2024年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）课后提高练
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，且x1=3x2 ，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=8，
∵x1=3x2 ，
解得x1=6，x2=2，
∴m=x1·x2=6×2=12.
故答案为：C.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=8，结合x1=3x2 ， 求出为x1、x2， 利用m=x1·x2即可求解.
2．在解关于x的一元二次方程x2+px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是-3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x-3=0 B．x2+2x-20=0 C．x2-2x-20=0 D．x2-2x-3=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两个根为α，β，
根据题意得α+β=-p=-3+1=-2，αβ=q=5×（-4）=-20，
∴以α，β为根的一元二次方程是 x2+2x-20=0 .
故答案为：B.
【分析】设方程的两个根为α，β，根据根与系数的关系可求出p、q的值，进而求出方程.
3．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
4．（2023八下·长沙期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据一元二次方程根的定义结合一元二次方程根与系数的关系即可得到，再代入求值即可求解。
5．（2023八下·岑溪期末）若是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵是一元二次方程的两根，
∴=3，=-2，
∴=3+（-2）=1
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系先求出、的值，再代入计算即可.
6．（2023八下·包河期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得两边长和为6，
∴三角形第三边长＜6，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合三角形的三边关系即可求解。
7．（2023八下·乐清期中）欧几里得的《原本》记载，形如x2+bx=a2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC= ，再在斜边AB上截取AD= ．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．BD的长
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【解答】解：设BD=x，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a， AC= ，
由勾股定理得（x+）2=a2+（）2，
整理得 x2+bx-a2=0（a≠0，b≠0），
∵△=b2+4a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，因为两根之积等于-a2＜0，
∴方程的根一正一负，
∴方程的正根是BD的长.
故答案为：D.
【分析】设BD=x，根据勾股定理建立出关于x的方程，由根的判别式判断出方程有两个不相等的实数根，由根与系数的关系判断出两根之积等于-a2＜0，可得方程的根一正一负，从而即可得出方程的正根是BD的长.
8．（2023八下·拱墅期中）对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.
二、填空题
9．设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2+3x﹣1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=3，
∴x1+x2=﹣=﹣=3．
故答案是：3．
【分析】利用根与系数的关系x1+x2=﹣解答并填空即可．
10．已知方程x2-4x-1=0的两根为x1，x2，则(1-x1)(1-x2)= ．
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵方程x2-4x-1=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=4，x1·x2=-1，
∴ (1-x1)(1-x2)=1-（x1+x2） +x1·x2=1-4-（-1）=-4.
故答案为：-4.
【分析】先由根与系数的关系可得x1+x2=4，x1·x2=-1，再将原式化为(1-x1)(1-x2)=1-（x1+x2） +x1·x2，然后代入计算即可.
11．（2023八下·海阳期末） 已知、是关于的一元二次方程的两个解，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵、是关于的一元二次方程的两个解，
∴m+n=3，mn=a，
∵，
∴a-3+1=-6，
∴a=-4，
故答案为：-4.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=3，mn=a，再结合，可得a-3+1=-6，再求出a的值即可.
12．（2023八下·包河期中）已知实数a、b、c，，，则c的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴a和b为方程的两个根，
∴，
∴当c＜0时，，
当c＞0时，c≥2，
综上所述，c的取值范围是或，
故答案为：或
【分析】根据题意变形即可得到，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到a和b为方程的两个根，再结合一元二次方程根的判别式结合题意分类讨论即可求解。
三、计算题
13．（2020八下·泰兴期末）已知一元二次方程 .
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为 ， ，且 ，求m的值.
【答案】（1）解：∵方程x2 3x＋m＝0有两个实数根，
∴△＝（ 3）2 4m≥0，
解得m≤ ；
（2）解：由两根关系可知，x1＋x2＝3，x1 x2＝m，
解方程组 ，
解得 ，
∴m＝x1 x2＝2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）一元二次方程x2 3x＋m＝0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1＋x2＝3结合 ，先求x1、x2，再求m.
14．（2019八下·宣州期中）设x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）x12x2+x1x22；
（2）（x1﹣x2）2．
【答案】（1）解：根据题意得x1+x2= ，x1x2= ．
x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）= × =
（2）解：（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2= ﹣4× =
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系得到得x1+x2= ，x1x2= ．（1）利用因式分解法把x12x2+x1x22变形为x1x2（x1+x2 ），然后利用整体代入的方法计算；（2）利用完全平方公式得到（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
15．（2023八下·长沙期末）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别是．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）解：方程有两个实数根，
，
，，，
，
解得：；
（2）解：根据题意得，，
，
，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式即可得到，进而即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
1 / 12024年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）课后提高练
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，且x1=3x2 ，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．在解关于x的一元二次方程x2+px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是-3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x-3=0 B．x2+2x-20=0 C．x2-2x-20=0 D．x2-2x-3=0
3．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2023八下·长沙期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2023八下·岑溪期末）若是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．
6．（2023八下·包河期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．（2023八下·乐清期中）欧几里得的《原本》记载，形如x2+bx=a2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC= ，再在斜边AB上截取AD= ．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．BD的长
8．（2023八下·拱墅期中）对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ．
10．已知方程x2-4x-1=0的两根为x1，x2，则(1-x1)(1-x2)= ．
11．（2023八下·海阳期末） 已知、是关于的一元二次方程的两个解，若，则的值为 ．
12．（2023八下·包河期中）已知实数a、b、c，，，则c的取值范围是 ．
三、计算题
13．（2020八下·泰兴期末）已知一元二次方程 .
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为 ， ，且 ，求m的值.
14．（2019八下·宣州期中）设x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）x12x2+x1x22；
（2）（x1﹣x2）2．
15．（2023八下·长沙期末）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别是．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=8，
∵x1=3x2 ，
解得x1=6，x2=2，
∴m=x1·x2=6×2=12.
故答案为：C.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=8，结合x1=3x2 ， 求出为x1、x2， 利用m=x1·x2即可求解.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两个根为α，β，
根据题意得α+β=-p=-3+1=-2，αβ=q=5×（-4）=-20，
∴以α，β为根的一元二次方程是 x2+2x-20=0 .
故答案为：B.
【分析】设方程的两个根为α，β，根据根与系数的关系可求出p、q的值，进而求出方程.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据一元二次方程根的定义结合一元二次方程根与系数的关系即可得到，再代入求值即可求解。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵是一元二次方程的两根，
∴=3，=-2，
∴=3+（-2）=1
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系先求出、的值，再代入计算即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得两边长和为6，
∴三角形第三边长＜6，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合三角形的三边关系即可求解。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【解答】解：设BD=x，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a， AC= ，
由勾股定理得（x+）2=a2+（）2，
整理得 x2+bx-a2=0（a≠0，b≠0），
∵△=b2+4a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，因为两根之积等于-a2＜0，
∴方程的根一正一负，
∴方程的正根是BD的长.
故答案为：D.
【分析】设BD=x，根据勾股定理建立出关于x的方程，由根的判别式判断出方程有两个不相等的实数根，由根与系数的关系判断出两根之积等于-a2＜0，可得方程的根一正一负，从而即可得出方程的正根是BD的长.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.
9．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2+3x﹣1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=3，
∴x1+x2=﹣=﹣=3．
故答案是：3．
【分析】利用根与系数的关系x1+x2=﹣解答并填空即可．
10．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵方程x2-4x-1=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=4，x1·x2=-1，
∴ (1-x1)(1-x2)=1-（x1+x2） +x1·x2=1-4-（-1）=-4.
故答案为：-4.
【分析】先由根与系数的关系可得x1+x2=4，x1·x2=-1，再将原式化为(1-x1)(1-x2)=1-（x1+x2） +x1·x2，然后代入计算即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵、是关于的一元二次方程的两个解，
∴m+n=3，mn=a，
∵，
∴a-3+1=-6，
∴a=-4，
故答案为：-4.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=3，mn=a，再结合，可得a-3+1=-6，再求出a的值即可.
12．【答案】或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴a和b为方程的两个根，
∴，
∴当c＜0时，，
当c＞0时，c≥2，
综上所述，c的取值范围是或，
故答案为：或
【分析】根据题意变形即可得到，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到a和b为方程的两个根，再结合一元二次方程根的判别式结合题意分类讨论即可求解。
13．【答案】（1）解：∵方程x2 3x＋m＝0有两个实数根，
∴△＝（ 3）2 4m≥0，
解得m≤ ；
（2）解：由两根关系可知，x1＋x2＝3，x1 x2＝m，
解方程组 ，
解得 ，
∴m＝x1 x2＝2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）一元二次方程x2 3x＋m＝0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1＋x2＝3结合 ，先求x1、x2，再求m.
14．【答案】（1）解：根据题意得x1+x2= ，x1x2= ．
x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）= × =
（2）解：（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2= ﹣4× =
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系得到得x1+x2= ，x1x2= ．（1）利用因式分解法把x12x2+x1x22变形为x1x2（x1+x2 ），然后利用整体代入的方法计算；（2）利用完全平方公式得到（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
15．【答案】（1）解：方程有两个实数根，
，
，，，
，
解得：；
（2）解：根据题意得，，
，
，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式即可得到，进而即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。
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