2024年浙教版数学八年级下册2.1一元二次方程课后提高练
一、选择题
1．（2023八下·拱墅期中）方程3x2-2x-6＝0，一次项系数为（ ）
A．-2 B．-2x C．-6 D．6
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵3x2-2x-6=0，
∴一次项系数为-2.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
2．（2023八下·洞头期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的概念可得：x2=2+3x属于一元二次方程.
故答案为：A.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
3．若关于x的方程(m-1)x2-2x+1=0是一元二次方程，则m满足的条件是（ ）
A．m=1 B．m≠1 C．m>1 D．m<2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程(m-1)x2-2x+1=0是一元二次方程 ，
∴m-1≠0，
解得：m≠1.
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），据此解答即可.
4．（2023八下·淮北期末）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ）
A． B． C．x D．1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】由题意可知，m=3，∴-4x+mx=-4x+3x=-x，∴一次项是-x，故A符合题意；
故选A.
【分析】本题考查方程的项的概念，且要注意写方程的每一项时都不要忘记前面的符号.
5．（2023八下·长沙期末）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设宽为x步，由题意得，
故答案为：D
【分析】设宽为x步，根据“一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步”结合题意即可求解。
6．（2023八下·深圳期末）从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿坚拿都进不去，横着比城门宽米，坚着比城门高米，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度.若设竹竿长米，则根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为x米.
题意知道了：横竖都拿不进去
列出方程为：.
故答案为：B.
【分析】用x设出竹竿的长度，且横竖都拿不进去，根据门框的长与宽的平方等于竹竿长的平方，可列出方程.
7．（2023八下·温州期中）如图，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道面积是30．设观花道的直角边为x，则可列方程为（ ）
A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60
C．（10-x）（9-x）＝30 D．（10-x）（9-x）＝60
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设观花道的直角边为x ，观察图形，可知油菜花田地的面积是60，可列方程：
（10-x）（9-x）=10×9-30，即（10-x）（9-x）=60，
故答案为：D.
【分析】根据题意，可将观花道两侧的油菜花田地平移，得到一个新的矩形，新矩形的长为（10-x）m，宽为（9-x）m，再根据油菜花田地的面积为60m2，列出方程。
8．（2023八下·金寨期中）根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（ ）
x 1 4
0.06 0.02
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由表格可知， 一元二次方程 的一个解的取值范围是：-1＜x＜1，
故答案为：C.
【分析】根据所给的表格中的数据，观察求解即可。
二、填空题
9．（2022八下·嘉兴期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为﹣1．这个一元二次方程可以是 （写出一个即可）．
【答案】x2+2x+1=0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵设这个方程为（x+ a）（x+b）=0，
∵一元二次方程有一根为-1，
∴有一个因式为x+1，
∵常数项不为0，
可设另一个因式为：x+1，
则(x+1)(x+1)=0，即x2+2x+1=0.
故答案为：x2+2x+1=0.
【分析】设这个方程为（x+ a）（x+b）=0，根据一元二次方程有一根为-1，得出该方程有一个因式为x+1，结合常数项不为0，则b取不为零的数，即可解答.
10．（2022八下·杭州开学考）若方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，则代数式m2﹣m+5＝ ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，
∴m2﹣m﹣1＝0
∴m2﹣m=1
∴m2﹣m+5＝1+5=6
故答案为：6.
【分析】将x=m代入方程，可得到m2﹣m=1；再整体代入可求出此代数式的值.
11．（2023八下·义乌期中）若a是方程2x2-4x+1＝0的一个根，则代数式2021-2a2+4a的值为 ．
【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是方程2x2-4x+1＝0的一个根，
∴2a2-4a=-1，
∴2021-2a2+4a=2021-(2a2-4a)=2021-(-1)=2022.
故答案为：2022.
【分析】根据方程解的概念，将x=a代入方程中可得2a2-4a=-1，将待求式变形为2021-(2a2-4a)，然后代入进行计算.
12．（2023八下·瓯海期中）关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝-2，x2＝3.则方程a（x-2）2+b（x-2）+2＝0的两根分别为 .
【答案】x1＝0，x2＝5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把方程a（x-2）2+b（x-2）+2＝0看作关于（x-2）的一元二次方程，
∵关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝-2，x2＝3，
∴x-2＝-2或x-2＝3，
解得x＝0或x＝5，
∴方程a（x-2）2+b（x-2）+2＝0的两根分别为x1＝0，x2＝5.
故答案为：x1＝0，x2＝5.
【分析】由题意可得方程的解为x-2＝-2或x-2＝3，求解可得x的值.
三、解答题
13．已知关于x的方程1=0.
（1）当m取何值时，该方程是一元二次方程
（2）当 m取何值时，该方程是一元一次方程
【答案】（1）解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m+1≠0，m2+1=2
即m≠-1，m=±1，
故m的值为：1；
即m=1时，原方程是一元二次方程.
（2）解：∵关于x的方程是一元一次方程，
且m2+1≥1，
当m2+1=1时，即m=0，
则原方程为：x-3x-1=0，
整理得：-2x-1=0；
当m2+1＞1时，令，
即m+1=0，
∴m=-1，
则原方程为：0-4x-1=0，
整理得：-4x-1=0；
综上，当m=-1或0时，原方程是一元一次方程.
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），可得m+1≠0，m2+1=2，计算即可求解；
（2）根据m2+1≥1，结合只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，分情况分析即可求解.
14．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x.
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
（3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，求较短的一段的长x.
【答案】（1）解：设正方形的边长为x，根据题意得
∴4x2=25
化为一般形式为4x2-25=0
（2）解：设长方形的长为x，由题意得
x(x-2)=100，
化成一般形式为x2-2x-100=0
（3）解：设较短的一段的长x，根据题意得
x=(1-x)2，
化成一般形式为
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据4个完全相同的正方形的面积之和是25，据此可得到关于x的方程.
（2）利用长方形的面积等于长×宽，据此列方程即可.
（3）抓住关键已知条件：较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，据此列方程即可.
15．阅读题：一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0，c≠0）的二根为x1和x2，请构造一个新的一元二次方程，使方程的二根适是原方程二根的3倍．数学老师张老师给出了一种方法是：设新方程的根是y，则y=3x，得x=代入原方程得 变形得ay2+3by+9c=0此方程即为所求，这种利用方程根的代换求方程的方法叫换根法．解答：
（1）已知方程x2+x﹣2=0，求一个新方程使它的根分别是已知方程的相反数，所求方程为．
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程根的倒数．
【答案】解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，则x=﹣y．
把x=﹣y代入已知方程x2+x﹣2=0，
得 （﹣y）2+（﹣y）﹣2=0．
化简得：y2﹣y﹣2=0．
故答案是：y2﹣y﹣2=0．
（2）设所求方程的根为y，则y=，所以x=，
把x=代入已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）得
a（）2+b +c=0，
去分母，得 a+by+cy2=0．
若c=0，则ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为0，不符合题意．
∴c≠0，
故所求的方程为：cy2+by+c=0（c≠0）．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，则x=﹣y．将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可；
（2）设所求方程的根为y，则y=，将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可．
1 / 12024年浙教版数学八年级下册2.1一元二次方程课后提高练
一、选择题
1．（2023八下·拱墅期中）方程3x2-2x-6＝0，一次项系数为（ ）
A．-2 B．-2x C．-6 D．6
2．（2023八下·洞头期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的方程(m-1)x2-2x+1=0是一元二次方程，则m满足的条件是（ ）
A．m=1 B．m≠1 C．m>1 D．m<2
4．（2023八下·淮北期末）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ）
A． B． C．x D．1
5．（2023八下·长沙期末）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八下·深圳期末）从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿坚拿都进不去，横着比城门宽米，坚着比城门高米，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度.若设竹竿长米，则根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023八下·温州期中）如图，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道面积是30．设观花道的直角边为x，则可列方程为（ ）
A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60
C．（10-x）（9-x）＝30 D．（10-x）（9-x）＝60
8．（2023八下·金寨期中）根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（ ）
x 1 4
0.06 0.02
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022八下·嘉兴期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为﹣1．这个一元二次方程可以是 （写出一个即可）．
10．（2022八下·杭州开学考）若方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，则代数式m2﹣m+5＝ ．
11．（2023八下·义乌期中）若a是方程2x2-4x+1＝0的一个根，则代数式2021-2a2+4a的值为 ．
12．（2023八下·瓯海期中）关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝-2，x2＝3.则方程a（x-2）2+b（x-2）+2＝0的两根分别为 .
三、解答题
13．已知关于x的方程1=0.
（1）当m取何值时，该方程是一元二次方程
（2）当 m取何值时，该方程是一元一次方程
14．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x.
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
（3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，求较短的一段的长x.
15．阅读题：一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0，c≠0）的二根为x1和x2，请构造一个新的一元二次方程，使方程的二根适是原方程二根的3倍．数学老师张老师给出了一种方法是：设新方程的根是y，则y=3x，得x=代入原方程得 变形得ay2+3by+9c=0此方程即为所求，这种利用方程根的代换求方程的方法叫换根法．解答：
（1）已知方程x2+x﹣2=0，求一个新方程使它的根分别是已知方程的相反数，所求方程为．
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程根的倒数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵3x2-2x-6=0，
∴一次项系数为-2.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的概念可得：x2=2+3x属于一元二次方程.
故答案为：A.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程(m-1)x2-2x+1=0是一元二次方程 ，
∴m-1≠0，
解得：m≠1.
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），据此解答即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】由题意可知，m=3，∴-4x+mx=-4x+3x=-x，∴一次项是-x，故A符合题意；
故选A.
【分析】本题考查方程的项的概念，且要注意写方程的每一项时都不要忘记前面的符号.
5．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设宽为x步，由题意得，
故答案为：D
【分析】设宽为x步，根据“一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步”结合题意即可求解。
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为x米.
题意知道了：横竖都拿不进去
列出方程为：.
故答案为：B.
【分析】用x设出竹竿的长度，且横竖都拿不进去，根据门框的长与宽的平方等于竹竿长的平方，可列出方程.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设观花道的直角边为x ，观察图形，可知油菜花田地的面积是60，可列方程：
（10-x）（9-x）=10×9-30，即（10-x）（9-x）=60，
故答案为：D.
【分析】根据题意，可将观花道两侧的油菜花田地平移，得到一个新的矩形，新矩形的长为（10-x）m，宽为（9-x）m，再根据油菜花田地的面积为60m2，列出方程。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由表格可知， 一元二次方程 的一个解的取值范围是：-1＜x＜1，
故答案为：C.
【分析】根据所给的表格中的数据，观察求解即可。
9．【答案】x2+2x+1=0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵设这个方程为（x+ a）（x+b）=0，
∵一元二次方程有一根为-1，
∴有一个因式为x+1，
∵常数项不为0，
可设另一个因式为：x+1，
则(x+1)(x+1)=0，即x2+2x+1=0.
故答案为：x2+2x+1=0.
【分析】设这个方程为（x+ a）（x+b）=0，根据一元二次方程有一根为-1，得出该方程有一个因式为x+1，结合常数项不为0，则b取不为零的数，即可解答.
10．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，
∴m2﹣m﹣1＝0
∴m2﹣m=1
∴m2﹣m+5＝1+5=6
故答案为：6.
【分析】将x=m代入方程，可得到m2﹣m=1；再整体代入可求出此代数式的值.
11．【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是方程2x2-4x+1＝0的一个根，
∴2a2-4a=-1，
∴2021-2a2+4a=2021-(2a2-4a)=2021-(-1)=2022.
故答案为：2022.
【分析】根据方程解的概念，将x=a代入方程中可得2a2-4a=-1，将待求式变形为2021-(2a2-4a)，然后代入进行计算.
12．【答案】x1＝0，x2＝5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把方程a（x-2）2+b（x-2）+2＝0看作关于（x-2）的一元二次方程，
∵关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝-2，x2＝3，
∴x-2＝-2或x-2＝3，
解得x＝0或x＝5，
∴方程a（x-2）2+b（x-2）+2＝0的两根分别为x1＝0，x2＝5.
故答案为：x1＝0，x2＝5.
【分析】由题意可得方程的解为x-2＝-2或x-2＝3，求解可得x的值.
13．【答案】（1）解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m+1≠0，m2+1=2
即m≠-1，m=±1，
故m的值为：1；
即m=1时，原方程是一元二次方程.
（2）解：∵关于x的方程是一元一次方程，
且m2+1≥1，
当m2+1=1时，即m=0，
则原方程为：x-3x-1=0，
整理得：-2x-1=0；
当m2+1＞1时，令，
即m+1=0，
∴m=-1，
则原方程为：0-4x-1=0，
整理得：-4x-1=0；
综上，当m=-1或0时，原方程是一元一次方程.
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），可得m+1≠0，m2+1=2，计算即可求解；
（2）根据m2+1≥1，结合只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，分情况分析即可求解.
14．【答案】（1）解：设正方形的边长为x，根据题意得
∴4x2=25
化为一般形式为4x2-25=0
（2）解：设长方形的长为x，由题意得
x(x-2)=100，
化成一般形式为x2-2x-100=0
（3）解：设较短的一段的长x，根据题意得
x=(1-x)2，
化成一般形式为
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据4个完全相同的正方形的面积之和是25，据此可得到关于x的方程.
（2）利用长方形的面积等于长×宽，据此列方程即可.
（3）抓住关键已知条件：较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，据此列方程即可.
15．【答案】解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，则x=﹣y．
把x=﹣y代入已知方程x2+x﹣2=0，
得 （﹣y）2+（﹣y）﹣2=0．
化简得：y2﹣y﹣2=0．
故答案是：y2﹣y﹣2=0．
（2）设所求方程的根为y，则y=，所以x=，
把x=代入已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）得
a（）2+b +c=0，
去分母，得 a+by+cy2=0．
若c=0，则ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为0，不符合题意．
∴c≠0，
故所求的方程为：cy2+by+c=0（c≠0）．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，则x=﹣y．将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可；
（2）设所求方程的根为y，则y=，将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可．
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