2023-2024学年数学八年级二次根式单元测试试题（浙教版）提升卷一含解析

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2023-2024学年数学八年级二次根式（浙教版）
单元测试 提升卷一 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）在实数，，0，，，，0.1222122221…（相邻两个1之间依次多一个2），无理数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（本题3分）下列各式中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（本题3分）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（本题3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
5．（本题3分）下列各式计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．（本题3分）化简二次根式的结果是( )
A． B． C． D．
7．（本题3分）小明用一剧七巧板拼成了如图1所示的一个正方形，再用这副七巧板拼成了如图2所示的长方形，若正方形的边长为1，则长方形的周长为（ ）

A． B． C． D．
8．（本题3分）下列各组数中，相等的一组数是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
9．（本题3分）已知，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C． D．
10．（本题3分）一般地，如果（为正整数，且，那么叫作的次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4052个．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）若代数式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（本题3分）若，则代数式的值为 ．
13．（本题3分）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
14．（本题3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．（本题3分）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为 ．
16．（本题3分）计算结果是 ．
17．（本题3分）已知，则 ．
18．（本题3分）已知，，则代数式 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）化简或计算：
(1)； (2)．
20．（本题8分）已知：，，分别求下列代数式的值：
(1)
(2)．
21．（本题8分）如图，在中，，是边上的高．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)若，，求的长．
22．（本题10分）已知，求代数式的值．
23．（本题10分）做一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体；求：
(1)长方体的表面积是多少？
(2)长方体的体积是多少？
24．（本题10分）（1）求值：；
（2）先化简，再求代数式的值，其中．
25．（本题12分）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：=　　，=　　；
(2)化简：；
(3)计算：．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了二次根式和算术平方根的定义，实数的分类；
先根据二次根式和算术平方根的定义化简，再根据无限不循环小数是无理数进行判断即可．
【详解】解：，0，，是有理数，
，，0.1222122221…（相邻两个1之间依次多一个2）是无理数，无理数有3个，
故选：A．
2．A
【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而判断得出答案．此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：，故A选项不正确，符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方开的尽因式或因数，进行判断即可．
【详解】解：①，②，③，④，⑤中，是二次根式的是，，共2个；
故选B．
4．D
【分析】利用最简二次根式定义判断即可；此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
【详解】解：A、原式，不符合题意
B、原式不符合题意
C、原式不符合题意
D、是最简二次根式，符合题意
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简．根据二次根式的性质化简逐项计算即可判断选择．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、当都是正数时，；当都是负数时，，本选项不符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，化为最简二次根式，先判断，再化简即可．
【详解】解：由，
∴且，
∴；
∴
；
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了二次根式的加减，勾股定理，七巧板等知识．根据正方形边长为1，则①和②的直角边为，从而得出长方形的长和宽，进而得出答案．
【详解】解：∵正方形边长为1，

∴正方形的对角线长为，
∴①和②的直角边为，
∴长方形的长为，宽为，
∴长方形的周长为，
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查实数大小比较以及二次根式的性质化简，分别化简各数后再进行比较即可．
【详解】解：A．，故选项Ａ不符合题意；
B．，，所以，故选项Ｂ不符合题意；
C．，故选项Ｃ不符合题意；
D．，，所以，，故选项D正确，
故选：D
9．A
【分析】本题考查了代数式求值，根式的化简，熟练掌握根式的化简是解答本题的关键．先求的值，再求和的值，最后代入，根据根式运算法则求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：A．
10．C
【分析】根据新定义的含义结合可判断①，根据几次方根的含义可判断②，先利用平方差公式计算，结合三次方根的含义可判断③，根据绝对值的化简先求解，可得非负整数的数量，结合平方根的含义可判断④，从而可得答案．
【详解】解；∵，
∴3是81的四次方根；故①符合题意；
任何实数都有唯一的奇次方根；描述正确，故②符合题意；
∵
，
∴的三次方根是；故③符合题意；
∵
∴，
而，
∴，
∴非负整数有个，其中的平方根是，
∴整数的二次方根有4051个．故④不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是自定义的含义，化简绝对值，平方根的含义，二次根式的化简，平方差公式的灵活运用，理解题意是解本题的关键．
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，
解得：．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，把所求式子变形为，再代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式，
故答案为：
13．/
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了绝对值和二次根式的化简．负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身，根据a在数轴上所在的位置判断出其符号及绝对值的大小，再化简二次根式即可．
【详解】解：由数轴可得，，
则，
∴原式．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查分式的加减法和代数式求值，先根据已知中条件把分式通分，求出，再利用完全平方公式求出，，最后把所求代数式分解因式，再把和的值代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
∴；
∴，
，
∴；
∴
；
∴，
当时，
；
当时，
；
综上，，
故答案为：
18．/
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握完全平方公式，等式的性质及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
利用等式的性质将已知等式相减，然后代入求值，再根据二次根式混合运算的运算顺序和计算法则进行计算．
【详解】解：∵，
∴两式左右分别相减，得
∴
∴原式=
=
=，
故答案为：．
19．(1)；
(2)．
【分析】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的性质和运算法则，正确的计算，是解题的关键．
（1）先化简各数，再进行计算即可；
（2）利用平方差公式，进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再由进行计算求解即可；
（2）先求出，，再由进行计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）若点是的中点，则垂直平分，，可得，则是等边三角形，即可得；
（2）设，则，可得，利用勾股定理求出，在中，，即，解方程求出，即可得的长．
【详解】（1）证明：点是的中点，是边上的高．
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：设，则，
，
是边上的高，
，
在中，，
即，
解得或（舍去），
．
22．
【分析】本题考查分母有理化，代数式求值．先将的值进行分母有理化，再代入代数式求值即可．掌握分母有理化，是解题的关键．
【详解】解：，
，
∴，，
∴．
23．(1)长方体的表面积是
(2)体积是
【分析】此题考查二次根式的混合计算，掌握长方体的表面积和体积计算方法是解决问题的关键．
（1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可，再利用长方体的表面积计算公式计算即可；
（3）利用长方体的体积计算公式计算即可．
【详解】（1）设长方体的高为，则长为，宽为，由题意得
解得，
则，
所以这个长方体的长、宽、高分别是、、．
答：长方体的表面积是．
（2）
答：体积是．
24．（1）；（2），
【分析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了二次根式的加减运算．
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后把1代入计算计算．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
当时，原式．
25．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案；
（2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案；
（3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案．
【详解】（1）因为且，
，
，
故答案为：；
因为且，
，
，
故答案为：；
（2）
因为且，
，
，
；
（3），
，，
，
，
．
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