【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册3.3 方差和标准差
一、选择题
1．（2023八上·文登期中）一组数据的方差计算公式为：，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．平均数是7 B．中位数是6.5 C．众数是6 D．方差是1
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由方差公式可知，这组数据为：6、6、7、9，
这组数据的平均数为故A不符合题意；
中位数为：故B不符合题意；
众数为：6，故C不符合题意；
方差为：故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据方差公式可知具体数据，再根据中位数，方差，众数，平均数的定义计算即可.
2．已知一组数据的方差为，数据为：－1，0，3，5，x，那么x等于（ ）
A．－2或5.5 B．2或－5.5 C．4或11 D．－4或－11
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【分析】根据平均数和方差的公式列出关于x，m的方程求解．
【解答】设数据的平均数为m，则①
整理得②
把①代入②，解得：x=-2或5.5．
故选A．
【点评】方程思想在初中数学的学习中极为重要，也是中考中的热点，本题思考问题的角度独特，难度较大.
3．（2018·葫芦岛）在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数是90分 B．中位数是95分
C．平均数是95分 D．方差是15
【答案】A
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A．众数是90分，人数最多，符合题意；
B．中位数是90分，不符合题意；
C．平均数是 分，不符合题意；
D．方差是 =19，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据。就可得求出中位数和众数，再根据平均数和方差的公式求出平均数和方差，就可得出正确选项。
4．（2023九上·遵化期中）已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3．则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．43 B．427 C．63 D．627
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：一组数据，，，，的平均数是2，方差是3．
另一组数据，，，的平均数是，方差是
故答案为：B.
【分析】先根据 一组数据，，，，的平均数是2，方差是3． 进而得到另一组数据，，，的平均数是和方差，从而求解.
5．（2020八下·西华期末）若一组数据 ， ， 的平均数为4，方差为3，那么数据 ， ， 的平均数和方差分别是（ ）
A．4， 3 B．6 3 C．3 4 D．6 5
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵数据a1，a2，a3的平均数为4，
∴ （a1+a2+a3）=4，
∴ （a1+2+a2+2+a3+2）= （a1+a2+a3）+2=4+2=6，
∴数据a1+2，a2+2，a3+2的平均数是6；
∵数据a1，a2，a3的方差为3，
∴ [（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]=3，
∴a1+2，a2+2，a3+2的方差为： [（a1+2-6）2+（a2+2-6）2+（a3+2-6）2]
= [（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]
=3.
故答案为：B.
【分析】根据数据a1，a2，a3的平均数为4可知 （a1+a2+a3）=4，据此可得出 （a1+2+a2+2+a3+2）的值；再由方差为3可得出数据a1+2，a2+2，a3+2的方差
6．若样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，…，xn+2，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3
C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题知，x1+1+x2+1+x3+1+…+xn+1=10n，∴x1+x2+…+xn=10n﹣n=9n
S12= [（x1+1﹣10）2+（x2+1﹣10）2+…+（xn+1﹣10）2]= [（x12+x22+x32+…+xn2）﹣18（x1+x2+x3+…+xn）+81n]=2，∴（x12+x22+x32+…+xn2）=83n
另一组数据的平均数= [x1+2+x2+2+…+xn+2]= [（x1+x2+x3+…+xn）+2n]= [9n+2n]= ×11n=11，另一组数据的方差= [（x1+2﹣11）2+（x2+2﹣11）2+…+（xn+2﹣11）2]
= [（x12+x22+…+xn2）﹣18（x1+x2+…+xn）+81n]= [83n﹣18×9n+81n]=2．故答案为：C．
【分析】根据题意，只有利用平均数和方差的性质分别分析并代入题目的数字得出即可解出答案.
7．（2023·杭州）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2 D．平均数是3，众数是2
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
B、当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，4，6或2，2，2，3，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
C、当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，
假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，
此时方差s=[(1-3)2+ (2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(6-3)2]=2. 8>2，
因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
D、当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6或2，2，2，3，6或1，2，2，5，5，故D选项不合题意.
故答案为：C.
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数；一组数据的总和除以这组数据的总个数即可得出这组数据的平均数；一组数据中的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数就是这组数据的方差；根据定义各个定义及选项中设定的情况，一一列举判断即可.
二、填空题
8．为迎接体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 。
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：∵平均数为12，
∴这组数据的和=12×7=84，
所以被墨汁覆盖的数的和=84-11-12-13-12=36，
又∵这组数据的众数为13，
∴被覆盖的三个数为：10，13，13，
所以这组数据的方差s2=
=.
故答案为：.
【分析】根据已知条件可推出被墨汁覆盖的三个数是10，13，13，再根据方差公式进行计算即可.
9．（2023九上·合肥开学考）有一组数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是4.5，则这组数据的方差是 .
【答案】
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：∵数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是4.5，
∴a=4，
∴平均数=（5+2+4+5+2+6）÷6=4，
∴方差=，
故答案为：.
【分析】先利用中位数求出a的值，再求出平均数，最后利用方差的计算方法求解即可.
10．教练对跳远运动员小刚的训练效果进行了测试，6次跳远的成绩(单位：m)如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9.这6次成绩的平均数是7.8m，方差是 m .若小刚再跳两次，成绩分别是7.7，7.9，则小刚这8次跳远成绩的方差将 (填“变大”“变小”或“不变”).
【答案】变小
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵李阳再跳两次，成绩分别为7.7、7.9，
∴这组数据的平均数是；
方差是：S2=[（7.6-7.8）2+2×（7.8-7.8）2+2×（7.7-7.8）2+（8.0-7.8）2+2×（7.9-7.8）2]÷8=0.015；
∵，
∴方差变小；
故答案为：变小.
【分析】根据平均数的定义：在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数先求出这组数据的平均数，再根据方差公式：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数求出这组数据的方差，然后进行比较即可求解.
11．（2021八下·鄞州期中）如果一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，那么数据a+99，b+100，c+101的方差将 S2（填“大于”“小于”或“等于”）.
【答案】大于
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，
∴ （a+b+c）＝b，
S2＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]，
∵数据a+99，b+100，c+101的平均数是： （a+99+b+100+c+101）＝b+100，
∴数据a+99，b+100，c+101的方差是：
[（a+99﹣b﹣100）2+（b+100﹣b﹣100）2+（c+101﹣b﹣100）2]
＝ [（a﹣b﹣1）2+（b﹣b）2+（c﹣b+1）2]
＝ [（a﹣b）2+1﹣2（a﹣b）+（b﹣b）2+（c﹣b）2+1+2（c﹣b）]
＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]
＝S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]，
∵a＜b＜c，
∴b﹣a＞0，c﹣b＞0，
∴ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞0，
∴S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞S2，
故答案为：大于.
【分析】先根据平均数的定义即可得到 （a+b+c）＝b，进而即可计算出数据a+99，b+100，c+101的平均数是b+100，再运用方差的定义表示出两组数据的方差，最后比较大小即可求解.
三、解答题
12．（2022七下·大庆期末）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，成绩如下表（单位：环）：甲：9；7；10；10；9；9；乙：10；8；9；8；10；9
（1）分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数和方差；
（2）你认为推荐谁参加全国比赛更合适，说明理由．
【答案】（1）解：甲的平均成绩：（9＋7＋10＋10＋9＋9）÷6＝9，
乙的平均成绩是：（10＋8＋9＋8＋10＋9）÷6＝9；
，
；
（2）解：选乙，
因为甲、乙两人平均数相同，且乙的方差小，成绩比较稳定．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）先求出甲和乙的平均成绩，再根据方差公式计算求解即可；
（2）根据平均数和方差判断求解即可。
13．（2023八下·朔州期末）学校举办纪念“五四运动”104周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，激扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．
初赛阶段两个年级各10名选手的成绩统计如下：
七年级：98 96 86 85 84 94 77 69 59 94
八年级：99 96 73 82 96 79 65 96 55 96
他们的数据分析过程如下：
（1）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制频数分布直方图如图：
请补全八年级频数分布直方图；
（2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如表所示：
年级 平均数 中位数 方差
七年级 ① 85.5 144.36
八年级 83.7 ② 251.21
根据以上数据求出表格中①，②两处的数据；
（3）推断结论：根据以上信息，判断哪个年级比赛成绩整体较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．
【答案】（1）解：由成绩统计可知：八年级成绩在之间的有1人，在之间的有2人，补全八年级频数分布直方图，如下：
（2）解：表格中①对应的数据为：．
表格中②对应的数据是．
（3）解：七年级比赛成绩整体较好．
理由：七年级成绩的平均数大于八年级，说明七年级的平均成绩好于八年级；七年级成绩的方差小于八年级，说明七年级同学的成绩波动小，故七年级比赛成绩整体较好．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】（1）根据题意先求出八年级成绩在之间的有1人，在之间的有2人，补全八年级频数分布直方图，再补全八年级频数分布直方图即可；
（2）利用中位数和平均数的计算方法求解即可；
（3）根据平均数和方差判断求解即可。
14．
（1）已知三组数据，通过计算完成填表：
数据 平均数 方差
1，2，3，4，5
11，12，13，14，15
3，6，9，12，15
（2）【分析数据】请你比较三组数据的大小及统计量的结果，写出其中一些规律性的结论。
（3）【解决问题】请你用发现的结论来解决以下的问题。
已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b，则
（1）数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为 ，方差为 。
（2）数据x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3的平均数为 ，方差为 。
（3）数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的平均数为 方差为 。
（4）数据2x1-3，2x2-3，2x3-3，…，2xn-3的平均数为 ，方差为 。
【答案】（1）解：1，2，3，4，5 这五个数的平均数为：（1+2+3+4+5）÷5=3，
方差为：÷5=2，
11，12，13，14，15 这五个数的平均数为：（11+12+13+14+15）÷5=13，
方差为：÷5=2，
3，6，9，12，15 这五个数的平均数为：（3+6+9+12+15）÷5=9，
方差为：÷5=18，
故补充表格如下，
数据 平均数 方差
1，2，3，4，5 3 2
11，12，13，14，15 13 2
3，6，9，12，15 9 18
（2）解：一组数据的每个数据加上或减去同一常数，则平均数也加上或减去这个常数，而方差不变；一组数据的每个数据扩大到原来的n倍或缩小为原来的，则平均数也扩大到原来的n倍或缩小为原来的，而方差扩大到原来的n2倍或缩小为原来的.
（3）a+3；b；a-3；b；3a；9b；2a-3；4b
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：（3）①利用（2）规律：
一组数据的每个数据加上同一常数，则平均数也加上这个常数，而方差不变，
∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b ，
∴x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为a+3，方差为b；
②利用（2）中规律：
一组数据的每个数据减去同一常数，则平均数也减去这个常数，而方差不变，
∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b ，
∴x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3的平均数为a-3，方差为b；
③利用（2）中规律：
一组数据的每个数据扩大到原来的n倍，则平均数也扩大到原来的n倍，而方差扩大到原来的n2倍，
∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b ，
∴数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的平均数为3a，方差为9b；
④∵数据2x1-3，2x2-3，2x3-3，…，2xn-3为原数据先扩大2倍后，再每个数据减3，
∴利用（2）中规律，可得：
平均数为2a-3，方差为4b.
故答案为： a+3 ， b ； a-3 ， b ； 3a ， 9b ； 2a-3 ， 4b .
【分析】（1）根据平均数定义：一组数据中所有数据的和再除以数据个数，即可求出三组数据的平均数；根据方差的定义：各个数据同平均数差的平方之和，再除以个数，即可求出三组数据的方差；
（2）分析数据：观察（1）中三组数据的的变化特征，结合已求出的平均数和方差值，分析所得平均数和方差可得：一组数据的每个数据加上或减去同一常数，则平均数也加上或减去这个常数，而方差不变；一组数据的每个数据扩大到原来的n倍或缩小为原来的，则平均数也扩大到原来的n倍或缩小为原来的，而方差扩大到原来的n2倍或缩小为原来的；
（3）解决问题：
①和②直接利用（2）中分析数据中得出的规律性结论：一组数据的每个数据加上或减去同一常数，则平均数也加上或减去这个常数，而方差不变，即可求出平均数和方差的值；
③直接利用（2）中分析数据中得出的规律性结论：一组数据的每个数据扩大到原来的n倍，则平均数也扩大到原来的n倍，而方差扩大到原来的n2倍，即可求出出平均数和方差的值；
④将（2）中分析数据中得出的规律性结论： 一组数据的每个数据扩大到原来的n倍和一组数据的每个数据减去同一常数，结合判断，即可求出这组数据的平均数和方差的值.
15．（2022·红塔模拟）2021年12月，中共玉溪市红塔区委办公室、玉溪市红塔区人民政府办公室印发《玉溪市红塔区进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的实施方案》，文件明确要求，建立作业统筹管理机制，科学合理布置作业，严控作业总量和时长，切实减轻学生过重课业负担，初中学生每天书面作业平均完成时间不超过90分钟，周末、寒暑假、法定节假日也控制书面作业时间，某校为了解在“双减”政策下九年级学生每天书面作业完成时间（单位：分钟）的落实情况，在九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并将调查结果统计如下表：
每天书面完成时间t/分钟
人数 2 10 15 17 6
（1）直接写出本次调查的样本容量，中位数所在的范围及平均数（计算平均数时，可用各组的组中值代表各组的实际数据）；
（2）直接写出抽取的学生每天书面作业完成时间超过90分钟的人数，估计该校九年级学生每天书面作业平均完成时间是否符“双减”政策的要求，并说明理由．
【答案】（1）解：本次调查的样本容量是：（人），
因为这组数据是50，， ，
所以中位数所在的范围，
因为该5组数区间范围的组中值分别是：，，，
，，
所以这组数据的平均数为：；
（2）解：符合“双减”政策的要求．
理由如下：
抽取的学生每天书面作业完成时间超过90分钟的人数为（人）
∵，中位数在范围内，
∴抽取的学生每天书面作业平均完成时间符合“双减”政策的要求，
∴估计该校九年级学生每天书面作业平均完成时间符合“双减”政策的要求．
【知识点】统计表；加权平均数及其计算；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）利用样本容量，中位数及平均数的定义及计算方法求解即可；
（2）先求出抽取的学生每天书面作业完成时间超过90分钟的人数为，再结合，中位数在范围内，即可得到答案。
16．（2019八下·铜陵期末）某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
九（1）
85
九（2） 85
100
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）计算两班复赛成绩的方差．
【答案】（1）85|85|80
（2）解：九（1）班成绩好些．因为九（1）班的中位数高，所以九（1）班成绩好些．
（3）解：
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】解：（1）由图可知九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，
九（2）班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80，
∴九（1）的平均数为（75+80+85+85+100）÷5＝85，
九（1）的中位数为85，
九（1）的众数为85，
把九（2）的成绩按从小到大的顺序排列为：70、75、80、100、100，
∴九（2）班的中位数是80；
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
九（1） 85 85 85
九（2） 85 80 100
【分析】（1）根据平均数，中位数以及众数的定义，即可得到答案；
（2）根据平均数和中位数的意义，即可得到答案；
（3）根据方差公式，即可求解．
17．（2020·福州模拟）图1是某市2009年4月5日至14日每天最低气温的折线统计图．
（1）图2是该市2007年4月5日至14日每天最低气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；
（2）在这10天中，最低气温的众数是 ，中位数是 ，方差是 ．
（3）请用扇形图表示出这十天里温度的分布情况．
【答案】（1）解：由图1可知，8℃有2天，9℃有0天，10℃有2天，
补全统计图如图；
（2）7；7.5；2.8
（3）解：6℃的度数， ×360°=72°，
7℃的度数， ×360°=108°，
8℃的度数， ×360°=72°，
10℃的度数， ×360°=72°，
11℃的度数， ×360°=36°，
作出扇形统计图如图所示．
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（2）根据条形统计图，7℃出现的频率最高，为3天，
所以，众数是7；
按照温度从小到大的顺序排列，第5个温度为7℃，第6个温度为8℃，
所以，中位数为 （7+8）=7.5；
平均数为 （6×2+7×3+8×2+10×2+11）= ×80=8，
所以，方差= [2×（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（10﹣8）2+（11﹣8）2]，
= （8+3+0+8+9），
= ×28，
=2.8
【分析】（1）根据图1找出8、9、10℃的天数，然后补全统计图即可；（2）根据众数的定义，找出出现频率最高的温度；按照从低到高排列，求出第5、6两个温度的平均数即为中位数；先求出平均数，再根据方差的定义列式进行计算即可得解；（3）求出7、8、9、10、11℃的天数在扇形统计图中所占的度数，然后作出扇形统计图即可．
18．（2023九上·南昌开学考）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
【答案】（1）7；7.5；4.2
（2）乙；乙；甲
（3）解：乙
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】 (1)如图：环
故第一空填：7
乙的成绩为（环）：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，中位数是第五和第六个数据的平均值，
故第二空填：7.5
根据方差公式：
=4.2
故第三空填：4.2
(3)解：选乙更加合适。从中位数和众数的角度来看，乙成绩较好；甲乙平均成绩都是7环，稳定发挥的夺冠可能性较低， 说明乙超水平发挥的概率高，故选乙更加合适。
【分析】 (1) 掌握平均数、中位数、方差的计算方法； (2) 根据中位数和众数进行分析评价； (3)会根据方差判定数据的稳定性和波动性，但不是稳定性越小越好，要根据目标确定。
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册3.3 方差和标准差
一、选择题
1．（2023八上·文登期中）一组数据的方差计算公式为：，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．平均数是7 B．中位数是6.5 C．众数是6 D．方差是1
2．已知一组数据的方差为，数据为：－1，0，3，5，x，那么x等于（ ）
A．－2或5.5 B．2或－5.5 C．4或11 D．－4或－11
3．（2018·葫芦岛）在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数是90分 B．中位数是95分
C．平均数是95分 D．方差是15
4．（2023九上·遵化期中）已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3．则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．43 B．427 C．63 D．627
5．（2020八下·西华期末）若一组数据 ， ， 的平均数为4，方差为3，那么数据 ， ， 的平均数和方差分别是（ ）
A．4， 3 B．6 3 C．3 4 D．6 5
6．若样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，…，xn+2，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3
C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4
7．（2023·杭州）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2 D．平均数是3，众数是2
二、填空题
8．为迎接体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 。
9．（2023九上·合肥开学考）有一组数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是4.5，则这组数据的方差是 .
10．教练对跳远运动员小刚的训练效果进行了测试，6次跳远的成绩(单位：m)如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9.这6次成绩的平均数是7.8m，方差是 m .若小刚再跳两次，成绩分别是7.7，7.9，则小刚这8次跳远成绩的方差将 (填“变大”“变小”或“不变”).
11．（2021八下·鄞州期中）如果一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，那么数据a+99，b+100，c+101的方差将 S2（填“大于”“小于”或“等于”）.
三、解答题
12．（2022七下·大庆期末）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，成绩如下表（单位：环）：甲：9；7；10；10；9；9；乙：10；8；9；8；10；9
（1）分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数和方差；
（2）你认为推荐谁参加全国比赛更合适，说明理由．
13．（2023八下·朔州期末）学校举办纪念“五四运动”104周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，激扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．
初赛阶段两个年级各10名选手的成绩统计如下：
七年级：98 96 86 85 84 94 77 69 59 94
八年级：99 96 73 82 96 79 65 96 55 96
他们的数据分析过程如下：
（1）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制频数分布直方图如图：
请补全八年级频数分布直方图；
（2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如表所示：
年级 平均数 中位数 方差
七年级 ① 85.5 144.36
八年级 83.7 ② 251.21
根据以上数据求出表格中①，②两处的数据；
（3）推断结论：根据以上信息，判断哪个年级比赛成绩整体较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．
14．
（1）已知三组数据，通过计算完成填表：
数据 平均数 方差
1，2，3，4，5
11，12，13，14，15
3，6，9，12，15
（2）【分析数据】请你比较三组数据的大小及统计量的结果，写出其中一些规律性的结论。
（3）【解决问题】请你用发现的结论来解决以下的问题。
已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b，则
（1）数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为 ，方差为 。
（2）数据x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3的平均数为 ，方差为 。
（3）数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的平均数为 方差为 。
（4）数据2x1-3，2x2-3，2x3-3，…，2xn-3的平均数为 ，方差为 。
15．（2022·红塔模拟）2021年12月，中共玉溪市红塔区委办公室、玉溪市红塔区人民政府办公室印发《玉溪市红塔区进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的实施方案》，文件明确要求，建立作业统筹管理机制，科学合理布置作业，严控作业总量和时长，切实减轻学生过重课业负担，初中学生每天书面作业平均完成时间不超过90分钟，周末、寒暑假、法定节假日也控制书面作业时间，某校为了解在“双减”政策下九年级学生每天书面作业完成时间（单位：分钟）的落实情况，在九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并将调查结果统计如下表：
每天书面完成时间t/分钟
人数 2 10 15 17 6
（1）直接写出本次调查的样本容量，中位数所在的范围及平均数（计算平均数时，可用各组的组中值代表各组的实际数据）；
（2）直接写出抽取的学生每天书面作业完成时间超过90分钟的人数，估计该校九年级学生每天书面作业平均完成时间是否符“双减”政策的要求，并说明理由．
16．（2019八下·铜陵期末）某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
九（1）
85
九（2） 85
100
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）计算两班复赛成绩的方差．
17．（2020·福州模拟）图1是某市2009年4月5日至14日每天最低气温的折线统计图．
（1）图2是该市2007年4月5日至14日每天最低气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；
（2）在这10天中，最低气温的众数是 ，中位数是 ，方差是 ．
（3）请用扇形图表示出这十天里温度的分布情况．
18．（2023九上·南昌开学考）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由方差公式可知，这组数据为：6、6、7、9，
这组数据的平均数为故A不符合题意；
中位数为：故B不符合题意；
众数为：6，故C不符合题意；
方差为：故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据方差公式可知具体数据，再根据中位数，方差，众数，平均数的定义计算即可.
2．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【分析】根据平均数和方差的公式列出关于x，m的方程求解．
【解答】设数据的平均数为m，则①
整理得②
把①代入②，解得：x=-2或5.5．
故选A．
【点评】方程思想在初中数学的学习中极为重要，也是中考中的热点，本题思考问题的角度独特，难度较大.
3．【答案】A
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A．众数是90分，人数最多，符合题意；
B．中位数是90分，不符合题意；
C．平均数是 分，不符合题意；
D．方差是 =19，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据。就可得求出中位数和众数，再根据平均数和方差的公式求出平均数和方差，就可得出正确选项。
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：一组数据，，，，的平均数是2，方差是3．
另一组数据，，，的平均数是，方差是
故答案为：B.
【分析】先根据 一组数据，，，，的平均数是2，方差是3． 进而得到另一组数据，，，的平均数是和方差，从而求解.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵数据a1，a2，a3的平均数为4，
∴ （a1+a2+a3）=4，
∴ （a1+2+a2+2+a3+2）= （a1+a2+a3）+2=4+2=6，
∴数据a1+2，a2+2，a3+2的平均数是6；
∵数据a1，a2，a3的方差为3，
∴ [（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]=3，
∴a1+2，a2+2，a3+2的方差为： [（a1+2-6）2+（a2+2-6）2+（a3+2-6）2]
= [（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]
=3.
故答案为：B.
【分析】根据数据a1，a2，a3的平均数为4可知 （a1+a2+a3）=4，据此可得出 （a1+2+a2+2+a3+2）的值；再由方差为3可得出数据a1+2，a2+2，a3+2的方差
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题知，x1+1+x2+1+x3+1+…+xn+1=10n，∴x1+x2+…+xn=10n﹣n=9n
S12= [（x1+1﹣10）2+（x2+1﹣10）2+…+（xn+1﹣10）2]= [（x12+x22+x32+…+xn2）﹣18（x1+x2+x3+…+xn）+81n]=2，∴（x12+x22+x32+…+xn2）=83n
另一组数据的平均数= [x1+2+x2+2+…+xn+2]= [（x1+x2+x3+…+xn）+2n]= [9n+2n]= ×11n=11，另一组数据的方差= [（x1+2﹣11）2+（x2+2﹣11）2+…+（xn+2﹣11）2]
= [（x12+x22+…+xn2）﹣18（x1+x2+…+xn）+81n]= [83n﹣18×9n+81n]=2．故答案为：C．
【分析】根据题意，只有利用平均数和方差的性质分别分析并代入题目的数字得出即可解出答案.
7．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
B、当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，4，6或2，2，2，3，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
C、当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，
假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，
此时方差s=[(1-3)2+ (2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(6-3)2]=2. 8>2，
因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
D、当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6或2，2，2，3，6或1，2，2，5，5，故D选项不合题意.
故答案为：C.
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数；一组数据的总和除以这组数据的总个数即可得出这组数据的平均数；一组数据中的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数就是这组数据的方差；根据定义各个定义及选项中设定的情况，一一列举判断即可.
8．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：∵平均数为12，
∴这组数据的和=12×7=84，
所以被墨汁覆盖的数的和=84-11-12-13-12=36，
又∵这组数据的众数为13，
∴被覆盖的三个数为：10，13，13，
所以这组数据的方差s2=
=.
故答案为：.
【分析】根据已知条件可推出被墨汁覆盖的三个数是10，13，13，再根据方差公式进行计算即可.
9．【答案】
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：∵数据：5，2，，5，2，6，它们的中位数是4.5，
∴a=4，
∴平均数=（5+2+4+5+2+6）÷6=4，
∴方差=，
故答案为：.
【分析】先利用中位数求出a的值，再求出平均数，最后利用方差的计算方法求解即可.
10．【答案】变小
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵李阳再跳两次，成绩分别为7.7、7.9，
∴这组数据的平均数是；
方差是：S2=[（7.6-7.8）2+2×（7.8-7.8）2+2×（7.7-7.8）2+（8.0-7.8）2+2×（7.9-7.8）2]÷8=0.015；
∵，
∴方差变小；
故答案为：变小.
【分析】根据平均数的定义：在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数先求出这组数据的平均数，再根据方差公式：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数求出这组数据的方差，然后进行比较即可求解.
11．【答案】大于
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，
∴ （a+b+c）＝b，
S2＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]，
∵数据a+99，b+100，c+101的平均数是： （a+99+b+100+c+101）＝b+100，
∴数据a+99，b+100，c+101的方差是：
[（a+99﹣b﹣100）2+（b+100﹣b﹣100）2+（c+101﹣b﹣100）2]
＝ [（a﹣b﹣1）2+（b﹣b）2+（c﹣b+1）2]
＝ [（a﹣b）2+1﹣2（a﹣b）+（b﹣b）2+（c﹣b）2+1+2（c﹣b）]
＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]
＝S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]，
∵a＜b＜c，
∴b﹣a＞0，c﹣b＞0，
∴ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞0，
∴S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞S2，
故答案为：大于.
【分析】先根据平均数的定义即可得到 （a+b+c）＝b，进而即可计算出数据a+99，b+100，c+101的平均数是b+100，再运用方差的定义表示出两组数据的方差，最后比较大小即可求解.
12．【答案】（1）解：甲的平均成绩：（9＋7＋10＋10＋9＋9）÷6＝9，
乙的平均成绩是：（10＋8＋9＋8＋10＋9）÷6＝9；
，
；
（2）解：选乙，
因为甲、乙两人平均数相同，且乙的方差小，成绩比较稳定．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）先求出甲和乙的平均成绩，再根据方差公式计算求解即可；
（2）根据平均数和方差判断求解即可。
13．【答案】（1）解：由成绩统计可知：八年级成绩在之间的有1人，在之间的有2人，补全八年级频数分布直方图，如下：
（2）解：表格中①对应的数据为：．
表格中②对应的数据是．
（3）解：七年级比赛成绩整体较好．
理由：七年级成绩的平均数大于八年级，说明七年级的平均成绩好于八年级；七年级成绩的方差小于八年级，说明七年级同学的成绩波动小，故七年级比赛成绩整体较好．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】（1）根据题意先求出八年级成绩在之间的有1人，在之间的有2人，补全八年级频数分布直方图，再补全八年级频数分布直方图即可；
（2）利用中位数和平均数的计算方法求解即可；
（3）根据平均数和方差判断求解即可。
14．【答案】（1）解：1，2，3，4，5 这五个数的平均数为：（1+2+3+4+5）÷5=3，
方差为：÷5=2，
11，12，13，14，15 这五个数的平均数为：（11+12+13+14+15）÷5=13，
方差为：÷5=2，
3，6，9，12，15 这五个数的平均数为：（3+6+9+12+15）÷5=9，
方差为：÷5=18，
故补充表格如下，
数据 平均数 方差
1，2，3，4，5 3 2
11，12，13，14，15 13 2
3，6，9，12，15 9 18
（2）解：一组数据的每个数据加上或减去同一常数，则平均数也加上或减去这个常数，而方差不变；一组数据的每个数据扩大到原来的n倍或缩小为原来的，则平均数也扩大到原来的n倍或缩小为原来的，而方差扩大到原来的n2倍或缩小为原来的.
（3）a+3；b；a-3；b；3a；9b；2a-3；4b
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：（3）①利用（2）规律：
一组数据的每个数据加上同一常数，则平均数也加上这个常数，而方差不变，
∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b ，
∴x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为a+3，方差为b；
②利用（2）中规律：
一组数据的每个数据减去同一常数，则平均数也减去这个常数，而方差不变，
∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b ，
∴x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3的平均数为a-3，方差为b；
③利用（2）中规律：
一组数据的每个数据扩大到原来的n倍，则平均数也扩大到原来的n倍，而方差扩大到原来的n2倍，
∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b ，
∴数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的平均数为3a，方差为9b；
④∵数据2x1-3，2x2-3，2x3-3，…，2xn-3为原数据先扩大2倍后，再每个数据减3，
∴利用（2）中规律，可得：
平均数为2a-3，方差为4b.
故答案为： a+3 ， b ； a-3 ， b ； 3a ， 9b ； 2a-3 ， 4b .
【分析】（1）根据平均数定义：一组数据中所有数据的和再除以数据个数，即可求出三组数据的平均数；根据方差的定义：各个数据同平均数差的平方之和，再除以个数，即可求出三组数据的方差；
（2）分析数据：观察（1）中三组数据的的变化特征，结合已求出的平均数和方差值，分析所得平均数和方差可得：一组数据的每个数据加上或减去同一常数，则平均数也加上或减去这个常数，而方差不变；一组数据的每个数据扩大到原来的n倍或缩小为原来的，则平均数也扩大到原来的n倍或缩小为原来的，而方差扩大到原来的n2倍或缩小为原来的；
（3）解决问题：
①和②直接利用（2）中分析数据中得出的规律性结论：一组数据的每个数据加上或减去同一常数，则平均数也加上或减去这个常数，而方差不变，即可求出平均数和方差的值；
③直接利用（2）中分析数据中得出的规律性结论：一组数据的每个数据扩大到原来的n倍，则平均数也扩大到原来的n倍，而方差扩大到原来的n2倍，即可求出出平均数和方差的值；
④将（2）中分析数据中得出的规律性结论： 一组数据的每个数据扩大到原来的n倍和一组数据的每个数据减去同一常数，结合判断，即可求出这组数据的平均数和方差的值.
15．【答案】（1）解：本次调查的样本容量是：（人），
因为这组数据是50，， ，
所以中位数所在的范围，
因为该5组数区间范围的组中值分别是：，，，
，，
所以这组数据的平均数为：；
（2）解：符合“双减”政策的要求．
理由如下：
抽取的学生每天书面作业完成时间超过90分钟的人数为（人）
∵，中位数在范围内，
∴抽取的学生每天书面作业平均完成时间符合“双减”政策的要求，
∴估计该校九年级学生每天书面作业平均完成时间符合“双减”政策的要求．
【知识点】统计表；加权平均数及其计算；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）利用样本容量，中位数及平均数的定义及计算方法求解即可；
（2）先求出抽取的学生每天书面作业完成时间超过90分钟的人数为，再结合，中位数在范围内，即可得到答案。
16．【答案】（1）85|85|80
（2）解：九（1）班成绩好些．因为九（1）班的中位数高，所以九（1）班成绩好些．
（3）解：
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】解：（1）由图可知九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，
九（2）班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80，
∴九（1）的平均数为（75+80+85+85+100）÷5＝85，
九（1）的中位数为85，
九（1）的众数为85，
把九（2）的成绩按从小到大的顺序排列为：70、75、80、100、100，
∴九（2）班的中位数是80；
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
九（1） 85 85 85
九（2） 85 80 100
【分析】（1）根据平均数，中位数以及众数的定义，即可得到答案；
（2）根据平均数和中位数的意义，即可得到答案；
（3）根据方差公式，即可求解．
17．【答案】（1）解：由图1可知，8℃有2天，9℃有0天，10℃有2天，
补全统计图如图；
（2）7；7.5；2.8
（3）解：6℃的度数， ×360°=72°，
7℃的度数， ×360°=108°，
8℃的度数， ×360°=72°，
10℃的度数， ×360°=72°，
11℃的度数， ×360°=36°，
作出扇形统计图如图所示．
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（2）根据条形统计图，7℃出现的频率最高，为3天，
所以，众数是7；
按照温度从小到大的顺序排列，第5个温度为7℃，第6个温度为8℃，
所以，中位数为 （7+8）=7.5；
平均数为 （6×2+7×3+8×2+10×2+11）= ×80=8，
所以，方差= [2×（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（10﹣8）2+（11﹣8）2]，
= （8+3+0+8+9），
= ×28，
=2.8
【分析】（1）根据图1找出8、9、10℃的天数，然后补全统计图即可；（2）根据众数的定义，找出出现频率最高的温度；按照从低到高排列，求出第5、6两个温度的平均数即为中位数；先求出平均数，再根据方差的定义列式进行计算即可得解；（3）求出7、8、9、10、11℃的天数在扇形统计图中所占的度数，然后作出扇形统计图即可．
18．【答案】（1）7；7.5；4.2
（2）乙；乙；甲
（3）解：乙
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】 (1)如图：环
故第一空填：7
乙的成绩为（环）：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，中位数是第五和第六个数据的平均值，
故第二空填：7.5
根据方差公式：
=4.2
故第三空填：4.2
(3)解：选乙更加合适。从中位数和众数的角度来看，乙成绩较好；甲乙平均成绩都是7环，稳定发挥的夺冠可能性较低， 说明乙超水平发挥的概率高，故选乙更加合适。
【分析】 (1) 掌握平均数、中位数、方差的计算方法； (2) 根据中位数和众数进行分析评价； (3)会根据方差判定数据的稳定性和波动性，但不是稳定性越小越好，要根据目标确定。
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