浙教版七年级数学每日一题81-85二元一次方程组中的新定义问题（含解析）

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七年级每日一题81——二元一次方程组中的新定义问题
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81．定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）．
例如，当时，．
(1)当时， 　　；
(2)若，求a和b的值；
(3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值
七年级每日一题82——二元一次方程组的新定义问题
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82．规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题．
(1)已知A（ 1，2），B（4， 3），C（ 3，4），请问哪个点是方程2x+3y=6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y=6的“理想点”并说明理由；
(2)已知m，n为非负整数，且，若P（，）是方程2x+y=8的“理想点”，求的平方根．
(3)已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y=1和的“理想点”，求点P的坐标．
七年级每日一题83——二元一次方程组的新定义问题
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83．对，定义一种新运算，规定（其中，是非零常数且），这里等式右边是通常的四则运算．
如：，．
（1）填空：_____（用含，的代数式表示）；
（2）若且．
①求与的值；
②若，求的值．
七年级每日一题84——二元一次方程组的新定义问题
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84．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x＋10y＋y＝5 即2（2x＋5y）＋y＝5③
把方程①带入③得：2×3＋y＝5，∴y＝﹣1
把y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x，y满足方程组．
（i）求x2＋4y2的值；
（ii）求＋的值．
七年级每日一题85——二元一次方程组的新定义问题
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7．阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足2m＝8＋n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．
每日一题81答案
【81】（1）当时，，
（2），
，解得：，
∴a和b的值分别为，；
（3），
，
，
化简得：，解得：，
∴a和b的值分别为，．
每日一题82答案
(1)，
∴点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点”．
(2)把代入方程，得，又∵
解得，
因为为非负整数，所以
(3)
由题意得，解得
∵x是整数，
∵y是整数，或
当时，；
当时，；
当时，；
当时，
所以点P的坐标为
每日一题83答案
【83】解：（1）；
故答案为：；
（2）①∵且，
∴
解得：
②∵a=1，b=，且x+y≠0，
∴．
∴，
∵，
∴，
解得：．
每日一题84答案
【84】解：（1）把方程②变形为： ，
，
，
把 代入 得 ，
即方程组的解为；
（2）（i）原方程变形为 ，
①+② 得， ，
，
（ii）由 代入②得 ，
∴（x＋2y）2＝x2＋4y2＋4xy＝17＋8＝25，
∴ x＋2y＝5或x＋2y＝﹣5，
则＝＝±．
每日一题85答案
【详解】解：（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，理由如下：
∵ ， ∴ ，
∵2×6＝8＋4，∴点A是爱心点；
∵ ，∴ ，
∵2×5≠8＋10，∴点B不是爱心点；
（2）∵点C为爱心点，
∴ ，∴n＝﹣18，
又∵2m＝8＋n，∴2m＝8＋（﹣18），解得m＝﹣5，
∴﹣5﹣1＝a，即a＝﹣6；
（3）解方程组得 ，
又∵点B是爱心点满足：，
∴，
∵2m＝8＋n，
∴2p 2q＋2＝8＋4q 2，
整理得：2p 6q＝4，
∵p，q是有理数，
∴p＝0，-6q＝4，
∴p＝0，q＝ ．
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