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2023-2024学年浙江八年级数学下第二章《一元二次方程》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2022下·浙江宁波·八年级统考期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：A、，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、 ，是一元二次方程，故该选项符合题意；
C、 ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、 ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（本题3分）（2023下·浙江·八年级统考期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的一般形式为求解即可．
【详解】解：由得：，则，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式结构特征是解答的关键．
3．（本题3分）（2017下·浙江嘉兴·八年级阶段练习）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．6或8 B．10或 C．10或8 D．
【答案】B
【分析】由方程可以求出直角三角形的两条边长，再根据勾股定理求三角形的第三边．
【详解】解：解方程
即
得：，，
当6和8是直角三角形的两直角边时，第三边是斜边等于；
当8是斜边时，第三边是直角边，长是
故直角三角形的第三边是10或．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，注意求三角形的边长时，一定注意判断是否能构成三角形的三边．
4．（本题3分）（2012下·浙江绍兴·八年级统考期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把2移项，然后两边同时加上4，即可得出答案．
【详解】解：由，得
，
配方，得
，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解方程，熟练掌握相关知识是解题关键．
5．（本题3分）（2021下·浙江杭州·八年级校联考期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
则k的取值范围是且，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
6．（本题3分）（2023下·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克（）元，月销售利润达8000元.则方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，得到销售单价为时销量为：，再根据：利润（单价成本）数量，列出方程即可得出答案．
【详解】解：售价为时的销量为：，
月销售利润达8000时得：，
故答案选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出数量关系列出方程是解题关键．
7．（本题3分）（2023下·浙江·八年级统考期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（ ）
A．或3 B． C．3 D．或7
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系得出，，根据，，得出，求出，，根据，得出，即可求出结果．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是解题的关键．
8．（本题3分）（2022下·浙江杭州·八年级杭州市丰潭中学校考期中）下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有
①若，则；
②若方程两根为和，则；
③若方程有一个根是，则．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程根的概念判断即可．
【详解】解：①当时，，
则，故①是假命题；
②程两根为和，
，
，故②是真命题；
③方程有一个根是，
，
，
，
，故③是真命题；
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程根的概念是解题的关键．
9．（本题3分）（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程有两个实数根，得到，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可．
【详解】解：设方程的两个根为，则，
∴，
∴解得，
又方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查根与判别式以及根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，列出不等式，是解题的关键．
10．（本题3分）（2023下·浙江温州·八年级校联考期中）欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】D
【分析】在直角中，利用勾股定理列出关系式，把各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即可确定出所求．
【详解】解：在中，
根据勾股定理得：，
，，
，
整理得：，
比较方程，可得是方程的一个正根．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，弄清题意是解本题的关键．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为________________．
【答案】
【分析】依题意，把代入即可得的值．
【详解】解：依题意，把代入，
得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12．（本题3分）（2023下·浙江温州·八年级苍南县灵溪镇第一中学校考阶段练习）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】运用根的判别式求参数即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，整理得，，解得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根据根的情况求参数，掌握根的判别式求参数的计算方法是解题的关键．
13．（本题3分）（2023下·浙江·八年级专题练习）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
【答案】
【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
【详解】由包装盒容积为360cm3可得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了将实际问题转化为一元二次方程，能够利用长方形的体积列出方程是解题关键．
14．（本题3分）（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）设，是方程的两个实数根，则 ．
【答案】
【分析】先利用根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
15．（本题3分）（2023下·浙江丽水·八年级期末）已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是 ．
【答案】或
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．已知可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，可得结论．
【详解】解：若为底边，设，为腰长，则，则，
，
解得：，
此时原方程化为，
，即，
此时三边为，，能构成三角形，
；
若，则或，即方程有一根为，
把代入方程，得，
解得：，
此时方程为，
解得：，，
方程另一根为，
、、能构成三角形，
，综上，的值为或，
故答案为：或．
16．（本题3分）（2023下·浙江温州·八年级校联考阶段练习）已知关于x的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线上，点在直线l下方，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】先利用根判别式得到，则或，即点Q的坐标为或，如图：当点Q在直线上，为两直线的距离，最后求出得到的最小值即可
【详解】解：∵关于x的方程
有两个相等实数根．
，
∴或，
∵点，即Q的坐标为或，
∴点Q所在的直线为或，
∵点在直线的下方，
∴点Q在直线上，如图，E，O，F三点共线，且，，为两直线的距离，
与坐标轴交于，两点，
令，，令，，
，，
，，
，
，
，
，
同理与坐标轴交于，两点，
令，，令，，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根的判别式和垂线段最短，掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解答本题的关键.
17．（本题3分）（2023下·浙江湖州·八年级统考阶段练习）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是长方形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则长方形的面积是 ．
【答案】
【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（2023下·浙江·八年级专题练习）用合适的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）移项后，利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：移项得，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
或
或 ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．（本题8分）（2023下·浙江·八年级校联考期中）在学习了解一元二次方程后老师出示了这样一个题目：
解方程：，小明同学的解答过程如框：
小明的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
方程的解为
【答案】小明的解法错误，解答过程见解析，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，小明的解法错误原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以，据此先把原方程移项，然后提取公因式，再解方程即可．
【详解】解：小明的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以．
正确解答如下：
，
，
或，
解得．
20．（本题8分）（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】(1)该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为
(2)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可；
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可．
【详解】（1）解：设该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
21．（本题8分）（2023下·浙江湖州·八年级校考期中）已知是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)求的取值范围；
(2)已知等腰的底边长为4，若恰好是的两腰长，求m的值和的周长．
【答案】(1)；
(2)，的周长为10．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系．
（1）根据判别式的意义可得；
（2）根据得方程有两个相等的实数解，求得，再根据根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：由题意得方程有两个相等的实数解，
∴，解得，
∴方程为，
∴，
∴的周长为．
22．（本题9分）（2024上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）关于x的一元二次方程有两个实根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当时，若恰好分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长c；
(3)若方程两实根满足，求m的值．
【答案】(1)
(2)斜边长6
(3)
【分析】（1）由题意知，，计算求解即可；
（2）当时，，即，根据，计算求解即可；
（3）由题意知，，则，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
解得：；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
∴斜边长6；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形，因式分解法解一元二次方程等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形是解题的关键．
23．（本题10分）（2022下·浙江·八年级开学考试）已知方程①，和方程②
(1)若方程①的根为，，求方程②的根；
(2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根；
(3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程解得意义，当、是一元二次方程的两根时，，，解题的关键是掌握根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程的解的意义即可求得、的值，即可得到方程②，然后利用 配方法解方程②即可；
（2）根据方程的定义得到，两边同时除以得：，即可得证；
（3）根据题意得，利用根与系数的关系得到：，，进而得到，，可得，即可求解．
【详解】（1）的根为，，
，
解得：，
方程②为：，
，；
（2）当方程①有一根为，
，
两边同时除以得：，
是的根，
是方程②的根；
（3），
，
方程①的根是与，方程②的根是和，
，，，，
，，，
，
．
试卷第1页，共3页
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2023-2024学年浙江八年级数学下第二章《一元二次方程》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2022下·浙江宁波·八年级统考期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（2023下·浙江·八年级统考期末）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（2017下·浙江嘉兴·八年级阶段练习）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．6或8 B．10或 C．10或8 D．
4．（本题3分）（2012下·浙江绍兴·八年级统考期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（2021下·浙江杭州·八年级校联考期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
6．（本题3分）（2023下·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克（）元，月销售利润达8000元.则方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）（2023下·浙江·八年级统考期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（ ）
A．或3 B． C．3 D．或7
8．（本题3分）（2022下·浙江杭州·八年级杭州市丰潭中学校考期中）下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有
①若，则；
②若方程两根为和，则；
③若方程有一个根是，则．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
9．（本题3分）（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（2023下·浙江温州·八年级校联考期中）欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为________________．
12．（本题3分）（2023下·浙江温州·八年级苍南县灵溪镇第一中学校考阶段练习）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
13．（本题3分）（2023下·浙江·八年级专题练习）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
14．（本题3分）（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）设，是方程的两个实数根，则 ．
15．（本题3分）（2023下·浙江丽水·八年级期末）已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是 ．
16．（本题3分）（2023下·浙江温州·八年级校联考阶段练习）已知关于x的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线上，点在直线l下方，则的最小值为 ．
17．（本题3分）（2023下·浙江湖州·八年级统考阶段练习）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是长方形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则长方形的面积是 ．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（2023下·浙江·八年级专题练习）用合适的方法解下列方程：
(1)； (2)．
19．（本题8分）（2023下·浙江·八年级校联考期中）在学习了解一元二次方程后老师出示了这样一个题目：
解方程：，小明同学的解答过程如框：
小明的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
方程的解为
20．（本题8分）（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
21．（本题8分）（2023下·浙江湖州·八年级校考期中）已知是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)求的取值范围；
(2)已知等腰的底边长为4，若恰好是的两腰长，求m的值和的周长．
22．（本题9分）（2024上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）关于x的一元二次方程有两个实根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当时，若恰好分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长c；
(3)若方程两实根满足，求m的值．
23．（本题10分）（2022下·浙江·八年级开学考试）已知方程①，和方程②
(1)若方程①的根为，，求方程②的根；
(2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根；
(3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值．
试卷第1页，共3页
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