2024年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）课后基础练
一、选择题
1．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0．
故答案为：D．
【分析】一元二次方程x2﹣2x=0种二次项系数a=1，b=-2，c=0，根据一元二次方程根与系数的关系x1x2=即可直接得出答案。
2．（2023八下·吉林期末）若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的根的关系（韦达定理）即可求出答案。
3．关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两根，其中一根为x= 1，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 把x= 1代入3x2-2x+m=0中得m=3-2=-1，
∴3x2-2x-1=0，
∴ 这两根之积为.
故答案为：D.
【分析】先把x= 1代入方程中求出m值，再利用根与系数的关系求解即可.
4．（2020八下·长沙期末）关于x的一元二次方程x +(a -3a)x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为（ ）
A．-3 B．0 C．1 D．-3或0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2＋（a2 3a）x＋a＝0的两个实数根互为倒数，
∴x1 x2＝a＝1，
则a的值为1．
故答案为：C．
【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a的值即可．
5．（2022八下·乳山期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是x1=3，则另一个根x2是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有一个根是x1=3，另一个根x2，
∴3+x2==4，即x2=1，
即方程另一根x2是1．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得答案。
6．已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则a，b的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴ ，
解得a=-，b=1.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系分别列式求出a、b值，即可解答.
7．已知x ，x 是方程： 的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4 049 B．4 047 C．2 024 D．1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2-x-2024=0的两个实数根，
∴x12 2024＝x1，x1x2=-2024，x1+x2=1，
∴x13 2024x1+x22
=x1(x12 2024)+x22
＝x12+x22
＝(x1+x2)2 2x1x2
＝1 2×( 2024)
＝4049，
故答案为：A.
【分析】根据使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解可得x12 2024＝x1，根据一元二次方程根与系数的关系：，，可得：x1x2=-2024，x1+x2=1；利用整体代入的方法计算即可求解.
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22=24，则k的值是（ ）
A．8 B．﹣7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，
∴x1+x2=6，x1 x2=k+1，
∵x12+x22= ﹣2x1 x2=36﹣2k﹣2=24，
∴k=5．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=6、x1 x2=k+1，结合x12+x22=24即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
二、填空题
9． 已知 x ，x 是方程的两个实数根，则 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
10．（2023八下·长沙期末）已知方程的两根分别为和，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵的两根分别为和，
∴，
故答案为： .
【分析】一元二次方程(a≠0）的两根为和，可得+，，据此解答即可.
11．若 是一元二次方程 的一个实数根， 则方程的另一个根是 的值为
【答案】0；0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
12．在解一元二次方程 时， 小明盾错了一次项系数 ， 得到的解为 1 ； 小刚看错了常数项 ， 得到的解为 ， . 请你写出正确的一元二次方程：
【答案】x -5x+6=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
三、解答题
13．如果一个三角形两边的长分别等于方程x -8x-11=0的两个根，那么三角形第三边的长可能是 8吗？ 为什么？
【答案】不可能.理由略
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
14．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2+4kx+k+1=0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)= 成立？ 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：不存在．理由如下：
假设存在，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2 +4kx+k+ 1=0的两个实数根，
∴b2-4ac= 16k2-4×4k(k+1)= -16k≥0，且k≠0，
∴ k<0．
∵ x1，x2是一元二次方程4kx2 +4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=-1，x1x2=，
∵(2x1-x2)(x1-2x2)=2x12-4x1x2-x1x2+2x22 =2(x1 +x2)2-9x1x2=2×(-1)2-9×=2-
又∵(2x1-x2)(x1-2x2)=
∴
∴k=
又∵k<0，
∴不存在这样的k值，使(2x1-x2)(x1-2x2)= 成立．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】假设存在，根据一元二次方程有两个根可得b2-4ac≥0且k≠0，求解得出k的范围；再根据一元二次方程根于系数的关系，两根和、积用k表示出来，并将已知条件中有关两根的式子适当变形，将两根之积、和的式子代入转化为关于k的方程，求出方程的解结合k的范围判断是否成立，用以判断是假设是否成立.
15．已知关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=-2，x2=3，求b+c的值
【答案】解：∵关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=-2，x2=3，
∴- 2+3= ，-2×3 =
∴b=-2，c=-12，∴b+c=-2-12=-14．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=，x1·x2==，据此求出b、c的值，继而求解.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）课后基础练
一、选择题
1．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
2．（2023八下·吉林期末）若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两根，其中一根为x= 1，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2020八下·长沙期末）关于x的一元二次方程x +(a -3a)x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为（ ）
A．-3 B．0 C．1 D．-3或0
5．（2022八下·乳山期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是x1=3，则另一个根x2是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．2
6．已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则a，b的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知x ，x 是方程： 的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4 049 B．4 047 C．2 024 D．1
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22=24，则k的值是（ ）
A．8 B．﹣7 C．6 D．5
二、填空题
9． 已知 x ，x 是方程的两个实数根，则 .
10．（2023八下·长沙期末）已知方程的两根分别为和，则 ．
11．若 是一元二次方程 的一个实数根， 则方程的另一个根是 的值为
12．在解一元二次方程 时， 小明盾错了一次项系数 ， 得到的解为 1 ； 小刚看错了常数项 ， 得到的解为 ， . 请你写出正确的一元二次方程：
三、解答题
13．如果一个三角形两边的长分别等于方程x -8x-11=0的两个根，那么三角形第三边的长可能是 8吗？ 为什么？
14．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2+4kx+k+1=0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)= 成立？ 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
15．已知关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=-2，x2=3，求b+c的值
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0．
故答案为：D．
【分析】一元二次方程x2﹣2x=0种二次项系数a=1，b=-2，c=0，根据一元二次方程根与系数的关系x1x2=即可直接得出答案。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的根的关系（韦达定理）即可求出答案。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 把x= 1代入3x2-2x+m=0中得m=3-2=-1，
∴3x2-2x-1=0，
∴ 这两根之积为.
故答案为：D.
【分析】先把x= 1代入方程中求出m值，再利用根与系数的关系求解即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2＋（a2 3a）x＋a＝0的两个实数根互为倒数，
∴x1 x2＝a＝1，
则a的值为1．
故答案为：C．
【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a的值即可．
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有一个根是x1=3，另一个根x2，
∴3+x2==4，即x2=1，
即方程另一根x2是1．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得答案。
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴ ，
解得a=-，b=1.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系分别列式求出a、b值，即可解答.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2-x-2024=0的两个实数根，
∴x12 2024＝x1，x1x2=-2024，x1+x2=1，
∴x13 2024x1+x22
=x1(x12 2024)+x22
＝x12+x22
＝(x1+x2)2 2x1x2
＝1 2×( 2024)
＝4049，
故答案为：A.
【分析】根据使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解可得x12 2024＝x1，根据一元二次方程根与系数的关系：，，可得：x1x2=-2024，x1+x2=1；利用整体代入的方法计算即可求解.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，
∴x1+x2=6，x1 x2=k+1，
∵x12+x22= ﹣2x1 x2=36﹣2k﹣2=24，
∴k=5．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=6、x1 x2=k+1，结合x12+x22=24即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵的两根分别为和，
∴，
故答案为： .
【分析】一元二次方程(a≠0）的两根为和，可得+，，据此解答即可.
11．【答案】0；0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
12．【答案】x -5x+6=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
13．【答案】不可能.理由略
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
14．【答案】解：不存在．理由如下：
假设存在，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2 +4kx+k+ 1=0的两个实数根，
∴b2-4ac= 16k2-4×4k(k+1)= -16k≥0，且k≠0，
∴ k<0．
∵ x1，x2是一元二次方程4kx2 +4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=-1，x1x2=，
∵(2x1-x2)(x1-2x2)=2x12-4x1x2-x1x2+2x22 =2(x1 +x2)2-9x1x2=2×(-1)2-9×=2-
又∵(2x1-x2)(x1-2x2)=
∴
∴k=
又∵k<0，
∴不存在这样的k值，使(2x1-x2)(x1-2x2)= 成立．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】假设存在，根据一元二次方程有两个根可得b2-4ac≥0且k≠0，求解得出k的范围；再根据一元二次方程根于系数的关系，两根和、积用k表示出来，并将已知条件中有关两根的式子适当变形，将两根之积、和的式子代入转化为关于k的方程，求出方程的解结合k的范围判断是否成立，用以判断是假设是否成立.
15．【答案】解：∵关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=-2，x2=3，
∴- 2+3= ，-2×3 =
∴b=-2，c=-12，∴b+c=-2-12=-14．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=，x1·x2==，据此求出b、c的值，继而求解.
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