2024年浙教版数学八年级下册1.2二次根式的性质课后培优练
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．=±4 B．±=3 C．=-3 D．()2=3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 =4，故选项A错误；
B、±=±3，故选项B错误；
C、=3，故选项C错误；
D、()2=3，故选项D正确 .
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根求解可判断A选项；根据平方根求解可判断B选项；根据可判断C选项；根据可判断D选项.
2．当a<0时，化简的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．a D．-a
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质：，再利用绝对值的性质化简即可得出答案
3．（【全效期末导与练】浙教版数学八下专题1二次根式）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B正确
C、，故选项C错误；
D、不等于，故选项D错误.
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简与运算. 根据可判断A选项；根据及（）可判断B选项；根据(a≥0，b＞0)可判断C选项，根据二次根式的加法就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断D选项.
4．（【全效期末导与练】浙教版数学八下专题1二次根式）已知一次函数：y= - mx +n 的图象经过第二、三、四象限，则化简 的结果是（ ）
A．n B．-m C．2m—n D．m-2n
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限，
∴﹣m＜0，n＜0，
即m＞0，n＜0，
∴m-n＞0，
∴
＝|m﹣n|+|n|
＝m﹣n﹣n
＝m﹣2n，
故答案为：D．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系.根据题意一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限可得﹣m＜0，n＜0，所以，故 ，．
5．我们把形如a+b(a，b为有理数，为最简二次根式)的数叫做型无理数，如2+3是型无理数，则()2是（ ）
A．2型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：，
∴是 型无理数.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法运算化简，由题意可得原式是型无理数.
6．若u，v满足v=， 则u2-uv+v2=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得，与互为相反数，
又因为它们都是非负数，所以
∴2u=v，
∴
∴u=，
∴
故答案为：D.
【分析】依据题意可判定与互为相反数，它们都是非负数，即可得到2u=v，代入等式即可得到u、v的值，从而可解.
7．（2023八下·虎门期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数是小数，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、被开方数含有能开得尽方的数，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、被开方数是分数，不是最简二次根式，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
8．（2023八下·泸水期末）若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴2a-1≤0，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质求出2a-1≤0，再求解即可。
二、填空题
9．已知 则
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴；
则.
故答案为：4.
【分析】根据完全平方公式可得；结合二次根式的性质：（a≥0），即可求解.
10．如果 x≥1，那么化简的结果是 .
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x≥1，
∴1-x≤0；
则；
故答案为： .
【分析】根据题意可得1-x≤0；根据二次根式的性质进行化简即可求解.
11．（2023八下·忻州期中）已知是正整数，是整数，则的最小值是2．那么若是正整数，是大于1的整数，则的最大值与最小值的差是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
又∵是正整数，是大于1的整数，
∴当b=15时，的整数值最大为4，此时b的值最小，
当b=60时，的整数值最小为2，此时b的值最大，
∴的最大值与最小值的差是60-15=45，
故答案为：45.
【分析】根据题意先求出，再根据 是正整数，是大于1的整数，计算求解即可。
12．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
【答案】2027
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
三、解答题
13．（2022八下·思明期中）已知实数a满足a+b﹣4＜0，b＝，当2≤x≤4时，一次函数y＝ax+1（a≠0）的最大值与最小值之差是6，求a的值.
【答案】解：∵b＝＝3，a+b﹣4＜0，
∴a＜1，
①当a＜0时，（2a+1）﹣（4a+1）＝6，
解得：a＝﹣3；
②当0＜a＜1时，（4a+1）﹣（2a+1）＝6，
解得：a＝3（舍去），
综上，a＝﹣3.
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数的性质
【解析】【分析】利用已知条件可求出b的值，解不等式求出a的取值范围，再分情况讨论：当a＜0时；当0＜a＜1时，根据一次函数y＝ax+1（a≠0）的最大值与最小值之差是6，建立关于a的方程，解方程求出a的值.
14．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）已知 与|x-y-3|互为相反数，求 的值．
【答案】解：由题意，得 +|x-y-3|=0，
由非负数的性质，得
解得 ∴
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；实数的相反数
【解析】【分析】根据相反数的性质得出 +|x-y-3|=0， 再根据非负性得出二元一次方程组，解方程组得出x，y的值，再代入原式进行计算，即可得出答案.
15．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21.
设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值
【答案】解：∵，
当的值越大时，即的值越大；
此时n取值越小；
∵是整数，n为正整数，
∴时，n的值最小；
∴n的最小值为3；
当的值越小时，即的值越小；
此时，n取值越大；
又∵是大于1的整数，
∴时，n的值最大；
此时，
解得：n=75；
故n的最小值是3，最大值是75.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）、根据积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）和二次根式的性质：（a≥0）可得；结合题意即可求解.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册1.2二次根式的性质课后培优练
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．=±4 B．±=3 C．=-3 D．()2=3
2．当a<0时，化简的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．a D．-a
3．（【全效期末导与练】浙教版数学八下专题1二次根式）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（【全效期末导与练】浙教版数学八下专题1二次根式）已知一次函数：y= - mx +n 的图象经过第二、三、四象限，则化简 的结果是（ ）
A．n B．-m C．2m—n D．m-2n
5．我们把形如a+b(a，b为有理数，为最简二次根式)的数叫做型无理数，如2+3是型无理数，则()2是（ ）
A．2型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
6．若u，v满足v=， 则u2-uv+v2=（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·虎门期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·泸水期末）若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知 则
10．如果 x≥1，那么化简的结果是 .
11．（2023八下·忻州期中）已知是正整数，是整数，则的最小值是2．那么若是正整数，是大于1的整数，则的最大值与最小值的差是 ．
12．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
三、解答题
13．（2022八下·思明期中）已知实数a满足a+b﹣4＜0，b＝，当2≤x≤4时，一次函数y＝ax+1（a≠0）的最大值与最小值之差是6，求a的值.
14．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）已知 与|x-y-3|互为相反数，求 的值．
15．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21.
设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 =4，故选项A错误；
B、±=±3，故选项B错误；
C、=3，故选项C错误；
D、()2=3，故选项D正确 .
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根求解可判断A选项；根据平方根求解可判断B选项；根据可判断C选项；根据可判断D选项.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质：，再利用绝对值的性质化简即可得出答案
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B正确
C、，故选项C错误；
D、不等于，故选项D错误.
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简与运算. 根据可判断A选项；根据及（）可判断B选项；根据(a≥0，b＞0)可判断C选项，根据二次根式的加法就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限，
∴﹣m＜0，n＜0，
即m＞0，n＜0，
∴m-n＞0，
∴
＝|m﹣n|+|n|
＝m﹣n﹣n
＝m﹣2n，
故答案为：D．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系.根据题意一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限可得﹣m＜0，n＜0，所以，故 ，．
5．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：，
∴是 型无理数.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法运算化简，由题意可得原式是型无理数.
6．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得，与互为相反数，
又因为它们都是非负数，所以
∴2u=v，
∴
∴u=，
∴
故答案为：D.
【分析】依据题意可判定与互为相反数，它们都是非负数，即可得到2u=v，代入等式即可得到u、v的值，从而可解.
7．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数是小数，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、被开方数含有能开得尽方的数，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、被开方数是分数，不是最简二次根式，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴2a-1≤0，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质求出2a-1≤0，再求解即可。
9．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴；
则.
故答案为：4.
【分析】根据完全平方公式可得；结合二次根式的性质：（a≥0），即可求解.
10．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵x≥1，
∴1-x≤0；
则；
故答案为： .
【分析】根据题意可得1-x≤0；根据二次根式的性质进行化简即可求解.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
又∵是正整数，是大于1的整数，
∴当b=15时，的整数值最大为4，此时b的值最小，
当b=60时，的整数值最小为2，此时b的值最大，
∴的最大值与最小值的差是60-15=45，
故答案为：45.
【分析】根据题意先求出，再根据 是正整数，是大于1的整数，计算求解即可。
12．【答案】2027
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
13．【答案】解：∵b＝＝3，a+b﹣4＜0，
∴a＜1，
①当a＜0时，（2a+1）﹣（4a+1）＝6，
解得：a＝﹣3；
②当0＜a＜1时，（4a+1）﹣（2a+1）＝6，
解得：a＝3（舍去），
综上，a＝﹣3.
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数的性质
【解析】【分析】利用已知条件可求出b的值，解不等式求出a的取值范围，再分情况讨论：当a＜0时；当0＜a＜1时，根据一次函数y＝ax+1（a≠0）的最大值与最小值之差是6，建立关于a的方程，解方程求出a的值.
14．【答案】解：由题意，得 +|x-y-3|=0，
由非负数的性质，得
解得 ∴
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；实数的相反数
【解析】【分析】根据相反数的性质得出 +|x-y-3|=0， 再根据非负性得出二元一次方程组，解方程组得出x，y的值，再代入原式进行计算，即可得出答案.
15．【答案】解：∵，
当的值越大时，即的值越大；
此时n取值越小；
∵是整数，n为正整数，
∴时，n的值最小；
∴n的最小值为3；
当的值越小时，即的值越小；
此时，n取值越大；
又∵是大于1的整数，
∴时，n的值最大；
此时，
解得：n=75；
故n的最小值是3，最大值是75.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）、根据积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）和二次根式的性质：（a≥0）可得；结合题意即可求解.
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