八年级数学下册试题 6.3 反比例函数的应用--反比例函数最值问题 -浙教版（含答案）

6.3 反比例函数的应用--反比例函数最值问题
一、单选题
1．已知反比例函数，当时，有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
2．已知反比例函数，当时，y的最大值是6，则当时，y有（　　）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
3．设y1＝，y2＝（k＞1），当2≤x≤4时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣，则ak＝（　　）
A．2 B． C． D．
4．如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形OAB，则△OAB面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．2
5．如图，直线与双曲线交于两点，则当线段的长度取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图过原点的直线与反比例函数图象交于M，N两点，则线段MN的长度的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．5
7．已知反比例函数，当时，y的最大值是，则当时，y有（ ）
A．最大值，且最大值为 B．最大值，且最大值为
C．最小值，且最小值为 D．最小值，且最小值为
8．关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．时，y随x的增大而减小 B．当时，
C．它的图象位于第二、四象限 D．当时，y有最小值为
9．已知反比例函数，当时，y的最大值是4，则当时，y有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值－1
10．根据学习函数的经验，小颖在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如下图所示，根据图象，小颖得到了该函数四条性质，其中正确的是（ ）
A．随的增大而增大 B．当时，
C．当时，有最大值 D．当与时，函数值相等
二、填空题
11．反比例函数的图像与一次函数的图像相交于两点，若两点的横坐标分别为，则的最小值为________________．
12．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D．与BC相交于点E，且BD＝3，AD＝6，△ODE的面积为15，若动点P在x轴上，则PD+PE的最小值是_____．
13．平面直角坐标系xOy中，若点P在曲线y＝上，连接OP，则OP的最小值为_____．
14．已知函数，下列关于它的图像与性质的说法：①函数图像与坐标轴无交点；②函数图像关于y轴对称；③y随x的增大而减小；④函数有最大值1．其中正确的说法是______．（写出所有正确说法的序号）
15．已知直线与双曲线相交于点，，则的最大值是__________．
16．在平面直角坐标系中、反比例函数的图象与边长是8的正方形的两边分别相交于M，N两点，三角形的面积为，若动点P在x轴上，则的最小值是___________．
17．如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段的中点，连接，则线段的长度最小值是___________．
18．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为______．
三、解答题
19．数学爱好者小鸣同学对函数知识十分感兴趣，根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行探究，已知该函数的图象经过点，两点．请解决以下问题：
(1) 填空：______，______；
(2) 将表中的空格补充完整，并在平面直角坐标系中描出表格中各点，画出该函数的图象；
… 5 …
… 3 1 …
观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有：______．
①当时，随的增大而减小；
②当时，此时函数有最大值，最大值为3；
③当时，自变量的取值范围为；
④直线与此函数有两个交点，则．
20．如图，在直角坐标系中 位于第一象限，两条直角边 、 分别平行于 轴、 轴，顶点 的坐标为，，.
(1) 若反比例函数 的图像经过点 ，求该反比例函数的解析式；
(2) 通过计算判断点 是否在该函数的图像上；
(3) 若反比例函数 的图像与 有公共点， 的最小值为 ，最大值为 ．
21．在矩形中，，分别以、在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与、合），过点的反比例函数的图像与边交于点．
求证：与的面积相等；
记，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？
22．如图是反比例函数的图象，当时，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M、N分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN长度的最小值．
23．已知函数y=x+（x＞0）的图象如图所示，其中当x=1时，函数取得最小值2，请结合图象，解答以下问题：
(1) 当x＞0时，求y的取值范围；
(2) 当2≤x≤5时，求y的取值范围．
24．已知：在矩形中，．分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．
（1）记，当S取得最大值时，求k的值；
答案
一、单选题
1．B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．B
二、填空题
11．
12．．
13．6
14．②④
15．1
16．
17．
18．2
三、解答题
19．
解：（1）解：将代入，可得，解得；
将代入，可得，解得；
故答案为：，．
（2）解：由（1）知，
当时，，
当时，，
补全后的表格如下：
… 5 …
… 1 3 1 …
函数图象如下：
（3）解：由图可知，当时，随的增大而增大，故①错误；
当时，此时函数有最大值，最大值为3，故②正确；
当时，自变量的取值范围为，故③正确；
直线与此函数有两个交点时，则，故④错误；
综上可知，正确的有②③，
故答案为：②③．
20．
解：（1）∵两条直角边、分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为，，.
∴点、的坐标分别为、，
∵（）的图像经过点，
∴.
∴反比例函数的解析式为，
（2）∵点，当时，，
∴点在函数的图像上；
（3）∵当反比例函数的图像经过点A、C时，m的值最大；当经过点B时，m的值最小，
∴当反比例函数的图像经过点时，，解得；
当经过点B时，，解得，
∴ 的最小值为，最大值为
故答案为： ，．
21．
解：（1）证明：设，，的面积为，的面积为，
∵，都在反比例函数的图像上，
∴，，则，，
∴，，
∴．
（2）解：根据题意可知，，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴当时，有最大面积，最大面积为．
22．
解：在反比例函数的图象中，当时，，
反比例函数经过坐标，
，
，
反比例函数的解析式为；
当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．
将代入，
解得或，
即，．
．
则．
线段MN的最小值为．
23．
解：(1)由图象可知当x＞0时，函数最小值为2，
∵当x=1时y有最小值2，
∴当x＞0时，y≥2；
(2)由图象可知当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当2≤x≤5时，当x=2时，y有最小值，y=2+=，
当x=5时，y有最大值，y=5+=，
∴当2≤x≤5时，求y的取值范围为≤y≤．
24．
解：（1）∵OB＝4，OA＝3，且E、F为反比例函数图象上的两点，
∴E，F两点坐标分别为E（，3），F（4，），
如图，连接OE、OF，
∴S△ECF＝(4 )（3 ），
∴S△EOF＝S矩形AOBC S△AOE S△BOF S△ECF＝3×4 ××3 ×4× S△ECF，
∴S△EOF＝12 k S△ECF，
∴S＝S△OEF S△ECF＝12 k 2S△ECF＝12 k 2×(4 )（3 ），
∴S＝ k2＋k．
当k＝时，S有最大值，
即S取得最大值时k＝6．