2024年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）课后培优练
一、选择题
1．已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=3，则m的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=2m-1 ，x1·x2=m2，
∴ (x1+1)(x2+1)=x1·x2+（x1+x2）+1=3，
即m2+2m-1+1=3，
解得m=-3或1，
当m=1时，方程为x2-x+1=0，此方程无实数根，
∴m=-3.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2m-1 ，x1·x2=m2，再根据 (x1+1)(x2+1)=x1·x2+（x1+x2）+1=3建立关于m方程，求出m值，再代入方程检验即可.
2．（2023八下·荔湾期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=-3，
∴原式=（x1+x2）2-x1x2=4+3=7.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根与系数可求出x1+x2和x1x2的值，再将代数式转化为（x1+x2）2-x1x2，然后整体代入求值.
3．（2023八下·蜀山期末）方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得：因为所以x1，x2同号，再根据可得x1，x2均为正数。 故答案为：C。
【分析】根据根与系数之间的关系可得两根之和，与两根之积的值，然后根据它们的正负情况，判断出两根的符号，即可得出答案。
4．（2023八下·宁波期中）已知：，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得
x1+x2=-2a=3，x1x2=b=1，
解之： ，b=1.
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2=-2a=3，x1x2 =b=1，然后解方程求出a，b的值.
5．（2023八下·鄞州期中）已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根，且x1+x2=3，x1·x2=1则a，b的值分别是（ ）
A．a=-3，b=1 B．a=3，b=1
C．a=，b=-1 D．a=，b=1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根， x1+x2=3，x1·x2=1
∴-2a=3，b=1，
解之：.
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
6．（2023八下·杭州月考）已知实数，且满足，，则的值为（ ）
A．23 B．-23 C．-2 D．-13
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴（a+1）2+3（a+1）-3=0，（b+1）2+3（b+1）-3=0，
∴a+1和b+1是方程x2+3x-3=0的两个根，
∴a+1+b+1=-3，（a+1）（b+1）=-3，
∴a+b=-5，ab=1，
∴a、b同号，a＜0，b＜0；
原式=.
故答案为：B
【分析】将方程转化为（a+1）2+3（a+1）-3=0，（b+1）2+3（b+1）-3=0，可得到a+1和b+1是方程x2+3x-3=0的两个根，利用一元二次方程根与系数，可求出a+b和ab的值，由此可得到a、b同号，a＜0，b＜0；再将代数式化简，然后整体代入求值.
7．（2022八下·仓山期末）已知两个关于x的一元二次方程 ，其中 .下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0， <0，所以a与c符号相反， <0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 c+ b+a=0，所以 是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】 A、由题意计算方程M、N的b2-4ac的值，根据结论可知两个方程的根的判别式相同；
B、由题意可知△=b2-4ac>0，两根之积（）小于0，则a、c异号，所以方程N也有一个正根和一个负根；
C、由题意把x=5代入方程M中可得25a+5b+c=0，两边同时除以25可得是方程N的一个根；
D、根据方程M、N有一个相同的根可得ax2+bx+c=cx2+bx+a，解之可得x=±1．
8．（2023八下·瑶海期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①根据根与系数的关系可得：，
∴，
∵，∴b=1-a，
∴，
∴故正确；
②∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，
∴m>0，n>0，
故②正确；
③∵一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴4-4（a2+b2+ab）≥0，
∴4-4（a2-a+1）≥0，
∴a≥a2，
故③不正确；
④∵a2+b2+ab=a2-a+1，
∴方程x2-2x+a2+b2+ab=0可化简为x2-2x+a2-a+1=0，
即（x-1）2+a2-a=0，
∵方程（x+1）2+a2-a=0可变形为[（x+2）-1]2+a2-a=0，
∴x1=m-2，x2=n-2，
故④正确；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程根的判别式逐项判断即可.
二、填空题
9．（2023八下·宁波期中）若等腰的一边长6，另两边长恰好是关于方程的两个实数根，则的面积为 ．
【答案】12或
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，
当底边BC=6时，
b2-4ac=0即100-4m=0，
解之：m=25，
∴x2-10x+25=（x-5）2=0
解之：x2=x1=5，
∴腰长AB=AC=5，
∴BD=BC=3，
∴，
∴S△ABC=×6×4=12；
当腰长AB=AC=6时，
设底边长为n，
∴n+6=10，
解之：n=4，
∴BC=4，
∴BD=BC=2，
∴，
∴S△ABC=×4×=；
∴△ABC的面积为12或.
故答案为：12或
【分析】过点A作AD⊥BC，分情况讨论：当底边BC=6时，可知b2-4ac=0，即可得到关于m的方程，解方程求出m的值，据此可求出方程的解，可得到腰长AB=AC=5；利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积；当腰长AB=AC=6时，利用一元二次方程根与系数的关系可求出BC的长，利用勾股定理求出AD的长，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，综上所述可得到△ABC的面积.
10．（2022八下·龙凤期中）关于的一元二次方程．王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由一元二次方程的根与系数关系得：2+4=-，2×4=，
即-=6，=8，
∴-，
故答案为：-．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得-=6，=8，再求出-即可。
11．（2022八下·临淄期中）关于的方程，，是方程的两个根，设，则当的值为2时，k= ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，；
若的值为2时，
则
将，的值分别代入并整理得：
解得：，
∵该方程有两个根，∴，∴舍去，
∴当时，的值为2；
故答案为：2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入可得，再求出k的值即可。
12．（2022八下·杭州月考）设一元二次方程 的两根为 ，则两根分别与方程系数之间有如下关系： 根据该材料选择：已知 是方程 的两根，则 的值为 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+（m+2）x+1＝0的两根，
∴a2+（m+2）a+1＝0，b2+（m+2）b+1＝0，ab＝1，
∴原式＝[a2+（m+2）a+1﹣2a][b2+（m+2）b+1﹣2b]
＝（0﹣2a）（0﹣2b）
＝4ab
＝4．
故答案为：4.
【分析】把x＝a与x＝b分别代入方程得到关于a和b的等式，再利用根与系数的关系得到两根之积，最后将原式变形后代入计算即可求出值．
三、解答题
13．已知关于 的分式方程 2①和一元二次方程 ②， 其中 均为实数， 方程①的根为非负数.
（1） 求 的取值范围.
（2）若方程② 有两个实数根 ， 满足 ，且 为负整数， 试判断 是否成立， 并说明理由.
【答案】（1）解：∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴，
解这个分式方程，得，
∴，
解得；
∵一元二次方程为，
∴，
∴.
综上所述，k的取值范围是；
（2）解：|m|≤2成立，理由如下：
由（1）知，k的取值范围是，
∵k为负整数，
∴k=-1，
∵原一元二次方程化为，
∴
∵，
即，
∴，
即，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴代入n得，
解得，则成立.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）根据方程①的根为非负数以及一元二次方程的二次项系数不能为零，即可解出k的取值范围；
（2）由k为非负数以及k的取值范围，即可得出k的值，把k的值代入一元二次方程，再根据根与系数的关系列出方程，又由所给满足的条件进行计算代入，最终得到关于m和n的代数式，因为方程有两个实数根，所以△≥0，然后把n代入，即可求解.
14．（2023八下·怀化期中）已知关于x的方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为，若，求k值；
（3）若，证明：．
【答案】（1）证明：∵
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：解方程，得，
解得或，
当时，解得，
当时，解得，
综上所述，k的值为5或；
（3）证明：根据根与系数的关系得，
∴
，
∵，
∴，
即．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出根的判别式，并整理为完全平方式的形式，从而得出结论即可；
（2）首先解关于x的方程 ，解得：x=k+1或x=2， 可以分为两种情况：①x1=k+1，x2=2；②x1=2，x2=k+1。然后分别根据x1=3x2，列出等式，求得k的值即可；
（3）根据完全平方公式，可求得M=（x1+x2）2-x1x2，根据一元二次方程根与系数的关系，可得M=（k+2）2+3，从而得出M≥3。
15．（2023八下·长沙期末）若我们规定：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，和的差构成一个新函数，即．称是的“数天数函数”，为“天数点”，为“天数点”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，．点，在“数天数函数”图像上，求的解析式；
（2）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，，是“数天数函数，求的最小值．
（3）关于的方程的两个实数根、，“数天数函数”．若，，且，求的值．
【答案】（1）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴，，
∴，
∵点，在“数天数函数”图像上，
∴，解得，
∴；
（2）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴数天数函数，
∴，
∵，
∴，即的最小值为；
（3）解：∵关于的方程的两个实数根、，
∴，，
∵，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
化简得，
解得或．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先根据“天数点”的定义即可得到，，进而得到，再根据一次函数图象上的点的特征即可求解；
（2）先根据“天数点”的定义即可得到数天数函数，进而结合题意即可求解；
（3）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，进而结合题意即可得到，从而根据题意进行运算即可求解。
1 / 12024年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）课后培优练
一、选择题
1．已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=3，则m的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或3
2．（2023八下·荔湾期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．7
3．（2023八下·蜀山期末）方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
4．（2023八下·宁波期中）已知：，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2023八下·鄞州期中）已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根，且x1+x2=3，x1·x2=1则a，b的值分别是（ ）
A．a=-3，b=1 B．a=3，b=1
C．a=，b=-1 D．a=，b=1
6．（2023八下·杭州月考）已知实数，且满足，，则的值为（ ）
A．23 B．-23 C．-2 D．-13
7．（2022八下·仓山期末）已知两个关于x的一元二次方程 ，其中 .下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
8．（2023八下·瑶海期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·宁波期中）若等腰的一边长6，另两边长恰好是关于方程的两个实数根，则的面积为 ．
10．（2022八下·龙凤期中）关于的一元二次方程．王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么 ．
11．（2022八下·临淄期中）关于的方程，，是方程的两个根，设，则当的值为2时，k= ．
12．（2022八下·杭州月考）设一元二次方程 的两根为 ，则两根分别与方程系数之间有如下关系： 根据该材料选择：已知 是方程 的两根，则 的值为 .
三、解答题
13．已知关于 的分式方程 2①和一元二次方程 ②， 其中 均为实数， 方程①的根为非负数.
（1） 求 的取值范围.
（2）若方程② 有两个实数根 ， 满足 ，且 为负整数， 试判断 是否成立， 并说明理由.
14．（2023八下·怀化期中）已知关于x的方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为，若，求k值；
（3）若，证明：．
15．（2023八下·长沙期末）若我们规定：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，和的差构成一个新函数，即．称是的“数天数函数”，为“天数点”，为“天数点”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，．点，在“数天数函数”图像上，求的解析式；
（2）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，，是“数天数函数，求的最小值．
（3）关于的方程的两个实数根、，“数天数函数”．若，，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=2m-1 ，x1·x2=m2，
∴ (x1+1)(x2+1)=x1·x2+（x1+x2）+1=3，
即m2+2m-1+1=3，
解得m=-3或1，
当m=1时，方程为x2-x+1=0，此方程无实数根，
∴m=-3.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2m-1 ，x1·x2=m2，再根据 (x1+1)(x2+1)=x1·x2+（x1+x2）+1=3建立关于m方程，求出m值，再代入方程检验即可.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=-3，
∴原式=（x1+x2）2-x1x2=4+3=7.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根与系数可求出x1+x2和x1x2的值，再将代数式转化为（x1+x2）2-x1x2，然后整体代入求值.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得：因为所以x1，x2同号，再根据可得x1，x2均为正数。 故答案为：C。
【分析】根据根与系数之间的关系可得两根之和，与两根之积的值，然后根据它们的正负情况，判断出两根的符号，即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得
x1+x2=-2a=3，x1x2=b=1，
解之： ，b=1.
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2=-2a=3，x1x2 =b=1，然后解方程求出a，b的值.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根， x1+x2=3，x1·x2=1
∴-2a=3，b=1，
解之：.
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴（a+1）2+3（a+1）-3=0，（b+1）2+3（b+1）-3=0，
∴a+1和b+1是方程x2+3x-3=0的两个根，
∴a+1+b+1=-3，（a+1）（b+1）=-3，
∴a+b=-5，ab=1，
∴a、b同号，a＜0，b＜0；
原式=.
故答案为：B
【分析】将方程转化为（a+1）2+3（a+1）-3=0，（b+1）2+3（b+1）-3=0，可得到a+1和b+1是方程x2+3x-3=0的两个根，利用一元二次方程根与系数，可求出a+b和ab的值，由此可得到a、b同号，a＜0，b＜0；再将代数式化简，然后整体代入求值.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0， <0，所以a与c符号相反， <0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 c+ b+a=0，所以 是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】 A、由题意计算方程M、N的b2-4ac的值，根据结论可知两个方程的根的判别式相同；
B、由题意可知△=b2-4ac>0，两根之积（）小于0，则a、c异号，所以方程N也有一个正根和一个负根；
C、由题意把x=5代入方程M中可得25a+5b+c=0，两边同时除以25可得是方程N的一个根；
D、根据方程M、N有一个相同的根可得ax2+bx+c=cx2+bx+a，解之可得x=±1．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①根据根与系数的关系可得：，
∴，
∵，∴b=1-a，
∴，
∴故正确；
②∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，
∴m>0，n>0，
故②正确；
③∵一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴4-4（a2+b2+ab）≥0，
∴4-4（a2-a+1）≥0，
∴a≥a2，
故③不正确；
④∵a2+b2+ab=a2-a+1，
∴方程x2-2x+a2+b2+ab=0可化简为x2-2x+a2-a+1=0，
即（x-1）2+a2-a=0，
∵方程（x+1）2+a2-a=0可变形为[（x+2）-1]2+a2-a=0，
∴x1=m-2，x2=n-2，
故④正确；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程根的判别式逐项判断即可.
9．【答案】12或
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，
当底边BC=6时，
b2-4ac=0即100-4m=0，
解之：m=25，
∴x2-10x+25=（x-5）2=0
解之：x2=x1=5，
∴腰长AB=AC=5，
∴BD=BC=3，
∴，
∴S△ABC=×6×4=12；
当腰长AB=AC=6时，
设底边长为n，
∴n+6=10，
解之：n=4，
∴BC=4，
∴BD=BC=2，
∴，
∴S△ABC=×4×=；
∴△ABC的面积为12或.
故答案为：12或
【分析】过点A作AD⊥BC，分情况讨论：当底边BC=6时，可知b2-4ac=0，即可得到关于m的方程，解方程求出m的值，据此可求出方程的解，可得到腰长AB=AC=5；利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积；当腰长AB=AC=6时，利用一元二次方程根与系数的关系可求出BC的长，利用勾股定理求出AD的长，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，综上所述可得到△ABC的面积.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由一元二次方程的根与系数关系得：2+4=-，2×4=，
即-=6，=8，
∴-，
故答案为：-．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得-=6，=8，再求出-即可。
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，；
若的值为2时，
则
将，的值分别代入并整理得：
解得：，
∵该方程有两个根，∴，∴舍去，
∴当时，的值为2；
故答案为：2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入可得，再求出k的值即可。
12．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+（m+2）x+1＝0的两根，
∴a2+（m+2）a+1＝0，b2+（m+2）b+1＝0，ab＝1，
∴原式＝[a2+（m+2）a+1﹣2a][b2+（m+2）b+1﹣2b]
＝（0﹣2a）（0﹣2b）
＝4ab
＝4．
故答案为：4.
【分析】把x＝a与x＝b分别代入方程得到关于a和b的等式，再利用根与系数的关系得到两根之积，最后将原式变形后代入计算即可求出值．
13．【答案】（1）解：∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴，
解这个分式方程，得，
∴，
解得；
∵一元二次方程为，
∴，
∴.
综上所述，k的取值范围是；
（2）解：|m|≤2成立，理由如下：
由（1）知，k的取值范围是，
∵k为负整数，
∴k=-1，
∵原一元二次方程化为，
∴
∵，
即，
∴，
即，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴代入n得，
解得，则成立.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）根据方程①的根为非负数以及一元二次方程的二次项系数不能为零，即可解出k的取值范围；
（2）由k为非负数以及k的取值范围，即可得出k的值，把k的值代入一元二次方程，再根据根与系数的关系列出方程，又由所给满足的条件进行计算代入，最终得到关于m和n的代数式，因为方程有两个实数根，所以△≥0，然后把n代入，即可求解.
14．【答案】（1）证明：∵
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：解方程，得，
解得或，
当时，解得，
当时，解得，
综上所述，k的值为5或；
（3）证明：根据根与系数的关系得，
∴
，
∵，
∴，
即．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出根的判别式，并整理为完全平方式的形式，从而得出结论即可；
（2）首先解关于x的方程 ，解得：x=k+1或x=2， 可以分为两种情况：①x1=k+1，x2=2；②x1=2，x2=k+1。然后分别根据x1=3x2，列出等式，求得k的值即可；
（3）根据完全平方公式，可求得M=（x1+x2）2-x1x2，根据一元二次方程根与系数的关系，可得M=（k+2）2+3，从而得出M≥3。
15．【答案】（1）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴，，
∴，
∵点，在“数天数函数”图像上，
∴，解得，
∴；
（2）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴数天数函数，
∴，
∵，
∴，即的最小值为；
（3）解：∵关于的方程的两个实数根、，
∴，，
∵，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
化简得，
解得或．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先根据“天数点”的定义即可得到，，进而得到，再根据一次函数图象上的点的特征即可求解；
（2）先根据“天数点”的定义即可得到数天数函数，进而结合题意即可求解；
（3）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，进而结合题意即可得到，从而根据题意进行运算即可求解。
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