2024年浙教版数学八年级下册1.3二次根式的运算课后培优练
一、选择题
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵A、=3，
B、=，
C、=4，
∴这三项都不是最简二次根式，
故选D．
【分析】A、C选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；B选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
2．（2023八下·海曙期末）下列选项中，化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=|2|=2，=|-3|=3，故A、B、D错误，C正确.
故答案为：C.
【分析】二次根式的性质：=|a|，据此判断.
3．（2015八下·杭州期中）化简 ﹣x ，得（ ）
A．（x﹣1 ） B．（1﹣x ）
C．﹣（x+1 ） D．（x﹣1 ）
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵要使 和 有意义，必须x＜0，
∴ ﹣x =﹣x ﹣x （﹣ ）
=﹣x +
=（1﹣x） ，
故选B．
【分析】根据已知式子得出x＜0，再根据二次根式的性质把根号内的因式移入根号外，最后合并即可．
4．（2022八下·乐清期末）当a=5时，二次根式的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当a=5时原式=.
故答案为：A.
【分析】将a=5代入代数式，再利用算术平方根的性质可求出结果.
5．（2022八下·温州期中）若成立，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：，
，
解得，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质可得=|2+x|，由绝对值的非负性结合已知条件可得-x-2≥0，求解可得x的范围.
6．（2023八下·温州期中）如图，已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．a-2 B．-a-2 C．1 D．2-a
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴上的点所表示的数的特点得1
∴，
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点可得17．下列等式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、故选项C正确；
D、故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】选项A直接利用公式计算；选项B的关键是，然后去掉绝对值；选项C将等式两边所给式子同时计算，最终两边计算的结果都等于；选项D先对被开方数化简，然后利用公式计算．
8．（2023八下·新昌月考）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．-2a-b B．2a-b C．-b D．-2a+b
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数图象、性质与系数的关系；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴b-a>0，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数图象经过的象限可得a<0，b>0，则b-a>0，然后根据二次根式的性质进行化简.
二、填空题
9．（2023八下·东阳期末）把化为最简二次根式，结果是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】，然后对分母进行化简即可.
10．（2023八下·拱墅月考）已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是 .
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ＝2 .
∵n是一个正整数， 是整数，
∴n的最小值是3.
故答案为：3.
【分析】＝2，由是整数可得是整数，据此可得n的最小值.
11．（2023八下·杭州月考）当a＝1＋ ，b＝ 时，a2＋b2－2a＋1＝ ．
【答案】5
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ a＝1＋ ，b＝ ，
∴ a2＋b2－2a＋1 =（ a2－2a＋1 ）＋b2=（a-1）2＋b2=(1+-1)2+()2=5.
故答案为：5.
【分析】将待求式子变形为（a-1）2＋b2，然后代入a、b的值计算即可.
12．（2021八下·余杭期中）如果一个三角形的三边长分别为1、k、4.则化简|2k﹣5|﹣＝ .
【答案】3k﹣11
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别为1、k、4，
∴3＜k＜5，
∴2k﹣5＞0，k﹣6＜0，
∴|2k﹣5|﹣＝
=|2k﹣5|﹣|k﹣6|＝2k﹣5﹣（6﹣k）＝3k﹣11；
故答案为：3k﹣11.
【分析】根据三角形三边关系可得3＜k＜5，判断出2k-5、k-6的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质以及合并同类项法则化简即可.
三、解答题
13．（2022八下·金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值： ，其中 .
小明同学是这样计算的：
解： .
当 时，原式 .
小荣同学是这样计算的：
解： .
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
【答案】解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，
错在去掉根号： 应为 .
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据x=9可得x-1=8>0，x-10=-1<0，然后根据绝对值的非负性以及二次根式的性质化简即可.
14．先化简，再求值： ，其中b= ．
【答案】解：由二次根式有意义的条件可 知
∴a=2，∴b=3，
原式=
=
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】利用二次根式的性质，可得到关于a的不等式组，解不等式组求出a的值，即可得到b的值；再将代数式进行化简；然后将a，b的值代入化简后的代数式进行计算.
15．（2023八下·嵩明期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若点 在直线l上，求代数式 的值．
【答案】（1）解：∵y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．
∴ ，
∴ ，
∴直线解析式为y＝x+2，
（2）解：∵点 在在直线l上，
∴ +2＝t，
∴t1＝1+ ，t2＝1- ．
∵ ＝（t2+ ）2-2，
t2+ ＝（t+ ）2-2
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2，
t＝1+ 时，t+ ＝1+ + ＝1+ + -1＝2 ，
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2＝34．
当t＝1- 时，t+ ＝1- + ＝1- -1- ＝-2 ．
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2＝34．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分母有理化；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将代入，解析式，解方程得出t1＝1+ ，t2＝1- 进而分类讨，根据完全平方公式，即可求解．
1 / 12024年浙教版数学八年级下册1.3二次根式的运算课后培优练
一、选择题
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·海曙期末）下列选项中，化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2015八下·杭州期中）化简 ﹣x ，得（ ）
A．（x﹣1 ） B．（1﹣x ）
C．﹣（x+1 ） D．（x﹣1 ）
4．（2022八下·乐清期末）当a=5时，二次根式的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
5．（2022八下·温州期中）若成立，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·温州期中）如图，已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．a-2 B．-a-2 C．1 D．2-a
7．下列等式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·新昌月考）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则（ ）
A．-2a-b B．2a-b C．-b D．-2a+b
二、填空题
9．（2023八下·东阳期末）把化为最简二次根式，结果是 ．
10．（2023八下·拱墅月考）已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是 .
11．（2023八下·杭州月考）当a＝1＋ ，b＝ 时，a2＋b2－2a＋1＝ ．
12．（2021八下·余杭期中）如果一个三角形的三边长分别为1、k、4.则化简|2k﹣5|﹣＝ .
三、解答题
13．（2022八下·金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值： ，其中 .
小明同学是这样计算的：
解： .
当 时，原式 .
小荣同学是这样计算的：
解： .
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
14．先化简，再求值： ，其中b= ．
15．（2023八下·嵩明期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若点 在直线l上，求代数式 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵A、=3，
B、=，
C、=4，
∴这三项都不是最简二次根式，
故选D．
【分析】A、C选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；B选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=|2|=2，=|-3|=3，故A、B、D错误，C正确.
故答案为：C.
【分析】二次根式的性质：=|a|，据此判断.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵要使 和 有意义，必须x＜0，
∴ ﹣x =﹣x ﹣x （﹣ ）
=﹣x +
=（1﹣x） ，
故选B．
【分析】根据已知式子得出x＜0，再根据二次根式的性质把根号内的因式移入根号外，最后合并即可．
4．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当a=5时原式=.
故答案为：A.
【分析】将a=5代入代数式，再利用算术平方根的性质可求出结果.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：，
，
解得，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质可得=|2+x|，由绝对值的非负性结合已知条件可得-x-2≥0，求解可得x的范围.
6．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴上的点所表示的数的特点得1∴，
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点可得17．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、故选项C正确；
D、故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】选项A直接利用公式计算；选项B的关键是，然后去掉绝对值；选项C将等式两边所给式子同时计算，最终两边计算的结果都等于；选项D先对被开方数化简，然后利用公式计算．
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数图象、性质与系数的关系；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴b-a>0，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数图象经过的象限可得a<0，b>0，则b-a>0，然后根据二次根式的性质进行化简.
9．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】，然后对分母进行化简即可.
10．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ＝2 .
∵n是一个正整数， 是整数，
∴n的最小值是3.
故答案为：3.
【分析】＝2，由是整数可得是整数，据此可得n的最小值.
11．【答案】5
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ a＝1＋ ，b＝ ，
∴ a2＋b2－2a＋1 =（ a2－2a＋1 ）＋b2=（a-1）2＋b2=(1+-1)2+()2=5.
故答案为：5.
【分析】将待求式子变形为（a-1）2＋b2，然后代入a、b的值计算即可.
12．【答案】3k﹣11
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别为1、k、4，
∴3＜k＜5，
∴2k﹣5＞0，k﹣6＜0，
∴|2k﹣5|﹣＝
=|2k﹣5|﹣|k﹣6|＝2k﹣5﹣（6﹣k）＝3k﹣11；
故答案为：3k﹣11.
【分析】根据三角形三边关系可得3＜k＜5，判断出2k-5、k-6的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质以及合并同类项法则化简即可.
13．【答案】解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，
错在去掉根号： 应为 .
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据x=9可得x-1=8>0，x-10=-1<0，然后根据绝对值的非负性以及二次根式的性质化简即可.
14．【答案】解：由二次根式有意义的条件可 知
∴a=2，∴b=3，
原式=
=
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】利用二次根式的性质，可得到关于a的不等式组，解不等式组求出a的值，即可得到b的值；再将代数式进行化简；然后将a，b的值代入化简后的代数式进行计算.
15．【答案】（1）解：∵y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，2）．
∴ ，
∴ ，
∴直线解析式为y＝x+2，
（2）解：∵点 在在直线l上，
∴ +2＝t，
∴t1＝1+ ，t2＝1- ．
∵ ＝（t2+ ）2-2，
t2+ ＝（t+ ）2-2
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2，
t＝1+ 时，t+ ＝1+ + ＝1+ + -1＝2 ，
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2＝34．
当t＝1- 时，t+ ＝1- + ＝1- -1- ＝-2 ．
∴ ＝[（t+ ）2-2]2-2＝34．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分母有理化；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将代入，解析式，解方程得出t1＝1+ ，t2＝1- 进而分类讨，根据完全平方公式，即可求解．
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