＝2，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，
∴（4﹣m）2＝m2+22，
∴m＝；
综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为（﹣6，0）或（，0），
故答案为：（﹣6，0）或（，0）．
12.解：(1)设直线的解析式为，
∵直线经过点A(1，5)，B(4，2)，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
(2)联立，
解得：，
∵过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为C、D，如图：
观察图像可知当时，直线在直线上方，点位于点上方，
故答案为：．
13.（1）解：∵一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点，∴，解得，一次函数的解析式为；
（2）解：设，，，，当的面积为6时，，解得或，或．
14．（1）解：把点代入得：
，
∴点M（1，3），
设直线MC的解析式为，
把点M（1，3），代入得：
，解得：，
∴直线MC的解析式为；
（2）解：对于，
当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2，
∴点A（-2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
设点P（a，0），则AP=a+2，PC=-a，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为．
15.（1）解：令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
（2）解：∵点B的坐标为（0，3）．
∴OB=3，
设OC＝x，则AC＝CB＝4﹣x，
∵∠BOA＝90°，
∴OB2+OC2＝CB2，
32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴OC＝．
（3）解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设P点坐标为（x，0），则，，
当PA＝PB时，，
解得x＝；
当PA＝AB时，，解得x＝9或x＝﹣1；
当PB＝AB时，，解得x＝﹣4或x=4（舍去）．
∴P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）．
16.解：（1）当时，，
当时，，
解得：，
点坐标为，点坐标为，
（2）点是线段上的一个动点（不与，重合），设点的横坐标为，
过点作轴，
点坐标为，
的面积，
即；
（3）OF=AB．理由如下：
当的面积时，
，
解得：，
点坐标为，
在中，，
在中，，
；
17.(1)解：∵正比例函数的图象过点，
，解得，
∴正比例函数的表达式为；
又∵一次函数的图象过点，
，
，
∴一次函数的表达式为；
(2)解：①根据题意得：点、点横坐标都为，且点G、F分别在直线，上，
∴点的坐标为，的坐标为，
，
；
②∵点，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
若点在点上方，
，
解得；
；
若点在点下方，
，
解得，
．
∴当的长为4时，点的坐标为或
18.（1）解：令x=0，则y=2，
令y=0，则，解得：x=-3，
∴点A（-3，0），B（0，2）；
（2）解：把点B（0，2），代入，得：
，解得：，
∴直线的表达式为y=-x+2；
（3）解：∵点，
∴点，
∴，
∵点B（0，2），
∴OB=2，
∵EF＝OB，
∴，解得：．
19.解：（1）联立，
解得：，
则点P坐标为（，）；
（2）由图象可得，当y1＞y2时，x＞；
（3）设点M（t，t），N（t，-2t-2），
则MN=|t-（-2t-2）|=4，
解得：t=或t=-2．
20.解：（1）∵，
∴当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x＝ 4，
即点A的坐标是（ 4，0），点B的坐标是（0，2），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（4，0），
∴OA＝4，OC＝4，OB＝2，
由勾股定理得：BC＝＝2．
故答案为：（ 4，0），（0，2），2．
（2）当P的坐标是（2 4，0）时，△APQ≌△CBP，
理由是：∵OA＝4，P（2 4，0），
∴AP＝4＋2 4＝2＝BC，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∠BAO＋∠AQP＋∠APQ＝180°，
∠APQ＋∠BPQ＋∠BPC＝180°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴当P的坐标是（2 4，0）时，△APQ≌△CBP；
（3）分为三种情况：
①当PB＝PQ时，由（2）知，△APQ≌△CBP，
∴PB＝PQ，
即此时P的坐标是（2 4，0）；
②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BAO＝∠BPQ，
∴∠BAO＝∠BQP，
而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴此种情况不存在；
③当QB＝QP时，则∠BPQ＝∠QBP＝∠BAO，
即BP＝AP，
设此时P的坐标是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2＝OP2＋OB2，
∴（x＋4）2＝x2＋22，
解得：x＝ ，
即此时P的坐标是（ ，0）．
∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2 4，0）或（ ，0）．
21.(1)解：令y＝0，则x+3＝0，
∴x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴C（0，3）；
(2)解：如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．
设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3）
∵B点坐标（0，3），C点坐标（3，0），
∴BC＝3，
∵PQ＝BC，
∴|x+3﹣（﹣x+3）|＝3，
解得：x＝2或﹣2，
∴存在，点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）
(3)解：存在，理由如下：
∵A（﹣6，0），B（0，3），
∴AB＝3，
当以A为等腰三角形的顶点时，
AB＝AM＝3，
∴M（﹣6+3，0）或（﹣6﹣3，0）；
②当以B为等腰三角形的顶点时，
AB＝BM，
∴M点与A点关于y轴对称，
∴M（6，0）；
③当以M为等腰三角形的顶点时，
MA＝MB，
设M（m，0），
∴（m+6）2＝m2+9，
∴m＝﹣，
∴M（﹣，0）；
综上所述：M点的坐标为（﹣6+3，0）或（﹣6﹣3，0）或（6，0）或（﹣，0）．