浙教版八年级数学 下册试题第4章 平行四边形--存在性问题（含答案）

平行四边形--存在性问题
一、解答题
1．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
(1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线l（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)直线l分别交AB，AC，CD于点E，F，G．猜想DG与BE存在的数量关系，并证明你猜想的结论．
2．如图1，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一动点，连接BE交对角线AC于点F，点M为线段BF上一点，连接AM．
(1)如图1，若对角线AC⊥AB，点M是BF的中点，，，求BC的长；
(2)如图2，若，，AC的垂直平分线交BE的延长线于点G，连接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于点M，求证：；
(3)如图3，当点E在运动过程中满足BCE为等边三角形时，若；在BCE内部是否存在一点P使有最小值，若存在，直接写出的最小值，若不存在，请说明理由．
3．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；
（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点E是BC边上的任意一点，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
4．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请直接写出t的值．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，CD＝10cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AD向点D运动；同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿BC向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题：
（1）BC＝_______cm．
（2）求t为何值时四边形PQCD是平行四边形．
（3）求t为何值时四边形PQBA是矩形．
（4）是否存在t的值，使得△DQC是等腰三角形．若存在请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
6．如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求AB的长；
（2）动点P从点B出发，沿射线BC以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度运动，当点Q运动到点D时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形？
②是否存在点P，使是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当08．如图，在等边三角形ABC中，边长为12cm，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度是3cm/s；同时点Q由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点Q的直线QE∥AC，交BC于点E，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AC？
（2）当点P在线段AD上时，设四边形PQEC的面积为ycm2，求y与t的关系式；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，求出t的值，若不存在，说明理由
9．如图，中，，，点是边上一动点，以的速度由向运动，同时点从点出发，在延长线上，以的速度向左运动，运动时间为秒，当点到达点时，两点停止运动．连接交于点，过点作于，过点作的垂线交延长线于，连接．
（1）用含的代数式表示线段长度：________，________；
（2）当取何值时，四边形是平行四边形？请写出推理过程．
（3）在运动过程中，点是否总是的中点？请说明理由．
（4）是否存在某一时刻，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
10．在学习完了《平行四边形的性质》之后，王老师在数学活动课上对下面一个问题让学生展开探究活动．
问题情境：图1，在 ABCD中，CA⊥AB，AB＝6cm，AC＝8cm，点O为AC的中点，动点P在BC边上运动，直线PO交AD于E．
问题发现：数学智慧小组”通过积极的动手操作，观察，猜想，提出了如下问题：
（1）在点P运动的过程中，始终存在PO＝OE，为什么？
（2）在点P运动到PO⊥AC时，四边形ABPE是平行四边形，为什么？此时BP的长度是多少？
（3）在点P运动的过程中，四边形ABPE的周长是否存在最小值？如果存在，则四边形ABPE的周长的最小值是　 　cm；BP的长度为　 　cm．
问题解决：
“数学智慧小组”欢迎您的加入，请开启您的“问题解决之旅”吧！
11．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，OB，OC是x2﹣12x+32＝0的两根，OC>OA，
（1）求B点的坐标．
（2）把ABC沿AC对折，点B落在点处，线段与x轴交于点D，在平面上是否存在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平行四边形中，，．．点在上由点向点出发，速度为每秒；点在边上，同时由点向点运动，速度为每秒．当点运动到点时，点，同时停止运动．连接，设运动时间为秒．
（1）当为何值时，四边形为平行四边形？
（2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式．
（3）当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？求出此时的度数．
（4）连接，是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，请求出此刻的值；若不存在，请说明理由．
13．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒（），过点作于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当为何值时，动点恰好在的垂直平分线上；
（3）点、在运动过程中是否存在的值，使是直角三角形，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点C的坐标是．
（1）求的度数；
（2）若第一象限内存在点D，使四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标．
15．综合与探究
如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点B在x轴负半轴上，点D在第一象限，A，C两点的坐标分别为（0，4），（3，0），边AD的长为6．
（1）点B的坐标为　 ；
（2）若E为x轴正半轴上的点，且S△AOE ＝，求经过D，E两点的直线的解析式；
（3）若点N在平面直角坐标系内，则在x轴上是否存在点F使以A，C，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，连接CD，∠ADC＝120°，把△ADC绕点A逆时针旋转得到（旋转后点C、D的对应点分别为、），设旋转的度数为m（0°≤m≤360°）．
（1）当m＝30°时，如图2，连接C并延长，交AB于点E．请直接写出∠AC的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断△DCE的形状，并说明理由；
（3）①小明在探究的过程中发现：当m＝90°时，如图3，四边形ACB为平行四边形，请证明小明的结论的正确性；
②请你再探究：在△ADC绕点A逆时针旋转过程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请在备用图中画出旋转后的图形，并请直接写出m的值；若不能，请说明理由．
17．问题探究：
（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 　 　．
（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．
答案
一、解答题
1．
(1) 解：如图，直线l为所作；
解：DG=BE，理由如下：
证明：标注如图字母，
∵EG垂直平分AC，
∴FA=FC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∴∠DCA=∠BAC，
在△CFG和△AFE中，
，
∴△CFG≌△AFE（ASA），
∴CG=AE，
∴CD-CG=AB-AE，
即DG=BE．
2．
解：∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°；
∵点M为BF的中点，
∴，
∴BF=6，
∴
∵，
∴
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°
∴
解：连接并延长MC，过点C作CQ⊥BC交BE于点Q，
分别过点G作GH⊥MC于点H，作GP⊥AM于点P．
∵，AM平分∠BAC，
∴△ABM≌△ACM（SAS）；
∴，∠AMB＝∠AMC，
∵∠CBE＝30°，BM＝MC，
∴∠BCM＝∠CBE＝30°，
∴∠CMQ＝∠BCM＋∠CBE＝60°，∠BMC＝120°，
∴∠AMB＝∠AMC＝120°，
∴∠AMG＝∠CMG＝60°．
∵CQ⊥BC，∠MCB＝30°，
∴∠MCQ＝∠BCQ－∠BCM＝60°．
∴∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°．
∴．
∴．
∵GH⊥MC，GP⊥AM，∠AMG＝∠CMG．
∴∠MPG＝∠MHG＝90°，．
∴，
∵点G在AC的垂直平分线上，
∴．
在Rt△AGP与Rt△CGH中，
，
∴△AGP≌OCGH（HL）
∴∠AGP＝∠CGH，
∴∠AGC＝∠PGH＝60°，
∴△AGC为等边三角形，
∴，∠ACM＝∠GCQ．
在△ACM与△GCQ中，
，
∴△ACM≌△GCQ（SAS），
∴．
∵，
∴．
解：存在，的最小值为．
取任意点P，连接PB、PC、PE，以BP为边作等边三角形BPP1，作点E关于BC的对称点C1，连接B C1，C C1，当点E、P、P1、C1四点共线时，有最小值，
连接BP、CC1相交于点Q，连接EQ，
∵△BPP1是等边三角形，
∴∠PBP1=60°，
由轴对称可得∠EBP=∠C1BP1=30°，∠BC1C=60°，△BCC1是等边三角形，
∴∠C1BQ=90°，∠BQC=30°，
∴C1Q=2BC1=2BC=8，
∴CQ=BC=4=CE，
∵∠ECQ=60°，
∴△ECQ是等边三角形，
∴∠EQB=∠CQB=30°，
∵点E、P、P1、C1四点共线，
∴C1E垂直平分BC，
∴∠ECP=∠EBP= =30°，
∴∠PCQ=90°，
同理∠PEQ=90°，
∴PQ=2PC=2PE，
∴PQ=PC+PE，
∴BQ=PB+PC+PE，
∵，
∴的最小值为．
3．
（1）证明：在BA上截取BG=BE，连结GE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，∠BCD=90°，
∵BG=BE，
∴AB-BG=BC-BE，即AG=EC，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠1+∠BEA=∠BEA+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∵CF平分∠DCB的外角，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
在△AGE和△ECF中，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）AE＝EF应然成立
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABE=90°，
延长BA到G，使BG=BE，
∴BG-AB=BE-BC，即GA=CE，∠AGE=45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
∴180°-∠BAE=180°-∠HEF即∠GAE=∠CEF，
∵CF平分∠HCB的外角，
∴∠ECF=45°，
∴∠AGE=∠ECF，
在△AGE和△ECF中，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）存在，理由如下，
证明：在AB上截取AM=BE，AE与MD交于N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAM=∠ABE=90°，AD=AB，
在△ABE和△DAM中，
∴△ABE≌△DAM（SAS），
∴AE=DM，∠ADM=∠BAE，
∵∠AMD+∠ADM=∠BAE+∠AMD=90°，即∠AMN+∠MAN=90°，
∴∠ANM=180°-90°=90°，
∴AE⊥MD，
∵AE⊥EF，
∴MD∥EF，
∵△AGE≌△ECF，
∴AE=EF，
∴DM=EF，
∵MDEF，且MD=EF，
∴四边形DMEF是平行四边形．
4．
解：（1）四边形是平行四边形，
，
当从运动到时，
，
解得
当秒时，四边形是平行四边形；
（2）若点、分别沿、运动时，
，
即，
解得（秒
若点返回时，，
则
解得（秒．
故当或15秒时，以，，，为顶点的梯形面积等；
（3）当时
作于，则，
，
秒；
当时，，，
解得（秒，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
5．
解：（1）过D作DH⊥BC于H，如图：
∵AD∥BC，∠B＝90°，DH⊥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH＝AB＝8，BH＝AD＝20，
在Rt△DHC中，CH＝＝＝6，
∴BC＝BH+CH＝20+6＝26（cm），
故答案为：26；
（2）如图：
根据题意可得：AP＝2t，CQ＝3t，
∵AD∥BC，
∴四边形PQCD是平行四边形，只需PD＝CQ，即20﹣2t＝3t，
解得t＝4，
（3）如图：
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形PQBA是矩形，只需AP＝BQ，即2t＝26﹣3t，
解得t＝5.2；
（4）存在，理由如下：
①若CD＝DQ，过D作DH⊥BC于H，如图：
由（1）可知：CH＝6，
∵CD＝DQ，DH⊥BC，
∴CQ＝2CH＝12，
∴3t＝12，
∴t＝4，
②若CD＝CQ，如图：
∴3t＝10，
∴t＝，
③若DQ＝CQ，过D作DH⊥BC于H，如图：
在Rt△DQH中，QH＝CQ﹣CH＝3t﹣6，DH＝8，DQ＝CQ＝3t，
由勾股定理得：（3t﹣6）2+82＝（3t）2，
∴t＝，
综上所述，△DQC是等腰三角形，t的值为：4或或．
6．
解：（1）如图1，过点D作于点E，则四边形ABED为矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
由勾股定理得：，
∴；
（2）①如图2，
∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当P从B运动到C时，且P在BC上，
∵DQ=AD-AQ=16-t，CP=21-2t，
∴16-t=21-2t，
解得：t=5，
∴当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
当点P在BC延长线上时，
∴16-t=2t-21，
解得：t=，
∴t=5秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形；
②当PQ=PD时，
如图3，作PH⊥AD于H，则HQ=HD，
∵QH=HD=QD=（16-t），
∵AH=BP，
∴2t=（16-t）+t，
∴t= ；
当PQ=QD时，QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t，
∵QD2=PQ2=t2+122，
∴（16-t）2=122+t2，
解得：t=．
综上可知，当t=秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
7．
解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ＝CP，
当P从B运动到C时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，
CP＝21﹣2t，
∴16﹣t＝21﹣2t，
解得：t＝5，
当P从C运动到B时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，
CP＝2t﹣21，
∴16﹣t＝2t﹣21，
解得：t＝，
∴当t＝5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，
（DQ＋CP） AB＝60，
即（16﹣t＋21﹣2t）×12＝60，
解得：t＝9（秒），
若点P返回时，CP＝2t﹣2，
则（16﹣t＋2t﹣21））×12＝60，
解得：t＝15（秒）．
故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；
（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，
∵QH＝HD＝QD＝（16﹣t），
∵AH＝BP，
∴2t＝（16﹣t）＋t，
∴t＝秒；
当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t，
∵QD2＝PQ2＝t2＋122，
∴（16﹣t）2＝122＋t2，
解得t＝（秒）；
当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，
∵QD2＝PD2＝PH2＋HD2＝122＋（16﹣2t）2，
∴（16﹣t）2＝122＋（16﹣2t）2，
即3t2﹣32t＋144＝0，
∵△<0，
∴方程无实根，
综上可知，当t＝秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
8．
解：（1）是等边三角形，
，
，
，
，
，
由题意得：，，则，
，
解得：，
当为时，；
（2）过点作于，过点作于，如图1所示：
，
是等边三角形，
，
，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
当点在线段上时，与的关系式为：；
（3）存在，理由如下：
①当四边形是平行四边形时，如图2所示：
则，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
②当四边形是平行四边形时，如图3所示：
则，
同①得：是等边三角形，
，
，
，
，
；
综上所述，当为或时，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
9．
（1），，
，
，
是等腰
是等腰
．
（2）,
当时，四边形是平行四边形
是等腰
，
解得：．
当时，四边形是平行四边形
（3）如图：过作，连接,
又
是等腰
，
．
四边形是平行四边形
点为对角线的交点
即总是的中点．
（4）由（3）四边形是平行四边形
是等腰三角形
所以为顶角
，
．
，
解得：．
当，使得是等腰三角形．
10．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点O为AC的中点，
∴AE∥PC，AO=OC，
∴∠EAO=∠PCO，∠AOE=∠COP，
∴△AEO△CPO，
∴PO=OE；
（2）∵CA⊥AB，且PO⊥AC，
∴PO∥AB，即EP∥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BP，
∵CA⊥AB，且AB=6cm，AC=8cm，
∴BC=(cm)，
∴四边形ABPE是平行四边形，
∵点O为AC的中点，且PO∥AB，
∴BP=PC=BC=5(cm)；
（3）四边形ABPE的周长为：AB+BP+PE+AE，
由（1）知△AEO△CPO，则AE=CP，
∴BP+AE=BP+CP=BC=10，
∴四边形ABPE的周长为：6+10+PE=16+PE，
则PE最小时，四边形ABPE的周长最小，
∴当PE⊥BC时，PE最小(垂线段最短)，
∵BCPE=ABAC，
∴PE=(cm)，
∴四边形ABPE的周长最小值为16+=(cm)，
∵△AEO△CPO，
∴PO=EO=PE=(cm)，OC=AC=(cm)，
∴PC=(cm)，
∴BP=BC-PC=(cm)，
故答案为：，．
．
11．
（1）x2﹣12x+32＝0，
解得x1=4，x2=8，
∵OC>OA，
∴OA=4，OC=8，
故B点坐标为（8，4）
（2）由对折可知，∠DAC=∠BAC，
又∵四边形OABC为矩形，
∴AB//OC，∠BAC=∠ACO
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD=CD，
设AD=x，则OD=8-x，
在中，满足有
化简得
解得x=5，
故OD=8-5=3
故D点坐标为（3，0）
由平行四边形性质可知P1（3，4），P2（13，4），P3（3，-4）时D、C、B、P四点形成的四边形为平行四边形．
12．
解：（1）∵在平行四边形中，，，
由运动知，AQ＝16 t，BP＝2t，
∵四边形ABPQ为平行四边形，
∴AQ＝BP，
∴16 t＝2t
∴t＝，
即：t＝s时，四边形ABPQ是平行四边形；
（2）过点A作AE⊥BC于E，如图，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝8，
∴AE＝4，
由运动知，BP＝2t，DQ＝t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝16，
∴AQ＝16 t，
∴y＝S四边形ABPQ＝（BP＋AQ） AE＝（2t＋16 t）×4＝2t＋32（0＜t≤8）；
（3）由（2）知，AE＝4，
∵BC＝16，
∴S四边形ABCD＝16×4＝64，
由（2）知，y＝S四边形ABPQ＝2t＋32（0＜t≤8），
∵四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三
∴2t＋32＝×64，
∴t＝8；
如图，
当t＝8时，点P和点C重合，DQ＝8，
∵CD＝AB＝8，
∴DP＝DQ，
∴∠DQC＝∠DPQ，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠DQP＝75°；
（4）①当AB＝BP时，BP＝8，
即2t＝8，t＝4；
②当AP＝BP时，如图，
∵∠B＝30°，
过P作PM垂直于AB，垂足为点M，
∴BM＝4，，
解得：BP＝，
∴2t＝，
∴t＝
③当AB＝AP时，同（2）的方法得，BP＝，
∴2t＝，
∴t＝
所以，当t＝4或 或时，△ABP为等腰三角形．
13．
（1）证明：根据题意得：AD=4tcm，BE=2tcm，
∵，
∴CD=（60-4t）cm，
∵， ，
∴∠C=30°，
∴ ，
∵，
∴， ，
∴AE=（30-2t）cm，
∴AE=DF，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解： 若点恰好在的垂直平分线上，则AD=DF，
∴4t=30-2t，
解得：t=5，
即当为5秒时，动点恰好在的垂直平分线上；
（3）解：存在，理由如下：
如图，当∠FDE=90°时，
∵∠DFC=∠B=∠FDE=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF=BE=2t，DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE=60-4t，
又∵AD=4t，
∴4t=60-4t，
解得：；
如图，当∠DEF=90°时，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，即30-2t=2×4t，
解得：t=3；
综上所述，当t=3或时，是直角三角形．
14．
解：（1）如图，作轴，垂足为点E．
∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴当时，，当时，．
∴点A，B的坐标分别是，．
∴．
∵，
∴．
∵点C的坐标是，
∴，．
∴．
∴
∵，
∴．
∴，
即∠ABC的度数是90°．
（2）如图，四边形ABCD是平行四边形，作轴，垂足为点F．
∴，∠AFD=90°．
∵，
∴四边形ABCD是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴点D的坐标是．
15．
解：（1）平行四边形ABCD中，
AD=6
BC=6，
C（3，0），
B（﹣3，0）
故答案为：B（﹣3，0）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，
∵OA＝4，
∴D（6，4），
∵S△AOE＝×4×OE＝，
∴OE＝，
∴E（，0），
设经过D、E两点的直线解析式为：y＝kx+b，
把点D（6，4），E（，0）代入得：，
解得：k＝，b＝﹣，
∴经过D、E两点的直线解析式为：y＝x﹣；
（3）存在；N的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（0，-4）或（，4），理由如下：
分两种情况讨论，
①若以AC为边，CF为边，如图，
当点F在点C的右侧时，
四边形是菱形，
A（0，4），
（5，4）
当点F在点C的左侧时，
四边形是菱形，
A（0，4），
（-5，4）；
若以AC为边，CF为对角线，如图，
四边形是菱形，
，且
A（0，4），
（0，-4）；
②若以AC为对角线，如图，
此时菱形中，，
在中
（，4）
综上所述，存在点F使以A，C，F，N为顶点的四边形为菱形，N的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（0，-4）或（，4）．
16．
解：（1）由旋转知AC＝A，
∵∠CA＝30°，
∴∠AC＝＝75°；
（2）△DCE是等边三角形，
理由：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
由（1）知，∠AC＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠AC＝15°，
∴∠AEC＝∠ABC＋∠BCE＝60°，
∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∠ADC＝120°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠CDE＝∠DEC＝∠ECD＝60°，
∴△DCE是等边三角形；
（3）①当m＝90°时，四边形ACB为平行四边形，如图3所示：
∵∠ACB＝90°，∠BA＝90°，
∴∠ACB＋∠BA＝180°，
∴，
∵A＝AC，AC＝BC，
∴A＝BC，
∴四边形ACB为平行四边形；
②当m＝270°时，四边形ACBC′为平行四边形，如图4所示：
当m＝270°时，∠AC＝90°，
∴∠AC＝∠ACB，
∴A＝BC，
∵A＝CB，
∴四边形ACB为平行四边形，
综上所述，当m＝90°或m＝270°时，以A、B、C、四点组成的四边形为平行四边形．
17．
解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，
，，
，，
四边形的面积，
，
，
∴
四边形的面积
，
四边形的面积，
则当有最小值时，四边形的面积有最大值，
，
，
∵DN≤3，
∴4-DM≤3，
∴DM≥1，
当时，四边形的面积，
故答案为；
（2）存在，
设，
，
，
，
的周长，
当时，的周长的最小值为；
（3）与的周长之和不是定值，
理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的周长之和不是定值，
当时，与的周长之和的最小值为15．