浙教版八年级数学上册试题 2.3等腰三角形的性质与判定 （含答案）

等腰三角形的性质与判定
一、单选题
1．用一条长为16cm的细绳首尾连接围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
2．等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．100°或80°
3．一个等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在等腰中，，平分交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD
6．如图，在中，，点在边上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
8．在中，，，边、上的高、交点．若，则的长为　　
A．1 B． C． D．
9．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．若
CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（ ）
A．90° B．95° C．105° D．110°
10．如图所示，在等腰中，，，直线过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，若，，则的长为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
11．若，则以、为边长的等腰三角形的周长为________．
12．已知等腰三角形的两边长分别为1和4，则第三边长为__________．
13．如图，△ABC中，AB=AC，AD=AE，BD=3cm，DE=4cm，则CD=__________cm．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC=4，则BD=_____．
15．如图，在中，AB＝AC，AD，CE是的两条中线，AD＝5，CE＝6，P是AD上一个动点，BP＋EP的最小值是______．
16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是__．
17．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，且BC＝BD，AC＝AE，则∠DCE的度数为 _____．
18．如图所示，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N再分别以MN为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的有________．
①AD是的平分线；②；③点D在AB的中垂线上；④
三、解答题
19．已已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b-5）2+（c-7）2=0，a为方程|a-3|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
20．如图，已知，点E在AB边上，若，求∠BCE的度数．
21．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．
22．如图在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．
(1)说明的理由；
(2)联结，那么与的位置关系是 　　，请说明理由．
23．在等边中，点D、E分别是边、上的点（不与A、B、C重合），点P是平面内一动点．设，，．
(1)若点P在边上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则_______（用含的代数式表示）
(2)若点P在的外部，如图（2）所示．则、、之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
【问题情境】兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图1，在△ABC中， AB＝16，AC＝10，求BC边上的中线AD的取值范围．经过小组合作交流，卓越小组得到了如下的解决方法：延 AD至点E，使DE＝AD，连接BE．勤思小组得到的方法是，过点B作直线AC的平行线BE，并交AD的延长线于点E．请结合两个小组提供的方法思考：
(1)图1中，BC边上的中线AD长度的取值范围是 ；
(2)【灵活运用】如图 2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)【拓展延伸】如图3，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，若AB＝10，CF＝4，DF＝6，求证∠EDF＝∠BAE．
答案
一、单选题
1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D
7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空题
11．17
12．4
13．7
14．2
15．6
16．∠1＝2∠2．
17．45°
18．①②③④
三、解答题
19．△ABC的周长为17，△ABC是等腰三角形．
解：∵（b-5）2+（c-7）2=0，
∴，
解得，
∵a为方程|a-3|=2的解，
∴a=5或1，
当a=1，b=5，c=7时，1+5＜7，
不能组成三角形，故a=1不合题意；
∴a=5，
∴△ABC的周长=5+5+7=17，
∵a=b=5，
∴△ABC是等腰三角形．
20．
解： ∵△ABC≌△DEC，
∴ 而，
∴∠CEB=∠B=700
∴∠BCE=．
21．
解：甲、乙两同学的方案都可行．
理由如下：
甲同学方案：在△ABO和△CDO中，
，
∴，
∴AB＝CD；
乙同学方案：
∵AD＝CD，DB⊥AC于点B，
∴AB＝BC，
∴测量出线段BC的长度就是池塘两端A，B之间的距离，
∴甲、乙两同学的方案都可行．
22．
(1)证明：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
23．
(1)解：如图（1），
是等边三角形，
，
，
，，
，
．
故答案是：；
(2)
理由如下：如图（2），设与交于点F，
为的外角，
．
为的外角，
，
24．
(1)解：延长AD到点E，使AD=DE，连接BE，如图，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠EDB，DC=DB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=10，
在△ABE中，AB-BE即16-10<2AD<16+10，
∴3故答案为：3(2)解： AD=AB+DC．理由如下：
如图，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠F，
∵点E为BC的中点，
∴CE=BE，
在△ABE和△FCE中，
∵∠AEB=∠FEC，∠BAE=∠F，BE=CE
∴△ABE=△FCE（AAS），
∴CF=AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠FAD，
∴∠FAD=∠F，
∴AD=DF，
∵DC+CF=DF，
∴DC+AB=AD；
（3）证明：如图，延长AE交CF的延长线于点G
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，
∵∠BAE=∠G，∠AEB=∠GEC，BE=CE，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB=GC=10，∠BAE=∠G，
∵CF=4，
∴FG=CG-CF=6，
∵DF=6，
∴FD=FG，
∴∠EDF=∠G，
∴∠EDF=∠BAE．