专题1.7 二次根式章末测试卷（培优卷）（含解析）

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二次根式章末测试卷（培优卷）
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 商水县月考）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2023秋 长安区校级期末）代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1
3．（3分）（2023春 高阳县期末）计算（1）2022 （1）2023的结果为（　　）
A． B． C．1 D．3
4．（3分）（2023春 安徽月考）与根式x的值相等的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2023 罗庄区二模）等式成立的条件是（　　）
A．x≠2 B．x≥﹣2 C．x≥﹣2且x≠2 D．x＞2
6．（3分）（2023秋 平谷区期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（　　）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝2 D．a＝﹣2
7．（3分）（2023秋 南召县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）（2023秋 思明区校级期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x）y的值是（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
9．（3分）（2023秋 洛宁县月考）若x＝3，则代数式x2﹣6x﹣8的值为（　　）
A．2004 B．﹣2004 C．2023 D．﹣2023
10．（3分）（2023 遵化市模拟）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（　　）
A．8 B．19 C．6 D．26
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023秋 青羊区期末）如果y2，那么xy的值是 　 　．
12．（3分）（2023秋 普陀区校级月考）分母有理化：　 　．
13．（3分）（2023秋 南召县期末）如果式子（a≥0，b≥0）成立，则有．请按照此性质化简，使被开方数不含完全平方的因数：　 　．
14．（3分）（2023秋 北碚区校级期中）Rt△ABC三边分别为a、b、c，c为斜边，则代数式的化简结果为 　 　．
15．（3分）（2023秋 安岳县校级月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式xy的值 　 　．
16．（3分）（2023春 崇川区校级月考）设x，y是有理数，且x，y满足等式x+2yy＝17+4，则（y）2023＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春 高邮市校级期末）已知a、b满足，求的平方根．
18．（6分）（2023秋 宁远县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简：
．
19．（8分）（2023秋 肃州区期末）化简：
（1）（2）6；
（2）（3+2）（3﹣2）．
20．（8分）（2023秋 锦江区校级期末）已知，b．
求：（1）ab﹣a+b的值；
（2）求a2+b2+2的值．
21．（8分）（2023春 南川区期中）2；6+3＞2；12；7+7＝2．
（1）观察上面的式子，请你猜想a+b与2（a≥0，b≥0）的大小关系，并说明理由；
（2）请利用上述结论解决下面问题：如图，某同学在做一个面积为800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
22．（8分）（2023秋 二道区期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若a+b（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+4（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简　 　．
23．（8分）（2023秋 运城期中）阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：（2）（2）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，7+4．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）的有理化因式可以是 　 　，分母有理化得 　 　．
（2）计算：
①当a，b时，则a3b2+a2b3＝　 　；
②　 　（n≥1且n为整数）．
（3）根据你的推断，比较和的大小．
二次根式章末测试卷（培优卷）
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 商水县月考）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、当x＝1时，不是二次根式，不符合题意；
B、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意；
C、x为任意实数，是二次根式，符合题意；
D、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意．
故选：C．
2．（3分）（2023秋 长安区校级期末）代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出x的范围．
【解答】解：由题意可知：，
解得：x≥1，
∴x的值可能为1．/
故选：D．
3．（3分）（2023春 高阳县期末）计算（1）2022 （1）2023的结果为（　　）
A． B． C．1 D．3
【分析】根据积的逆运算对原式进行变形，再利用平方差公式进行计算即可；
【解答】解：原式＝（1）2022×（1）2022×（1）
＝[（1）×（1）]2022×（1）
＝（2﹣1）2022×（1）
＝12022×（1）
1．
故选：B．
4．（3分）（2023春 安徽月考）与根式x的值相等的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知可得x＜0，然后再把根号外的x移到根号内进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
0，
∴0，
∴x＜0，
∴x（﹣x）
，
故选：C．
5．（3分）（2023 罗庄区二模）等式成立的条件是（　　）
A．x≠2 B．x≥﹣2 C．x≥﹣2且x≠2 D．x＞2
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得，
解得：x＞2，
故选：D．
6．（3分）（2023秋 平谷区期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（　　）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝2 D．a＝﹣2
【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a+1＝2a
解得：a＝1
故选：A．
7．（3分）（2023秋 南召县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减．
【解答】解：原式＝（﹣2）2（﹣2）3
＝423
＝3，
故选：A．
8．（3分）（2023秋 思明区校级期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x）y的值是（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【解答】解：∵34，
∴的整数部分x＝2，
则小数部分是：62＝4，
则（2x）y＝（4）（4）
＝16﹣13＝3．
故选：B．
9．（3分）（2023秋 洛宁县月考）若x＝3，则代数式x2﹣6x﹣8的值为（　　）
A．2004 B．﹣2004 C．2023 D．﹣2023
【分析】先把已知条件变形得到x﹣3，再两边平方得到x2﹣6x＝2012，然后利用整体代入得方法计算x2﹣6x﹣8的值．
【解答】解：∵x＝3，
∴x﹣3，
∴（x﹣3）2＝2023，
即x2﹣6x+9＝2023，
∴x2﹣6x＝2012，
∴x2﹣6x﹣8＝2012﹣8＝2004．
故选：A．
10．（3分）（2023 遵化市模拟）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（　　）
A．8 B．19 C．6 D．26
【分析】根据题意求出两个小正方形的边长，可得出大正方形的边长，进而得出答案．
【解答】解：∵两个小正方形面积分别为12，10，
∴两个小正方形的边长分别为2，，
∴两个小正方形重合部分的边长为2大正方形的边长，
∴两个小正方形的重合部分是正方形，
∵两个小正方形重合部分的面积为3，
∴重合部分的边长为，
∴大正方形的边长是2，
∴空白部分的面积为（）2﹣（12+10﹣3）＝26．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023秋 青羊区期末）如果y2，那么xy的值是 　　．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x，进而求出y，计算即可．
【解答】解：由题意得：5﹣x≥0，x﹣5≥0，
则x＝5，
∴y＝﹣2，
∴xy，
故答案为：．
12．（3分）（2023秋 普陀区校级月考）分母有理化：　4　．
【分析】根据平方差公式进行二次根式的分母有理化计算．
【解答】解：原式
＝4，
故答案为：4．
13．（3分）（2023秋 南召县期末）如果式子（a≥0，b≥0）成立，则有．请按照此性质化简，使被开方数不含完全平方的因数：　　．
【分析】根据句题意给出的运算方法即可求出答案．
【解答】解：3，
故答案为：3．
14．（3分）（2023秋 北碚区校级期中）Rt△ABC三边分别为a、b、c，c为斜边，则代数式的化简结果为 　b　．
【分析】将代数式化简为，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵Rt△ABC三边分别为a、b、c，c为斜边，
∴c2﹣b2＝a2，
∴a+b﹣a＝b．
故答案为：b．
15．（3分）（2023秋 安岳县校级月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式xy的值 　﹣4　．
【分析】根据x+y＝﹣6，xy＝8，可得x＜0，y＜0，再将代数式xy变形为，合并同类项后代入计算即可求解．
【解答】解：∵x+y＝﹣6，xy＝8，
∴x＜0，y＜0，
∴xy224．
故答案为：﹣4．
16．（3分）（2023春 崇川区校级月考）设x，y是有理数，且x，y满足等式x+2yy＝17+4，则（y）2023＝　1　．
【分析】根据题中等式列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出所求．
【解答】解：∵x，y是有理数，且x，y满足等式x+2yy＝17+4，
∴，
解得：，
则原式＝（4）2023
＝（5﹣4）2023
＝12023
＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春 高邮市校级期末）已知a、b满足，求的平方根．
【分析】根据二次根式有意义和分式的条件可得a的值，进而可得b的值，然后再计算，后求平方根即可．
【解答】解：由题意知：，
∴a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
又a﹣2≠0，
∴a＝﹣2，
当a＝﹣2时，b＝﹣1，
∴2，的平方根为±．
18．（6分）（2023秋 宁远县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简：
．
【分析】根据三角形的三边关系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b+c﹣a﹣b＝4c．
19．（8分）（2023秋 肃州区期末）化简：
（1）（2）6；
（2）（3+2）（3﹣2）．
【分析】（1）先利用乘法分配律和二次根式的乘法计算、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先利用平方差公式和二次根式的除法计算，再计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝366
＝363
＝﹣6；
（2）原式＝32﹣（2）2
＝9﹣8﹣3
＝﹣2．
20．（8分）（2023秋 锦江区校级期末）已知，b．
求：（1）ab﹣a+b的值；
（2）求a2+b2+2的值．
【分析】（1）利用平方差公式将a与b的值进行二次根式分母有理化计算，然后代入求值；
（2）利用完全平方公式将原式进行变形，然后代入求值．
【解答】解：（1）a，
b，
∴ab＝（）（）＝6﹣5＝1，
a﹣b＝（）﹣（）2，
∴原式＝ab﹣（a﹣b）
＝1﹣2，
即ab﹣a+b的值为1﹣2
（2）原式＝（a﹣b）2+2ab+2
＝（2）2+2×1+2
＝20+2+2
＝24，
即a2+b2+2的值为24．
21．（8分）（2023春 南川区期中）2；6+3＞2；12；7+7＝2．
（1）观察上面的式子，请你猜想a+b与2（a≥0，b≥0）的大小关系，并说明理由；
（2）请利用上述结论解决下面问题：如图，某同学在做一个面积为800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
【分析】（1）参照题干例子可直接写出，可用完全平方公式来说明理由；
（2）设对角线的长分别为a厘米，b厘米，则800，再根据公式可得答案．
【解答】解：（1）（a≥0，b≥0）．理由如下：
∵20，
∴．
（2）设对角线的长分别为a厘米，b厘米，由对角线互相垂直，四边形面积可表示为，
则800，
∴ab＝1600，
∵280，
∴所以用来做对角线的竹条至少要用80cm．
22．（8分）（2023秋 二道区期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若a+b（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　m2+5n2　，b＝　2mn　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+4（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简　　．
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；
（3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2，
∵a+b（m+n）2，且a、b、m、n均为整数，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2，2mn；
（2）（m+n）2＝m2+2mn+3n2，
∵x+4（m+n）2，
∴，
又∵x、m、n均为正整数，
∴或，
即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；
（3）原式
，
故答案为：．
23．（8分）（2023秋 运城期中）阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：（2）（2）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，7+4．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）的有理化因式可以是 　　，分母有理化得 　　．
（2）计算：
①当a，b时，则a3b2+a2b3＝　2　；
②　22　（n≥1且n为整数）．
（3）根据你的推断，比较和的大小．
【分析】（1）根据分母有理化解答即可；
（2）①根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出a+b，ab，把原式提公因式，代入计算即可；
②根据分母有理化计算；
（3）利用分母有理化分别求出两个数的倒数，比较大小即可．
【解答】解：（1）的有理化因式可以是，
，
故答案为：，；
（2）①∵a，b，
∴a+b＝（）+（）＝2，ab＝（）（）＝1，
∴a3b2+a2b3＝a2b2（a+b）＝1×22，
故答案为：2；
②原式
＝22+2222
＝22，
故答案为：22；
（3），，
∵，
∴．
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