浙教版九上数学第三章：圆的基本性质培优训练(二)
1.如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′?OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.21·cn·jy·com
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC.
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2.
3.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
4.如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
5.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，求四边形MANB面积的最大值21教育网
6.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值21cnjy.com
已知A、B、C是半径为2的圆O上的三个点，其中点A是弧BC的中点，连接AB、AC，点
D、E分别在弦AB、AC上，且满足AD=CE.
（1）求证：OD=OE； （2）连接BC，当BC=2时，求∠DOE的度数.
8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C． （1）求证：CB∥PD； （2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F，
(1)请探索OF和BC的关系并说明理由；
(2)若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．(结果保留π)
10.如图，点A和动点P在直线上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ:AB=3:4，作△ABQ的外接圆O. 点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线⊥，过点O作OD⊥于点D，交AB右侧的圆弧于点E。在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF，设AQ=21世纪教育网版权所有
（1）用关于的代数式表示BQ，DF；
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长；
（3）在点P的整个运动过程中，
①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于另一点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）
浙教版九上数学第三章：圆的基本性质培优训练(二)答案
1..解：∵⊙O的半径为4，点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，点B在⊙O上， OA=8，
∴,
即.
∴.∴点B的反演点B′与点B重合.
如答图，设OA交⊙O于点M，连接B′M，
2.解：（1）∵BC=DC，∠CBD=39°，∴∠BDC=∠CBD=39°.
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD.
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠BDC+∠CBD=78°.
（2）证明：∵BC=DC，∴∠BDC=∠CBD.
∵EC=BC，∴∠CBE=∠CEB.
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAC=∠BDC.
∴∠1=∠CBE∠CBD=∠CEB∠CBD=∠2+∠BAC∠CBD
=∠2+∠BDC∠CBD=∠2.
3.解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC中，BC=
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣
4.（1）证明：连接OC，
∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴OA=AC，同理OB=BC，
∴OA=AC=BC=OB，
∴四边形AOBC是菱形，
∴AB平分∠OAC；
（2）解：连接OC，
∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴OAC是等边三角形，
∵OA=AC，
∴AP=AC，
∴∠APC=30°，
∴△OPC是直角三角形，
∴．
5.解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．21世纪教育网版权所有
6.解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=×60°=30°，
由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′=OA=×1=，
即PA+PB的最小值=．．
9.解：(1)OF∥BC，OF＝BC.
理由：由垂径定理得AF＝CF.
∵AO＝BO，∴OF是△ABC的中位线．
∴OF∥BC，OF＝BC.
(2)连接OC.由(1)知OF＝
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠D＝30°，∴∠A＝30°.∴AB＝2BC＝2.∴AC＝
∴S△AOC＝×AC×OF＝
∵∠AOC＝120°，OA＝1，∴S扇形AOC＝
∴S阴影＝ S扇形AOC－S△AOC＝
10.解：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ：AB=3：4，AQ=，∴AB=.∴BQ=.
又∵OD⊥，，∴OD∥.
∵OB=OQ，∴AH=BH=AB=.∴FD=CD=.
（2）∵AP=AQ=，PC=4，∴CQ=.
如答图1，过点O作OM⊥AQ于点M，∴OM∥AB.
∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°，
∴点O是BQ的中点..∴QM=AM=.
∴OD=MC=.∴OE=BQ=.
∴ED=.
∴.
解得（舍去）.∴AP=.
（3）①若矩形DEGF是正方形，则ED=FD.
当点C在点Q的右侧时，
i）如答图1，点P在点A的右侧时，
由解得，
∴AP=.
ii）点P在点A的左侧时，
（I）如答图2，时，
∵ED=，FD=，∴由解得，
∴AP=.
（II）如答图3，时，
∵ED=， DF=，
∴由解得（舍去）.
当点C在点Q的左侧时，即，如答图4，
∵DE=， DF=，
∴由解得.
