浙教版数学八年级下学期第一章 二次根式 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020八下·云梦期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
3．（2023八下·青秀期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．我们把形如a+b(a，b为有理数，为最简二次根式)的数叫做型无理数，如2+3是型无理数，则()2是（ ）
A．2型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
5．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
6．（2023八下·良庆期末）下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．已知xy<0，则化简 的结果是 （ ）
A． B． C． D．
9．（2012八下·建平竞赛）若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八下·夏津期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
A．6 B．16 C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023八下·武汉期末）计算： ， ， ．
12．如图，已知阴影部分是一个正方形， ，则此正方形的面积为
13．（2021八下·大安期末）计算： = ．
14．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么称这几个二次根式为同类二次根式若最简二次根式，可以合并，则m-n的值为 .
15．（2023八下·江城期末）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 .
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2019八下·宜昌期中）若 ﹣ ＝（x﹣y）2，求x﹣y的值.
18．已知x=2+ ，y=2- ，求下列式子的值：
（1）x2-y2；
（2）x2y-xy2 ；
（3）x2 +y2+3xy．
19．（2022八下·杭州月考）计算：
（1）
（2）
20．（2023八下·船营期末）计算：÷（×）+.
21．（2023八下·潮南期末）如果最简二次根式与能进行合并．且，化简：．
22．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 16.1《二次根式》）求使 有意义的x的取值范围．
23．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 16.1《二次根式》）当x的取值范围是不等式组 的解时，试化简： .
24．（2020八下·扬州期中）观察下列等式：①
② ；
③ ；……
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，
①化简：
②仿照上例等式，写出第n个式子
（2）计算： .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A. 不是同类二次根式，不能做合并计算；
B. ，故此选项错误；
C. ，故此选项错误；
D. ，正确
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减法，完全平方公式的计算，二次根式的除法法则进行计算，逐个判断.
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式混合运算的运算顺序，化简求解即可.
3．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、是整数，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：，
∴是 型无理数.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法运算化简，由题意可得原式是型无理数.
5．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、是整式，不是二次根式，故A不符合题意；
B、是二次根式，故B符合题意；
C、是三次根式，不是二次根式，故C不符合题意；
D、由于被开方数小于0，不是二次根式，故D不符合题意.
故答案为：B.
，【分析】根据形如“(a≥0）”的式子就是二次根式，据此逐项进行判断，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴a-1＜0，
则 ；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质：（a≥0）可得a-1＜0，根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）和二次根式的性质：即可求解.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵xy＜0，
∴x与y异号；且x≠y≠0；
∵，且x≠y≠0，x2＞0；
∴-y＞0，
即y＜0；
则x＞0；
故；
故答案为：B.
【分析】根据题意可得x与y异号；且x≠y≠0；结合二次根式中被开方数是非负数可得-y＞0；即可得出y＜0，x＞0；根据二次根式的性质进行化简即可.
9．【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据已知条件0＜ x ＜1可得x-10，则=1 x，于是代数式化简的值为2.
10．【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，
∴三个小正方形的边长分别为，，，
∴大正方形的边长为：+-=+，
∴大正方形的面积为（+）2=20+，
∴ 空白部分的面积=20+-（18+12-2）=-8；
故答案为：D.
【分析】先计算出三个小正方形的边长，再求出大正方形的边长，根据空白的面积=大正方形的面积-(S1+S2-2)进行计算即可.
11．【答案】；3；3
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：，3，3.
【分析】根据二次根式的乘法法则：(a、b都是非负数）、二次根式的除法法则：(a≥0，b＞0)，及二次根式的性质：，分别计算即可.
12．【答案】8
【知识点】二次根式的乘除法；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∵AB=4，
∴AC=（等腰直角三角形斜边是直角边的倍）.
或者由勾股定理，
可得：2AC2=16，即AC=，
∴正方形的面积=，
故答案为：8.
【分析】根据等腰直角三角形的性质.斜边等于直角边的的倍，可以得到AC的长度，或者在等腰直角三角形中，利用勾股定理得到AC的长度，正方形的面积等于变长的平方，即为AC2，将AC代入计算可的答案.
13．【答案】9
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用二次根式的乘法计算即可。
14．【答案】2
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解： ∵最简二次根式，可以合并，
所以答案为：m-n=2
【分析】根据同类项的定义即可解本题.
15．【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：是正整数，，
当时，，
故答案为：3.
【分析】根据条件可知12a是一个平方数，而a是正整数，由此可知a的最小值.
16．【答案】2.5
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【解答】解：因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
【分析】根据4＜7＜9，得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值，把m、n的值代入等式化简，求出a、b的值，得到2a＋b的值.
17．【答案】解：由题意得： ，
解得：x＝3，
∴（x﹣y）2＝0，
∴x﹣y＝0.
【知识点】二次根式有意义的条件；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝3，进而可得（x﹣y）2＝0，从而可得答案.
18．【答案】（1）解：∵x=2+ ，y=2-．∴x+y=4，xy=1，x-y=2，∴x2-y2=(x+y)(x-y)=4×2=8
（2）解：x2y-xy2 =xy(x-y)= 1×2=2．
（3）解：x2+y2 +3xy=(x+y)2+xy=42+1=17
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】(1)用平方差公式即可解决本题；
(2)先提取公因式xy， 再把 已知x=2+ ，y=2- 代入，用平方差公式即可解决本题；
(3)把x2+y2 +3xy凑成完全平方公式（x2+y2 +2xy）+xy，再把 已知x=2+ ，y=2- 代入即可.
19．【答案】（1）解：原式=2+4-=5；
（2）解：原式===13×11=143.
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用积的算术平方根将二次根式先化为最简，再合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差公式将被开方式进行因式分解，再将二次根式化为最简二次根式即可.
20．【答案】解：原式=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算括号里，再计算二次根式的除法，最后计算加法即可.
21．【答案】解：∵最简二次根式与能进行合并
∴，
解得．
∵，
∴，
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【分析】由于最简二次根式与能进行合并，可知被开方数相同，据此求出a值，从而得出x的范围，再根据绝对值及二次根式的性质化简即可.
22．【答案】解：由原式得x-3>0，4-x>0，综上得3【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得出不等式组，求解就得出x的取值范围 。
23．【答案】解：解不等式组得 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】首先解不等式组得出x的取值范围，然后在x的取值范围内根据二次根式的性质化简，最后按整式加减法法则运算即可。
24．【答案】（1）解：① ；
②第n个式子为
（2）解：
=
=
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）观察发现每个式子都是分母为连续的两个正整数的算术平方根的和的倒数，其有理化化简的结果，而且结果为分母的有理化因式（能和分母构成平方差形式的式子）；（2）针对每个分式形式有理化化简再合并计算即可.
1 / 1浙教版数学八年级下学期第一章 二次根式 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020八下·云梦期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A. 不是同类二次根式，不能做合并计算；
B. ，故此选项错误；
C. ，故此选项错误；
D. ，正确
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减法，完全平方公式的计算，二次根式的除法法则进行计算，逐个判断.
2．计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【知识点】最简二次根式；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式混合运算的运算顺序，化简求解即可.
3．（2023八下·青秀期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、是整数，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断.
4．我们把形如a+b(a，b为有理数，为最简二次根式)的数叫做型无理数，如2+3是型无理数，则()2是（ ）
A．2型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：，
∴是 型无理数.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法运算化简，由题意可得原式是型无理数.
5．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
6．（2023八下·良庆期末）下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、是整式，不是二次根式，故A不符合题意；
B、是二次根式，故B符合题意；
C、是三次根式，不是二次根式，故C不符合题意；
D、由于被开方数小于0，不是二次根式，故D不符合题意.
故答案为：B.
，【分析】根据形如“(a≥0）”的式子就是二次根式，据此逐项进行判断，即可得出答案.
7．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴a-1＜0，
则 ；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质：（a≥0）可得a-1＜0，根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）和二次根式的性质：即可求解.
8．已知xy<0，则化简 的结果是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵xy＜0，
∴x与y异号；且x≠y≠0；
∵，且x≠y≠0，x2＞0；
∴-y＞0，
即y＜0；
则x＞0；
故；
故答案为：B.
【分析】根据题意可得x与y异号；且x≠y≠0；结合二次根式中被开方数是非负数可得-y＞0；即可得出y＜0，x＞0；根据二次根式的性质进行化简即可.
9．（2012八下·建平竞赛）若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据已知条件0＜ x ＜1可得x-10，则=1 x，于是代数式化简的值为2.
10．（2023八下·夏津期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
A．6 B．16 C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，
∴三个小正方形的边长分别为，，，
∴大正方形的边长为：+-=+，
∴大正方形的面积为（+）2=20+，
∴ 空白部分的面积=20+-（18+12-2）=-8；
故答案为：D.
【分析】先计算出三个小正方形的边长，再求出大正方形的边长，根据空白的面积=大正方形的面积-(S1+S2-2)进行计算即可.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023八下·武汉期末）计算： ， ， ．
【答案】；3；3
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：，3，3.
【分析】根据二次根式的乘法法则：(a、b都是非负数）、二次根式的除法法则：(a≥0，b＞0)，及二次根式的性质：，分别计算即可.
12．如图，已知阴影部分是一个正方形， ，则此正方形的面积为
【答案】8
【知识点】二次根式的乘除法；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∵AB=4，
∴AC=（等腰直角三角形斜边是直角边的倍）.
或者由勾股定理，
可得：2AC2=16，即AC=，
∴正方形的面积=，
故答案为：8.
【分析】根据等腰直角三角形的性质.斜边等于直角边的的倍，可以得到AC的长度，或者在等腰直角三角形中，利用勾股定理得到AC的长度，正方形的面积等于变长的平方，即为AC2，将AC代入计算可的答案.
13．（2021八下·大安期末）计算： = ．
【答案】9
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用二次根式的乘法计算即可。
14．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么称这几个二次根式为同类二次根式若最简二次根式，可以合并，则m-n的值为 .
【答案】2
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解： ∵最简二次根式，可以合并，
所以答案为：m-n=2
【分析】根据同类项的定义即可解本题.
15．（2023八下·江城期末）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 .
【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：是正整数，，
当时，，
故答案为：3.
【分析】根据条件可知12a是一个平方数，而a是正整数，由此可知a的最小值.
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
【答案】2.5
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【解答】解：因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
【分析】根据4＜7＜9，得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值，把m、n的值代入等式化简，求出a、b的值，得到2a＋b的值.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2019八下·宜昌期中）若 ﹣ ＝（x﹣y）2，求x﹣y的值.
【答案】解：由题意得： ，
解得：x＝3，
∴（x﹣y）2＝0，
∴x﹣y＝0.
【知识点】二次根式有意义的条件；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝3，进而可得（x﹣y）2＝0，从而可得答案.
18．已知x=2+ ，y=2- ，求下列式子的值：
（1）x2-y2；
（2）x2y-xy2 ；
（3）x2 +y2+3xy．
【答案】（1）解：∵x=2+ ，y=2-．∴x+y=4，xy=1，x-y=2，∴x2-y2=(x+y)(x-y)=4×2=8
（2）解：x2y-xy2 =xy(x-y)= 1×2=2．
（3）解：x2+y2 +3xy=(x+y)2+xy=42+1=17
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】(1)用平方差公式即可解决本题；
(2)先提取公因式xy， 再把 已知x=2+ ，y=2- 代入，用平方差公式即可解决本题；
(3)把x2+y2 +3xy凑成完全平方公式（x2+y2 +2xy）+xy，再把 已知x=2+ ，y=2- 代入即可.
19．（2022八下·杭州月考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2+4-=5；
（2）解：原式===13×11=143.
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用积的算术平方根将二次根式先化为最简，再合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差公式将被开方式进行因式分解，再将二次根式化为最简二次根式即可.
20．（2023八下·船营期末）计算：÷（×）+.
【答案】解：原式=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算括号里，再计算二次根式的除法，最后计算加法即可.
21．（2023八下·潮南期末）如果最简二次根式与能进行合并．且，化简：．
【答案】解：∵最简二次根式与能进行合并
∴，
解得．
∵，
∴，
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【分析】由于最简二次根式与能进行合并，可知被开方数相同，据此求出a值，从而得出x的范围，再根据绝对值及二次根式的性质化简即可.
22．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 16.1《二次根式》）求使 有意义的x的取值范围．
【答案】解：由原式得x-3>0，4-x>0，综上得3【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得出不等式组，求解就得出x的取值范围 。
23．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 16.1《二次根式》）当x的取值范围是不等式组 的解时，试化简： .
【答案】解：解不等式组得 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】首先解不等式组得出x的取值范围，然后在x的取值范围内根据二次根式的性质化简，最后按整式加减法法则运算即可。
24．（2020八下·扬州期中）观察下列等式：①
② ；
③ ；……
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，
①化简：
②仿照上例等式，写出第n个式子
（2）计算： .
【答案】（1）解：① ；
②第n个式子为
（2）解：
=
=
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）观察发现每个式子都是分母为连续的两个正整数的算术平方根的和的倒数，其有理化化简的结果，而且结果为分母的有理化因式（能和分母构成平方差形式的式子）；（2）针对每个分式形式有理化化简再合并计算即可.
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