2024年浙教版数学八年级下册2.1一元二次方程课后培优练
一、选择题
1．（2022八下·杭州期中）下列关于 的方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中一元二次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①当a=0且b≠0时，此方程是一元一次方程；
② 此方程是一元二次方程；
③ 此方程是分式方程；
④ 此方程是一元三次方程；
⑤ 即-12x+12=0是一元一次方程；
⑥，此方程是是一元一次方程；
其中一元二次方程有②.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程满足的条件：1、含有一个未知数；2、含未知数项的最高次数是2次；3、是整式方程；再对各选项逐一判断可得答案.
2．（2015八下·萧山期中）把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A．2、3、﹣1 B．2、﹣3、﹣1
C．2、﹣3、1 D．2、3、1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：原方程可整理为：
2x2﹣3x﹣1=0，
∴a=2，b=﹣3，c=﹣1；
故选B．
【分析】首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定a、b、c的值．
3．（2023八下·舟山期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．1或 C． D．0.5
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴a-1≠0且a2-1=0，
∴a=-1.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的概念以及根的概念可得a-1≠0且a2-1=0，求解即可.
4．（2023八下·江北期末）某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的．若设这种放射性元素质量的日平均减少率为，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，某放射性元素经1天后的质量为，
某放射性元素经2天后的质量为，
∵某放射性元素经2天后的质量为原来的，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据等量关系质量衰为原来的，列一元二次方程即可求解.
5．（2022八下·温州期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x-m=0的一个根是x=2，则m的值为（ ）
A．-10 B．-2 C．2 D．10
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝2为x2+3x-m=0的一个根，
∴22+3×2-m＝0，
解得：m＝10.
故答案为：D.
【分析】把x＝2代入一元二次方程可得m的一元一次方程，解方程即可求得m的值.
6．（2023八下·福州期末）某市要组织一次篮球联赛，比赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，若设有支球队参加比赛，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设有x支球队参加比赛，由题意可得x(x-1)=45.
故答案为：B.
【分析】根据球队数×(球队数-1)÷2=比赛的场数就可列出方程.
7．（2023八下·杭州期中）如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则以下方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，
依题意，得：x(20+4x+12+4x)=40，即32x+8x2=40.
故答案为：B.
【分析】设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解.
8．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= ，则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】设AD=x根据勾股定理，得（x+ ）2=b2+（ ）2，整理得x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长.
故答案为：B.
【分析】设AD的长为x，利用勾股定理可得到关于x的方程，将方程整理可得到x2+ax=b2，由此可知该方程的一个正根是AD的长.
二、填空题
9．已知一个一般形式的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是1，常数项是-2，则这个元二次方程是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 一个一般形式的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是1，常数项是-2，
∴这个元二次方程是.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程的定义及已知条件，可得答案.
10．若关于x的一元二次方程x2 +bx+c=0(b，c 为常数)的两根x1，x2满足-3【答案】x2-4=0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意选出一组符合条件的解：
故符合条件的方程为x2-4=0（答案不唯一）
故答案为：x2-4=0（答案不唯一）
【分析】根据题意选出一组符合条件的解，符合条件的方程为。
11．（2021八下·江北期末）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m﹣1＝ .
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2﹣2m﹣3＝0，
则m2﹣2m＝3，
∴2m2﹣4m﹣1
＝2（m2﹣2m）﹣1
＝2×3﹣1
＝5，
故答案为：5.
【分析】根据方程根的概念，将x=m代入方程，可得到关于m的方程，可得到m2﹣2m＝3，再将代数式转化为2（m2﹣2m）﹣1，然后整体代入求值.
12．（2023八下·上虞期末）某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得100(1+x)2=169.
故答案为：100(1+x)2=169.
【分析】由题意可得：2021年底的新注册用户数为100(1+x)万，2022年底的新注册用户数为100(1+x)2万，然后根据到2022年底的新注册用户数达到169万就可列出方程.
三、解答题
13．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【答案】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m=1，此时方程为2x2﹣x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣；
（2）由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，
当m+1=0时，解得m=﹣1，此时方程为﹣3x﹣1=0，解得x=﹣．
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
14．已知x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣2=0的一个根．
（1）求m的值及方程的另一个根；
（2）若7﹣x≥1+m（x﹣3），求x的取值范围
【答案】解：（1）设方程另一个根为t，
则2+t=﹣3，2t=m﹣2，
所以t=﹣5，m=﹣8，
即m的值为﹣8，方程的另一个根为﹣5；
（2）7﹣x≥1﹣8（x﹣3），
7﹣x≥1﹣8x+24，
8x﹣x≥1+24﹣7，
7x≥18，
所以x≥．
【知识点】一元二次方程的根；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到2+t=﹣3，2t=m﹣2，先求出t，然后计算m的值；
（2）把m=﹣8代入7﹣x≥1+m（x﹣3）得到7﹣x≥1﹣8（x﹣3），然后解一元一次不等式即可．
15．阅读理解题：
问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x．
从而x=
把x= 代人已知方程，得
()2+-1=0，
整理，得y2+2y-4=0，
因此，所求方程为y2+2y-4=0．
请你用上述思路解决下列问题：
（1）已知方程x2+3x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】（1）解：设所求方程的根为y，则y=-x，从而x=-y．
把x=-y代人方程x2+3x-2=0，得y2-3y-2=0，
即所求方程为y2-3y-2=0．
（2）解：设所求方程的根为y，则y=，从而x=．
把x=代入方程ax2 -bx+c=0，得a·()2-b·+c=0，
整理得cy2-by+a=0，由题意得c≠0，故所求方程为cy2 -by+a=0(c≠0)．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）根据材料，设所求方程的根为y，再表示出x，然后代入方程即可；
（2）设所求方程的根为y，则x=，把其代入方程ax2 -bx+c=0中，再整理即可.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册2.1一元二次方程课后培优练
一、选择题
1．（2022八下·杭州期中）下列关于 的方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中一元二次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2015八下·萧山期中）把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A．2、3、﹣1 B．2、﹣3、﹣1
C．2、﹣3、1 D．2、3、1
3．（2023八下·舟山期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．1或 C． D．0.5
4．（2023八下·江北期末）某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的．若设这种放射性元素质量的日平均减少率为，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·温州期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x-m=0的一个根是x=2，则m的值为（ ）
A．-10 B．-2 C．2 D．10
6．（2023八下·福州期末）某市要组织一次篮球联赛，比赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，若设有支球队参加比赛，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023八下·杭州期中）如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则以下方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= ，则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
二、填空题
9．已知一个一般形式的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是1，常数项是-2，则这个元二次方程是 .
10．若关于x的一元二次方程x2 +bx+c=0(b，c 为常数)的两根x1，x2满足-311．（2021八下·江北期末）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m﹣1＝ .
12．（2023八下·上虞期末）某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
三、解答题
13．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
14．已知x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣2=0的一个根．
（1）求m的值及方程的另一个根；
（2）若7﹣x≥1+m（x﹣3），求x的取值范围
15．阅读理解题：
问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x．
从而x=
把x= 代人已知方程，得
()2+-1=0，
整理，得y2+2y-4=0，
因此，所求方程为y2+2y-4=0．
请你用上述思路解决下列问题：
（1）已知方程x2+3x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①当a=0且b≠0时，此方程是一元一次方程；
② 此方程是一元二次方程；
③ 此方程是分式方程；
④ 此方程是一元三次方程；
⑤ 即-12x+12=0是一元一次方程；
⑥，此方程是是一元一次方程；
其中一元二次方程有②.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程满足的条件：1、含有一个未知数；2、含未知数项的最高次数是2次；3、是整式方程；再对各选项逐一判断可得答案.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：原方程可整理为：
2x2﹣3x﹣1=0，
∴a=2，b=﹣3，c=﹣1；
故选B．
【分析】首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定a、b、c的值．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴a-1≠0且a2-1=0，
∴a=-1.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的概念以及根的概念可得a-1≠0且a2-1=0，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，某放射性元素经1天后的质量为，
某放射性元素经2天后的质量为，
∵某放射性元素经2天后的质量为原来的，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据等量关系质量衰为原来的，列一元二次方程即可求解.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x＝2为x2+3x-m=0的一个根，
∴22+3×2-m＝0，
解得：m＝10.
故答案为：D.
【分析】把x＝2代入一元二次方程可得m的一元一次方程，解方程即可求得m的值.
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设有x支球队参加比赛，由题意可得x(x-1)=45.
故答案为：B.
【分析】根据球队数×(球队数-1)÷2=比赛的场数就可列出方程.
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，
依题意，得：x(20+4x+12+4x)=40，即32x+8x2=40.
故答案为：B.
【分析】设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】设AD=x根据勾股定理，得（x+ ）2=b2+（ ）2，整理得x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长.
故答案为：B.
【分析】设AD的长为x，利用勾股定理可得到关于x的方程，将方程整理可得到x2+ax=b2，由此可知该方程的一个正根是AD的长.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 一个一般形式的一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是1，常数项是-2，
∴这个元二次方程是.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程的定义及已知条件，可得答案.
10．【答案】x2-4=0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意选出一组符合条件的解：
故符合条件的方程为x2-4=0（答案不唯一）
故答案为：x2-4=0（答案不唯一）
【分析】根据题意选出一组符合条件的解，符合条件的方程为。
11．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2﹣2m﹣3＝0，
则m2﹣2m＝3，
∴2m2﹣4m﹣1
＝2（m2﹣2m）﹣1
＝2×3﹣1
＝5，
故答案为：5.
【分析】根据方程根的概念，将x=m代入方程，可得到关于m的方程，可得到m2﹣2m＝3，再将代数式转化为2（m2﹣2m）﹣1，然后整体代入求值.
12．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得100(1+x)2=169.
故答案为：100(1+x)2=169.
【分析】由题意可得：2021年底的新注册用户数为100(1+x)万，2022年底的新注册用户数为100(1+x)2万，然后根据到2022年底的新注册用户数达到169万就可列出方程.
13．【答案】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m=1，此时方程为2x2﹣x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣；
（2）由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，
当m+1=0时，解得m=﹣1，此时方程为﹣3x﹣1=0，解得x=﹣．
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
14．【答案】解：（1）设方程另一个根为t，
则2+t=﹣3，2t=m﹣2，
所以t=﹣5，m=﹣8，
即m的值为﹣8，方程的另一个根为﹣5；
（2）7﹣x≥1﹣8（x﹣3），
7﹣x≥1﹣8x+24，
8x﹣x≥1+24﹣7，
7x≥18，
所以x≥．
【知识点】一元二次方程的根；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到2+t=﹣3，2t=m﹣2，先求出t，然后计算m的值；
（2）把m=﹣8代入7﹣x≥1+m（x﹣3）得到7﹣x≥1﹣8（x﹣3），然后解一元一次不等式即可．
15．【答案】（1）解：设所求方程的根为y，则y=-x，从而x=-y．
把x=-y代人方程x2+3x-2=0，得y2-3y-2=0，
即所求方程为y2-3y-2=0．
（2）解：设所求方程的根为y，则y=，从而x=．
把x=代入方程ax2 -bx+c=0，得a·()2-b·+c=0，
整理得cy2-by+a=0，由题意得c≠0，故所求方程为cy2 -by+a=0(c≠0)．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）根据材料，设所求方程的根为y，再表示出x，然后代入方程即可；
（2）设所求方程的根为y，则x=，把其代入方程ax2 -bx+c=0中，再整理即可.
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