八年级数学 下册试题 4.4 平行四边形的判定定理同步练习-浙教版（含答案）

4.4 平行四边形的判定定理
一、单选题
1．已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是（　　）
A．ABCD，AD＝BC B．∠A＝∠D，∠B＝∠C
C．ABCD，AB＝CD D．AB＝CD，∠A＝∠C
2．将△ABC平移得到△，若，则的度数是（ ）
A．10° B．80° C．100° D．160°
3．百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形（如图），以下结论：
①；
②若，则；
③若，则；
④存在凹四边形，有．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
4．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形．
A．应补充：且 B．应补充：且
C．应补充：且 D．应补充：且
5．如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将 DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
以下是证明过程，其顺序已被打乱，
①∴四边形ABCD为平行四边形；
②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD=OB，OE=OF；
③连接BD，交AC于点O；
④又∵AE=CF，∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC
正确的证明步骤是（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
7．和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．（垂直于） B．（不平行）
C．（垂直于） D．（平行）
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
9．如图，，分别是的边，上的点，，．将四边形沿翻折，得到，交于点．则的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
10．证明：平行四边形的对角线互相平分
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O
求证：OA＝OC，OB＝OD
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴…
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，
∴△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，OB＝OD
其中，在“四边形ABCD是平行四边形”与“∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO”之间应补充的步骤是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AD//BC，AD＝BC
C．AB//CD，AD//BC D．AB//CD，AB＝CD
11．如图，设是边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、填空题
12．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______．
13．已知平面上有三个点，点，以点，点点为顶点画平行四边形，则第四个顶点的坐标为____．
14．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，已知△ABC，A(2，3)，B(－2，0)，C(0，－1)．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为____________．
15．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______．
16．如图，在□中，已知，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发在上往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），设运动时间为，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，则的值可以是__________．
17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S1、S2、S3，若S1＋S3＝4S2，则＝___．
18．如图，在 ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________．
19．如图，己知中，点M是BC的中点，线段AM、BD互相垂直，AM=3，BD=6，则该平行四 边形的面积为____．
20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．
21．如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别在CD和BC的延长线上，，，则______．
22．如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝5，且△ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形，下列结论中：①∠BAC＝90°；②四边形AFED为平行四边形；③四边形AFED面积为10；④∠DEF＝30°，正确的是___．（填序号即可）
三、解答题
23．点D是的边上一点，且，点E是的中点，若，求的长．
24．如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将△ABC绕点逆时针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AB上，连结CE．当BC=AC时，
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若AB＝15，AD＝18，求AC的长．
25.如图，在四边形中，，，，，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，， 两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为．
（1）当时，四边形的面积为 ．
（2）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值；
（3）当时，若，则当为何值时，是等腰三角形？
26．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F，作EG∥AB交CB于点G．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）求证：CF＝BG；
（3）若F是CG的中点，EF＝1，求AB的长．
27．如图是数学教材的部分内容．
（定理证明）
（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）
（2）如图②，四边形中，、、分别为、、的中点，边、延长线交于点，，则的度数是_______．
（3）如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．
答案
一、单选题
1．C 2．B 3.A 4．C 5．C 6．C 7．D 8．C 9．C 10．D 11．A
二、填空题
12．①④
13．或或
14．(0，4)或(4，2)或(－4，－4)
15．．
16．或或
17．3
18．
19．12
20．8
21．8
22．①②④
三、解答题
23．
延长AE至F，使，连接BF、DF、CF，如图所示：
则，
点E是BD的中点，
，
四边形ABFD是平行四边形，
，∠BFD=∠BAC=60°，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
24．
解：（1）∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，
∴∠A=∠BDA，
∵BC=AC，
∴∠A=∠ABC，BE=AC，
∴∠BDA=∠DBE，
∴BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵BD=BA，BH⊥AD，
∴AH=AD＝9，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
BH=＝12，
设AC=BC=x，则CH=x-9，
在Rt△HCB中，由勾股定理得：
（x-9）2+122=x2，
解得=，
∴AC的长为．
25．
解：（1）∵边形中，，，，，，
点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，
当时，AQ＝4cm，PB＝8cm，
∴DQ＝16－2＝12cm，PC＝20－8＝12cm，
∴DQ ＝PC，
∴此时四边形为平行四边形，
四边形的面积为：，
故答案为：；
（2）未到达点时，要使四边形是平行四边形，
则，
，
解得．
四边形是平行四边形时，的值是．
（3）①如图，若，
过点作于点，
则，
，
，
，
，
解得：．
②如图，若，
过作于，
则，
，
在中，
，
，
解得．
当或时，是等腰三角形．
26．
（1）证明：过E作EM∥BC交AB于M，
∵EG∥AB，
∴四边形EMBG是平行四边形，
∴BG＝EM，∠B＝∠EMD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠7＝90°，∠2+∠3＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠7，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）证明：
过E作EM∥BC交AB于M，则四边形EMBG是平行四边形，
∴BG=EM，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝∠EMD，
∵在△CAE和△MAE中
，
∴△CAE≌△MAE（AAS），
∴CE＝EM，
∵CE＝CF，EM＝BG，
∴CF＝BG．
（3）∵CD⊥AB，EG∥AB，
∴EG⊥CD，
∴∠CEG＝90°，
∵CF＝FG，
∴EF＝CF＝FG，
∵CE＝CF，
∴CE＝CF＝EF＝1，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠ECF＝60°，
∴BC＝3，∠B＝30°，
∴
∴Rt△ABC中
∴
解得．
27．
（1）证明：延长至，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，；
（2）∵、、分别为、、的中点，
∴是△DAB的中位线，是△BCD的中位线，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：延长至，使，连接，，
，，
，由勾股定理得，，
当点在线段上时，最小，最小值为，
当点在线段的延长线上时，最大，最大值为，
长的最大值为，最小值为．