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浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：A.
2．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】由题意得：(n-2)×180°=3×360°，
解得：n=8；
故答案为：C.
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC.当用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB=PC
C．∠APB=∠APC D．∠ABC≠∠ACB
【答案】B
【解析】【解答】解：∵求证：PB≠PC
∴应当假设PB=PC
故答案为：B.
4．如图，过 ABCD对角线的交点O 的直线交AD 于点E，交 BC 于点F.若 ABCD的周长为 18，OE=1.5，则四边形 EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， 其周长为18 ，
∴OB=OD，AD=BC，AD∥BC，BC+CD=9，
∴∠EDO=∠FBD，
∵∠EOD=∠FDB，
∴△EOD≌△FDB（ASA），
∴OE=OF=1.5，ED=BF
∴四边形EFCD的周长为ED+CF+CD+EF=BF+CF+CD+OE+OF=BC+CD+OE +OF=9+3=12.
故答案为：C.
5．如图，点A在平行四边形的对角线上，则图中两个阴影三角形的面积S ，S 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BM=DN，
∵ S =AC·BM，S =AC·DN，
∴ S =S .
故答案为：A.
6．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=220°，∠ABC的平分线BE与∠BCD的平分线CF相交于点P，点E，F分别在边CD，AB上，则∠CPE的度数为（ ）
A．70° B．110° C．140° D．150°
【答案】A
【解析】∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴，.
又∵∠A+∠D=220°，四边形ABCD的内角和为，
∴.
∴
∴.
故答案为：A.
7．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△ABC=S平行四边形ABCD，
∴AC·BF=AB·DE.
∵AB=6，AC=8，DE=4，
∴×8·BF=×6×4，
∴BF=3.
故答案为：B.
8．如图，在△ABC中，D是AB 的中点，E，F在AC 上，且AE=EF，BC=CF.若∠A=25°，∠ADE=10°，则∠ABC的度数为 （ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【解析】∵D是AB的中点，AE=EF
∴DE∥BF
∴∠DEC=∠BFC=25°+10°=35°
∵BC＝CF
∴∠BFC＝∠CBF＝35°
∴∠C＝180°－35°－35°＝110°
∴∠ABC＝180°－25°－110°＝45°
故答案为：C.
9．如图，点O是的对角线的交点，，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
点E、F分别是OC、OD的中点，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，D不符合题意，
在 中，OB=OD，BC=AD，OD=AD，
，
E是OC中点，
，
，B不符合题意，
四边形BEFP是平行四边形，
，A不符合题意，
只有当是矩形时， ，C符合题意.
故答案为：C.
10．如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，延长HD交AG于点Q，
∵ DECF，
∴DF∥CE，ED∥CF，
∴∠CFH=∠EDQ
又∵BC∥AQ，
∴四边形HQEC为平行四边形，
∴EQ=CH，
又∠EQD=∠CHF，
∴△EDQ≌△CHF（AAS），
∴S△EDQ=S△CHF，
∴S HQEC=S DECF，
∵△ABC的面积为24，
∴S△BEC=24，
又∵AD=CD，
∴S△BDC=S△ABC=16，
∴S△DEC=S△BEC-S△BDC=24-16=8，
∴S HQEC=S DECF=2S△DEC=16，
∴S△AHC=S HQEC=8.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个多边形的内角和与它的外角和之比为，则这个多边形的边数是 ．
【答案】8
【解析】∵任意多边形的外角和是360°， 一个多边形的内角和与它的外角和之比为，
∴，
∴n-2=6，
∴n=8.
故答案为：8.
12．如图，两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片部分重叠在一起，重叠部分为四边形ABCD.若AB +BC=6，则四边形ABCD的面积为 .
【答案】4.5
【解析】过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，则AE=1，AF=3，
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC·AE=AB·AF，即BC=3AB，
∵ AB +BC= 6，
∴BC=4.5，AB=1.5，
∴ 四边形ABCD的面积 BC·AE=4.5×1=4.5.
故答案为：4.5.
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D，E，F 分别为 AB，BC，CA的中点. 若 BF=5，则DE= .
【答案】5
【解析】【解答】解：∵D，E 分别为 AB，BC的中点，
∴DE=AC，
∵F 为CA的中点，∠ABC=90°，
∴BF=AC，
∴BF=DE，
而BF=5，
∴DE=5.
故答案为：5.
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边 AB 上一点，连结CD，E为CD的中点，连结BE 并延长至点F，使得EF=EB，连结DF 交AC 于点G，连结CF.若∠A=30°，BC=2，CF=3，则CD的长为 .
【答案】
【解析】∵E是CD的中点，EF=EB
∴四边形CFDB是平行四边形
∴DF=BC=2，CF∥DB，DF∥BC
∴∠A=∠FCA=30°，∠FGC=∠ACB=90°
∴FG＝CF＝
∴CG＝ ∴DG＝2－＝
∴CD＝＝
故答案为：.
15．如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为，，现平移直线l：，使平移后的直线将这个图案分成面积相等的两个部分，则平移后直线的函数解析式为 ．
【答案】
【解析】如图，当直线经过点C时， 将这个图案分成面积相等的两个部分，
∵A（3，5），B（6，1），∴C（4，2.5），
设直线l平移后的解析式为y=2x+b，
∴，∴b=-5.5.
∴设直线l平移后的解析式为y=2x-5.5.
故第1空答案为：y=2x-5.5.
16．如图，在 ABCD中，BC的长为4，∠ABC的平分线交AD 于点E，且 E恰好是AD 的中点，过点A作AG⊥BE，垂足为G.若AG=1，则BE的长为 .
【答案】2
【解析】【解答】解： 在 ABCD中，AD=BC=4，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵ E恰好是AD 的中点 ，
∴AE=AD=2，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=2，
∵ AG⊥BE，
∴BG=GE，
∵GE=，
∴BE=2GE=.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在四边形ABCD中，∠D=90° ，E是BC边上一点，EF⊥AE，交CD于点F．
（1）若∠EAD= 60°，求∠DFE的度数；
（2）若CAEB=∠CEF，AE平分∠BAD，求证：∠B=∠C．
【答案】（1）∵EF ∠AE，∴∠AEF= 90°．
∵四边形AEFD的内角和是360°，∠D= 90°，∠EAD=60°，
∴∠DFE= 360°-∠D-∠EAD-∠AEF= 120°．
（2）∵四边形AEFD的内角和是360°，∠AEF=90°，∠D=90° ，
∴∠EAD+∠DFE=180°．∵∠DFE+∠CFE=180°，∴∠EAD=∠CFE．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠BAE=∠CFE．
∵∠B+∠BAE+∠AEB=180°，∠C+∠CFE+∠CEF=180°，∠AEB =∠CEF，∴∠B= ∠C．
18．如图，在ABCD中，点C，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上， 且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF．
∵点G，H分别是AB ，CD的中点，AB= CD，∴AG=CH．∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF ( SAS)，∴GE= HF， ∠AEG= ∠CFH，∴∠GEF =∠HFE，∴GE∥HF．又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：连结BD交AC于点O，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC， OB=0D． BD= 10，
∴ OB=OD=5．∵AE= CF ，OA=OC，
∴ OE=OF．∵AE+CF= EF，
∴2AE= EF=20E，∴AE=OE．又∵点C是AB的中点，∴EG是△ABO
的中位线，∴EG=OB=2.5，∴EC的长为2.5．
19．如图，在□ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，分别过点 A，C 作BD 的垂线，垂足分别为 E，F.
（1）求证：AE=CF.
（2）若 AC平分∠DAE，求证：CA平分∠BCF.
【答案】（1）证明：在□ABCD中 ，OA=OC，
∵AE⊥DB，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF；
（2）证明：由（1）知△AOE≌△COF，
∴∠OAE=∠OCF，
在□ABCD中 ，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCO，
∵ AC平分∠DAE ，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠BCA=∠ACF，
∴ CA平分∠BCF.
20．如图，在平行四边形ABCD中，分别过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连结CE，AF．
（1）求证：BE=DF；
（2）若AB=4，EF=，∠AFE=45°，求△ABD的面积．
【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD= 90°．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS) ，∴BE=DF．
（2）∵AE⊥BD，∠AFE=45°．∴△AEF是等腰直角三角形，AE=EF= ， BE= ．由(1)得DF=BE= ，
∴BD= BE+EF+DF= ，∴S△ABD= BD·AE= ×
21．
（1）用一条直线去截多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件(在对应的图中画出图形，把截去的部分打上阴影)：
①在图1中，新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了 180°.
②在图2中，新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
③在图3中，新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 180°.
（2）若将一个多边形截去一个角后，得到的新多边形的内角和为 2 520°，求原多边形的边数.
【答案】（1）解：如图，
（2）解：设多边形的边数为n，
则（n-2）·180°=2520°，解得：n=16，
① 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15；
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16；
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17.
故原多边形的边数可以为15、16、17.
22．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线EF经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“=”）；
（2）如图②，两个矩形如图所示摆放，O为小矩形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种方法分割）．
【答案】（1）=
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
23．如图，在平行四边形ABCD中，AB=，BC=8，∠B=60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处，折叠后点C的对应点为点C' ，D'C'交BC于点G，∠BGD'=32°．求：
（1）∠D'EF的度数；
（2）线段AE的长．
【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∠B=∠D= 60°，AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB．∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处，
∴∠D= ∠ED'G= 60°， ∠DEF= ∠D' EF，
∴∠D'EF= ∠EFB．∵∠BGD' =32°，∵∠D'GF= 148°．∴∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G=360°，∴∠D'EF= 76°．
（2）如图，过点E作EH⊥AB交BA的延长线于点H，
设AE=×，∴DE=8-×=D'E
∵AD∥BC，
∴∠HAD=∠B= 60°，且EH⊥AB，
∴AH=x，HE=x。
∵点D'是AB的中点，
∴AD'=，
∴D'H=AD'+AH=：在Rt△EHD'中，HE2+D'H2=D'E2，
∴=(8-x)2，∴x=，∴AE=
24．如图①，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线，交轴于点，点位于点右侧的轴上，且，点在轴正半轴上，且，直线交于点．
（1）点的横坐标为 ，当点在原点左侧时， ；（均用含的代数式表示）
（2）当为等腰三角形时，求的值；
（3）如图②，点是点关于直线的对称点，连接，，若四边形为平行四边形，求的值（直接写出答案）
【答案】（1）；
（2）解：由（1）知：，．
当点在原点左侧时，
因为，且，
所以，即
当时，点就在垂直平分线上，显然不成立．
当时，则点需在点的上方，故，得，故此情况不存在．
当时，即．
又在中，且．
所以．
解得舍去，．
当点在原点右侧时，
，则．
故E
当时，点就在垂直平分线上，显然不成立．
当时，则点需在点的上方，故，得．
又在中，，且．
所以．
解得，舍去．
当时，即．
又在中，．
．
所以．
解得．
综上所述的值为：或或．
（3）解：8
【解析】【解答】解：（1）令y=0，有，
解得：，
即A点的横坐标为，所以，
同理可得B（0，b），所以OB=b，
又D点在A点右侧，且AD=3，
∴，
∵OE=OD，
∴
故答案为：，。
（3） 因为点 和点 关于直线 对称，所以 ．
又四边形 是平行四边形，所以四边形 是菱形．
所以 ，则 ．
又 ， ，
所以 ．
又 ， ，
所以 即 平分 ．
又 ， ，则点 在 轴上．
又由对称性可知 ，
所以 则 ．
且 ．
在 中，
，
解得 舍去 ， ．
所以 的值为 ．
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC.当用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB=PC C．∠APB=∠APC D．∠ABC≠∠ACB
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4．如图，过 ABCD对角线的交点O 的直线交AD 于点E，交 BC 于点F.若 ABCD的周长为 18，OE=1.5，则四边形 EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
5．如图，点A在平行四边形的对角线上，则图中两个阴影三角形的面积S ，S 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=220°，∠ABC的平分线BE与∠BCD的平分线CF相交于点P，点E，F分别在边CD，AB上，则∠CPE的度数为（ ）
A．70° B．110° C．140° D．150°
7．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，在△ABC中，D是AB 的中点，E，F在AC 上，且AE=EF，BC=CF.若∠A=25°，∠ADE=10°，则∠ABC的度数为 （ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
9．如图，点O是的对角线的交点，，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个多边形的内角和与它的外角和之比为，则这个多边形的边数是 ．
12．如图，两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片部分重叠在一起，重叠部分为四边形ABCD.若AB +BC=6，则四边形ABCD的面积为 .
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D，E，F 分别为 AB，BC，CA的中点. 若 BF=5，则DE= .
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边 AB 上一点，连结CD，E为CD的中点，连结BE 并延长至点F，使得EF=EB，连结DF 交AC 于点G，连结CF.若∠A=30°，BC=2，CF=3，则CD的长为 .
15．如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为，，现平移直线l：，使平移后的直线将这个图案分成面积相等的两个部分，则平移后直线的函数解析式为 ．
16．如图，在 ABCD中，BC的长为4，∠ABC的平分线交AD 于点E，且 E恰好是AD 的中点，过点A作AG⊥BE，垂足为G.若AG=1，则BE的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在四边形ABCD中，∠D=90° ，E是BC边上一点，EF⊥AE，交CD于点F．
（1）若∠EAD= 60°，求∠DFE的度数；
（2）若CAEB=∠CEF，AE平分∠BAD，求证：∠B=∠C．
18．如图，在ABCD中，点C，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上， 且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．
19．如图，在□ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，分别过点 A，C 作BD 的垂线，垂足分别为 E，F.
（1）求证：AE=CF.
（2）若 AC平分∠DAE，求证：CA平分∠BCF.
20．如图，在平行四边形ABCD中，分别过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连结CE，AF．
（1）求证：BE=DF；
（2）若AB=4，EF=，∠AFE=45°，求△ABD的面积．
21．
（1）用一条直线去截多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件(在对应的图中画出图形，把截去的部分打上阴影)：
①在图1中，新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了 180°.
②在图2中，新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
③在图3中，新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 180°.
（2）若将一个多边形截去一个角后，得到的新多边形的内角和为 2 520°，求原多边形的边数.
22．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线EF经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“=”）；
（2）如图②，两个矩形如图所示摆放，O为小矩形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种方法分割）．
23．如图，在平行四边形ABCD中，AB=，BC=8，∠B=60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处，折叠后点C的对应点为点C' ，D'C'交BC于点G，∠BGD'=32°．求：
（1）∠D'EF的度数；
（2）线段AE的长．
24．如图①，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线，交轴于点，点位于点右侧的轴上，且，点在轴正半轴上，且，直线交于点．
（1）点的横坐标为 ，当点在原点左侧时， ；（均用含的代数式表示）
（2）当为等腰三角形时，求的值；
（3）如图②，点是点关于直线的对称点，连接，，若四边形为平行四边形，求的值（直接写出答案）
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