2024年浙教版数学八年级下册2.2一元二次方程的解法课后提高练
一、选择题
1．（2023八下·台江期末）对于一元二次方程，则它根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
2．（2023八下·海淀期末）用配方法解方程时，原方程变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·杭州期中）用配方法解方程x2-4x-6＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝10 B．（x+4）2＝22
C．（x-4）2＝22 D．（x-2）2＝10
4．（2023八下·安庆期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·靖江期末）利用公式法求解可得一元二次方程式的两解为、，且，求a值为何（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·浦江月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
7．（2023八下·舟山期中） 用 配方法将方程化成 的形式，则 的值是（ ）
A．-2，0 B．2，0 C．-2，8 D．2，8
8．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
二、填空题
9．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 .
10．若关于x的方程kx2-4x-=0有两个实数根，则k的取值范围是 .
11．（2023八下·肇东月考）三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
12．（2023八下·长沙期末）把方程变形为的形式后， ．
三、解答题
13．填空：
解方程： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+ =-5+ ，
即 ，
方程两边同时开方， 得 x+3= ，
∴x1= ，x2= .
14．已知关于x的方程 是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在，求出满足条件的m的值．
15．（2021八下·莱州期中）小明在解关于x的方程（）时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．请判断原方程的根的情况．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：2x2=x，
整理得2x2-x=0，
∵△=b2-4ac=（-1）2-4×2×0=1＞0，
∴方程2x2=x有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此计算出方程根的判别式的值即可判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
∴
∴
故选：C
【分析】看到一次项系数为-2，它的一半是-1，至此就可以判定出正确选项是C。掌握配方法解一元二次方程。
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-4x-6＝0 ，
移项，得x2-4x=6，
配方，得x2-4x+4=6+4，
∴（x-2）2=10.
故答案为：D.
【分析】将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A：原式为：，得：x=-1或x=3，A不符合题意
B：原式解得：，B不符合题意；
C：原式为：，方程无解，C符合题意；
D：原式为，解得：x=-1，D不符合题意。
故答案为：C
【分析】化简方程即可求出答案。
5．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：a，b为一元二次方程得两解，且a＞b，由求根公式得，，；
故答案为：D.
【分析】由求根公式与a＞b联合得出结果.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=4-12k>0，且 k ≠0，
∴ 且；
故答案为：D.
【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围；因为方程是一元二次方程，所以k不为0.
7．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-4=0，
移项，得x2-4x=4，
配方，得x2-4x+4=4+4，
∴（x-2）2=8.
∴m=-2，n=8.
故答案为：C.
【分析】配方法解方程，首先，将常数项移到方程的右边；然后配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，据此即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： 点P(a，c)在第四象限，
∴，即
ax2+bx+c=0，，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用第四象限点的坐标特征得，然后利用根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根，即可得解.
9．【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=4-4a（2-c）=0，
即1-2a+ac=0，
∵a≠0，
∴
∴；
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，可得出a与c的等式，结合一元二次方程的定义即可求解.
10．【答案】k≥-6且k≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程kx2-4x-=0有两个实数根 ，
∴△=（-4）2-4k×（-）≥0，且k≠0，
解得：k≥-6且k≠0.
故答案为：k≥-6且k≠0.
【分析】由关于x的方程kx2-4x-=0有两个实数根 ，可得△≥0且k≠0，解之即可.
11．【答案】24或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵第三边的长是一元二次方程的一个实数根，
∴，
∴或x=10，
当x=10，三角形的三边为6，8，10，即为直角三角形，
∴三角形的面积为.
当x=6时，三角形的三边为6，6，8，即为等腰三角形，
过点A 作，如图所示，
∴BD=CD=4，
∴，
∴三角形的面积为.
∴三角形的面积为24或.
故答案为：24或.
【分析】根据第三边是一元二次方程的根，利用因式分解求出x的两个值，分情况讨论，当x=10时，三角形为直角三角形，按照三角形的面积公式求出即可，当x=6时，三角形为等腰三角形，根据勾股定理求出等腰三角形的高，按照三角形的面积公式求出即可.
12．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得可化为，
∴h=2，k=0，
∴h+k=2，
故答案为：2
【分析】运用完全平方公式变换方程即可得到h和k的值，再代入即可求解。
13．【答案】9；9；±2；-1；-5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+9=-5+9，即（x+3）2=4，
方程两边同时开方，得x+3=±2，
∴ x1=-1，x2=-5.
故答案为：9；9；±2；-1；-5.
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，先将常数项移到等号的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方“9”，方程的左边利用完全平方公式分解因式后，进行开方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求得.
14．【答案】解：假设存在，则有x12+x22=224．
∵x1+x2=4m﹣8，
x1x2=4m2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=224．
即（4m﹣8）2﹣2×4m2=224，
∴m2﹣8m﹣20=0，
（m﹣10）（m+2）=0，
∴m1=10，m2=﹣2．
∵△=（m﹣2）2﹣m2=4﹣4m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m1=10，m2=﹣2都不符合题意，
故不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用根与系数的关系，化简x12+x22=224，即（x1+x2）2﹣2x1x2=224．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．
15．【答案】解：把代入方程中，得
．
∴原方程为．
这里，，．
，
原方程没有实数根．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】将
代入方程
求出
，可得方程
，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
1 / 12024年浙教版数学八年级下册2.2一元二次方程的解法课后提高练
一、选择题
1．（2023八下·台江期末）对于一元二次方程，则它根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：2x2=x，
整理得2x2-x=0，
∵△=b2-4ac=（-1）2-4×2×0=1＞0，
∴方程2x2=x有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此计算出方程根的判别式的值即可判断得出答案.
2．（2023八下·海淀期末）用配方法解方程时，原方程变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
∴
∴
故选：C
【分析】看到一次项系数为-2，它的一半是-1，至此就可以判定出正确选项是C。掌握配方法解一元二次方程。
3．（2023八下·杭州期中）用配方法解方程x2-4x-6＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝10 B．（x+4）2＝22
C．（x-4）2＝22 D．（x-2）2＝10
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-4x-6＝0 ，
移项，得x2-4x=6，
配方，得x2-4x+4=6+4，
∴（x-2）2=10.
故答案为：D.
【分析】将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
4．（2023八下·安庆期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A：原式为：，得：x=-1或x=3，A不符合题意
B：原式解得：，B不符合题意；
C：原式为：，方程无解，C符合题意；
D：原式为，解得：x=-1，D不符合题意。
故答案为：C
【分析】化简方程即可求出答案。
5．（2023八下·靖江期末）利用公式法求解可得一元二次方程式的两解为、，且，求a值为何（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：a，b为一元二次方程得两解，且a＞b，由求根公式得，，；
故答案为：D.
【分析】由求根公式与a＞b联合得出结果.
6．（2023八下·浦江月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=4-12k>0，且 k ≠0，
∴ 且；
故答案为：D.
【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围；因为方程是一元二次方程，所以k不为0.
7．（2023八下·舟山期中） 用 配方法将方程化成 的形式，则 的值是（ ）
A．-2，0 B．2，0 C．-2，8 D．2，8
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-4=0，
移项，得x2-4x=4，
配方，得x2-4x+4=4+4，
∴（x-2）2=8.
∴m=-2，n=8.
故答案为：C.
【分析】配方法解方程，首先，将常数项移到方程的右边；然后配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，据此即可得出答案.
8．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： 点P(a，c)在第四象限，
∴，即
ax2+bx+c=0，，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用第四象限点的坐标特征得，然后利用根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根，即可得解.
二、填空题
9．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=4-4a（2-c）=0，
即1-2a+ac=0，
∵a≠0，
∴
∴；
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，可得出a与c的等式，结合一元二次方程的定义即可求解.
10．若关于x的方程kx2-4x-=0有两个实数根，则k的取值范围是 .
【答案】k≥-6且k≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程kx2-4x-=0有两个实数根 ，
∴△=（-4）2-4k×（-）≥0，且k≠0，
解得：k≥-6且k≠0.
故答案为：k≥-6且k≠0.
【分析】由关于x的方程kx2-4x-=0有两个实数根 ，可得△≥0且k≠0，解之即可.
11．（2023八下·肇东月考）三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
【答案】24或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵第三边的长是一元二次方程的一个实数根，
∴，
∴或x=10，
当x=10，三角形的三边为6，8，10，即为直角三角形，
∴三角形的面积为.
当x=6时，三角形的三边为6，6，8，即为等腰三角形，
过点A 作，如图所示，
∴BD=CD=4，
∴，
∴三角形的面积为.
∴三角形的面积为24或.
故答案为：24或.
【分析】根据第三边是一元二次方程的根，利用因式分解求出x的两个值，分情况讨论，当x=10时，三角形为直角三角形，按照三角形的面积公式求出即可，当x=6时，三角形为等腰三角形，根据勾股定理求出等腰三角形的高，按照三角形的面积公式求出即可.
12．（2023八下·长沙期末）把方程变形为的形式后， ．
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得可化为，
∴h=2，k=0，
∴h+k=2，
故答案为：2
【分析】运用完全平方公式变换方程即可得到h和k的值，再代入即可求解。
三、解答题
13．填空：
解方程： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+ =-5+ ，
即 ，
方程两边同时开方， 得 x+3= ，
∴x1= ，x2= .
【答案】9；9；±2；-1；-5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+9=-5+9，即（x+3）2=4，
方程两边同时开方，得x+3=±2，
∴ x1=-1，x2=-5.
故答案为：9；9；±2；-1；-5.
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，先将常数项移到等号的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方“9”，方程的左边利用完全平方公式分解因式后，进行开方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求得.
14．已知关于x的方程 是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在，求出满足条件的m的值．
【答案】解：假设存在，则有x12+x22=224．
∵x1+x2=4m﹣8，
x1x2=4m2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=224．
即（4m﹣8）2﹣2×4m2=224，
∴m2﹣8m﹣20=0，
（m﹣10）（m+2）=0，
∴m1=10，m2=﹣2．
∵△=（m﹣2）2﹣m2=4﹣4m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m1=10，m2=﹣2都不符合题意，
故不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用根与系数的关系，化简x12+x22=224，即（x1+x2）2﹣2x1x2=224．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．
15．（2021八下·莱州期中）小明在解关于x的方程（）时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．请判断原方程的根的情况．
【答案】解：把代入方程中，得
．
∴原方程为．
这里，，．
，
原方程没有实数根．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】将
代入方程
求出
，可得方程
，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
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