【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册第2章二元一次方程组 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如果方程组 与 有相同的解，则a，b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由已知得方程组 ，
解得 ，
代入 ，
得到 ，
解得 ．
【分析】把4x-5y=41和2x+3y=-7组成方程组，剩下的两个组成方程组，由4x-5y=41和2x+3y=-7解得x和y的值，并把它们代入到另一个方程组中，求出a和b的值.
2．（2023七下·易县期末）已知关于的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于的二元一次方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为：B
【分析】根据二元一次方程组的解结合题意即可求解。
3．（2023七下·杭州期末）如图，将9个不同的数填在3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，以下方程组符合题意的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：如图，设左下角的数为，右下角的数为，
由题意可得，
化简得，
故答案为：B.
【分析】设左下角的数为x，右下角的数为y，根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等可列出方程组，移项后可消去x、y，得到方程组.
4．已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a=5时，方程组的解是
②当x，y的值互为相反数时，a=20．
③不存在一个实数a使得x=y．
④若22a-3y=27，则a=2．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把a=5代入方程组得：，
解得： ；故①错误；
②∵x，y的值互为相反数，
故x+y=0，即y=-x；
将y=-x代入方程组得：，
解得：a=20，故②正确；
③若x=y，则原方程式为：，
解得：a=a-5，
故不存在一个实数a使得x=y，故③正确；
④解方程组，
得：，
∵22a-3y=27，
∴2a-3y=7，
把y=15-a代入可得：2a-3（15-a）=7，
解得：；故④错误；
故正确的有：②③；
故答案为：D.
【分析】①把a=5代入原方程组中，求解即可；②根据互为相反数的两数之和为0可得y=-x，代入原方程式中，求解即可；③将x=y代入代入原方程式中，求a的值，即可判断；④先求出原方程式中x和y与a的关系式，再根据指数相等可得2a-3y=7，代入即可求出a的值.
5．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，不同的截法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：当截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5m时，不造成浪费.
设截成2m长的彩绳x根，1m长的彩绳y根，由题意，得2x+y=5，y=5-2x
因为x，y都是自然数，所以符合条件的解为
则共有3种不同截法.
故答案为：C.
【分析】设截成2m长的彩绳x根，1m长的彩绳y根，结合“当截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5m时，不造成浪费”，得出x，y都是自然数，然后分别讨论即可.
6．公式s=s0+vt表示的是路程s与时间t之间的关系（其中s0，v都是不等于零的常数），且当t=5时，s=260；当t=7时，s=340，则s0，v的值分别是（ ）
A．s0=60，v=40 B．s0=-60，v=40
C．s0=60，v=-40 D．s0=-60，v=-40
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵s=s0+vt ，
则，
解得.
故答案为：A.
【分析】 由于s=s0+vt ，结合题干的数据，建立关于s0和v的二元一次方程组求解，即可解答.
7．如图，在周长为60的大长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若每个小长方形的面积为S，长为x，宽为y，则（ ）
A．当x=2时，S=20 B．当y=2时，S=20
C．当x=2y时，S=10 D．当x=4y时，S=10
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵大长方形ABCD 的周长为60，
∴
∴
A、当时，
∴则本项不符合题意；
B、当时，
∴则本项符合题意；
C、当时，
∴
∴则本项不符合题意；
D、当时，
∴
∴则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据题意得到据此列出关于x和y的方程即可找到x和y的关系，进而即可求解.
8．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（ ）
A．20 B．22 C．23 D．25
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，
则，
解得.
∴大壮的得分为：x+4y=3+20=23.
故答案为：C.
【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x， y分， 根据小虎和明明的得分列出方程组，解方程组，最后求大壮的得分即可.
9．（2021七下·仙居期末）计算机的某种运算程序如图：
已知输入3时输出的运算结果是5，输入4时输出的运算结果是7．若输入的数是x（x≠0）时输出的运算结果为P，输入的数是3x时输出的运算结果为Q，则（ ）
A．P：Q＝3 B．Q：P＝3
C．（Q﹣1）：（P﹣1）＝3 D．（Q+1）：（P+1）＝3
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∴P=2x-1，Q=6x-1，
∴（Q+1）：（P+1）＝3，
故答案为：D.
【分析】先根据题意结合运算程序即可列出关于a、b的方程组，再解出a、b的值，接着表示出P、Q即可求解.
10．为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费）.规定：每月用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费. 如图是张磊家2021年9月和10月所交电费的收据，则该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度（ ）
代收电费收据
2021年9月
电表号 1205
户名 张磊
月份 9月
用电量 220度
金额 112元
代收电费收据
2021年10月
电表号 1205
户名 张磊
月份 10月
用电量 265度
金额 139元
A．0.5元，0.6元 B．0.4元，0.5元
C．0.3元，0.4元 D．0.6元，0.7元
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设第一阶梯电价为x元，第二阶梯电价为y元，
则，
解得.
故答案为：A.
【分析】设第一阶梯电价为x元，第二阶梯电价为y元，根据题干提供的阶梯电价的计算办法建立关于x、y的二元一次方程求解，即可解答.
二、填空题（每题4分，共24分
11．（2023七下·荆门期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 .
【答案】k＞4
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得4x+4y=k-4，
又∵x+y＞0，
∴4x+4y＞0，
∴k-4＞0，
解得k＞4.
故答案为：k＞4.
【分析】将方程组中的两个方程相加可得4x+4y=k-4，由x+y＞0可得4x+4y＞0，从而可列出关于字母k的不等式，求解可得k的取值范围.
12．如图，射线OC的端点O在直线AB上，已∠1比∠2的2倍多10°，设∠1=x°，∠2=y°，则列出关于x，y的方程组是： .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠1=x°，∠2=y°，
∴
故答案为：.
【分析】设∠1=x°，∠2=y°，根据"∠1比∠2的2倍多10°"，可列：根据"∠1与∠2互补"，可列：联立两个方程即可得到二元一次方程组，即可求解.
13．在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为 cm .
【答案】44
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意，得：，
解得：；
故阴影部分的面积为：14×（6+2×2）-6×8×2=44（cm2）．
故答案为：44.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，可得出关于x，y的二元一次方程组，求解得出x，y的值；根据阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求解.
14．（2023七下·兰溪期中）冰墩墩和雪容融到校门外文具店买文件，冰墩墩购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；雪容融购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，若小明去购买与她们一样的铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付 元钱.
【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设铅笔的单价为a元，练习本的单价为b元，圆珠笔的单价为c元，
∵冰墩墩购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱，
∴2a+2b+c=9.
∵冰墩墩购铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，
∴a+4b+2c=12，
∴3a+6b+3c=21，
∴a+2b+c=7，
∴小明去购买与她们一样的铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，需付7元.
故答案为：7.
【分析】设铅笔的单价为a元，练习本的单价为b元，圆珠笔的单价为c元，由题意可得2a+2b+c=9，a+4b+2c=12，两式相加并化简可得a+2b+c的值，据此解答.
15．已知关于x，y的方程组有以下结论：
①当k=0时，方程组的解为②方程组的解可表示为 ③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变.
其中正确的是 （填序号）.
【答案】①②③
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当k=0时，原方程组可整理得：，
解得：；①正确；
②解方程组，得：
；②正确；
③由②知，方程组的解为：；
∴x+3y=3k-2+3（1-k）=1，
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，③正确；
故答案为：①②③.
【分析】根据代入消元法求出二元一次一次方程组的解，逐项分析即可得出答案.
16．某校七年级有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班多4名女姓，乙班比丙班多1名女姓．如果把甲班的第一组调到乙班，乙班的第一组调到丙班，丙班的第一组调到甲班，那么三个班的女生人数恰好相等．已知丙班第一组共有2名女生，则甲班第一组有 名女生，乙班第一组有 名女生．
【答案】5；4
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设甲班原有a名女生，则乙班原有（a-4）名女生，丙班原有（a-5）名女生，设甲班第一组有x名女生，乙班第一组有y名女生，
∴
解得：
故答案为：5，4.
【分析】设甲班原有a名女生，则乙班原有（a-4）名女生，丙班原有（a-5）名女生，设甲班第一组有x名女生，乙班第一组有y名女生，根据"如果把甲班的第一组调到乙班，乙班的第一组调到丙班，丙班的第一组调到甲班，那么三个班的女生人数恰好相等"，可列出二元一次方程组，解方程组即可求解.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七下·仁寿期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法：
解：由①，得：③
将③代入②得，，即，
把代入③，得．
∴方程组的解为．
请你模仿小明的方法，解决下列问题：
（1）若，则 ．
（2）解方程；
（3）已知关于x、y的方程组，求的值．
【答案】（1）9
（2）解：，
由①得，
由②得，
把③代入④，得，
解得：，
把代入③，得，
解得：，
∴；
（3）解：，
由①得，
由②得，
由得．
【知识点】代数式求值；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：3
【分析】（1）根据题意对代数式进行求值即可求解；
（2）根据代入消元法即可求解；
（3）根据加减消元法结合题意即可求解。
18．（2023七下·大同期末）为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为病人配制营养餐．已知每克甲种食物中铁的含量是蛋白质的2倍，每克乙种食物中铁的含量是蛋白质的．
（1）设每克甲种食物中含蛋白质x个单位，每克乙种食物中含蛋白质y个单位，请用含x，y的式子填表：
每克甲种食物 每克乙种食物
蛋白质的含量/单位 x y
铁的含量/单位 ▲ ▲
（2）如果病人每餐需要175个单位的蛋白质和200个单位的铁，每餐需要甲、乙两种食物分别为140克，150克，求每克甲种食物中含蛋白质、铁各多少个单位．
【答案】（1）解：∵设每克甲种食物含蛋白质x个单位，每克乙种食物含蛋白质y个单位，每克甲种食物的铁含量是蛋白质含量的2倍，每克乙种食物的铁含量是蛋白质含量的，
∴每克甲种食物铁含量为个单位，每克乙种食物铁含量为个单位，填表如下：
每克甲种食物 每克乙种食物
蛋白质含量（单位） x y
铁含量（单位）
（2）解：根据题意得：
，
解得.
∴，
∴每克甲种食物含蛋白质个单位、铁1个单位．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；用字母表示数
【解析】【分析】（1）根据题意，设每克甲种食物含蛋白质x个单位，每克乙种食物含蛋白质y个单位，每克甲种食物的铁含量是蛋白质含量的2倍，每克乙种食物的铁含量是蛋白质含量的，列出代数式即可求解．
（2）根据题意得方程组，解方程组即可求解．
19．（2023七下·南沙期末）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家已测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则，满足公式：（，为已知数）．
温度
声音传播速度（米/秒）
（1）求，的值．
（2）若温度是时，求声音在空气中的传播速度．
【答案】（1）解：将，代入，得，
（2）解：由（1）知：，
将代入得，
气温为时，声音在空气中的传播速度为米/秒．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）将，代入中建立关于a、b的方程组并解之即可；
（2）将代入（1）中解析式求出v值即可.
20．（2023七下·惠东期末）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润：
（2）商场计划在暑假期间，对A型电脑按成本价提高20%后标价，又以9折（即按标价的90%）优惠卖出，结果每台电脑仍可获利90元，则每台A型电脑的成本是多少元？
【答案】（1）解：设每台A型电脑、B型电脑的销售利润分别为x元、y元，依题意得：，
解得，，
答：每台A型电脑、B型电脑的销售利润分别为100元、150元．
（2）解：设每台A型电脑的成本是a元，由题意得
，
解得，
答：每台A型电脑的成本是1125元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每台A型电脑、B型电脑的销售利润分别为x元、y元，根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元可得10x+20y=4000；根据销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元可得20x+20y=3500，联立求解即可；
（2）设每台A型电脑的成本是a元，则售价为(1+20%)a×0.9，根据售价-成本=利润结合题意可得关于a的方程，求解即可.
21．（2023七下·汉川期末）水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，表示立方米）
每户每月用水量 自来水销售价格（元） 污水处理价格（元）
不超出部分 1.10
超出不超出的部分 1.10
超出的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）．
已知2023年三月份，小红家用水，交水费32.8元，小智家用水，交水费44元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值：
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小智家四、五月份共用水，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小智家四、五月份的用水量各是多少？
【答案】（1）解：由题意得，，
解得；
答：a，b的值分别为2.5和4.5；
（2）解：（元）
答：小红家七月份预计应缴水费84.5元．
（3）解：设小智家四月份的用水量为，则五月份的用水量为，
，
，即四月份的用水量低于．
①当时，缴费总量为：，
解得不合题意，舍去；
②当时，缴费总量为：
，
解得，此时，符合题意；
答：小智家四月份的用水量为，五月份的用水量为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）利用表格中数据，根据： 2023年三月份，小红家用水，交水费32.8元，小智家用水，交水费44元． 列出二元一次方程组，解之即可；
（2）对照阶梯收费价格先列式，再计算即可；
（3）设小智家四月份的用水量为，则五月份的用水量为，利用“ 四月份的用水量低于五月份的用水量 ”可求出x＜10，分两种情况：①当时②当时，根据四五月共 缴水费89元 ，分别列出方程并解之即可.
22．（2023七下·武昌期末）如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家厂从A地购买原料，制成食品卖到B地．已知公路运价为1.5元/（公里·吨），铁路运价为1元/（公里·吨），这两次运输（第一次：A地→食品厂 第二次：食品厂→B地）共支付公路运费15600元，铁路运费20600元．
（1）这家食品厂到A地的距离是多少公里？
（2）此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品
（3）这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出，已知买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原料产出食品的效率不变，如果希望获得利润不少于1122940元，则至少要购进多少吨原料？（注：利润＝销售款－原料费－运输费）
【答案】（1）设这家食品工厂到A地距离x公里．
依题意得．
解得x＝50．
答；设这家食品工厂到A地距离50公里
（2）设此次购进了m吨原料，制成了食品n吨．
依题意得
解得．
答：此次购进了220吨原料，制成了食品200吨．
（3）该厂原料产出食品的效率，设该厂购进11a吨原料，产出10a吨食品．
解得a≥26，则11a≥286
答，该厂至少购进286吨原料．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设这家食品工厂到A地距离x公里，则B地到食品厂的距离为2x公里，铁路的距离为100公里，依据题意列方程：，解得x=50，得出A地到食品厂的距离。
（2）设这家食品厂此次买进的原料m吨，卖出食品n吨，根据两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元、铁路运费20600元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可求出m，n的值。
（3）根据题意列出总利润的表达式：总利润=销售收入-进货成本-运费，根据原料产出食品的效率，按照比例分别设该厂购进11a吨原料，产出10a吨食品，依据总利润表达式列出一元一次不等式，求解出关于a的不等式，判断a的最大值即可。．
23．（2023七下·赵县期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 ▲ 张，B型板材 ▲ 张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
答：图甲中与的值分别为：60、40
（2）解：①64，38；②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个，
则型板材需要个，型板材需要个，
所以，
解得
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据图形可得，解方程组即可求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个，则型板材需要个，型板材需要个，列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
24．（2023七下·义乌月考）【方法体验】已知方程组求4037x＋y的值．小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题．请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组则3x＋y－z＝ ．
【探究升级】已知方程组求－2x＋y＋4z的值．小明凑出
“－2x＋y＋4z＝2 （x＋2y＋3z）＋（－1） （4x＋3y＋2z）＝20－15＝5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设－2x＋y＋4z＝m （x＋2y＋3z）＋n （4x＋3y＋2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：
2x＋5y＋8z＝ （x＋2y＋3z）＋ （4x＋3y＋2z）
【巩固运用】已知2a－b＋kc＝4，且a＋3b＋2c＝－2，当k为 时，8a＋3b－2c为定值，此定值是 ．（直接写出结果）
【答案】3x+y-z=5；；；-2；8
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】【方法迁移】解：
由②-①得
3x+y-z=5.
故答案为：5
【探究升级】设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）=（m+4n）x+（2m+3n）y=（3m+2n）z，
∴，
解之：
故答案为：，
【巩固运用】设8a+3b-2c=m（2a-b+kc）+n（a＋3b＋2c）=（2m+n）a+（3n-m）b+（km+2n）c
∴
解之：
∴8a+3b-2c=3×4+2×（-2）=12-4=8.
∴当k-2时8a+3b-2c为定值，此定值时8
故答案为：-2，8
【分析】【方法迁移】观察方程组中同一个未知数的系数特点，由②-①，可求出3x+y-z的值.
【探究升级】设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）=（m+4n）x+（2m+3n）y=（3m+2n）z，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值即可.
【巩固运用】设8a+3b-2c=m（2a-b+kc）+n（a＋3b＋2c）=（2m+n）a+（3n-m）b+（km+2n）c，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n，k的方程组，解方程组求出k，m，n的值，然后求出8a+3b-2c的值即可.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册第2章二元一次方程组 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如果方程组 与 有相同的解，则a，b的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·易县期末）已知关于的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·杭州期末）如图，将9个不同的数填在3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，以下方程组符合题意的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a=5时，方程组的解是
②当x，y的值互为相反数时，a=20．
③不存在一个实数a使得x=y．
④若22a-3y=27，则a=2．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
5．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，不同的截法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6．公式s=s0+vt表示的是路程s与时间t之间的关系（其中s0，v都是不等于零的常数），且当t=5时，s=260；当t=7时，s=340，则s0，v的值分别是（ ）
A．s0=60，v=40 B．s0=-60，v=40
C．s0=60，v=-40 D．s0=-60，v=-40
7．如图，在周长为60的大长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若每个小长方形的面积为S，长为x，宽为y，则（ ）
A．当x=2时，S=20 B．当y=2时，S=20
C．当x=2y时，S=10 D．当x=4y时，S=10
8．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（ ）
A．20 B．22 C．23 D．25
9．（2021七下·仙居期末）计算机的某种运算程序如图：
已知输入3时输出的运算结果是5，输入4时输出的运算结果是7．若输入的数是x（x≠0）时输出的运算结果为P，输入的数是3x时输出的运算结果为Q，则（ ）
A．P：Q＝3 B．Q：P＝3
C．（Q﹣1）：（P﹣1）＝3 D．（Q+1）：（P+1）＝3
10．为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费）.规定：每月用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费. 如图是张磊家2021年9月和10月所交电费的收据，则该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度（ ）
代收电费收据
2021年9月
电表号 1205
户名 张磊
月份 9月
用电量 220度
金额 112元
代收电费收据
2021年10月
电表号 1205
户名 张磊
月份 10月
用电量 265度
金额 139元
A．0.5元，0.6元 B．0.4元，0.5元
C．0.3元，0.4元 D．0.6元，0.7元
二、填空题（每题4分，共24分
11．（2023七下·荆门期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 .
12．如图，射线OC的端点O在直线AB上，已∠1比∠2的2倍多10°，设∠1=x°，∠2=y°，则列出关于x，y的方程组是： .
13．在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为 cm .
14．（2023七下·兰溪期中）冰墩墩和雪容融到校门外文具店买文件，冰墩墩购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；雪容融购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，若小明去购买与她们一样的铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付 元钱.
15．已知关于x，y的方程组有以下结论：
①当k=0时，方程组的解为②方程组的解可表示为 ③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变.
其中正确的是 （填序号）.
16．某校七年级有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班多4名女姓，乙班比丙班多1名女姓．如果把甲班的第一组调到乙班，乙班的第一组调到丙班，丙班的第一组调到甲班，那么三个班的女生人数恰好相等．已知丙班第一组共有2名女生，则甲班第一组有 名女生，乙班第一组有 名女生．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七下·仁寿期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法：
解：由①，得：③
将③代入②得，，即，
把代入③，得．
∴方程组的解为．
请你模仿小明的方法，解决下列问题：
（1）若，则 ．
（2）解方程；
（3）已知关于x、y的方程组，求的值．
18．（2023七下·大同期末）为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为病人配制营养餐．已知每克甲种食物中铁的含量是蛋白质的2倍，每克乙种食物中铁的含量是蛋白质的．
（1）设每克甲种食物中含蛋白质x个单位，每克乙种食物中含蛋白质y个单位，请用含x，y的式子填表：
每克甲种食物 每克乙种食物
蛋白质的含量/单位 x y
铁的含量/单位 ▲ ▲
（2）如果病人每餐需要175个单位的蛋白质和200个单位的铁，每餐需要甲、乙两种食物分别为140克，150克，求每克甲种食物中含蛋白质、铁各多少个单位．
19．（2023七下·南沙期末）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家已测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则，满足公式：（，为已知数）．
温度
声音传播速度（米/秒）
（1）求，的值．
（2）若温度是时，求声音在空气中的传播速度．
20．（2023七下·惠东期末）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润：
（2）商场计划在暑假期间，对A型电脑按成本价提高20%后标价，又以9折（即按标价的90%）优惠卖出，结果每台电脑仍可获利90元，则每台A型电脑的成本是多少元？
21．（2023七下·汉川期末）水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，表示立方米）
每户每月用水量 自来水销售价格（元） 污水处理价格（元）
不超出部分 1.10
超出不超出的部分 1.10
超出的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）．
已知2023年三月份，小红家用水，交水费32.8元，小智家用水，交水费44元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值：
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小智家四、五月份共用水，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小智家四、五月份的用水量各是多少？
22．（2023七下·武昌期末）如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家厂从A地购买原料，制成食品卖到B地．已知公路运价为1.5元/（公里·吨），铁路运价为1元/（公里·吨），这两次运输（第一次：A地→食品厂 第二次：食品厂→B地）共支付公路运费15600元，铁路运费20600元．
（1）这家食品厂到A地的距离是多少公里？
（2）此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品
（3）这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出，已知买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原料产出食品的效率不变，如果希望获得利润不少于1122940元，则至少要购进多少吨原料？（注：利润＝销售款－原料费－运输费）
23．（2023七下·赵县期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 ▲ 张，B型板材 ▲ 张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
24．（2023七下·义乌月考）【方法体验】已知方程组求4037x＋y的值．小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题．请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组则3x＋y－z＝ ．
【探究升级】已知方程组求－2x＋y＋4z的值．小明凑出
“－2x＋y＋4z＝2 （x＋2y＋3z）＋（－1） （4x＋3y＋2z）＝20－15＝5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设－2x＋y＋4z＝m （x＋2y＋3z）＋n （4x＋3y＋2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：
2x＋5y＋8z＝ （x＋2y＋3z）＋ （4x＋3y＋2z）
【巩固运用】已知2a－b＋kc＝4，且a＋3b＋2c＝－2，当k为 时，8a＋3b－2c为定值，此定值是 ．（直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由已知得方程组 ，
解得 ，
代入 ，
得到 ，
解得 ．
【分析】把4x-5y=41和2x+3y=-7组成方程组，剩下的两个组成方程组，由4x-5y=41和2x+3y=-7解得x和y的值，并把它们代入到另一个方程组中，求出a和b的值.
2．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于的二元一次方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为：B
【分析】根据二元一次方程组的解结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：如图，设左下角的数为，右下角的数为，
由题意可得，
化简得，
故答案为：B.
【分析】设左下角的数为x，右下角的数为y，根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等可列出方程组，移项后可消去x、y，得到方程组.
4．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把a=5代入方程组得：，
解得： ；故①错误；
②∵x，y的值互为相反数，
故x+y=0，即y=-x；
将y=-x代入方程组得：，
解得：a=20，故②正确；
③若x=y，则原方程式为：，
解得：a=a-5，
故不存在一个实数a使得x=y，故③正确；
④解方程组，
得：，
∵22a-3y=27，
∴2a-3y=7，
把y=15-a代入可得：2a-3（15-a）=7，
解得：；故④错误；
故正确的有：②③；
故答案为：D.
【分析】①把a=5代入原方程组中，求解即可；②根据互为相反数的两数之和为0可得y=-x，代入原方程式中，求解即可；③将x=y代入代入原方程式中，求a的值，即可判断；④先求出原方程式中x和y与a的关系式，再根据指数相等可得2a-3y=7，代入即可求出a的值.
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：当截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5m时，不造成浪费.
设截成2m长的彩绳x根，1m长的彩绳y根，由题意，得2x+y=5，y=5-2x
因为x，y都是自然数，所以符合条件的解为
则共有3种不同截法.
故答案为：C.
【分析】设截成2m长的彩绳x根，1m长的彩绳y根，结合“当截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5m时，不造成浪费”，得出x，y都是自然数，然后分别讨论即可.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵s=s0+vt ，
则，
解得.
故答案为：A.
【分析】 由于s=s0+vt ，结合题干的数据，建立关于s0和v的二元一次方程组求解，即可解答.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵大长方形ABCD 的周长为60，
∴
∴
A、当时，
∴则本项不符合题意；
B、当时，
∴则本项符合题意；
C、当时，
∴
∴则本项不符合题意；
D、当时，
∴
∴则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据题意得到据此列出关于x和y的方程即可找到x和y的关系，进而即可求解.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，
则，
解得.
∴大壮的得分为：x+4y=3+20=23.
故答案为：C.
【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x， y分， 根据小虎和明明的得分列出方程组，解方程组，最后求大壮的得分即可.
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∴P=2x-1，Q=6x-1，
∴（Q+1）：（P+1）＝3，
故答案为：D.
【分析】先根据题意结合运算程序即可列出关于a、b的方程组，再解出a、b的值，接着表示出P、Q即可求解.
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设第一阶梯电价为x元，第二阶梯电价为y元，
则，
解得.
故答案为：A.
【分析】设第一阶梯电价为x元，第二阶梯电价为y元，根据题干提供的阶梯电价的计算办法建立关于x、y的二元一次方程求解，即可解答.
11．【答案】k＞4
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得4x+4y=k-4，
又∵x+y＞0，
∴4x+4y＞0，
∴k-4＞0，
解得k＞4.
故答案为：k＞4.
【分析】将方程组中的两个方程相加可得4x+4y=k-4，由x+y＞0可得4x+4y＞0，从而可列出关于字母k的不等式，求解可得k的取值范围.
12．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠1=x°，∠2=y°，
∴
故答案为：.
【分析】设∠1=x°，∠2=y°，根据"∠1比∠2的2倍多10°"，可列：根据"∠1与∠2互补"，可列：联立两个方程即可得到二元一次方程组，即可求解.
13．【答案】44
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意，得：，
解得：；
故阴影部分的面积为：14×（6+2×2）-6×8×2=44（cm2）．
故答案为：44.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，可得出关于x，y的二元一次方程组，求解得出x，y的值；根据阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求解.
14．【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设铅笔的单价为a元，练习本的单价为b元，圆珠笔的单价为c元，
∵冰墩墩购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱，
∴2a+2b+c=9.
∵冰墩墩购铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，
∴a+4b+2c=12，
∴3a+6b+3c=21，
∴a+2b+c=7，
∴小明去购买与她们一样的铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，需付7元.
故答案为：7.
【分析】设铅笔的单价为a元，练习本的单价为b元，圆珠笔的单价为c元，由题意可得2a+2b+c=9，a+4b+2c=12，两式相加并化简可得a+2b+c的值，据此解答.
15．【答案】①②③
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当k=0时，原方程组可整理得：，
解得：；①正确；
②解方程组，得：
；②正确；
③由②知，方程组的解为：；
∴x+3y=3k-2+3（1-k）=1，
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，③正确；
故答案为：①②③.
【分析】根据代入消元法求出二元一次一次方程组的解，逐项分析即可得出答案.
16．【答案】5；4
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设甲班原有a名女生，则乙班原有（a-4）名女生，丙班原有（a-5）名女生，设甲班第一组有x名女生，乙班第一组有y名女生，
∴
解得：
故答案为：5，4.
【分析】设甲班原有a名女生，则乙班原有（a-4）名女生，丙班原有（a-5）名女生，设甲班第一组有x名女生，乙班第一组有y名女生，根据"如果把甲班的第一组调到乙班，乙班的第一组调到丙班，丙班的第一组调到甲班，那么三个班的女生人数恰好相等"，可列出二元一次方程组，解方程组即可求解.
17．【答案】（1）9
（2）解：，
由①得，
由②得，
把③代入④，得，
解得：，
把代入③，得，
解得：，
∴；
（3）解：，
由①得，
由②得，
由得．
【知识点】代数式求值；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：3
【分析】（1）根据题意对代数式进行求值即可求解；
（2）根据代入消元法即可求解；
（3）根据加减消元法结合题意即可求解。
18．【答案】（1）解：∵设每克甲种食物含蛋白质x个单位，每克乙种食物含蛋白质y个单位，每克甲种食物的铁含量是蛋白质含量的2倍，每克乙种食物的铁含量是蛋白质含量的，
∴每克甲种食物铁含量为个单位，每克乙种食物铁含量为个单位，填表如下：
每克甲种食物 每克乙种食物
蛋白质含量（单位） x y
铁含量（单位）
（2）解：根据题意得：
，
解得.
∴，
∴每克甲种食物含蛋白质个单位、铁1个单位．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；用字母表示数
【解析】【分析】（1）根据题意，设每克甲种食物含蛋白质x个单位，每克乙种食物含蛋白质y个单位，每克甲种食物的铁含量是蛋白质含量的2倍，每克乙种食物的铁含量是蛋白质含量的，列出代数式即可求解．
（2）根据题意得方程组，解方程组即可求解．
19．【答案】（1）解：将，代入，得，
（2）解：由（1）知：，
将代入得，
气温为时，声音在空气中的传播速度为米/秒．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）将，代入中建立关于a、b的方程组并解之即可；
（2）将代入（1）中解析式求出v值即可.
20．【答案】（1）解：设每台A型电脑、B型电脑的销售利润分别为x元、y元，依题意得：，
解得，，
答：每台A型电脑、B型电脑的销售利润分别为100元、150元．
（2）解：设每台A型电脑的成本是a元，由题意得
，
解得，
答：每台A型电脑的成本是1125元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每台A型电脑、B型电脑的销售利润分别为x元、y元，根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元可得10x+20y=4000；根据销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元可得20x+20y=3500，联立求解即可；
（2）设每台A型电脑的成本是a元，则售价为(1+20%)a×0.9，根据售价-成本=利润结合题意可得关于a的方程，求解即可.
21．【答案】（1）解：由题意得，，
解得；
答：a，b的值分别为2.5和4.5；
（2）解：（元）
答：小红家七月份预计应缴水费84.5元．
（3）解：设小智家四月份的用水量为，则五月份的用水量为，
，
，即四月份的用水量低于．
①当时，缴费总量为：，
解得不合题意，舍去；
②当时，缴费总量为：
，
解得，此时，符合题意；
答：小智家四月份的用水量为，五月份的用水量为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）利用表格中数据，根据： 2023年三月份，小红家用水，交水费32.8元，小智家用水，交水费44元． 列出二元一次方程组，解之即可；
（2）对照阶梯收费价格先列式，再计算即可；
（3）设小智家四月份的用水量为，则五月份的用水量为，利用“ 四月份的用水量低于五月份的用水量 ”可求出x＜10，分两种情况：①当时②当时，根据四五月共 缴水费89元 ，分别列出方程并解之即可.
22．【答案】（1）设这家食品工厂到A地距离x公里．
依题意得．
解得x＝50．
答；设这家食品工厂到A地距离50公里
（2）设此次购进了m吨原料，制成了食品n吨．
依题意得
解得．
答：此次购进了220吨原料，制成了食品200吨．
（3）该厂原料产出食品的效率，设该厂购进11a吨原料，产出10a吨食品．
解得a≥26，则11a≥286
答，该厂至少购进286吨原料．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设这家食品工厂到A地距离x公里，则B地到食品厂的距离为2x公里，铁路的距离为100公里，依据题意列方程：，解得x=50，得出A地到食品厂的距离。
（2）设这家食品厂此次买进的原料m吨，卖出食品n吨，根据两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元、铁路运费20600元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可求出m，n的值。
（3）根据题意列出总利润的表达式：总利润=销售收入-进货成本-运费，根据原料产出食品的效率，按照比例分别设该厂购进11a吨原料，产出10a吨食品，依据总利润表达式列出一元一次不等式，求解出关于a的不等式，判断a的最大值即可。．
23．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
答：图甲中与的值分别为：60、40
（2）解：①64，38；②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个，
则型板材需要个，型板材需要个，
所以，
解得
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据图形可得，解方程组即可求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个，则型板材需要个，型板材需要个，列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
24．【答案】3x+y-z=5；；；-2；8
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】【方法迁移】解：
由②-①得
3x+y-z=5.
故答案为：5
【探究升级】设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）=（m+4n）x+（2m+3n）y=（3m+2n）z，
∴，
解之：
故答案为：，
【巩固运用】设8a+3b-2c=m（2a-b+kc）+n（a＋3b＋2c）=（2m+n）a+（3n-m）b+（km+2n）c
∴
解之：
∴8a+3b-2c=3×4+2×（-2）=12-4=8.
∴当k-2时8a+3b-2c为定值，此定值时8
故答案为：-2，8
【分析】【方法迁移】观察方程组中同一个未知数的系数特点，由②-①，可求出3x+y-z的值.
【探究升级】设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）=（m+4n）x+（2m+3n）y=（3m+2n）z，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值即可.
【巩固运用】设8a+3b-2c=m（2a-b+kc）+n（a＋3b＋2c）=（2m+n）a+（3n-m）b+（km+2n）c，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n，k的方程组，解方程组求出k，m，n的值，然后求出8a+3b-2c的值即可.
1 / 1
