2024年浙教版数学八年级下册2.3一元二次方程的应用课后培优练
一、选择题
1．（2022八下·济南期末）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋2x﹣35＝0即x（x＋2）＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆图注》中记载的方法是：构造如图，一方面，图中的大方形的面积是（x＋x＋2）2；另一方面，它又等于四个矩形面积加上中间小正方形的面积，即4×35＋22，据此易得x＝5，那么在下面的四个构图中，能够说明x2﹣2x﹣8＝0的正确构图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八下·新昌期末）如图，一块长方形绿地长10m，宽5m．在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的78%，则可列方程为（ ）
A．（10-2x）（5-x）=10×5×78%
B．（10-2x）（5-x）+2x2=10×5×78%
C．（10-2x）（5+x）=10×5×78%
D．（10-2x）（5-x）-2x2=10×5×78%
3．（2022八下·温州期中）受油价上涨等因素刺激，传统燃油汽车市场进入“寒冬”期，但新能源汽车迎来了销量春天.据统计，2020年我国新能源汽车累计销量为150万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到486万辆.若2020年到2022年的年平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．80% B．120% C．112% D．150%
4．（2022八下·尧都期中）元宵节是我国的传统文化节日，做花灯、赏花灯是传统节日中的重要活动内容．小明在完成综合实践活动做花灯的过程中，花灯底部需要做一个对角线互相垂直的矩形铁丝网固定花灯的形状，该矩形铁丝网的面积为，则底部一条对角线所用的铁丝至少需（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八下·泉港期末）某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由188元降为108元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 ，根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八下·马鞍山期末）某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月2500元降到1600元，若平均每月降低开支的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．2500（1-x）2=1600 B．1600（1+x）2=2500
C．2500（1+x）2=1600 D．1600（1-x）2=2500
7．（2021八下·岑溪期中）某水果现在的售价为每千克10元，平均每天可卖出200千克.经市场调查发现：若每千克降价0.5元，平均每天可多卖出50千克.已知这种水果的进价是每千克6元，如果商家要保证每天盈利875元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应降价多少元？若设每千克应降价x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021八下·温州期中）如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒盖面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）cm
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
9．已知两个连续正偶数的积为224，则这两个连续的正偶数是 .
10．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm， BC=3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动若使△PBQ的面积为 cm2，则点P运动的时间是 s.
11．某年某月的月历表如图所示，在此月历表上可以用个长方形圈出3×3个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）.若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为 .
12．（2021八下·高港期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 尺，秋千踏板离地的距离 就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为 尺.
三、解答题
13．（2022八下·大同期中）数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为．
（1）计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？
（2）把这个长方体的高的值在数轴上表示出来；
（3）一支长为6.5cm的钢笔要放入这个长方体盒内，能放进去吗？试通过计算说明你的结论．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线）
14．（2020八下·泰顺开学考）在新冠肺炎流行中，某商家预测库存的带防护面罩的遮阳帽将能畅销市场预计平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，回笼资金，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个遮阳帽每降价1元，商场平均每天可多售出2个，若商场平均每天要赢利1200元，每个遮阳帽应降价多少元？
15．（2022八下·临淄期中）如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点从点出发，沿射线的方向以每秒1个单位的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒），当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：变形方程得，
即，
则大长方形的面积是，四个矩形的面积是，中间小正方形的面积是，
即，
，
解得，
正确的图解为B，
故答案为：B．
【分析】先将方程变形为，再根据大长方形的面积是，四个矩形的面积是，中间小正方形的面积是，可得，求出x的值，即可得到答案。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵道路宽为x，
则 （10-2x）（5-x）=10×5×78% .
故答案为：A.
【分析】 在绿地中开辟三条道路后， 剩余 绿地部分拼凑起来是一个长为（10-2x），宽为（5-x）的矩形，结合绿地面积缩小到原来的78%建立方程，即可解答.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：2020年到2022年的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：x=0.8或x=-2.8（舍去）
∴平均增长率为80%，
故答案为：A.
【分析】2020年到2022年的年平均增长率为x，根据2020我国新能源汽车累计销量×（1+年平均增长率）2=2022我国新能源汽车累计销量，列出方程并解之即可.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵花灯底部需要做一个对角线互相垂直的矩形铁丝网固定花灯的形状，
∴该矩形是正方形，
设该正方形对角线长为xcm，
∵该正方形铁丝网的面积为，
∴
解得：x=40（负值舍去），
∴该正方形对角线长为40cm，
故答案为：B
【分析】设该正方形对角线长为xcm，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设每次降价的百分率为x，根据题意得：
.
故答案为：D.
【分析】设每次降价的百分率为x，根据原价×（1-下降率）2即可求解.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】 设平均每月降低开支的百分率为x ，
由题意得 2500（1-x）2=1600
故答案为：A
【分析】根据原开支×（1-平均每月降低开支的百分率）2=新开支，列出方程即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每千克应降价x元，根据题意得：
.
故答案为：C.
【分析】等量关系为：每千克的利润×销售量=875，据此列方程即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设该有盖纸盒的高为
根据题意，得纸盒盖面积为：
∵纸盒盖面积为
∴
∴
∴
∴或（舍去）
∴该有盖纸盒的高为1cm
故答案为：D.
【分析】设该有盖纸盒的高为xcm，则纸盒盖面积可表示为(10-x)(10-2x)=2x2-30x+100，结合纸盒盖面积为72cm2可求出x的值.
9．【答案】14，16
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设较小的正偶数为x，则较大的正偶数为x+2，根据题意得
x（x+2）=224
解之：x1=14，x2=-16
∵x＞0
∴x=14，
∴x+2=16.
故答案为：14，16.
【分析】设较小的正偶数为x，可表示出较大的正偶数，再根据两个连续正偶数的积为224，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出这两个连续的正偶数.
10．【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点P运动的时间为t秒钟，根据题意得
t（4-t）=
解之：t1=3，t2=5.
∵BC=3，
∴t≤3
∴t=3.
故答案为：3.
【分析】设点P运动的时间为t秒钟，利用点P和点Q的运动速度和方向可表示出BP，BQ的长，再利用三角形的面积公式建立关于t的方程，解方程求出t的值，可得到符合题意的t的值.
11．【答案】144
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设最小的数为x（x＞0），则其它的8个数依次为x+1，x+2，x+7，x+8，x+9，x+14，x+15，x+16，根据题意得
x（x+16）=192
解之：x1=8，x2=-24（舍去）
∴这9个数依次为8，9，10，15，16，17，22，23，24，25.
∴它们的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.
故答案为：144.
【分析】观察数据排列的特点：上下相邻的数相差7，左右相邻的数相差1，因此设最小的数为x（x＞0），可表示出其它的8个数，根据最大数与最小数的积为192，列方程，然后求出方程的解，最后求出这9个数的和.
12．【答案】14.5
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4） +10 =x ，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5.
【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=(x-4)尺，CP′=10尺，OP′=x尺，然后在Rt△OCP′中，应用勾股定理求解即可.
13．【答案】（1）解：设长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x，根据题意得：
，
解得：或（舍去），
答：这个长方体的长、宽、高分别cm、cm、cm．
（2）解：过数轴上1这点作垂线，然后再以1这个点为圆心，1个单位长度为半径画弧，交这个垂线与点A，连接OA，以点O为圆心，OA为半径画弧，与数轴的正半轴交于一点，该点表示的数为，如图所示：
（3）解：这个盒子的对角线长为：（cm），
∵，
∴长为6.5cm的钢笔要放入这个长方体盒内，不能放进去．
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）利用勾股定理求出OA的长，再在数轴上表示出即可；
（3）利用勾股定理求出盒子的对角线长，再比较大小即可。
14．【答案】解：设每个遮阳帽应降价x元，由题意可得：
化简可得：
解得： =10， =20，
答：应降价10元或20元，
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意，设每个遮阳帽应降价x元，则每个遮阳帽的利润为（40-x）元，每天销售的数量为（20+2x）个，根据总利润=每件商品的利润×销售数量列出方程，求解并检验即可.
15．【答案】解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t=；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，即3t2-32t+144=0，
此时，△=（-32）2-4×3×144=-704＜0，所以此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，再分类讨论：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122，再分别求解即可。
1 / 12024年浙教版数学八年级下册2.3一元二次方程的应用课后培优练
一、选择题
1．（2022八下·济南期末）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋2x﹣35＝0即x（x＋2）＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆图注》中记载的方法是：构造如图，一方面，图中的大方形的面积是（x＋x＋2）2；另一方面，它又等于四个矩形面积加上中间小正方形的面积，即4×35＋22，据此易得x＝5，那么在下面的四个构图中，能够说明x2﹣2x﹣8＝0的正确构图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：变形方程得，
即，
则大长方形的面积是，四个矩形的面积是，中间小正方形的面积是，
即，
，
解得，
正确的图解为B，
故答案为：B．
【分析】先将方程变形为，再根据大长方形的面积是，四个矩形的面积是，中间小正方形的面积是，可得，求出x的值，即可得到答案。
2．（2022八下·新昌期末）如图，一块长方形绿地长10m，宽5m．在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的78%，则可列方程为（ ）
A．（10-2x）（5-x）=10×5×78%
B．（10-2x）（5-x）+2x2=10×5×78%
C．（10-2x）（5+x）=10×5×78%
D．（10-2x）（5-x）-2x2=10×5×78%
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵道路宽为x，
则 （10-2x）（5-x）=10×5×78% .
故答案为：A.
【分析】 在绿地中开辟三条道路后， 剩余 绿地部分拼凑起来是一个长为（10-2x），宽为（5-x）的矩形，结合绿地面积缩小到原来的78%建立方程，即可解答.
3．（2022八下·温州期中）受油价上涨等因素刺激，传统燃油汽车市场进入“寒冬”期，但新能源汽车迎来了销量春天.据统计，2020年我国新能源汽车累计销量为150万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到486万辆.若2020年到2022年的年平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．80% B．120% C．112% D．150%
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：2020年到2022年的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：x=0.8或x=-2.8（舍去）
∴平均增长率为80%，
故答案为：A.
【分析】2020年到2022年的年平均增长率为x，根据2020我国新能源汽车累计销量×（1+年平均增长率）2=2022我国新能源汽车累计销量，列出方程并解之即可.
4．（2022八下·尧都期中）元宵节是我国的传统文化节日，做花灯、赏花灯是传统节日中的重要活动内容．小明在完成综合实践活动做花灯的过程中，花灯底部需要做一个对角线互相垂直的矩形铁丝网固定花灯的形状，该矩形铁丝网的面积为，则底部一条对角线所用的铁丝至少需（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵花灯底部需要做一个对角线互相垂直的矩形铁丝网固定花灯的形状，
∴该矩形是正方形，
设该正方形对角线长为xcm，
∵该正方形铁丝网的面积为，
∴
解得：x=40（负值舍去），
∴该正方形对角线长为40cm，
故答案为：B
【分析】设该正方形对角线长为xcm，根据题意列出方程，再求出x的值即可。
5．（2021八下·泉港期末）某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由188元降为108元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 ，根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设每次降价的百分率为x，根据题意得：
.
故答案为：D.
【分析】设每次降价的百分率为x，根据原价×（1-下降率）2即可求解.
6．（2021八下·马鞍山期末）某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月2500元降到1600元，若平均每月降低开支的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．2500（1-x）2=1600 B．1600（1+x）2=2500
C．2500（1+x）2=1600 D．1600（1-x）2=2500
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】 设平均每月降低开支的百分率为x ，
由题意得 2500（1-x）2=1600
故答案为：A
【分析】根据原开支×（1-平均每月降低开支的百分率）2=新开支，列出方程即可.
7．（2021八下·岑溪期中）某水果现在的售价为每千克10元，平均每天可卖出200千克.经市场调查发现：若每千克降价0.5元，平均每天可多卖出50千克.已知这种水果的进价是每千克6元，如果商家要保证每天盈利875元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应降价多少元？若设每千克应降价x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每千克应降价x元，根据题意得：
.
故答案为：C.
【分析】等量关系为：每千克的利润×销售量=875，据此列方程即可.
8．（2021八下·温州期中）如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒盖面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）cm
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设该有盖纸盒的高为
根据题意，得纸盒盖面积为：
∵纸盒盖面积为
∴
∴
∴
∴或（舍去）
∴该有盖纸盒的高为1cm
故答案为：D.
【分析】设该有盖纸盒的高为xcm，则纸盒盖面积可表示为(10-x)(10-2x)=2x2-30x+100，结合纸盒盖面积为72cm2可求出x的值.
二、填空题
9．已知两个连续正偶数的积为224，则这两个连续的正偶数是 .
【答案】14，16
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设较小的正偶数为x，则较大的正偶数为x+2，根据题意得
x（x+2）=224
解之：x1=14，x2=-16
∵x＞0
∴x=14，
∴x+2=16.
故答案为：14，16.
【分析】设较小的正偶数为x，可表示出较大的正偶数，再根据两个连续正偶数的积为224，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出这两个连续的正偶数.
10．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm， BC=3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动若使△PBQ的面积为 cm2，则点P运动的时间是 s.
【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点P运动的时间为t秒钟，根据题意得
t（4-t）=
解之：t1=3，t2=5.
∵BC=3，
∴t≤3
∴t=3.
故答案为：3.
【分析】设点P运动的时间为t秒钟，利用点P和点Q的运动速度和方向可表示出BP，BQ的长，再利用三角形的面积公式建立关于t的方程，解方程求出t的值，可得到符合题意的t的值.
11．某年某月的月历表如图所示，在此月历表上可以用个长方形圈出3×3个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）.若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为 .
【答案】144
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设最小的数为x（x＞0），则其它的8个数依次为x+1，x+2，x+7，x+8，x+9，x+14，x+15，x+16，根据题意得
x（x+16）=192
解之：x1=8，x2=-24（舍去）
∴这9个数依次为8，9，10，15，16，17，22，23，24，25.
∴它们的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.
故答案为：144.
【分析】观察数据排列的特点：上下相邻的数相差7，左右相邻的数相差1，因此设最小的数为x（x＞0），可表示出其它的8个数，根据最大数与最小数的积为192，列方程，然后求出方程的解，最后求出这9个数的和.
12．（2021八下·高港期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 尺，秋千踏板离地的距离 就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为 尺.
【答案】14.5
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4） +10 =x ，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5.
【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=(x-4)尺，CP′=10尺，OP′=x尺，然后在Rt△OCP′中，应用勾股定理求解即可.
三、解答题
13．（2022八下·大同期中）数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为．
（1）计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？
（2）把这个长方体的高的值在数轴上表示出来；
（3）一支长为6.5cm的钢笔要放入这个长方体盒内，能放进去吗？试通过计算说明你的结论．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线）
【答案】（1）解：设长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x，根据题意得：
，
解得：或（舍去），
答：这个长方体的长、宽、高分别cm、cm、cm．
（2）解：过数轴上1这点作垂线，然后再以1这个点为圆心，1个单位长度为半径画弧，交这个垂线与点A，连接OA，以点O为圆心，OA为半径画弧，与数轴的正半轴交于一点，该点表示的数为，如图所示：
（3）解：这个盒子的对角线长为：（cm），
∵，
∴长为6.5cm的钢笔要放入这个长方体盒内，不能放进去．
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）利用勾股定理求出OA的长，再在数轴上表示出即可；
（3）利用勾股定理求出盒子的对角线长，再比较大小即可。
14．（2020八下·泰顺开学考）在新冠肺炎流行中，某商家预测库存的带防护面罩的遮阳帽将能畅销市场预计平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，回笼资金，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个遮阳帽每降价1元，商场平均每天可多售出2个，若商场平均每天要赢利1200元，每个遮阳帽应降价多少元？
【答案】解：设每个遮阳帽应降价x元，由题意可得：
化简可得：
解得： =10， =20，
答：应降价10元或20元，
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意，设每个遮阳帽应降价x元，则每个遮阳帽的利润为（40-x）元，每天销售的数量为（20+2x）个，根据总利润=每件商品的利润×销售数量列出方程，求解并检验即可.
15．（2022八下·临淄期中）如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点从点出发，沿射线的方向以每秒1个单位的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒），当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t=；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，即3t2-32t+144=0，
此时，△=（-32）2-4×3×144=-704＜0，所以此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，再分类讨论：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122，再分别求解即可。
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