八年级数学下册试题 6.3反比例函数的应用--反比例函数存在性问题-浙教版（含答案）

6.3反比例函数的应用--反比例函数存在性问题
一、解答题
1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
求反比例函数和一次函数的解析式；
请直接写出不等式的解集．
若直线与轴交于点轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．点在反比例函数的图像上的一点，轴，垂足为，与交于点，．
(1) 求，的值；
(2) 若点为轴上的一点，求当最小时，点的坐标；
(3) 是平面内一点，是否存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（x>0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与x轴相交于N点．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 求△AOB的面积；
(3) 在直线AB上是否存在点P，使得S△ONP=3S △AOB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．已知反比例函数y图象过第二象限内的点A（﹣2，2），若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数y的图象上另一点B（m，﹣1），与x轴交于点M．
(1) 求反比例函数的解析式和直线y＝ax+b解析式．
(2) 若点C的坐标是（0，﹣2），求△CAB的面积．
(3) 在x轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
6．一次函数y＝ax﹣1的图象与x轴交于点C（2，0），与反比例函数y（k≠0）的图象的交点为A和B，且点B的横坐标是﹣2，
(1) 求反比例函数解析式；
(2) 若x轴上存在点D，使得BC＝CD，直接写出点D的坐标．
7．如图，点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C，DC=5．
(1) 求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
(2) 连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知反比例函数的图象经过第二象限内的点，轴于点，的面积为2．若直线经过点，并且经过反比例函数的图象上另一点．
（1）求直线的解析式；
（2）设直线与轴交于点，求的长；
（3）在双曲线上是否存在点，使得的面积为8？若存在请求点坐标；若不存在请说明理由．
9．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数的图象y＝mx+n的图象交于点A（﹣2，1），点B（1，a）．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）若在x轴上存在一点P，使得S△PAB＝3，直接写出点P的坐标．
10．如图，直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，AC平行于x轴，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．延长CA交y轴于点D，AD＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，使△PAB的周长最小，若存在，直接写出此时△PAB的周长；若不存在，说明理由．
11．如图，反比例函数 y＝的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；
（4）在y轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标.
12．如图，点A是反比例函数上一点，作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，点A坐标为(-1，m)．
(1) 求k和m的值．
(2) 若直线经过点A，交另一支双曲线于点C，求△AOC的面积．
(3) 指出x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出结果．
(4) 在y轴上是否存在点P，使得△PAC的面积为6，如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，B两点．
(1) 求一次函数的解析式及B点的坐标；
(2) 在网格中画出一次函数的图像，并根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3) 若在x轴上存在点P使得，求P的坐标．
14.如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于．
求线段的长度；
在x轴上存在一点C，使为等腰三角形，求此时点C的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 求的面积；
(3) 在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1) 直接写出关于的不等式的解集；
(2) 在轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，反比例函数与的图象交于，两点，轴，直线与轴、轴分别交于，两点，若，．
求反比例与一次函数的表达式；
当时，求的取值范围；
在反比例的图象上（除点外）还存在到点的距离等于线段的点吗？若不存在，请说明理由，若存在，直接写出该点的坐标．
18．如图，点C是反比例函数图象的一点，点C的坐标为．
(1) 求反比例函数解析式；
(2) 若一次函数与反比例函数相交于A，C点，求点A的坐标；
(3) 在x轴上是否存在一个点P，使得的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于N点．
(1) 求一次函数的表达式：
(2) 求的面积；
(3) 在直线AB上是否存在点P，使得，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
一、解答题
1．
（1）解：把点代入得，，
，
∴反比例函数的解析式为；
把代入得，，
，
把点代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由一次函数图象与反比例函数图象可知，不等式的解集，即的解集为：或
（3）解：轴上存在一点，使；
当时，，
解得：，
，
设，
或，
或．
2．
（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
∴，即，
∴，代入反比例函数得，，即，则反比例函数为
∴，．
（2）解：一次函数与轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∵轴，垂足为，且点在反比例函数的图像上的一点，
∴点的横坐标为，
∴，且，
如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
∴，即求的最小值时点的坐标，
∵，设直线的解析式为，
∴，解方程组得，，
∴直线的解析式为，
∴令时，，即点，
∴当最小时，点的坐标．
（3）解：，，，
如图所示，过点作轴于，作于，连接，
∴，，即，，，
∴在中，；在中，；在中，，
①如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，
∴四边形为平行线四边形，
∴，，则以为直角边，为斜边的直角三角形中，
∴，
∴点在轴的正半轴上，
∴点的坐标为；
②如图所示，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，
∴四边形为平行线四边形，，
由①可知，是关于点的对称点，，，过点作轴于，且为等腰直角三角形，
∴点的纵坐标为，即点的纵坐标为，则，
∴，
∴点的坐标为；
③如图所示，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，
∴四边形为平行线四边形，，
如图所示，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，
同理，，，
∴点的坐标为，
综上所示，点的坐标为，，．
3．
（1）解：根据题意，，则点的纵坐标为，且点在函数，
∴，解方程得，，
∴，设反比例函数解析式为，
∴，解方程得，，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：设，设点到距离为，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，解方程得，，，
∴，．
4．
（1）解：∵点A在反比例函数上，
∴，解得m＝1，
∴点A的坐标为，
又∵点B也在反比例函数上，
∴，解得n＝2．
∴点B的坐标为，
又∵点A、B在的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为；
直线与x轴的交点为N，
∴点N的坐标为，
∴；
设，由（2）知，则，
∵ON＝3，
∴，
∴，则或，将代入中，得，
解得，
将代入中，得，
解得，
故点P的坐标为或．
5．
（1）解：∵反比例函数过点A
∴将代入得
∴反比例函数解析式为；
将代入，得
∴
将，代入得
解得
∴直线y＝ax+b解析式为．
（2）解：如图
将代入得
∴
∴
∴的面积为9．
（3）解：存在．
设，由题意知为等腰三角形，分3种情况求解：
①当时，即
解得，（不合题意，舍去）
∴；
②当时，
∵
∴
∴的坐标为，；
③当时，即
解得
∴；
综上所述，在x轴上存在一点P，使△PAO为等腰三角形，P点坐标为或 或 或 ．
6．
（1）解：∵一次函数y＝ax﹣1的图象与x轴交于点C（2，0），
∴2a﹣1＝0，解得a，
∴一次函数为yx﹣1，
把x＝﹣2代入得，y1＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），
∵点B在反比例函数y（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣2×（﹣2）＝4，
∴反比例函数解析式为y；
（2）∵B（﹣2，﹣2），C（2，0），
∴BC2，
∴D（﹣22，0）或（22，0）．
7．
解：(1)点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，DC=5．
依题意，
解得
设反比例函数的解析式为，则
反比例函数的解析式为
(2)存在，，理由如下，
如图，连接，设
，
，
，
解得
8．
解：（1）∵ΔAOB的面积为2，
∴=2，
又∵函数图象在二、四象限，
∴k<0，
∴k= 4，
故y= ，
则点A的坐标为( 1，4)，点C的坐标为 (2， 2)，
将点A( 1，4)，点C(2， 2)，代入y=ax+b，
，
解得：，
故直线AC的解析式为：y= 2x+2；
（2）令y=0，可得x=1，
则点M的坐标为(1，0)，
在RtΔABM中，AB=4，BM=2，
则AM==2；
（3）存在．
设点P的纵坐标为y，
则BM×|y|=8，
解得y=±8，
故点P的坐标为( ，8)或(，-8)．
9．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣2，1），
∴k＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
又∵点B（1，a）在y＝﹣上，
∴a＝﹣2，
∴B（1，﹣2），
又∵一次函数y＝mx+n的图象过A、B两点，
即 ，
解之得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）如图，由直线AB：y＝﹣x﹣1可知，直线与x轴交点C的坐标（﹣1，0），
∴S△ABP＝S△APC+S△BPC＝PC×1+2＝3，
∴PC＝2，
∴P的坐标（1，0）或（﹣3，0）．
10．
解：（1）∵∠C＝90°，AC平行于x轴，
∴CD⊥y轴，
∵AD＝1，AC＝2，BC＝4，
∴设A（1，k），则B（3，k﹣4），
∵B点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴3（k﹣4）＝k，解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（2）存在．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AB＝＝2，
作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，连接PA，如图，A′（﹣1，6），
则PA＝PA′，
∴PA+PB＝PA′+PB＝BA′，
∴此时PA+PB的值最小，△PAB的周长最小，
∵BA′＝＝4
△PAB的周长的最小值＝AB+BA′＝2+4．
11．
解：（1）∵A（1，3）在反比例函数图象上，∴k=3，
∵B（n,－1）在y=的图象上，
∴n=-3．
∵A（1，3），B（-3，-1）在一次函数y＝mx＋b图象上，
∴，
解得m=1，b=2．
∴两函数关系式分别是：y=和y=x+2．
（2）由图象得：当-3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）设一次函数y=x+2交y轴于D，则D（0，2），则OD=2，
∵A（1，3），B（-3，-1）
∴S△DBO=×3×2=3，S△DAO=×1×2=1
∴S△ABO=S△DBO+S△DAO=4．
（4）OA= = ，
O是△AOP顶角的顶点时，OP=OA，则P（0，- ）或P（0，），
A是△AOP顶角的顶点时，由图象得， P（0，6），
OA是底边，P是△AOP顶角的顶点时，
设 P（0，x），分别过A、P作AN⊥x轴于N，PM⊥AN于M，
则AP=OP=x，PM=1，AM=3-x,
在Rt△APM中， 即
解得x= ，
∴P（0，）．
故答案为（1）y=，y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4；（4）P（0，- ）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）．
12．
解：（1）
（2）把代入中
得
由
∴C（4,-1） A（-1,4）
设直线与y轴交于点D，易得D（6,3）
（3）
（4）设
又
∴
∴
13.（1）解：，则
∴,
∴
∴一次函数解析式为
联立有：，解得
∴
∴B点坐标为
（2）解：作图如下，直线即为一次函数图像；
的解集，表示一次函数图像在反比例函数图像上面的时候，
即点左侧，或原点到点之间，
的解集为：或
（3）
解：当在轴正半轴时，如图,，设交轴于点，轴于、轴于，，，
则，
化简得，解得
当在轴负半轴时，如图,，
解得
所以点坐标或．
14．
（1）解：把点代入反比例函数中得：，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入反比例函数中得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设点C的坐标为，
∴，
当时，则，
解得，
∴点C的坐标为或；
当时，则，
解得，
∴点C的坐标为；
当时，则，
解得或（舍去），
∴点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或或或．
15．
（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）∵交轴于点，
∴，
∵与交于点，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
当时，或，
当时，如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
时，如图2，过作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
综上所述：点的坐标为：或或或
16.（1）解：关于的不等式表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，
，，
关于的不等式的解集为．
（2）解：将点代入得：，
则，
将点代入得：，
则，
，
的周长为，
要使的周长最小，只需最小即可，
如图，过点作关于轴的对称点，连接，交轴于点，
则，
由两点之间线段最短可知，点即为所求，
设直线的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
当时，，解得，
所以存在点，使得的周长最小，此时点的坐标为．
17.解：（1）∵轴于点E，，
∴
∵图象在二、四象限，
∴，
∴反比例函数的表达式为
∵轴，，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数中，当时，，
解得，
∴，
∴，
将代入
得，
∴一次函数的表达式；
（2）解： 得或，
∴，
由图象可知，当时，x的取值范围是或
（3）在反比例的图象上（除B点外）还存在两个到O点的距离等于线段的点，这两点与A、B关于直线对称，
∴该点的坐标为和
18.（1）解：把点代入，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入得：，解得，
∴，
∴，
∴或，
∴点A的坐标为；
（3）解：存在． 理由：假设存在，设P点坐标为，
设直线与x轴交于点M
当时，，解得：，
∴点M
∵，
∴，解得；
或，解得；
∴P点的坐标为或
故存在P点使得的面积为10．
19.（1）解：∵点A在反比例函数上，
∴，
解得，
∴点A的坐标为，
又∵点B也在反比例函数上，
∴，
解得．
∴点B的坐标为，
又∵点A、B在的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）直线与x轴的交点为N，
当时，，
∴点N的坐标为，
∴；
（3）设，由（2）知，则，
∵，
∴，
∴，
则或，
将代入中，得，
解得，
将代入中，得，
解得，
故点P的坐标为或．