八年级数学下册试题 6.3 反比例函数的应用--反比例函数对称性问题习题 -浙教版（含答案）

6.3 反比例函数的应用--反比例函数对称性问题
一、单选题
1．如图，若双曲线与它的一条对称轴交于A、B两点，则线段AB称为双曲线的“对径”．若双曲线的对径长是，则 k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
2．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①=； ②阴影部分面积是（k1+k2）；③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①④
3．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB=90°．点D是轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数（）的图象经过点A,E．若△ACE的面积为6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知某函数的图象C与函数的图象关于直线对称．下列命题：①图象C与函数的图象交于点；②点在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4，④，是图象C上任意两点，若，则．其中真命题是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④
5．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（　　）
A．1+ B．4+ C．4 D．-1+
6．点关于y轴的对称点在反比例函数的图像上，下列说法不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．点在该函数的图像上
C．当时，
D．该函数图像与直线的交点是（，）和（-，-）
7．如图，矩形的顶点坐标分别为，动点F在边上（不与重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点C关于直线的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是；④若，则．其中正确的命题个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知某函数的图象C与函数的图象关于直线对称下列命题：①图象C与函数的图象交于点；②在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④，是图象C上任意两点，若，则，其中真命题是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
9．如图，一次函数和与反比例函数的交点分别为点、和，下列结论中，正确的个数是（ ）
①点与点关于原点对称；②；③点的坐标是；④是直角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出以下命题：①若，则的面积为；②若，则点关于直线的对称点在轴上；③满足题设的的取值范围是；④若，则；其中正确的命题个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知A、B两点为反比例函数的图像上的动点，他们关于y轴的对称点恰好落在直线上，若点A、B的坐标分别为且，则________．
12．如图反比例函数的图像经过点，点与点关于轴对称，点是轴上一点，若的面积为2，则该反比例函数的解析式为_____________
13．如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2，0)，∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为.在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O B ．
（1）当点O 与点A重合时，点P的坐标是 ；
（2）设P(t，0)，当O B 与双曲线有交点时，t的取值范围是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．若该反比例函数图象与交于点，则点的横坐标是_________．
15．如图，是反比例函数上的一个动点，过作轴，轴．
（1）若矩形的对角线，则矩形周长为________；
（2）如图，点在上，且，若关于直线的对称点恰好落在坐标轴上，连结，则的面积为___________．
16．如图，Rt△AOB的顶点O是坐标原点，点B在x轴上，∠OAB=90°，反比例函数（）的图象关于AO所在的直线对称，且与AO、AB分别交于D、E两点，过点A作AH⊥OB交x轴于点H，过点E作EFOB交AH于点G，交AO于点F，则四边形OHGF的面积为_________
17．如图，矩形的顶点坐标分别为、、、，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和，给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点关于直线的对称点在轴上；③满足题设的的取值范围是；④若，则．其中正确的命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，点A，F在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点P（1，0），若∠APO＝120°，则k的值是_____________．
三、解答题
19．综合与探究
如图1，反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2，点关于坐标原点的对称点为点，作直线．
判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
如图1，过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点，点的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
已知点在轴的正半轴上运动，点在平面内运动，当以点，，和为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点的坐标．
20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
(1) 点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2) 连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当时，求k的值；
（2）点B关于y轴的对称点为C，连接；
①判断的形状，并说明理由；
②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
22．如图，矩形的面积为8，它的边位于x轴上．双曲线经过点A，与矩形的边交于点E，点B在双曲线上，连接并延长交x轴于点F，点G与点О关于点C对称，连接，．
（1）求k的值；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形AFGB为平行四边形．
23．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
(1) 求和的值．
(2) 若点与点关于直线对称，连接．
①求点的坐标；
②若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
24．如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（12，5），双曲线的图象经过点A．
(1) 菱形OABC的边长为____；
(2) 求双曲线的函数关系式；
(3) ①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；
②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
答案
一、单选题
1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B
二、填空题
11．1
12．
13．（1）（4，0）；（2）4≤t≤或≤t≤－4
14．
15． 4或
16．
17．①②
18．
19．
解：（1）结论：点在反比例函数的图象上，
理由如下：∵反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2，
∴把代入中，得，
∴点的坐标是，
∵点关于坐标原点的对称点为点，
∴点的坐标是，
把代入中，得，
∴点在反比例函数的图象上；
（2）证明：在反比例函数中令x=4则y=-2，
∵过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点，
∴C，D关于原点对称，
∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD=，AB=，
∴AB=CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（3）设点P的坐标为，如图，
当四边形OBP1Q1是菱形时，可得，
∴，解得，
∴P1；
当四边形OBQ2P2是菱形时，可得，
∴，
∴P2；
当四边形OP3BQ3是菱形时，可得,
∴，
解得，
∴P3，
综上所述，满足条件的点的坐标分别为，和．
20．
（1）解：点在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图像上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
21．
（1）解：设点B的坐标为，则点，则：
，
解得（负值已舍去），
故点B的坐标为，
将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶，
解得∶；
（2）解：①为直角三角形，理由∶
设点，则点，
∵点A、C的横坐标相同，
∴轴，
∴点B关于y轴的对称点为C，
∴轴，
∴，
∴为直角三角形；
②由①得∶，
则的面积，
解得（负值已舍去），
∴点B的坐标为，C的坐标为，
将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶，解得，
∴反比例函数表达式为①；
过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，
同样在AB下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求．
∵，
∴设直线m的表达式为，
将点C的坐标代入，解得，
故直线m的表达式为②，
根据图形的对称性，则直线n的表达式为③，
联立①②并解得∶
或，
联立①③并解得∶
或，
∴点P的坐标为或或或．
22．
（1）解：设，，
根据题意可知：，整理可得：．
（2）解：∵，
∴，
∵点E在，且点B和点E的横坐标相等，
∴，即，
设直线的函数解析式为：，将和代入可得：
，解得：，
故直线的函数解析式为：，
令，可得：，
∴，
∵，即，
∴，
∵点C的横坐标和点B的横坐标相等，
∴，
∴．
证明：∵，点G与点О关于点C对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
23．
解：（1）将点代入得：，
，
直线的表达式为，
把点代入，得：，
，
将代入得：，
；
①连接，过作轴于，如图：
，
，
是等腰直角三角形，
，
由点与点关于直线对称，知≌，
，即，
，
点的坐标为；
以点为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：
设，又，
Ⅰ若是对角线，则的中点重合，
，
解得，
；
Ⅱ若为对角线，则的中点重合；
，
解得，
；
Ⅲ若为对角线，则的中点重合，
，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或．
24．
（1）解：如图所示，连接AC交y轴于J，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，
∵点C的坐标为（12，5），
∴AJ=JC=12，OJ=BJ=5，
∴，
故答案为：5；
（2）解：∵AJ=JC=12，OJ=BJ=5，
∴点A的坐标为（-12，5），
∵反比例函数经过点A（-12，5），
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（3）解：①设E点坐标为（m，），
∵OJ=BJ=5，
∴OB=10，
∴B点坐标为（0，10），
∵点B关于点O的对称点为D点，
∴D点坐标为（0，-10），
∴直线l为，
设P点坐标为（a，-10）
当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，
∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，25）；
如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时，
∵与的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴的坐标为（12，-5）；
同理可以求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时，点的坐标为（，-15）；
综上所述，当E点坐标为（，-5）或（4，-15）或（，25）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；
②如图所示，过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，
∵点A的坐标为（-12，5），直线l为，
∴AT=15，
∵∠ATP=∠QRA=∠PAQ=90°，
∴∠PAT+∠APT=90°，∠PAT+∠QAR=90°，
∴∠APT=∠QAR，
又∵AP=QA，
∴△APT≌△QRA（AAS），
∴AT=RQ=15，
∴Q点的横坐标为3，
∵Q在反比例函数上，
∴，
∴点Q的坐标为（3，）．