浙教版八年级数学 下册试题 2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习（含答案）

2.4一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．已知，为一元二次方程的两个实数根，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
4．已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根
5．两根均为负数的一元二次方程是（　　）
A． B． C． D．
6．如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　）
A．2023 B．2027 C．2028 D．2029
7．如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　）
A．0≤m≤1 B．≤m C．≤m≤1 D．8．若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．若m，n是方程x2－x－2022＝0的两个根，则代数式（m2－2m－2022）（－n2＋2n＋2 022）的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
10．下列说法正确的个数是( )
①已知一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，若a+b+c=0，则b2-4ac>0；
②若一元二次方程ax2+bx+c=0=0 (≠0)，方程两根为-1和2，则=0；
③方程的两根之和为-2，两根之积为-7；
④方程的两根之和为2，两根之积为7．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则该方程的另一个根是______．
12．已知实数a、b（），且，；则的值是___________；
13．如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式=___．
14．方程与的所有根的和为______．
15．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则a=________．
16．已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是_________．
17．若关于的一元二次方程 ，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为________________________．
18．已知一元二次方程中，下列说法：
①若，则；
②若方程两根为-1和2，则；
③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
④若，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的有______．（填序号）
三、解答题
19．己知一元二次方程的两个实数根为，．
求证：
________；________；
；
20．已知关于的方程．
(1) 当取什么值时，一元二次方程没有实数根？
(2) 对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的差的平方．
已知关于x的方程；
(1) 求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；
(2) 当等腰的一边长为4，另外两边b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长以及m的值．
22．已知关于x的一元二次方程①有两个实数根，．
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 从因式分解法可知，方程①也可转化为②．把方程②的左边展开化成一般形式后，可以得到方程①两个根的和、积与系数分别有如下关系：______，______；（用含k的式子表示）
(3) 是否存在实数k，使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
23．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：，方程的两个根分别是，；
第2个方程：，方程的两个根分别是，；
第3个方程：；方程的两个根分别是，；
第4个方程：；方程的两个根分别是，；
……
请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ．
如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少．
24．阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
材料理解：一元二次方程的两个根为，，则
_________．
类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值．
答案
一、单选题
1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．C
二、填空题
11．
12．1
13．2033
14．-1
15．-5
16．
17．
18．②③④
三、解答题
19．
解：（1）根据一元二次方程的两个实数根为，，
，，，
可得：；，
故答案为：，；
（2）∵；，
∴，
即所求的值为：；
（3）∵；，
∴，
即所求的值为：；
20．
解：（1）解：方程中，若一元二次方程没有实数根，则，解的：．
（2）解： 令，解得：，即当是方程有两个根，
取代入可得方程为：
设方程的两根为：，，则，，
∵
∴．
21．
解：（1）证明：∵在方程中，
，
∴无论取何值时，这个方程总有实数根；
（2）当为底边时，，
∴，
解得：，
∴，
此种情况不合适，
当为腰时，将代入原方程得：
，
解得：，
∴，
∴的周长．
22．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
化简整理，得，
解得：；
（2）解：∵关于x的一元二次方程①有两个实数根，．
∴②．，
∴，
比较①②得：，，
故答案为：；
解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
整理，得
解得：，，
又由（1）知，
∴．
∴存在，当时，使得成立．
23．
解：（1）由题意可知：
∵方程的一次项系数为：，
∴，
∵方程的常数项为：，
∴，
所以，对应的一元二次方程为：．
（2）∵
∴，
∵
∴是“邻根方程”．
（3）∵，
∴，
∴，，
∵关于x 的方程（m是常数）是“邻根方程”，
∴或，
∴解得：m=2或4，
又∵方程两根为直角三角形的两条边，
当方程两根为2和3时：
若2和3为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：；
若2为直角边，3为斜边时，则此三角形的第三边长为：；
当方程两根为3和4时：
若3和4为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：；
若3为直角边，4为斜边时，则此三角形的第三边长为：；
综上所述：此三角形的第三边长为或；5或．
24．（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
∴，
故答案为：
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为、，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数、满足，，
∴与看作是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
，
∴，
∴．