2024年浙教版数学八年级下册1.3二次根式的运算课后基础练
一、选择题
1．（2020八下·淮滨期末）下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·青秀期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·铁东期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·泗水期末）下列算式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八下·鞍山期末）能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·汕尾）已知，则x的值是（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2022八下·安宁期末）下列无理数中，与相乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八下·微山期末）下列计算结果正确的是（ ）
A．＝3 B．3﹣＝3 C．÷＝2 D．+＝
二、填空题
9．（2019八下·丰润期中）计算： × ＝ .
10．（2023八下·迪庆期末）若最简二次根式能与合并，则的值为 ．
11．（2022八下·安庆期末）在，，中，与是同类二次根式的是 ．
12．（2021八下·灌南期末）已知 与最简二次根式 是同类二次根式，则a的值是 .
三、解答题
13．（2020八下·安庆期中）已知x＝ ( ＋ )，y＝ ( － )，求代数式x2＋xy＋y2的值．
14．（2019八下·丰城期末）已知m＝ ﹣ ，n＝ + ，求代数式m2+mn+n2的值．
15．
（1）如图，若图中小正方形的边长均为1，则△ABC的面积为
（2）思考(1)的解题过程，解决下面的问题：
若，，(其中a，b均为正数)是一个三角形的三条边长，求此三角形的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】A. ，能与 合并；
B. 不能与 合并；
C. ，不能与 合并；
D. 不能与 合并.
故答案为：A.
【分析】先化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答.
2．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、是整数，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
A：，不能计算，选项错误，不合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，不能计算，选项错误，不合题意；
D：，选项错误，不合题意；
故答案为：B.
【分析】本题考查二次根式的加减乘除计算及性质应用。二次根式进行加减计算时，要先把每一项化成最简二次根式，再进行根式的有理数系数的合并。二次根式的乘除计算，把被开方数先进行乘除，再开方，结果要化成最简二次根式。二次根式的性质要熟悉运用。
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】
A：，A错误；
B：，B错误；
C：，C错误；
D：，D正确。
故答案为：D
【分析】
根据二次根式的运算法则进行计算。特别注意(a≥0，b≥0)。
5．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，
A、，不能与合并，A不符合题意；
B、，能与合并，B符合题意；
C、，不能与合并，C不符合题意；
D、，不能与合并，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先根据二次根式的性质把各个二次根式化简成最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；判断即可.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】先移项，再合并同类二次根式即可.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴与相乘积为有理数的是，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法计算方法逐项判断即可。
8．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：×＝3，故A符合题意；
3﹣＝2，故B不符合题意；
÷＝，故C不符合题意；
与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的乘除法和二次根式的加减法逐项判断即可。
9．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 = .
故答案为 .
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简得出答案．
10．【答案】
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：；
x=2；
故答案为：2.
【分析】最简二次根式能合并，则两个二次根式的被开方数相同。
11．【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】，，，
∴与是同类二次根式，
故答案为：．
【分析】利用同类二次根式的定义判断求解即可。
12．【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解： ＝2 ，
∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴2a﹣1＝3，
解得：a＝2，
故答案为：2.
【分析】先将化成最简二次根式，再根据同类二次根式定义列出等式即可得到答案.
13．【答案】∵x＝ ( ＋ )，y＝ ( － )，
∴x＋y＝ ，xy＝ ，
∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝( )2－ ＝ .
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的运算法则求出x+y、xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
14．【答案】解：当m＝ ﹣ ，n＝ + 时，
m2+mn+n2
＝（m+n）2﹣mn
＝ ﹣（ ﹣ ）×（ + ）
＝ ﹣[ ﹣ ]
＝12﹣（3﹣2）
＝12﹣1
＝11．
【知识点】二次根式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】原式利用完全平方公式变形后，将m与n的值代入计算即可求出值．
15．【答案】（1）
（2）构造如图所示的长方形。
设每个单位长方形的长为b．宽为a，
则AB=，AC= ，BC= ．
则△ABC的面积等于大长方形面积与三个直角三角形面积之差，
故S△ABC=5a×2b- ×3a×b-×5a×b- ×2a×25=4ab．
【知识点】二次根式的应用；三角形的面积
【解析】【分析】(1)根据图形可知：△ABC的面积等于以3为边长的正方形面积与三个直角三角洲面积之差，代入数据即可得出结论；
(2)构造以5a为长、2b为宽的矩形，利用(1)的面积的求法，代入数据即可得出结论.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册1.3二次根式的运算课后基础练
一、选择题
1．（2020八下·淮滨期末）下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】A. ，能与 合并；
B. 不能与 合并；
C. ，不能与 合并；
D. 不能与 合并.
故答案为：A.
【分析】先化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答.
2．（2023八下·青秀期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、是整数，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断.
3．（2023八下·铁东期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
A：，不能计算，选项错误，不合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，不能计算，选项错误，不合题意；
D：，选项错误，不合题意；
故答案为：B.
【分析】本题考查二次根式的加减乘除计算及性质应用。二次根式进行加减计算时，要先把每一项化成最简二次根式，再进行根式的有理数系数的合并。二次根式的乘除计算，把被开方数先进行乘除，再开方，结果要化成最简二次根式。二次根式的性质要熟悉运用。
4．（2023八下·泗水期末）下列算式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】
A：，A错误；
B：，B错误；
C：，C错误；
D：，D正确。
故答案为：D
【分析】
根据二次根式的运算法则进行计算。特别注意(a≥0，b≥0)。
5．（2023八下·鞍山期末）能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，
A、，不能与合并，A不符合题意；
B、，能与合并，B符合题意；
C、，不能与合并，C不符合题意；
D、，不能与合并，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先根据二次根式的性质把各个二次根式化简成最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；判断即可.
6．（2023八下·汕尾）已知，则x的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】先移项，再合并同类二次根式即可.
7．（2022八下·安宁期末）下列无理数中，与相乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴与相乘积为有理数的是，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法计算方法逐项判断即可。
8．（2022八下·微山期末）下列计算结果正确的是（ ）
A．＝3 B．3﹣＝3 C．÷＝2 D．+＝
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：×＝3，故A符合题意；
3﹣＝2，故B不符合题意；
÷＝，故C不符合题意；
与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的乘除法和二次根式的加减法逐项判断即可。
二、填空题
9．（2019八下·丰润期中）计算： × ＝ .
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 = .
故答案为 .
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简得出答案．
10．（2023八下·迪庆期末）若最简二次根式能与合并，则的值为 ．
【答案】
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：；
x=2；
故答案为：2.
【分析】最简二次根式能合并，则两个二次根式的被开方数相同。
11．（2022八下·安庆期末）在，，中，与是同类二次根式的是 ．
【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】，，，
∴与是同类二次根式，
故答案为：．
【分析】利用同类二次根式的定义判断求解即可。
12．（2021八下·灌南期末）已知 与最简二次根式 是同类二次根式，则a的值是 .
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解： ＝2 ，
∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴2a﹣1＝3，
解得：a＝2，
故答案为：2.
【分析】先将化成最简二次根式，再根据同类二次根式定义列出等式即可得到答案.
三、解答题
13．（2020八下·安庆期中）已知x＝ ( ＋ )，y＝ ( － )，求代数式x2＋xy＋y2的值．
【答案】∵x＝ ( ＋ )，y＝ ( － )，
∴x＋y＝ ，xy＝ ，
∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝( )2－ ＝ .
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的运算法则求出x+y、xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
14．（2019八下·丰城期末）已知m＝ ﹣ ，n＝ + ，求代数式m2+mn+n2的值．
【答案】解：当m＝ ﹣ ，n＝ + 时，
m2+mn+n2
＝（m+n）2﹣mn
＝ ﹣（ ﹣ ）×（ + ）
＝ ﹣[ ﹣ ]
＝12﹣（3﹣2）
＝12﹣1
＝11．
【知识点】二次根式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】原式利用完全平方公式变形后，将m与n的值代入计算即可求出值．
15．
（1）如图，若图中小正方形的边长均为1，则△ABC的面积为
（2）思考(1)的解题过程，解决下面的问题：
若，，(其中a，b均为正数)是一个三角形的三条边长，求此三角形的面积．
【答案】（1）
（2）构造如图所示的长方形。
设每个单位长方形的长为b．宽为a，
则AB=，AC= ，BC= ．
则△ABC的面积等于大长方形面积与三个直角三角形面积之差，
故S△ABC=5a×2b- ×3a×b-×5a×b- ×2a×25=4ab．
【知识点】二次根式的应用；三角形的面积
【解析】【分析】(1)根据图形可知：△ABC的面积等于以3为边长的正方形面积与三个直角三角洲面积之差，代入数据即可得出结论；
(2)构造以5a为长、2b为宽的矩形，利用(1)的面积的求法，代入数据即可得出结论.
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