八年级数学下册试题6.3 反比例函数的应用--反比例函数最值问题习题 -浙教版（含答案）

6.3 反比例函数的应用--反比例函数最值问题
一、单选题
1．已知，若当时，函数的最大值与最小值之差是1，则a的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．已知直线与双曲线交于A、B两点，则当线段AB的长度取最小值，a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A． B．10 C． D．
4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，点是线段上一动点(不与，重合)，过点分别作轴和轴的垂线，交反比例函数图象于，则四边形面积PMON最大值是（ ）
A．12.5 B．12.25 C．14 D．12
5．反比例函数y=的图象向右平移个单位长度得到一个新的函数，当自变量x取1，2，3，4，5，…，（正整数）时，新的函数值分别为y1，y2，y3，y4，y5，…，其中最小值和最大值分别为（　　）
A．y1，y2 B．y43，y44 C．y44，y45 D．y2014，y2015
6．如图，一次函数y＝－2x＋4的图象与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线AB上运动(点P不与点A，B重合)，反比例函数y＝的图象过点P，则k的最大值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，直线l1解析式为y=x+2，且与坐标轴分别交于A、B两点，与双曲线交于点P（﹣1，1）．点M是双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D，当四边形ABCD的面积取最小值时，则点M的坐标为（　　）

A．（1，﹣1） B．（2，﹣） C．（3，﹣） D．不能确定
8．如图，点，都在双曲线()上，分别是轴，轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的表达式为( )
A． B． C． D．
9．如图，直线：交x轴于点A．点P在x的正半轴上，过点P作的垂线，交双曲线，直线于B、Q两点（）．当取最小值时，点B的横坐标为（　 　）
A． B．1 C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
二、填空题
11．已知直线与双曲线相交于点，，则的最大值是__________．
12．如图，直线与双曲线交于、两点，连接、，轴于，轴于，设，的解析式分别为，，现有以下结论：①；②；③若，则；④有最小值．其中正确的是 _____．(写出所有正确结论的序号)
13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直轴于点，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，若的坐标为，．
（1）反比例函数的解析式是_________；
（2）设点是线段上的动点，过点且平行轴的直线与反比例函数的图像交于点，则面积的最大值是_________．
14．如图所示，双曲线上有一动点A，连接，以O为顶点、为直角边，构造等腰直角角形，则面积的最小值为________．此时A点坐标为_________．
15．在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度的最小值是______．
16．如图所示，反比例函数在第一象限内分支上有一动点A，连接AO并延长与另一分支交于点B，以AB为边作一个等边△ABC，使得点C落在第四象限内．在点A运动过程中，直接写出△ABC面积的最小值____．
17．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），点C（m，6）为反比例函数y＝图象上一点，将△AOB绕B点旋转得到△A'O'B'（设旋转角为α，0°＜α＜360°），则点C到直线A'O'距离的最大值为_____．
18．如图，已知∠AOB在平面直角坐标系的第一象限中，且∠AOB=30°，其两边分别交反比例函数y=在第一象限内的图象于A、B两点，连结AB，当∠AOB绕点O转动时，线段AB的最小值为_______
三、解答题
19．阅读理解：已知，对于实数，，满足，当且仅当时，等号成立，此时取得代数式的最小值．根据以上结论，解决以下问题：
(1) 若，当且仅当______时，有最小值，最小值为______．
(2) ①如图13—1，已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作轴，轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值；
②如图13—2，已知点Q是双曲线上一点，且轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
(1) 求反比例函数的表达式和直线的表达式；
(2) 若在轴上有一异于原点的点，使为等腰三角形，求点的坐标；
(3) 若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与轴有交点时，求的取值的最大值．
21．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．
对于任意正实数、，可作如下变形：
，
又∵，
∴，即．
根据上述内容，回答下列问题：
在（、均为正实数）中，当且仅当、满足______时，等号成立．
思考解答：如图1，中，，，垂足为，为边上中线，，，试根据图形说明成立，并指出等号成立时的条件．
探索应用：如图2，已知为反比例函数的图象上一点，点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在处旋转，保持两直角边始终与轴交于两点、，点为轴上一点，连接、，求四边形面积的最小值．
22．如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边， ，且轴．
(1) 若点C在反比例函数（）的图象上，求该反比例函数的解析式；
(2) 在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；
(3) 在（2）的条件下，取的中点M，将线段沿着y轴上下移动，线段的对应线段是，直接写出四边形周长的最小值．
23．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x＞0）和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1）．在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：
设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为 　　　（1＜x＜9）；
为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象：
①列表：
x 1 2 3 4 6 9
y 0 m 4 n 0
表中m＝　　　，n＝　　　；
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点．
③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当x＝　　　时，y的最大值为 　　　．
应用：①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长．
②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值．
24.如图1，在平面直角坐标系中，，经过A，B两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过A，C两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为（3，5）．
求直线AC的解析式及E点的坐标；
若轴上有一动点F，直线AB上有一动点G．当最小时，求周长的最小值；
如图2，若轴上有一动点Q，直线AB上有一动点，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出P点到直线AC的距离．
答案
一、单选题
1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．A 7．A 8．C 9．A 10．B
二、填空题
11．1
12．①③
13．
14． 2
15．
16．18
17．2+．
18．．
三、解答题
19．
（1）解：由题意，当且仅当，即（负值舍去）时，，即有最小值，最小值为2；
故答案为：1，2；
（2）解：①∵点P为双曲线上的任意一点，
∴设，
∴四边形OAPB的周长，
当四边形OAPB的周长取得最小值时，即，
即的最小值为，此时，解得：（负值舍去），
∴，周长最小值为；
②存在．
∵点P为双曲线上的任意一点，
∴设，
，
，
当时，解得：（负值舍去），
即当时，有最小值，从而有最小值，
；
轴，且点Q在，
∴点Q的纵坐标为，且
，即，
；
当以、为平行四边形的邻边时，则，，
；
当以、为平行四边形的邻边时，则，，
；
当以、为平行四边形的邻边时，则，
只要把点Q沿方向平移，平移距离为长度，即可得到点C，
综上，点C坐标为或或．
20．
解：（1）反比例函数的图象经过点和点，
，
，，
反比例函数的表达式为，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）设，
则，
，
，
为等腰三角形，
或或，
当时，，
，
解得：，
；
当时，，
，
，
此方程无解；
当时，，
，
解得：，，
或（舍去）；
综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或；
（3）当点落到轴上时，的取值的最大，如图，
设直线的解析式为，
点的坐标为，
，即．
直线的解析式为
点始终在直线上，
直线与直线垂直．
．
．
，
由于，因此直线可设为．
点的坐标为，
，即．
直线解析式为．
当时，则有．
点的坐标为．
的中点坐标为即，
点在直线上，
．
解得：．
故当线段与轴有交点时，的取值的最大值为．
21．
解：（1）∵，、均为正实数，
∴当且仅当、满足时，有最小值．
故答案为：；
（2）∵中，，，为边上中线，，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴当时等号成立，
即有，
∴斜边的高线和中线重合，
∴是等腰直角三角形，
∴当是等腰直角三角形时，等号成立；
（3）如图所示，过点A作轴点，
∵A点为反比例函数上的一点，横坐标为1，
∴点A的坐标为，即.
∵点为轴上一点，
∴，
∴，
∴是一定的，要使最小，应最小，
由（2）可知，当是等腰直角三角形时，最小，
即有斜边的高线和中线重合，
∴，
∴，
∴最小为8，
∴．
22．
（1）解：（1）如图1中，作轴于．
轴，轴，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：如图2中，作于，交反比例函数图象于，连接，．
是等边三角形，面积为，设，则，
，
或（舍弃），
，，，
N点纵坐标为1，
代入可得，
，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
存在点N，使四边形是菱形，此时．
（3）解：如图，作点C关于y轴对称点，过点N作轴，交延长线于点D，在上截取，连接交y轴于，此时，四边形最小，最小值为，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
由（2）知，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵C关于y轴对称点，
∴，
∵ ，，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∴四边形周长的最小值为．
23．
（1）解：∵点P的横坐标为x，
∴P（x，-x+10），Q（x，），
∴y=-x+10-，
故答案为：y=-x+10-；
（2）解：①当x=2时，m=-2+10-=，
当x=6，n=-6+10-=，
故答案为：，；
②③如图所示，
观察函数图象，当x=3，时，y有最大值为4，
故答案为：3，4；
（3）解：①根据题意可得W=2（m+n）代入中，可以得到m=-n+15-，
即m=（-n+10-）+5，
由（2）可知函数y=-n+10-在n=3时，y取得最大值为4，
∴当n=3时，m=4+5=9，即m取得最大值9，
∵，
∴在m取得最大值9时，矩形的对角线长为．
②∵直线y=-x-2与坐标轴分别交于点A、B，
∴点A（-3，0），点B（0，-2），
设点M（x， ），
∴C（x，0），点D（0，），
∴CA=x+3，DB=+2，
∵四边形ABCD面积=，
由（2）得，当x=3时，y=-x+10-有最大值为4，即有最小值-4，
∴四边形ABCD面积的最小值为=12．
24．（1）解：∵OA=OB=OC=2，
∴A（-2，0），B（0，2），OC=10，
∴C（0，10），
设直线AC的解析式为y=mx+10，
∴-2m+10=0，
解得m=5，
∴直线AC的解析式为y=5x+10①，
∵点D（3，5）在反比例函数的图象上，
∴k=3×5=15，
∴反比例函数解析式为：，
联立①②解得：，
∴点E在第一象限内，
∴点E坐标为：（1，15）；
（2）如图1，
由（1）值，A（-2，0），B（0，2），
代入y=kx＋b中，可得k=1，b=2，
∴直线AB的解析式为：y=x+2，
过点G作GH⊥x轴于点H，
∵OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∴GH=，
∴，
点G在EH上，且EH⊥x轴，
即G（1，3）时，EG＋最小，如图2，
作点G（1，3）关于y轴的对称点，连接，则，
∴（-1，3），连接交y轴于，
此时，△EFG的周长最小，其值为：，
即△EFG的周长最小值为；
（3）
解：由（2）知，直线AB的解析式为y=x+2，
设P（p，p+2），Q（0，q），
∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，D（3，5），E（1，15），
①当PQ与DE为对角线时，
，
∴p=4，
∴P（4，6），
如图3，
过P作PK⊥AC于K，
∵A（-2，0），C（0，10），
∴AC=，
∴，
∴，
∴，即点P到直线AC的距离为；
②当PE与DQ为对角线时，
，
∴p=0，
∴P（0，2），此时，点P与点B重合，
同①方法可得，点P到直线AC的距离为，
③当PD与QE为对角线时，
，
∴p=-2，
∴P（-2，0），此时，点P与点A重合，
∴点P到直线AC的距离为0，
综上所述点P到直线AC的距离为或或0．