2024年浙教版数学八年级下册2.3一元二次方程的应用课后提高练
一、选择题
1．（2023八下·青秀期末） 年月是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八下·温州期末）我国南宋数学家杨辉所著《田亩算法》中记载了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形宽为x步，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八下·舟山期中） 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微 博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．(n+1)2=1641 B．(n- 1)2=1641
C．n(n+1)=1641 D．1+n+n2=1641
4．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，参加比赛的队伍数是（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
5．（2023八下·北京市期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八下·龙口期中）某商业街有店面房共195间，2021年平均每间店面房的年租金为10万元，由于物价上涨，到2023年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元，则2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为（ ）
A． B． C． D．或
7．（2023八下·龙口期中）用一条长为的绳子围成一个面积为的长方形，a的值不可能为（ ）
A．120 B．100 C．60 D．20
8．（2023八下·鄞州期中）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则的值为（ ）
A． B． C． D．+1
二、填空题
9．（2023八下·长兴月考）疫情期间市民为了减少外出时间，许多市民选择使用手机软件在线上买菜，某买菜软件今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为392万，求二、三两个月新注册用户每月平均增长率．若设二、三两个月新注册用户每月平均增长率为x，则可列方程为 ．
10．（2023八下·龙湾期中）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 ．
11．随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物的人越来越多.某产品今年开始做线上销售，8月份的销售额是6万元，10月份的销售额是 13.5万元，则9，10 这两个月销售额的月平均增长率为 。
12．（2022八下·浙江月考）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，则饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为 米．
三、解答题
13．（2023八下·吉林期末）哈市某展览馆计划将长米，宽米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道求通道的宽为多少米？
14．（2023八下·杜尔伯特月考）随着新能源汽车配套设施的不断普及，新能源汽车的销售量逐年增加，某小区物业统计2022年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2020年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍．
（1）求这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率；
（2）若2022年春节小区内停放新能源汽车数量为490辆，且增长率保持不变，请估计到2023年春节该小区停放新能源汽车的数量．
15．（2023八下·安庆期末）自2013年中国铁路售票系统12306手机APP正式上线，十年来，我们实现了互联网便捷购票，出行体验得以逐步优化提升，12306也从最初的一个简单的购票系统成长为多元化、网络化、移动化、个性化的综合铁路服务平台，已知从安庆开往A市的某趟高铁中途要停靠若干个站点，12306购票系统需为此设置21种电子客票，那么这趟高铁中途停靠的站点有多少个？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故答案为：C.
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据等量关系式：第一个月的进馆人次+第二进馆人次+第三个月的进馆人次=2850，列出方程即可解答．
2．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设矩形宽为x步，根据题意得
x（x+12）=864.
故答案为：C
【分析】此题的等量关系为： 宽=长-12；长×宽=864；据此设未知数，列方程即可.
3．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设邀请了n个好友转发倡议书，
由题意，得1+n+n2=1641.
故答案为：D.
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有1641人参与列出方程即可.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 设参加比赛的队伍数为x队，
根据题意得：x（x-1）=45，
解得x=10或x=-9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛.
故答案为：B.
【分析】 设参加比赛的队伍数为x队，则每队比赛（x-1）场，根据单循环比赛可知共比赛x（x-1）场，据此列出方程并解之即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，根据题意得，
故答案为：D
【分析】设竹子折断处离地面x尺，根据图片结合“竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远”即可列出方程，进而即可求解。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据题意得：
10×(1+ x)2 =12.1
解得：x1=10%，x2=-2.1（不合题意舍去），
∴2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%，
故答案为：C．
【分析】设2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据2021年及2023年平均每间店面房的年租金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设围成面积为a cm2的长方形的长为x cm ，由长方形的周长公式得出宽为(40÷2-x) cm ，
依题意，得x(40÷2-x)=a，
整理，得x2-20x+a=0，
∵ Δ=400-4a≥0，
解得a≤100，
故答案为：A．
【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为x cm ，由长方形的周长公式得出宽为(40÷2-x) cm ，根据长方形的面积公式列出方程x(40÷2-x)=a，由Δ=400-4a≥0，即可求解．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵图1中的正方形的边长为（a+b），图2中矩形的长为a+2b，宽为b，
∴（a+b）2=b（2b+a）
整理得：a2+ab-b2=0，
此方程可以看着是关于a的一元二次方程，
解之：（舍去）
∴.
故答案为：C
【分析】观察图形可知图1中的正方形的边长为（a+b），图2中矩形的长为a+2b，宽为b，利用两个图形的面积相等，可得到（a+b）2=b（2b+a），整理可知此方程可以看着是关于a的一元二次方程，利用公式法求出方程的解，然后求出b与a的比值即可.
9．【答案】200(1+x)2=392
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设设二、三两个月新注册用户每月平均增长率为x，根据题意得
200(1+x)2=392.
故答案为：200(1+x)2=392
【分析】此题的等量关系为今年一月份新注册用户的数量×（1+增长率）2=三月份新注册用户的数量，列方程即可.
10．【答案】1m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：利用平移的性质可得绿地是一块长为（18-2x）m，宽为（15-x）m矩形，由题意，
得(18-2x)(15-x)=224，
解得x1=1，x2=23(舍），
故答案为：1m.
【分析】利用平移的性质可得绿地是一块长为（18-2x）m，宽为（15-x）m矩形，然后根据矩形的面积计算公式结合绿地的面积为224m2， 建立方程求解并检验即可.
11．【答案】50%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设9，10这两个月销售利润的月平均增长率为x，
则6（1+x）2=13.5，
解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（舍去）；
故答案为：50%.
【分析】设9，10这两个月销售利润的月平均增长率为x，利用10月份的销售利润=8月份的销售利润×（1+月平均增长率）2，列出一元二次方程，求解即可，注意x的取值要符合题意.
12．【答案】10
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形ABCD的AB边长为x，
则BC的长为：45+1+1+1-3x= (48-3x) 米，
由题意得：x (48-3x) =180
∴(x-6)(x-10)=0，
解得：x1=6，x2=10，
∵1< 48-3x≤27， 1∴9∴x=10.
故答案为：10.
【分析】设矩形ABCD的AB边长为x，先含x的代数式表示BC边的长，根据矩形面积等于180平米，建立关于x的一元二次方程求解，结合实际意义确定AB长即可.
13．【答案】解：设通道的宽为米，则展览区的长为米，宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：通道的宽为米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设通道的宽为米，则展览区的长为米，宽为米， 根据题意列出方程，解方程即可求出答案。
14．【答案】（1）解：设这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为
则
解得：，（舍去）
答：这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为40%
（2）解：（辆）
答：估计到2024年春节该小区停放新能源汽车的数量约为686辆
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为x，然后根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）2可列方程求解；
（2）根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）可求解.
15．【答案】解：设从安庆到A市共有个站点，
根据题意可得：
，
解得：，（舍去），
这趟高铁中途停靠的站点有：（个），
答：这趟高铁中途停靠的站点有5个．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】 设从安庆到A市共有个站点，根据“12306购票系统需为此设置21种电子客票”列出方程，再求解即可.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册2.3一元二次方程的应用课后提高练
一、选择题
1．（2023八下·青秀期末） 年月是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故答案为：C.
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据等量关系式：第一个月的进馆人次+第二进馆人次+第三个月的进馆人次=2850，列出方程即可解答．
2．（2023八下·温州期末）我国南宋数学家杨辉所著《田亩算法》中记载了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形宽为x步，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设矩形宽为x步，根据题意得
x（x+12）=864.
故答案为：C
【分析】此题的等量关系为： 宽=长-12；长×宽=864；据此设未知数，列方程即可.
3．（2023八下·舟山期中） 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微 博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．(n+1)2=1641 B．(n- 1)2=1641
C．n(n+1)=1641 D．1+n+n2=1641
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设邀请了n个好友转发倡议书，
由题意，得1+n+n2=1641.
故答案为：D.
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有1641人参与列出方程即可.
4．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，参加比赛的队伍数是（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 设参加比赛的队伍数为x队，
根据题意得：x（x-1）=45，
解得x=10或x=-9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛.
故答案为：B.
【分析】 设参加比赛的队伍数为x队，则每队比赛（x-1）场，根据单循环比赛可知共比赛x（x-1）场，据此列出方程并解之即可.
5．（2023八下·北京市期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，根据题意得，
故答案为：D
【分析】设竹子折断处离地面x尺，根据图片结合“竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远”即可列出方程，进而即可求解。
6．（2023八下·龙口期中）某商业街有店面房共195间，2021年平均每间店面房的年租金为10万元，由于物价上涨，到2023年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元，则2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据题意得：
10×(1+ x)2 =12.1
解得：x1=10%，x2=-2.1（不合题意舍去），
∴2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%，
故答案为：C．
【分析】设2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据2021年及2023年平均每间店面房的年租金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可．
7．（2023八下·龙口期中）用一条长为的绳子围成一个面积为的长方形，a的值不可能为（ ）
A．120 B．100 C．60 D．20
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设围成面积为a cm2的长方形的长为x cm ，由长方形的周长公式得出宽为(40÷2-x) cm ，
依题意，得x(40÷2-x)=a，
整理，得x2-20x+a=0，
∵ Δ=400-4a≥0，
解得a≤100，
故答案为：A．
【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为x cm ，由长方形的周长公式得出宽为(40÷2-x) cm ，根据长方形的面积公式列出方程x(40÷2-x)=a，由Δ=400-4a≥0，即可求解．
8．（2023八下·鄞州期中）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则的值为（ ）
A． B． C． D．+1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵图1中的正方形的边长为（a+b），图2中矩形的长为a+2b，宽为b，
∴（a+b）2=b（2b+a）
整理得：a2+ab-b2=0，
此方程可以看着是关于a的一元二次方程，
解之：（舍去）
∴.
故答案为：C
【分析】观察图形可知图1中的正方形的边长为（a+b），图2中矩形的长为a+2b，宽为b，利用两个图形的面积相等，可得到（a+b）2=b（2b+a），整理可知此方程可以看着是关于a的一元二次方程，利用公式法求出方程的解，然后求出b与a的比值即可.
二、填空题
9．（2023八下·长兴月考）疫情期间市民为了减少外出时间，许多市民选择使用手机软件在线上买菜，某买菜软件今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为392万，求二、三两个月新注册用户每月平均增长率．若设二、三两个月新注册用户每月平均增长率为x，则可列方程为 ．
【答案】200(1+x)2=392
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设设二、三两个月新注册用户每月平均增长率为x，根据题意得
200(1+x)2=392.
故答案为：200(1+x)2=392
【分析】此题的等量关系为今年一月份新注册用户的数量×（1+增长率）2=三月份新注册用户的数量，列方程即可.
10．（2023八下·龙湾期中）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 ．
【答案】1m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：利用平移的性质可得绿地是一块长为（18-2x）m，宽为（15-x）m矩形，由题意，
得(18-2x)(15-x)=224，
解得x1=1，x2=23(舍），
故答案为：1m.
【分析】利用平移的性质可得绿地是一块长为（18-2x）m，宽为（15-x）m矩形，然后根据矩形的面积计算公式结合绿地的面积为224m2， 建立方程求解并检验即可.
11．随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物的人越来越多.某产品今年开始做线上销售，8月份的销售额是6万元，10月份的销售额是 13.5万元，则9，10 这两个月销售额的月平均增长率为 。
【答案】50%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设9，10这两个月销售利润的月平均增长率为x，
则6（1+x）2=13.5，
解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（舍去）；
故答案为：50%.
【分析】设9，10这两个月销售利润的月平均增长率为x，利用10月份的销售利润=8月份的销售利润×（1+月平均增长率）2，列出一元二次方程，求解即可，注意x的取值要符合题意.
12．（2022八下·浙江月考）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，则饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为 米．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形ABCD的AB边长为x，
则BC的长为：45+1+1+1-3x= (48-3x) 米，
由题意得：x (48-3x) =180
∴(x-6)(x-10)=0，
解得：x1=6，x2=10，
∵1< 48-3x≤27， 1∴9∴x=10.
故答案为：10.
【分析】设矩形ABCD的AB边长为x，先含x的代数式表示BC边的长，根据矩形面积等于180平米，建立关于x的一元二次方程求解，结合实际意义确定AB长即可.
三、解答题
13．（2023八下·吉林期末）哈市某展览馆计划将长米，宽米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道求通道的宽为多少米？
【答案】解：设通道的宽为米，则展览区的长为米，宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：通道的宽为米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设通道的宽为米，则展览区的长为米，宽为米， 根据题意列出方程，解方程即可求出答案。
14．（2023八下·杜尔伯特月考）随着新能源汽车配套设施的不断普及，新能源汽车的销售量逐年增加，某小区物业统计2022年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2020年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍．
（1）求这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率；
（2）若2022年春节小区内停放新能源汽车数量为490辆，且增长率保持不变，请估计到2023年春节该小区停放新能源汽车的数量．
【答案】（1）解：设这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为
则
解得：，（舍去）
答：这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为40%
（2）解：（辆）
答：估计到2024年春节该小区停放新能源汽车的数量约为686辆
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为x，然后根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）2可列方程求解；
（2）根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）可求解.
15．（2023八下·安庆期末）自2013年中国铁路售票系统12306手机APP正式上线，十年来，我们实现了互联网便捷购票，出行体验得以逐步优化提升，12306也从最初的一个简单的购票系统成长为多元化、网络化、移动化、个性化的综合铁路服务平台，已知从安庆开往A市的某趟高铁中途要停靠若干个站点，12306购票系统需为此设置21种电子客票，那么这趟高铁中途停靠的站点有多少个？
【答案】解：设从安庆到A市共有个站点，
根据题意可得：
，
解得：，（舍去），
这趟高铁中途停靠的站点有：（个），
答：这趟高铁中途停靠的站点有5个．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】 设从安庆到A市共有个站点，根据“12306购票系统需为此设置21种电子客票”列出方程，再求解即可.
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