【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系同步练习
一、选择题
1．（2019八下·宣州期中）设a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根，则a3+a2+3a+2014b=（ ）
A．2014 B．﹣2014 C．2011 D．﹣2011
【答案】B
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a为x2+x-2011=0的根，
∴a2+a-2011=0，
∴a2+a=2011，
∴a3+a2+3a+2014b=a（a2+a）+3a+2014b
=2011a+3a+2014b
=2014（a+b），
∵a、b为x2+x-2011=0的两个实根，
∴a+b=-1，
∴a3+a2+3a+2014b=-2014．
故答案为：B,
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a-2011=0，则a2+a=2011，再利用因式分解的方法变形得到a3+a2+3a+2014b=2014（a+b），然后根据根与系数的关系得a+b=-1，再利用整体代入的方法计算即可．
2．（初中数学浙教版八下精彩练第三章质量评估卷）一元二次方程 ，其中 ，给出以下四个结论：(1)若方程 有两个不相等的实数根，则方程 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 的两根符号相同，则方程 的两根符号也相同；(3)若 是方程 的一个根，则 是方程 的一个根；(4)若方程 和方程 有一个相同的根，则这个根必是 .其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： (1)∵方程 有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac>0，∴方程的△=b2-4ac>0，∴
方程 有两个不相等的实数根，正确；
(2)∵方程 的两根符号相同，∴x1x2=>0，∴方程的中两根之积ac>0，则两根同号，正确；
(3)若 是方程 的一个根，则am2 +bm+c=0，而c× +b×+a=(am2+bm+c)=0，则am2+bm+c=0，正确；
(4) 设ax2+bx+c=cx2+bx+a，则(a-c)x2=(a-c)，解得x=±1，不正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】(1)根据一元二次方程的判别式△的符号进行判断即可；(2)分析根与系数的关系的两根之积的符号进行判断；(3)把m和分别代入两个方程进行比较即可判断；(4)联立两个一元二次方程，求出公共根，即可判断.
3．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+ = = = ﹣2= ﹣2=﹣5．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出a+b=3，ab=p，再把a2﹣ab+b2=18利用完全平方公式变形，从而求出p的值，然后把要求的式子通分，再把a+b、ab的值代入求解.
4．（2021八下·安徽期末）关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】设方程 的两根为x1、x2，方程 同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①符合题意；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②符合题意；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，再结合题意对每个结论一一判断即可。
5．（2022八下·温州期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，
设AB=a，BC=1，
∵点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1，
∴KB=BL=EG=1，FH=FM=FN=1，∠AKE=∠AGE=∠ELC=∠EGC=90°，
∴△AKE≌△AGE（HL），△ELC≌△EGC（HL），
∴AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，
∵AC=5，
∴a-1+b-1=5，即a+b=7①，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=49
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∴AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，
∴25=49-2ab
∴ab=12②，
由①和②可知a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，
∴a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），
∴AB=3，BC=4，AG=2，
∴GO=AO-AG=，
∴EO===，
∵EG=FH，∠EGO=∠FHO=90°，∠GOE=∠HOF，
∴△EGO≌△FHO（AAS），
∴EO=FO，
∴EF=2EO=2×=.
故答案为：B.
【分析】如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC、AD、DC分别于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，设AB=a，BC=1，由点E，F在对角线AC两侧，且到所在三角形三边距离都等于1，易证△AKE≌△AGE，△ELC≌△EGC，即得AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，从而得a+b=7①，进而得（a+b）2=a2+2ab+b2=49，由勾股定理得AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，进而推出ab=12②，再根据根与系数的关系可得a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，即得a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），从而求得AB=3，BC=4，AG=2，进而得到GO=AO-AG=，再证出△EGO≌△FHO，可得EO=FO，最后由EF=2EO即可求出EF的长.
二、填空题
6．（2023八下·杭州月考）已知关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ．(填写序号)
【答案】①②③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①若a-b+c=0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，又a≠0，则b2－4ac≥0正确；
② 若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2， 由根与系数的关系得1×2=，整理得2a=c，即2a-c=0，故正确；
③ 若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根 ，则-4ac＞0， 所以b2-4ac＞0，所以方程ax2＋bx＋c＝0 一定有两个不相等的实数根，故正确；
④ 若b＝2a＋c， 则b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，由于a≠0，故4a2+c2＞0，∴ 方程有两个不相等的实数根正确.
故答案为：①②③④.
【分析】①若a-b+c=0，说明原方程有一个根为1，又a≠0，说明原方程是一元二次方程，一元二次方程有根必有两个，故 b2－4ac≥0；②已知方程的两根，用根与系数关系的式子变形即可得出结论；③判断方程根的情况，只需要看根的判别式b2－4ac的值的符号就可以了；④ 把b＝2a＋c代入b2-4ac就可以判断根的情况.
7．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习）设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a= ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，
∴x22+5x2﹣3=0，
∴x22+5x2=3，
∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，
∴2x1 x2+a=4，
∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，
∴x1x2=﹣3，
∴2×（﹣3）+a=4，
∴a=10.
故答案为：10.
【分析】根据方程根的定义可把 x2代入方程，变形得x22+5x2=3，把此式代入2x1（x22+6x2﹣3）+a=4可得2x1 x2+a=4，再由根与系数的关系得x1x2=﹣3，从而求出a的值.
8．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
9．（2023九上·池州开学考）已知三个均不为0且互不相等的实数m，n，p，满足，.请解决下列问题：
（1）当时， ；
（2）当时， .
【答案】（1）-6
（2）2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，，∴，.
∵，∴.
∵，∴m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，∴.
（2）∵，，∴，.
∵，∴，
∴m，n是一元二次方程的两个实数根，且，
∴，，
∴，∴.
【分析】（1）根据题干先求出m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，再利用根与系数的关系求出m+n的值即可；
（2）根据题干先求出m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，且，再利用根与系数的关系及等量代换求出即可.
三、综合题
10．（2022八下·梧州期中）已知关于 的方程 .
（1）求证： 取任何实数，方程总有实数根；
（2）若直角三角形 的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求 的值.
【答案】（1）证明：∵
∴无论 取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵ ， ， ∴ ；
当斜边长为4时， 即 ，
∴ ，
解得： ，或 （舍去）；
k＞2时方程 的根为： ，
当直角边长为4，斜边为m时， ， ，
即
∴ ，
解得： ，或 （舍去）；
当直角边长为4，斜边为n时， ， ，
同理可得： ，或 （舍去）；
综上， 或 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系；勾股定理
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒不为负数即可；
（2）根据根与系数的关系可得mn=2k，m+n=k+2，根据三角形的三边关系可得m+n>4，求出k的范围，当斜边长为4时，根据勾股定理可得(m+n)2-2mn=m2+n2=42，代入求解可得k的值；当直角边长为4，斜边为m时，m-n=k-2，m2-n2=(m+n)(m-n)=16，求解可得k的值；当直角边长为4，斜边为n时，同理可得k的值.
11．（2023八下·永兴期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）试求的取值范围；
（2）若，求的值；
（3）若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或者，
∵根据（1）有，
即；
（3）解：由（2）可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵根据（1）有，
即．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出 ，， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
12．（2023八下·杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】（1）证明：∵Δ＝[-2（n-1）]2-4（n2-2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100-20（n-1）+n2-2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2-22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2-18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）＝100，
解得n＝8或-6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8-1）＝14，符合题意，
当n＝-6时，AB+AC＝2×（-6-1）＝-14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）算出方程根的判别式b2-4ac的值，由判断是的值大于0可得结论；
（2）根据（1）的结论及等腰三角形的定义可得x＝10为一元二次方程的一个根，从而将x=10代入可得关于字母n的方程，求解可得n的值为12或10；然后分①当n＝12时，②当n＝10时，两种情况，分别根据一元二次方程根与系数的关系求出等腰三角形的底边，最后根据三角形周长计算方法算出三角形的周长即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，然后根据勾股定理及完全平方公式建立出寡欲字母n的方程，求解再根据实际情况检验可得答案.
13．（2022八下·杭州期中）已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10.
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
（2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长.
（3）当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】（1）证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，
当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0，
解得n=12或10，
①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10=22，
∴m=12，
∴△ABC的周长为：10+10+12=32；
②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n=18，
解得n=8，
∴△ABC的周长为10+10+8=28；
综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，
∴AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，
解得n=8或-6，
当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意，
当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意，
综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）计算出根的判别式△=4＞0，据此即可判断；
（2） 由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，由于第三边BC的长是10，可知
当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，将x=10代入方程可求出n=12或10， 将n值分别代入方程利用根与系数的关系分别求出解即可；
（3）根据根与系数的关系可得AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，由勾股定理可得
AB2+AC2=BC2，即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，解出n值即可.
14．（2021八下·合肥期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求衍生点M的轨迹的解析式；
（3）若无论k为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b与c满足的关系．
【答案】（1）证明：
不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：
，，
衍生点M的轨迹的解析式；y=x+2；
（3）解：
直线经过定点
关于x的方程有两个根
由根与系数的关系式得，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】 (1) 由一元二次方程根的判别式的△=4>0，即可得出结论；
(2) 解方程得出两根，可知衍生点M的坐标，由坐标的关系可得轨迹方程；
(3)由直线方程可知直线经过定点（2，4），可得一元二次方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系可得a，b，c的关系。
15．（2021八下·瑶海期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为 ①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为 （ ， 为实数）， 叫做这个复数的实部， 叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程 ，解得： ， ．同样我们也可以化简 ．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）已知 ，写出一个以 ， 的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程： ．
【答案】（1）-i；1；0
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴以 ， 的值为解的一元二次方程可以为： ．
（3）解： ，
，
，
，
∴ ， ．
【知识点】实数的运算；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1） ，
，
∵ ，
∴ ，
同理： ，
每四个为一组，和为0，
共有 组，
∴ ，
【分析】（1）根据 ，则 ， ，先找打规律：每4个一组且和为0，据此解答即可；
（2）由 ， 可得 ， ，利用根与系数的关系写出方程即可；
（3）原方程变形为 ， 可得 ， 利用直接开平方解方程即可.
16．（2021八下·拱墅期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝
是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求
的值.
【答案】（1）解：∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝ ，x2＝
（2）解：∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得 + +1＝0，
∴ 是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝ 是方程②的根
（3）解：∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，
∴a＝ ＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴ ＝1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=-
、x1x2=
，于是﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，则可得方程②，解方程②可求解；
（2）由题意把x=r代入方程①并变形可得 + +1＝0，根据一元二次方程的根的意义可求解；
（3）由等式a2b+b＝0可得b=0，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，则可求解.
17．（2020八下·房山期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为 ，则另一个根为 ，因此 ，所以有 ；我们记“ ”即 时，方程 为倍根方程；
下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程① ；方程② ；方程③ 这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；
（2）若 是倍根方程，则 的值为 ；
【答案】（1）①、③
（2）4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）①∵
∴ =(-3)2- ×2×1=0
∴①是倍根方程；
②
∴ =
∴②不是倍根方程；
③ ，
∴ =12- ×1× =0
∴③是倍根方程；
故答案为：①、③；（2）∵ 是倍根方程，
∴
∴ =
解得： 或
∴ 或
故答案为： 或
【分析】（1）根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②、③中K的值，由此即可得出结论；（2）将方程（x 1）（mx-n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，当K＝0，整理后即可得出 的值；
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系同步练习
一、选择题
1．（2019八下·宣州期中）设a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根，则a3+a2+3a+2014b=（ ）
A．2014 B．﹣2014 C．2011 D．﹣2011
2．（初中数学浙教版八下精彩练第三章质量评估卷）一元二次方程 ，其中 ，给出以下四个结论：(1)若方程 有两个不相等的实数根，则方程 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 的两根符号相同，则方程 的两根符号也相同；(3)若 是方程 的一个根，则 是方程 的一个根；(4)若方程 和方程 有一个相同的根，则这个根必是 .其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
4．（2021八下·安徽期末）关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2022八下·温州期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023八下·杭州月考）已知关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ．(填写序号)
7．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习）设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a= ．
8．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
9．（2023九上·池州开学考）已知三个均不为0且互不相等的实数m，n，p，满足，.请解决下列问题：
（1）当时， ；
（2）当时， .
三、综合题
10．（2022八下·梧州期中）已知关于 的方程 .
（1）求证： 取任何实数，方程总有实数根；
（2）若直角三角形 的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求 的值.
11．（2023八下·永兴期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）试求的取值范围；
（2）若，求的值；
（3）若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值．
12．（2023八下·杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
13．（2022八下·杭州期中）已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10.
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
（2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长.
（3）当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？
14．（2021八下·合肥期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求衍生点M的轨迹的解析式；
（3）若无论k为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b与c满足的关系．
15．（2021八下·瑶海期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为 ①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为 （ ， 为实数）， 叫做这个复数的实部， 叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程 ，解得： ， ．同样我们也可以化简 ．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）已知 ，写出一个以 ， 的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程： ．
16．（2021八下·拱墅期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝
是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求
的值.
17．（2020八下·房山期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为 ，则另一个根为 ，因此 ，所以有 ；我们记“ ”即 时，方程 为倍根方程；
下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程① ；方程② ；方程③ 这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；
（2）若 是倍根方程，则 的值为 ；
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a为x2+x-2011=0的根，
∴a2+a-2011=0，
∴a2+a=2011，
∴a3+a2+3a+2014b=a（a2+a）+3a+2014b
=2011a+3a+2014b
=2014（a+b），
∵a、b为x2+x-2011=0的两个实根，
∴a+b=-1，
∴a3+a2+3a+2014b=-2014．
故答案为：B,
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a-2011=0，则a2+a=2011，再利用因式分解的方法变形得到a3+a2+3a+2014b=2014（a+b），然后根据根与系数的关系得a+b=-1，再利用整体代入的方法计算即可．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： (1)∵方程 有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac>0，∴方程的△=b2-4ac>0，∴
方程 有两个不相等的实数根，正确；
(2)∵方程 的两根符号相同，∴x1x2=>0，∴方程的中两根之积ac>0，则两根同号，正确；
(3)若 是方程 的一个根，则am2 +bm+c=0，而c× +b×+a=(am2+bm+c)=0，则am2+bm+c=0，正确；
(4) 设ax2+bx+c=cx2+bx+a，则(a-c)x2=(a-c)，解得x=±1，不正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】(1)根据一元二次方程的判别式△的符号进行判断即可；(2)分析根与系数的关系的两根之积的符号进行判断；(3)把m和分别代入两个方程进行比较即可判断；(4)联立两个一元二次方程，求出公共根，即可判断.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+ = = = ﹣2= ﹣2=﹣5．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出a+b=3，ab=p，再把a2﹣ab+b2=18利用完全平方公式变形，从而求出p的值，然后把要求的式子通分，再把a+b、ab的值代入求解.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】设方程 的两根为x1、x2，方程 同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①符合题意；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②符合题意；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，再结合题意对每个结论一一判断即可。
5．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，
设AB=a，BC=1，
∵点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1，
∴KB=BL=EG=1，FH=FM=FN=1，∠AKE=∠AGE=∠ELC=∠EGC=90°，
∴△AKE≌△AGE（HL），△ELC≌△EGC（HL），
∴AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，
∵AC=5，
∴a-1+b-1=5，即a+b=7①，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=49
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∴AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，
∴25=49-2ab
∴ab=12②，
由①和②可知a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，
∴a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），
∴AB=3，BC=4，AG=2，
∴GO=AO-AG=，
∴EO===，
∵EG=FH，∠EGO=∠FHO=90°，∠GOE=∠HOF，
∴△EGO≌△FHO（AAS），
∴EO=FO，
∴EF=2EO=2×=.
故答案为：B.
【分析】如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC、AD、DC分别于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，设AB=a，BC=1，由点E，F在对角线AC两侧，且到所在三角形三边距离都等于1，易证△AKE≌△AGE，△ELC≌△EGC，即得AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，从而得a+b=7①，进而得（a+b）2=a2+2ab+b2=49，由勾股定理得AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，进而推出ab=12②，再根据根与系数的关系可得a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，即得a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），从而求得AB=3，BC=4，AG=2，进而得到GO=AO-AG=，再证出△EGO≌△FHO，可得EO=FO，最后由EF=2EO即可求出EF的长.
6．【答案】①②③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①若a-b+c=0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，又a≠0，则b2－4ac≥0正确；
② 若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2， 由根与系数的关系得1×2=，整理得2a=c，即2a-c=0，故正确；
③ 若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根 ，则-4ac＞0， 所以b2-4ac＞0，所以方程ax2＋bx＋c＝0 一定有两个不相等的实数根，故正确；
④ 若b＝2a＋c， 则b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，由于a≠0，故4a2+c2＞0，∴ 方程有两个不相等的实数根正确.
故答案为：①②③④.
【分析】①若a-b+c=0，说明原方程有一个根为1，又a≠0，说明原方程是一元二次方程，一元二次方程有根必有两个，故 b2－4ac≥0；②已知方程的两根，用根与系数关系的式子变形即可得出结论；③判断方程根的情况，只需要看根的判别式b2－4ac的值的符号就可以了；④ 把b＝2a＋c代入b2-4ac就可以判断根的情况.
7．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，
∴x22+5x2﹣3=0，
∴x22+5x2=3，
∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，
∴2x1 x2+a=4，
∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，
∴x1x2=﹣3，
∴2×（﹣3）+a=4，
∴a=10.
故答案为：10.
【分析】根据方程根的定义可把 x2代入方程，变形得x22+5x2=3，把此式代入2x1（x22+6x2﹣3）+a=4可得2x1 x2+a=4，再由根与系数的关系得x1x2=﹣3，从而求出a的值.
8．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
9．【答案】（1）-6
（2）2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，，∴，.
∵，∴.
∵，∴m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，∴.
（2）∵，，∴，.
∵，∴，
∴m，n是一元二次方程的两个实数根，且，
∴，，
∴，∴.
【分析】（1）根据题干先求出m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，再利用根与系数的关系求出m+n的值即可；
（2）根据题干先求出m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，且，再利用根与系数的关系及等量代换求出即可.
10．【答案】（1）证明：∵
∴无论 取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵ ， ， ∴ ；
当斜边长为4时， 即 ，
∴ ，
解得： ，或 （舍去）；
k＞2时方程 的根为： ，
当直角边长为4，斜边为m时， ， ，
即
∴ ，
解得： ，或 （舍去）；
当直角边长为4，斜边为n时， ， ，
同理可得： ，或 （舍去）；
综上， 或 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系；勾股定理
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒不为负数即可；
（2）根据根与系数的关系可得mn=2k，m+n=k+2，根据三角形的三边关系可得m+n>4，求出k的范围，当斜边长为4时，根据勾股定理可得(m+n)2-2mn=m2+n2=42，代入求解可得k的值；当直角边长为4，斜边为m时，m-n=k-2，m2-n2=(m+n)(m-n)=16，求解可得k的值；当直角边长为4，斜边为n时，同理可得k的值.
11．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或者，
∵根据（1）有，
即；
（3）解：由（2）可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵根据（1）有，
即．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出 ，， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
12．【答案】（1）证明：∵Δ＝[-2（n-1）]2-4（n2-2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100-20（n-1）+n2-2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2-22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2-18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）＝100，
解得n＝8或-6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8-1）＝14，符合题意，
当n＝-6时，AB+AC＝2×（-6-1）＝-14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）算出方程根的判别式b2-4ac的值，由判断是的值大于0可得结论；
（2）根据（1）的结论及等腰三角形的定义可得x＝10为一元二次方程的一个根，从而将x=10代入可得关于字母n的方程，求解可得n的值为12或10；然后分①当n＝12时，②当n＝10时，两种情况，分别根据一元二次方程根与系数的关系求出等腰三角形的底边，最后根据三角形周长计算方法算出三角形的周长即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，然后根据勾股定理及完全平方公式建立出寡欲字母n的方程，求解再根据实际情况检验可得答案.
13．【答案】（1）证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，
当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0，
解得n=12或10，
①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10=22，
∴m=12，
∴△ABC的周长为：10+10+12=32；
②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n=18，
解得n=8，
∴△ABC的周长为10+10+8=28；
综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，
∴AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，
解得n=8或-6，
当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意，
当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意，
综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）计算出根的判别式△=4＞0，据此即可判断；
（2） 由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，由于第三边BC的长是10，可知
当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，将x=10代入方程可求出n=12或10， 将n值分别代入方程利用根与系数的关系分别求出解即可；
（3）根据根与系数的关系可得AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，由勾股定理可得
AB2+AC2=BC2，即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，解出n值即可.
14．【答案】（1）证明：
不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：
，，
衍生点M的轨迹的解析式；y=x+2；
（3）解：
直线经过定点
关于x的方程有两个根
由根与系数的关系式得，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】 (1) 由一元二次方程根的判别式的△=4>0，即可得出结论；
(2) 解方程得出两根，可知衍生点M的坐标，由坐标的关系可得轨迹方程；
(3)由直线方程可知直线经过定点（2，4），可得一元二次方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系可得a，b，c的关系。
15．【答案】（1）-i；1；0
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴以 ， 的值为解的一元二次方程可以为： ．
（3）解： ，
，
，
，
∴ ， ．
【知识点】实数的运算；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1） ，
，
∵ ，
∴ ，
同理： ，
每四个为一组，和为0，
共有 组，
∴ ，
【分析】（1）根据 ，则 ， ，先找打规律：每4个一组且和为0，据此解答即可；
（2）由 ， 可得 ， ，利用根与系数的关系写出方程即可；
（3）原方程变形为 ， 可得 ， 利用直接开平方解方程即可.
16．【答案】（1）解：∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝ ，x2＝
（2）解：∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得 + +1＝0，
∴ 是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝ 是方程②的根
（3）解：∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，
∴a＝ ＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴ ＝1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=-
、x1x2=
，于是﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，则可得方程②，解方程②可求解；
（2）由题意把x=r代入方程①并变形可得 + +1＝0，根据一元二次方程的根的意义可求解；
（3）由等式a2b+b＝0可得b=0，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，则可求解.
17．【答案】（1）①、③
（2）4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）①∵
∴ =(-3)2- ×2×1=0
∴①是倍根方程；
②
∴ =
∴②不是倍根方程；
③ ，
∴ =12- ×1× =0
∴③是倍根方程；
故答案为：①、③；（2）∵ 是倍根方程，
∴
∴ =
解得： 或
∴ 或
故答案为： 或
【分析】（1）根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②、③中K的值，由此即可得出结论；（2）将方程（x 1）（mx-n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，当K＝0，整理后即可得出 的值；
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