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【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知n边形的每个内角都相等，则使得n边形的每个内角的度数都是整数的n的值有（ ）
A．18个 B．20个 C．22个 D．无数个
2．如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，给出下列结论：①BE=DF；②四边形EBFD是平行四边形；③AB=DE；④AF=CE； 其中正确的个数是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（第2题） （第3题） （第4题）
3．如图，在中，，D、E分别为、的中点，平分，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
4．如图，在中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第5题） （第6题） （第7题）
6．如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在ABCD中，∠ACB=45°，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE并延长交AC于点G，交CD于点H，已知AB= AE，AF=3，EF=1，则下列结论：①∠BAE=2∠CBH ；②)S△ABE= ；③BE= CO；④GH=CH中正确的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点E，于点D，连接．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点 是 内的任意一点，连接 、 、 、 ，得到 、 、 、 ，设它们的面积分别是 、 、 、 ，给出如下结论中正确的是（ ）
； 如果 ，则 ； 若 ，则 ； 如果 点在对角线 上，则 ： ： ； 若 ，则 点一定在对角线 上.
A． B． C． D．
（第9题） （第10题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，在中，对角线 AC，BD 相交于点O，E为BC 的中点，F，G为边CD 上的点，且 FG 连结OF，EG.若 ABCD的面积为 60，则图中阴影部分的面积是 .
13．如图，在中，对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是边 AD，AB 上的点，连结 OE，OF，EF.若 ∠DAB=45°，则点 C到直线 AB 的距离是 ，△OEF周长的最小值是 .
14．如图，，，，点是的中点，且，则 ．
15．如图，中，//轴，．点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为 ．
16．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则到的距离为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在中，∠C=45°，AD=BD，P为线段CD上的动点(点P不与点D 重合)，连结 AP，过点P作EP⊥AP交直线BD 于点E.
（1）如图1，当P为线段CD的中点时，探究 PA，PE的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，当点P 在线段CD的任意位置时，求证：
18．如图，在平行四边形中，平分交于点，于点，交于点，且，连接．
（1）若，，求的长度；
（2）如图，若平分交于点，于点，求证：．
19．已知，点E是的中线上一动点，交于点F，连接．
（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；
（2）如图2，当点E与点D不重合时，延长交于点G，交于点H．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②如图3，若的边，以为腰作等腰直角，连接，点M为的中点，当点E从点D运动到点A过程中，请直接写出点M的运动路径长．
20．在中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
22．在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
23．如图，在直角坐标系中，直线交y轴，x轴于点，点D在y轴正半轴上，以为边作平行四边形ABCD，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动，记点E运动时间为t秒．
（1）直接写出点A的坐标 ， ；
（2）若，连接F是的中点，连接并延长交直线于点H，
①当四边形为平行四边形时，请直接写出t的值；
②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出t的值；
（3）若，点E在上，点M位于点E的正上方，且，当四边形的面积最大时，求的长．
24．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且．
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90，ADBC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积．
（3）拓展：如图3，在△ABC中，∠A＝30，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到，若与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积是 （请直接写出答案）．
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【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年八下数学第4章平行四边形
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知n边形的每个内角都相等，则使得n边形的每个内角的度数都是整数的n的值有（ ）
A．18个 B．20个 C．22个 D．无数个
【答案】C
【解析】∵正n边形的每个内角为180°-，且是整数度，n≥3，
又∵360=23×32×5，
∴n=3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360共22个.
故答案为：C.
2．如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，给出下列结论：①BE=DF；②四边形EBFD是平行四边形；③AB=DE；④AF=CE； 其中正确的个数是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD ∴∠BAE=∠DCF
∵AB=CD，∠BAE=∠DCF，AE=CF∴△ABE≌△CDF（SAS）∴BE=DF，故①正确；
∵△ABE≌△CDF ∴∠AEB=∠DFC ∴∠BEF=∠DFE ∴BE∥DF
∵BE∥DF，BE=DF
∴四边形EBFD是平行四边形，故②正确；
由②可知，DE=BF，无法判定AB=DE，故③错误；
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，④正确；
由①可知，S△ABE=S△CDF；
S△ADE=|AE|，S△ABE=S△CDF=|CF|；
∵AE=CF
∴S△ADE=S△ABE=S△CDF，⑤正确；
综上所述，正确结论一共由4个.
故答案为：C.
3．如图，在中，，D、E分别为、的中点，平分，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
=
=10
∵D、E分别为CA、CB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=AB=5，DE//AB
∴∠AFD=∠BAF
∵AF平分∠BAC
∴∠DAF=∠BAF
∴∠DAF=∠AFD
∴DF=AD=AC=×6=3
∴EF=DE-DF=5-3=2
故答案为：A.
4．如图，在中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，OA=OC，∠ADC=∠ABC=60°，AB∥DC，
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-60°=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE=∠BAD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=AB，∠AEB=60°，
∵AB=BC=4，
∴BE=BC，
∴AE=BE=EC，
∴∠ACE=∠EAC，
∵∠AEB=∠ACE+∠EAC=2∠ACE，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACE=30°，故①正确；
∵OA=OC，BE=CE，
∴OE是△CAB的中位线，
∴OE=AB=BC=AD，故②正确；
过点D作DH⊥BC于点H，过点O作OM⊥BC于点M，
∵DC∥AB，
∴∠DCH=∠ABC=60°，
∴CH=CD=2，DH=，
∴BH=BC+CH=8+2=10，
∴，故③错误；
∵OE∥AB，
∴∠OEM=∠ABE=60°，
∴OM=，
∴S△OBE=BE×OM=，故④正确，
综上正确的有①②④.
故答案为：C.
5．如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵，，，
∴AB2+AC2=32+42=52=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△BCF、△ACE、△ABD是等边三角形，
∴AC=CE=AE，BC=CF，∠BCF=∠ACE=60°，AD=AB，
∴∠ACB=∠ECF，
∴△ACB≌△ECF（SAS），
∴EF=AB=AD=3，
同理可证：△BDF≌△BAC，
∴DF=AC=AE=4，
∴ 四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE=360°-∠DAB-∠EAC-∠BAC=360°-60°-60°90°=150°，
∴∠DFE=150°，故③正确；
∴∠FDA=30°，
如图，过点A作AH⊥DF，
∵AD=AB=3，
∴AH=AD=，
∴平行四边形AEFD的面积为DF·AH=4×=6，故④正确，
∴ 正确的个数是4；
故答案为：D.
6．如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接、，
、是等腰三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，点，分别是底边，的中点，
，，
，，
，
，
，
故答案为：B.
7．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=BA，DC∥BA，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴DC∥EF，DC=2EF，BA=2GB，
∴FE=GB，DC∥FE∥BA，
∴四边形EFGB为平行四边形，
∴GN＝NE，①正确；
②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CB=DA，DO=BO，OA=OC，
∵BD＝2AD，
∴BO=CB，
∵E为CO的中点，
∴CA⊥EB，
∵四边形EFGB为平行四边形，
∴EB∥FG，
∴CA⊥FG，
∴AE⊥GF，②正确；
③∵CB=OB，
∴∠OCB=∠COB，
∴∠COB＞∠ACD，
∴∠DCA≠∠OCB，
∴AC不平分∠BCD，③错误；
④∵E为CO的中点，BC=OB，
∴CA⊥EB，
∴∠EOB≠90°，
∴AC⊥BD不成立，④错误；
故答案为：B
8．在ABCD中，∠ACB=45°，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE并延长交AC于点G，交CD于点H，已知AB= AE，AF=3，EF=1，则下列结论：①∠BAE=2∠CBH ；②)S△ABE= ；③BE= CO；④GH=CH中正确的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】如图，过点A作AM⊥BC于点M，交BH于点P，过点G作GN⊥BC于N，
∵AB=AE，
∴∠BAE=2∠EAM，
∵AE⊥BH，AM⊥BC，
∴∠AFP=∠BMP=90°，
∵∠APF=∠BPM，∴∠EAM=∠CBH，
∴∠BAE=2∠CBH，故①正确；
∵AF=3，EF=1，
∴AB=AE=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
∴S△ABE=AE·BF=×4×=2，故②错误；
在Rt△BFE中，BF=，EF=1，
∴，
∴S△ABE=·BE·AM=2，
∴×·AM=2，
∴，
∵∠ACB=45°，∠AMC=90°，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，故③错误；
∵AM⊥BC，GN⊥BC，
∴∠AMB=∠AME=∠BNG=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠MAC=∠NCG=45°，
∵AB=AE，
∴∠BAM=∠EAM，
设∠BAM=a，则∠MAE=∠NBG=a，∠BAG=45°+a，∠BGA=∠GCN+∠GBC=45°+a，
∴∠BAG=∠AGB，
∵AB∥CD，∴∠BAG=∠GCH，
∵∠AGB=∠CGH，∴∠CGH=∠GCH，∴GH=CH，故④正确，
故本题正确的结论是①与④共两个.
故答案为：B.
9．如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点E，于点D，连接．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
延长交于点F，延长、交于点G，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是边上的中线，即点E是的中点，
∵，，
∴是边上的中线，即点D是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：C．
10．如图，点 是 内的任意一点，连接 、 、 、 ，得到 、 、 、 ，设它们的面积分别是 、 、 、 ，给出如下结论中正确的是（ ）
； 如果 ，则 ； 若 ，则 ； 如果 点在对角线 上，则 ： ： ； 若 ，则 点一定在对角线 上.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 四边形 是平行四边形，
， ，
设点 到 、 、 、 的距离分别为 、 、 、 ，
则 ， ， ， ，
， ，
又 ，
，故 正确；
根据 只能判断 ，不能判断 ，即不能得出 ， 错误；
根据 ，能得出 ，不能推出 ，即不能推出 ， 错误；
，
，
此时 ，
即 点一定在对角线 上，
正确；
当 ，且 ，
（1）+(2)可得 ，（1）-(2)可得 ，
点 在 上，
故 正确；
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为
【答案】
【解析】延长CF和AB，交于点H，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC=90°
∴AC＝
∵AF平分∠BAC，且CF⊥AF
∴AH＝AC＝12，FH＝FC
∵AB=5
∴BH＝12-5=7
∵点E是BC的中点，FH=FC
∴EF=BH=
故答案为：.
12．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点O，E为BC 的中点，F，G为边CD 上的点，且 FG 连结OF，EG.若 ABCD的面积为 60，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】15
【解析】连接OE，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，O为BD的中点，
∵点O、E分别是BD和BC的中点
∴OE∥CD且OE=CD=AB
∴∠EOF＝∠GFO，∠OEG＝∠EGF
∵FG＝AB
∴OE＝FG
∵∠EOF＝∠GFO，OE＝FG，∠OEG＝∠EGF
∴△OEH≌△FGH（ASA）
∴OH＝HF
∵S ABCD＝BC×＝AB×=60
∴S△BOE=×BE×＝××BC×＝×60＝，
S△EOH＝S△GFH＝×OE×＝×AB×＝×60＝；
∴S阴影部分＝＋2×＝15
故答案为：15.
13．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，E，F 分别是边 AD，AB 上的点，连结 OE，OF，EF.若 ∠DAB=45°，则点 C到直线 AB 的距离是 ，△OEF周长的最小值是 .
【答案】；
【解析】如图， 过点C作CH⊥AB交延长线于H，
在 ABCD中， AD∥BC，∠DAB=45°，
∴∠CBH=∠DAB=45°，
∴∠BCH=90°-∠CBH=45°，
∴CH=BH=BC=×=5，
即点C到直线AB的距离是5；
如图，过点O分别作关于AD、AB的对称点N、M，连接MN，分别交于AD、AB于点E、F，
此时△OEF的周长最小，最小值为MN的长，
连接AN、AM，
由对称性可得AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠OAB，
∵ ∠DAB=∠DAO+∠OAB=45° ，
∴∠MAN=2∠DAB=90°，
在Rt△CAH中，AB=AB+BH=12，CH=5，
由勾股定理可得AC=13，
∴AO=AC=6.5，
∴AN=AO=AM=6.5，
∴MN=AM=
∴ △OEF周长的最小值是 .
故答案为：5，.
14．如图，，，，点是的中点，且，则 ．
【答案】3
【解析】作AE⊥BC交BC的延长线于E，如图所示：
∵∠ABC=120°，∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE+120°=180°，解得∠ABE=60°，
∵AE⊥BC，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴60°+∠BAE=90°，
解得∠BAE=30°，
∵AB=2，
∴，
∴，
∴，
∴BC=CE-BE=5-1=4，
∵∠ACD=120°，AC=CD，
将△ACB绕点C顺时针旋转120°得到△DCF，延长DF、BC交于点G，如图，
∴CF=BC=4，∠DFC=∠ABC=120°，∠ACB=∠DCF，DF=AB=2，
∵∠ACB+∠BCD=120°，
∴∠BCD+∠DCF=∠BCF=120°，
∵∠BCF+∠GCF=180°，∠DFC+∠CFG=180°，
∴∠FCG=60°，∠CFG=60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴CG=CF=GF=4，
∴C为BG的中点，
∵点M是BD的中点，
∴CM为△BDG的中位线，
∴，
∵DG=GF+DF=4+2=6，
∴CM=BD=3.
故答案为：3.
15．如图，中，//轴，．点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为 ．
【答案】，或，
【解析】（1）当M'在x负半轴上时，设PM交x轴于N，如图所示：
∵ 设直线AD解析式是y=kx+b（k≠0），把A（2，-8），D（-6，8）代入得：
解得：k=-2，b=-4
∴ 直线AD的解析式是：y=-2x-4
∴ G（0，-4）
∵中，//轴， P在DC上，
∴ DC∥AB，
∵ PM⊥GM，设M（m，-4）
∴ P（m，8），PM=12，PN=8
∵ 将 △PGM沿直线PG翻折
∴ GM=GM'=m，PM=PM'=12
∴
即：
解得：m=
∴ P（，8）
当M'在x的正半轴上时，如图所示：
同理可得：
即：
解得：m=
∴ P（，8）
故答案为：点P的坐标为 ，或， .
16．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则到的距离为 ．
【答案】
【解析】如图，作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，
由翻折知，EF=FD，∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=6，
∴， ∴OF是△BDE的中位线， ∵BE=2， ∴， ∴CF=OF+OC=6， ∴在Rt△OFD中，由勾股定理得，， ∴， ∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴O到CD的距离.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在 ABCD 中，∠C=45°，AD=BD，P为线段CD上的动点(点P不与点D 重合)，连结 AP，过点P作EP⊥AP交直线BD 于点E.
（1）如图1，当P为线段CD的中点时，探究 PA，PE的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，当点P 在线段CD的任意位置时，求证：
【答案】（1）解：PA=PE，理由如下：
连接PB，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，∠ADC＝180°－45°＝135°
∵AD=BD
∴BD=BC
∵∠C=45°
∴三角形DBC是等腰直角三角形
∴∠BDC＝45°，∠DBP＝45°
∴∠PBE＝∠ADC＝135°
∵P是DC的中点
∴BP⊥DC，DP＝BP
∴∠DPA＋∠APB＝∠APB＋∠BPE＝90°
∴∠DPA＝∠BPE
∵∠DPA＝∠BPE，DP＝BP，∠PBE＝∠ADC
∴△DPA≌△BPE(ASA)
∴PA＝PE；
（2）证明：过点P作PF垂直CD交DE于点F,如下图:
∵PF⊥CD，EP⊥AP
∴∠DPE=∠APE=90°
∴∠DPA+∠APB=∠APB+∠FPE
∴∠DPA=∠FPE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠C=∠DAB=45°，AB∥CD
∵AD=BD
∴∠DAB=∠DBA=45°
∴∠ADB＝∠DBC=90°
∴∠PFD=45°
∴∠PFD=∠PDF
∴PD=PF
∴∠PDA=∠PFE=135°
∴△DPA≌△FPE((ASA)
∴AD=EF
∴DF=DP=DP
∵DE=DF+EF
∴DA+DP=DE；
18．如图，在平行四边形中，平分交于点，于点，交于点，且，连接．
（1）若，，求的长度；
（2）如图，若平分交于点，于点，求证：．
【答案】（1）解：如图，连接，四边形是平行四边形
，
，，
平分
；
（2）证明：如图，延长交于，，平分，
，
∵
平分，平分
，
，
，
和均为等腰直角三角形
，
．
19．已知，点E是的中线上一动点，交于点F，连接．
（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；
（2）如图2，当点E与点D不重合时，延长交于点G，交于点H．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②如图3，若的边，以为腰作等腰直角，连接，点M为的中点，当点E从点D运动到点A过程中，请直接写出点M的运动路径长．
【答案】（1）证明：，，
，，
为的中线，
，
在与中，
，
，
．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
如图所示，过D作交点Q，连接．
四边形为平行四边形，
．
同（1）可证明，
，
又∵，
四边形是平行四边形；②
【解析】（2）②如图所示，取的中点P，连接，
∵是的中线，即点D为的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵，
∴由平行线的唯一性可知重合，即点E和点P重合，
∴点E为的中点，
∴，
∵四边形使平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴当点E在上运动时，点F在直线上运动，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴点Q在直线上运动，
如图所示，以点B为原点，以为x轴，y轴建立坐标系，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴点M在直线上运动，
当时，，当时，；
∴点M的运动轨迹是从点沿着直线运动到点，
∴点M的运动路径长为
20．在 ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
【答案】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵ ，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°
（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF，∴CE=CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵ ，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）点Q的坐标为或或．
【解析】（3）存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
22．在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
又∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN-EN＝4；
②∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
23．如图，在直角坐标系中，直线交y轴，x轴于点，点D在y轴正半轴上，以为边作平行四边形ABCD，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动，记点E运动时间为t秒．
（1）直接写出点A的坐标 ， ；
（2）若，连接F是的中点，连接并延长交直线于点H，
①当四边形为平行四边形时，请直接写出t的值；
②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出t的值；
（3）若，点E在上，点M位于点E的正上方，且，当四边形的面积最大时，求的长．
【答案】（1）；4
（2）①
②t为0或或
①∵，则点，
∵F是的中点，则由中点坐标公式得，点，
设点，∵F是的中点，，易证，
∴，
当四边形为平行四边形时，则，
∴，
解得；
②由的坐标得：，
∵F是的中点，∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，∴，，
∴，
1°当点E在线段上时，
当，为等腰三角形时，
∴，
∴，解得；
当，为等腰三角形时，
过点F作于G，
∵，，∴，
∵F是BD的中点，，轴，
∴，
∴在中，有，
即，
解得，∴此时点E与点O重合，即此时；
2°当E在延长线上时，
∵是钝角，∴只存在，为等腰三角形这种情况，
同理可证：，
∴．又，∴，
∴，解得，
综上，当t为0或或时，存在以BF为腰的等腰．
（3）解：如图所示，过点E作交BC于点N，
∴，
取BN中点G，连接EG，
∵，
∴，∴，
∵在中，G为BN中点，设，
∴，
∴当时，r取得最小值2．
此时，，ME取得最大值，四边形EBCM的面积最大．
如下图所示，在中，，∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴
过点C作交DM的延长线于点Q，易知，
∵，，
∴，∴，，
在，中，，，，
∴，，∴．
【解析】 解：（1） 直线交y轴，x轴于点，
当x=0时，y=，即A（0，），
当y=0时，x=2，即B（2，0），
∴AB==4，
故答案为：（0，），4.
24．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且．
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90，ADBC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积．
（3）拓展：如图3，在△ABC中，∠A＝30，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到，若与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积是 （请直接写出答案）．
【答案】（1）证明：∵ADBC，
∴∠OAF=∠OEB，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴OF=OB，
则AO是△ABF的中线．
∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）解：∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”，
∴，
∵△AOF≌△EOB，
∴，
∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”
∴，
∴=×4×1=2，
∴四边形CDOE 的面积= =×（4+6）×4-2×2×2=12；
（3）8或
【解析】（3）解：分成两种情况：①如图1所示，∵S△ACD=S=△BCD，∴AD=BD=∵沿CD折叠A和A'重合，∴AD=A'D=4，又∵
△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的∴∴DO=OB，A'O=CO，∴四边形A'DCB是平行四边形，∴BC=A'D=4，过点B做BM⊥AC于M，∵AB=8，∠BAC=30°，∴BM=即C与M重合，∴∠ACB=∠ANB=90°，由勾股定理得：AC=∴S△ABC=
②如图2所示，∵△ACD和△BCD是"朋友三角形"，∴S△ACD=S△BCD，∴AD=BD=∵沿CD折叠A和A'重合，∴AD=A'D=4，又∵
△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的∴DO=OA'，BO=CO，∴四边形BDCA'是平行四边形，∴A'C=BD=4，过点C作CQ⊥A'D于点Q，∵A'C=4，∠CA'D=∠A=30°，∴CQ=∴S△A'CD=∴S△ABC=2S△A'CD=24=8。故答案为：或8.
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