八年级数学下册试题 6.3 反比例函数的应用--反比例函数动点问题习题-浙教版（含答案）

6.3 反比例函数的应用--反比例函数动点问题
一、单选题
1．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数上一个动点，轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会　　
A．先增后减 B．先减后增 C．逐渐减小 D．逐渐增大
2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于A（1，12）和B（6，2）两点．点P是线段AB上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图像于点M、N，则四边形PMON面积的最大值是（　 　）
A． B． C．6 D．12
3．如图，已知A、B是反比例函数（，）图象上的两点，轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作轴，轴，垂足分别为M、N．设四边形的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，A、B是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是( )
①；②；③若，则平分；④若，则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
5．图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧，且，连接．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．已知反比例函数y=和正比例函数y=的图像交于点M，N，动点P(m，0)在x轴上.若△PMN为锐角三角形，则m的取值为( )
A．-2＜m＜且m≠0 B．-＜m＜且m≠0
C．-＜m＜-或＜m＜ D．-2＜m＜-或＜m＜2
7．函数和在第一象限内的图像如图，P是 的图象上一动点， PC⊥ x轴于点 C，交 的图象于点 A，PD ⊥y 轴于点D，交的图像于点B，当点P在的图像上运动时，下列结论错误的是（ ）
A．△ODB与△OCA的面积相等 B．当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点
C． D．当四边形 OCPD 为正方形时，四边形 PAOB 的面积最大
8．如图，已知动点P在函数的图象上运动，轴于点M，轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=-x+1交于点E，F，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
9．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有动点A，连接OA，y＝（x＞0）的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①k＝1；②S△BOC＝；③S△CDF＝S△AOC；④若BD＝AO，则∠AOC＝2∠COE．其中正确的是（　　）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
10．函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，点A为反比例函数y＝（k＜0．x＜0）图象上的动点，过点A分别作x轴，y轴的平行线交反比例函数y＝于点B、点C，若AB AC＝9，则k的值为_____．
12.如图，点P是直线y＝3上的动点，连接PO并将PO绕P点旋转90°到PO′，当点O′刚好落在双曲线（x＞0）上时，点P的横坐标所有可能值为_____．
13．如图，已知点是双曲线在第一象限上的一动点，连接，以为一边作等腰直角三角形（），点在第四象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在某个函数图像上运动，则这个函数表达式为______．
14．如图，点A是双曲线y=在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．
15．点A（1，3）是双曲线y上一点，点C是双曲线y上动点，直线AC交y轴于点E，交x轴于点N，直线AO交另一支曲线于点B，直线BC分别交x轴于点M，交y轴于点F，则EF＝_____．
16．在直角坐标系中有过点的反比例函数，在轴上有一点，在反比例函数图象上有一个动点，以为一边作一个正方形，当正方形有两个顶点在坐标轴上时，点坐标为__________．
17．如图，点P是反比例函数的图象上的动点，点P绕着定点顺时针旋转45°，得到一个新的点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，若的面积是，则k的值为______．
18．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与版比例函数（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求反比例函数的解析式为_____________．
（2）根据图象直接写出kx＋b＜的x的取值范围为_____________．
（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的动点，当|DE－PE|最大时，求点E的坐标为_____________．
三、解答题
19．如图一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式
(2) 求的面积．
(3) 根据图象直接写出时,的取值范围;
(4) 已知点,设点是坐标平面内一个动点,当点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点的坐标.
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
连接并延长交双曲线于点C，点D为y轴上一动点，点E为直线上一动点，连接，求当最小时点D的坐标；
在（2）的条件下，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1) 求函数的表达式；
(2) 根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；
(3) 点C是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，求C点的坐标．
22．如图，四边形是菱形，点B在x的正半轴上，直线交y轴于点D轴交x轴于点B，反比例函数的图象经过点．
(1) 求直线的解析式
(2) 如图1，点P是直线上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当最小时，求点P的坐标；
(3) 如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A-C-B时停止，设点N的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t的函数关系式．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1) 求，的值；
(2) 直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积；
(3) 以线段为对角线做正方形（如图），点是线段（不与点、重合）上的一动点，是的中点，交于，当点在上运动时，请直接写出线段长度的取值范围．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．
(1) 求点A和点C的坐标；
(2) 如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；
(3) 在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、单选题
1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．D 8．C 9．D 10．C
二、填空题
11．﹣1或﹣4．
12．，.
13．．
14．y=﹣．
15．6
16．或或或或
17．-1
18． 0＜x＜4 E(0,3)．
三、解答题
19．
（1）解：，在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式是．
，
解得，
，
一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：设直线与轴相交于点，
令，得，
的坐标是，
，
．
（3）解：观察函数图象可知，当时，直线在图象的上方，
另外，当时，直线在第二象限，在第三象限，因此直线在图象的上方，
综上可知，当时，x的取值范围为：或；
（4）解：当平行四边形中为边，为对角线时，如下图所示，
,，
，即，
点D的横坐标为，纵坐标为，
点D的坐标为；
当平行四边形中，为边时，如下图所示，
,，
，即，
点D的横坐标为，纵坐标为，
点D的坐标为；
当平行四边形中为边，为对角线时，如下图所示，
,，
，即，
点D的横坐标为，纵坐标为，
点D的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
20．
（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把点代入得：，
∴点，
把点，代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图，作点C关于y轴的对称点G，连接，过点G作于点F，连接交y轴于点J，设直线交y轴于点H，交x轴于点L，则，
∴，
即当点E与点F重合时，最小，最小值为的长，
对于，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∵连接并延长交双曲线于点C，点，
∴点，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点F在的垂直平分线上，
即点F与点L重合，
∴此时点D与点J重合，
∴当最小时点D的坐标为；
（3）解：设点，，
当以为边时，，且互相平分，即
，解得：或，
经检验：是原方程组的解，且符合题意，
∴点N的坐标为或；
当以为对角线时，，且互相平分，即
，解得：或，
经检验：是原方程组的解，且符合题意；
∴点N的坐标为或；
综上所述，点N的坐标为或或或．
21．
（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：由图象可知：
当或时，直线在双曲线上方，
∴一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为：或；
（3）解：∵的面积等于的面积，
∴点到直线的距离等于点到直线的距离，
∴将直线向上或向下平移1个单位，得到直线，直线与双曲线在第一象限的交点即为点，如图：
∵，
∴，，
联立，解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
联立，解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
综上：点的坐标为：或．
22．
解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，即，
∴点A为，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴点B的坐标为：；
设直线为，
∴，
解得，
∴直线的解析式；
（2）连接、，与相交于点P，则，即当有最小值时，有最小值，如图
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴点C是点O关于的对称点，
∴，
∴，
∴当有最小值时，有最小值，
即当时，有最小值，
∵点C是点A向右平移5个单位得到，
∴点C的坐标为：，
把代入，则，
∴点P的坐标为：；
（3）如图，
在函数中，令，，
∴点D为，
∵，，，
∴，
∴，，
∴；
当点N在线段AC上运动时，即时，
；
当点N在线段CB上运动时，即时，
；
∴S与t的函数关系式为：
23．
（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴对于函数，当时，，解得，
∴，
∴点A的坐标为，
∴；
（2）解：如图所示，过点C作轴于E交于F，
∵，
∴A为的中点，
∵点D在x轴上，点A的坐标为，
∴点C的纵坐标为6，
∴点C的横坐标为，
∴点C的坐标为，
∴点F的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点A作轴于H，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，
∴点E的坐标为，
∵直线与y轴交于B，
∴点B的坐标为，
同理可得点F的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
∵，M是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴
，
∵G在上（不包括B、F），
∴，
∴，
∴，
∴．
24．
（1）解：∵y=-2x+2与x轴交于点A，
∴0=-2x+2，得x=1，
∴点A（1，0）；
过点C作CH⊥y轴于点H，
∴∠CHB=∠BOA=90°，
∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，
∴∠BAC=45°，
又∵BC⊥AB，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠CBH=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
在△AOB和△BHC中，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH=AO=1，CH=BO，
设OB=a，则OH=a+1，
∴点C（a，-a-1），
∵点C在直线l上，
∴-a-1=-2a+2，
∴a=3，
∴C（3，-4）；
（2）解：将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，
A（1，0），B（0，-3），C（3，-4），
∴点D（1，3t），点E（0，-3+3t），点F（3，-4+3t），
∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，
∴1×3t=3×（-4+3t），
∴t=2；
（3）解：由（2）知E（0，3），F（3，2），
设P（b，0），
则，，，
当EF为对角线时，则PE=PF，即，
∴，
解得：b=，
∴P（，0），
点P（，0）向左平移个单位、向上平移3个单位到E（0，3），
∴点F（3，2）向左平移个单位、向上平移3个单位到Q（3-，2+3），
∴Q（，5）；
当EP为对角线时，则EF=PF，即，
∴，
解得：b=+3或+3，
∴P（+3，0）或（+3，0），
当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；
当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；
当EQ为对角线时，则EF=PF，即，
∴，
解得：b=1或-1，
∴P（1，0）或（-1，0），
当P（1，0）时，同理得Q（4，-1）；
当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）；
综上所述：点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．