2023-2024学年浙教版九年级数学下册第1章解直角三角形达标练习（基础卷）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年浙教版九年级数学下册第1章解直角三角形达标练习（基础卷）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-05 21:09:20 | ||
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文档简介
2023-2024学年浙教版九年级数学下册第1章解直角三角形达标练习（基础卷）
一、单选题
1．若，且为锐角，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．在中，，若，，则的长是（ ）
A．36 B．80 C．90 D．100
3．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，某幢建筑物的高为米，一架航拍无人机从处测得该建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，则此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为（ ）（结果精确到米，参考数据：，）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．计算：＝（ ）
A． B．1 C． D．
7．点关于轴对称的点的坐标是( )
A． B． C． D．
8．如图，中，，，，以斜边的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．9 C． D．
二、填空题
9．已知斜坡的坡角为，坡度为，小明沿该斜坡行走，上升了20米，则他行走的路程是 米．
10．在中，若，则 ．
11． ．
12．如图，在中，，点是上一点，连接，当 时，．
13．当为锐角，且时，的取值范围是 ．
14．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．
15．如图，小明在滨海大道的A处测得鸟岛P在北偏东的方向，他向正东方向前行200米到达B处，这时测得鸟岛P在他的北偏东方向，则岛P到滨海大道的A处的距离为 米（精确到1米）．
16．如图，是交警在某市一路口设立的路况显示牌．已知立杆高2米，从左侧D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别为60°和45°，则该路况显示牌的高度为 米．
三、解答题
17．如图，是的中线，，，，求：
(1)的长；
(2)的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，点M在第一象限内，且，．
(1)求点M的坐标．
(2)求的值．
19．已知锐角中，角、、的对边分别为、、，边角总满足关系式：．
(1)如图1，若，，，求的值；
(2)如图2，若，米，米，，求的长度．
20．在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线打通一条隧道，动工前，应先测隧道的长，现测得，，km，请根据上述数据，求出隧道的长(精确到km)．
21．北京时间年月日时分，尼泊尔发生级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面、两处均探测出建筑物下方处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和，且米，求该生命迹象所在位置的深度．结果精确到米．参考数据：，，，
22．为了给学生提供更好的学习生活环境，长郡云龙学校2023年对校园进行扩建．某天一台塔吊正对新建教学楼进行封顶施工，如图，现在我们将这个实际问题通过数学建模抽象成以下数学问题，如果工人在楼顶A处测得吊钩D处的俯角，测得塔吊B，C两点的仰角分别为和，此时米，塔吊需向A处吊运材料．（，，）
(1)求楼顶A到平衡臂的距离；
(2)吊钩D需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达A处？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，先求解，可得，再结合特殊角的三角函数值可得答案．
【详解】解：∵，且为锐角，
∴，
∴，
∴，
故选C
2．D
【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题关键是明确三角函数的意义，准确得出直角三角形边之间的关系．根据三角函数值确定和的关系，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了三角函数的应用、点到直线的距离等知识点，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
如图：过点C作于点D，由三角函数定义可得，即可解答．
【详解】解：如图：过点C作于点D
在中，,
∴，
∴点到的距离为，故B正确．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键；
根据坡角的定义、余弦的概念列式计算即可；
【详解】解：如图，过点作于，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
5．D
【分析】本题考查的知识点是求特殊角的三角函数值、三角函数综合，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．先根据特殊角的三角函数（正切）用表示、长，后根据即可求解．
【详解】解：依题得：在中，，
在中，，
（米），
（米），
，
，
解得：（米），
故选：．
6．B
【分析】本题考查特殊角的三角函数值相关计算，求出对应角度的三角函数值即可．
【详解】解：∵，
∴
＝
＝
＝．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，关于轴对称的点的坐标特征；先求得，，进而根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵，
∴即
∴关于轴对称的点的坐标是，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查的是解直角三角形，旋转的性质等知识．先根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，再利用旋转的性质，结合锐角三角函数，分别求出，，，最后根据，即可求出阴影面积．灵活运用直角三角形的相关性质求出所需线段是解题关键．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
点D为的中点，
，
绕点D逆时针方向旋转得到，
，，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
故选：B．
9．52
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的定义求出水平方向走的距离，然后再运用勾股定理解答即可，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
【详解】解：∵坡度为，小明沿该斜坡行走，上升了20米，
∴水平方向走的距离为，
∴行走的路程是米．
故答案为52．
10．21或11
【详解】如下图，过点作于点，在中，由，得．在中，，则或．
【易错点分析】条件中满足的条件是两边一角，其中一边是角的对边，根据上图可以发现有两种情况，所以对三角形的形状、大小进行确定性判断是不漏解的重要方法．
11．
【详解】原式．
【易错点分析】三角函数的定义、特殊角的三角函数值容易混淆．解决办法分别有画图、整体规律记忆、各特殊角的三角函数值相互之间的联系记忆．
12．或
【详解】如下图所示，分两种情况：，∴当时，．即，解得．过点作于点，作点关于的对称点．在中，，．．
【易错点分析】根据条件容易想到构造相似三角形，从而得到当时，，又在中，不是的夹角，的形状无法确定，点有两种可能．
13．
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性．根据及即可求解，
熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键，此题基础题，比较简单，也是一道常考试题.
【详解】解：，且，，为锐角，
，
故答案为：
14．4.1
【分析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可．
【详解】过点作水平线交于点，交于点，如图，
∵是水平线，都是铅垂线．
∴米，米，米，
∴（米），
又根据题意，得，
∴，
，即 ，
解得：米，
∴(米)．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
15．
【分析】在图中两个直角三角形中，先根据已知角的正切函数，分别求出，根据它们之间的关系，构建方程求出，再利用直角三角形30度角的性质求解即可．
【详解】过点P作于点D
由已知得，在中，，
在中，，
解得，，
∴（米），
∴(米)，
答：岛P到滨海大道的A处的距离为米．
故答案为．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，关键明确解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
16．/
【分析】分别在，分别求得，进而求得．
【详解】解：中，,
中，；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，运用特殊角三角函数值求线段长是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点作，先利用锐角三角函数求的长，从而利用勾股定理求的长，再利用锐角三角函数求的长，从而求的长，即可解答；（2）利用三角形的中线求的长，从而求出的长，利用勾股定理求出的长，在利用锐角三角函数进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
的长为；
（2）是的中线，
，
，
在中，，
，
，
的值为．
18．(1)的坐标是
(2)的值为
【分析】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．
(1)作，垂足为H，在中，根据已知条件，，结合锐角三角函数的定义，求出，然后求出的长，据此即可求得点M的坐标；
(2)，根据,求出的长，在中，利用勾股定理求得的长,进而根据角的三角函数值与三角形边的关系，即可求得结论．
【详解】（1）解：过点作，垂足为点，
由，，
，
，
故点的坐标是；
（2）解：由（1）知，
，
．
19．(1)
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，掌握特殊三角函数值是解题的关键．
（1）由边角关系式可求解；
（2）由边角关系式可求，在中，利用勾股定理可求的长．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，（舍去），
的长度为米．
20．为km
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的推论，“角所对的直角边是斜边的一半”及勾股定理．首先根据三角形的内角和定理的推论求得；再根据直角三角形的性质求得的长，最后运用勾股定理求得的长即可．
【详解】解：∵，，又，
∴，，
∵km，
∴km，由勾股定理可得： km．
21．米
【分析】本题考查了解直角三角形，作交的延长线于，在直角三角形和直角三角形中，根据已知角的正切值列方程求解即可，通过三角函数列出方程是解题的关键．
【详解】解：作交延长线于，设 米，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴ ，
解得：米，
答：该生命迹象所在位置的深度约为米．
22．(1)楼顶A到平衡臂BC的距离12米
(2)吊钩D需向右、向上分别移动10米、4米才能将材料送达A处
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）过点作于，设米，在中和在中，利用解直角三角形即可求解；
（2）由（1）得：米，在中，利用解直角三角形即可求解；
熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：过点作于，如图：
依题意得：，，
设米，
，
，，
在中，，，
，即：，
在中，，，
，即：，
，
，
解得：，
答：楼顶A到平衡臂BC的距离12米．
（2）由（1）得：米，
则米，
，且，，
米，
依题意得：，
在中，，，
，即：，
解得：米，
答：吊钩D需向右、向上分别移动10米、4米才能将材料送达A处．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．若，且为锐角，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．在中，，若，，则的长是（ ）
A．36 B．80 C．90 D．100
3．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，某幢建筑物的高为米，一架航拍无人机从处测得该建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，则此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为（ ）（结果精确到米，参考数据：，）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．计算：＝（ ）
A． B．1 C． D．
7．点关于轴对称的点的坐标是( )
A． B． C． D．
8．如图，中，，，，以斜边的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．9 C． D．
二、填空题
9．已知斜坡的坡角为，坡度为，小明沿该斜坡行走，上升了20米，则他行走的路程是 米．
10．在中，若，则 ．
11． ．
12．如图，在中，，点是上一点，连接，当 时，．
13．当为锐角，且时，的取值范围是 ．
14．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．
15．如图，小明在滨海大道的A处测得鸟岛P在北偏东的方向，他向正东方向前行200米到达B处，这时测得鸟岛P在他的北偏东方向，则岛P到滨海大道的A处的距离为 米（精确到1米）．
16．如图，是交警在某市一路口设立的路况显示牌．已知立杆高2米，从左侧D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别为60°和45°，则该路况显示牌的高度为 米．
三、解答题
17．如图，是的中线，，，，求：
(1)的长；
(2)的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，点M在第一象限内，且，．
(1)求点M的坐标．
(2)求的值．
19．已知锐角中，角、、的对边分别为、、，边角总满足关系式：．
(1)如图1，若，，，求的值；
(2)如图2，若，米，米，，求的长度．
20．在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线打通一条隧道，动工前，应先测隧道的长，现测得，，km，请根据上述数据，求出隧道的长(精确到km)．
21．北京时间年月日时分，尼泊尔发生级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面、两处均探测出建筑物下方处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和，且米，求该生命迹象所在位置的深度．结果精确到米．参考数据：，，，
22．为了给学生提供更好的学习生活环境，长郡云龙学校2023年对校园进行扩建．某天一台塔吊正对新建教学楼进行封顶施工，如图，现在我们将这个实际问题通过数学建模抽象成以下数学问题，如果工人在楼顶A处测得吊钩D处的俯角，测得塔吊B，C两点的仰角分别为和，此时米，塔吊需向A处吊运材料．（，，）
(1)求楼顶A到平衡臂的距离；
(2)吊钩D需向右、向上分别移动多少米才能将材料送达A处？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，先求解，可得，再结合特殊角的三角函数值可得答案．
【详解】解：∵，且为锐角，
∴，
∴，
∴，
故选C
2．D
【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题关键是明确三角函数的意义，准确得出直角三角形边之间的关系．根据三角函数值确定和的关系，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了三角函数的应用、点到直线的距离等知识点，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
如图：过点C作于点D，由三角函数定义可得，即可解答．
【详解】解：如图：过点C作于点D
在中，,
∴，
∴点到的距离为，故B正确．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键；
根据坡角的定义、余弦的概念列式计算即可；
【详解】解：如图，过点作于，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
5．D
【分析】本题考查的知识点是求特殊角的三角函数值、三角函数综合，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．先根据特殊角的三角函数（正切）用表示、长，后根据即可求解．
【详解】解：依题得：在中，，
在中，，
（米），
（米），
，
，
解得：（米），
故选：．
6．B
【分析】本题考查特殊角的三角函数值相关计算，求出对应角度的三角函数值即可．
【详解】解：∵，
∴
＝
＝
＝．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，关于轴对称的点的坐标特征；先求得，，进而根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵，
∴即
∴关于轴对称的点的坐标是，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查的是解直角三角形，旋转的性质等知识．先根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，再利用旋转的性质，结合锐角三角函数，分别求出，，，最后根据，即可求出阴影面积．灵活运用直角三角形的相关性质求出所需线段是解题关键．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
点D为的中点，
，
绕点D逆时针方向旋转得到，
，，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
故选：B．
9．52
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的定义求出水平方向走的距离，然后再运用勾股定理解答即可，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
【详解】解：∵坡度为，小明沿该斜坡行走，上升了20米，
∴水平方向走的距离为，
∴行走的路程是米．
故答案为52．
10．21或11
【详解】如下图，过点作于点，在中，由，得．在中，，则或．
【易错点分析】条件中满足的条件是两边一角，其中一边是角的对边，根据上图可以发现有两种情况，所以对三角形的形状、大小进行确定性判断是不漏解的重要方法．
11．
【详解】原式．
【易错点分析】三角函数的定义、特殊角的三角函数值容易混淆．解决办法分别有画图、整体规律记忆、各特殊角的三角函数值相互之间的联系记忆．
12．或
【详解】如下图所示，分两种情况：，∴当时，．即，解得．过点作于点，作点关于的对称点．在中，，．．
【易错点分析】根据条件容易想到构造相似三角形，从而得到当时，，又在中，不是的夹角，的形状无法确定，点有两种可能．
13．
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性．根据及即可求解，
熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键，此题基础题，比较简单，也是一道常考试题.
【详解】解：，且，，为锐角，
，
故答案为：
14．4.1
【分析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可．
【详解】过点作水平线交于点，交于点，如图，
∵是水平线，都是铅垂线．
∴米，米，米，
∴（米），
又根据题意，得，
∴，
，即 ，
解得：米，
∴(米)．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
15．
【分析】在图中两个直角三角形中，先根据已知角的正切函数，分别求出，根据它们之间的关系，构建方程求出，再利用直角三角形30度角的性质求解即可．
【详解】过点P作于点D
由已知得，在中，，
在中，，
解得，，
∴（米），
∴(米)，
答：岛P到滨海大道的A处的距离为米．
故答案为．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，关键明确解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
16．/
【分析】分别在，分别求得，进而求得．
【详解】解：中，,
中，；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，运用特殊角三角函数值求线段长是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点作，先利用锐角三角函数求的长，从而利用勾股定理求的长，再利用锐角三角函数求的长，从而求的长，即可解答；（2）利用三角形的中线求的长，从而求出的长，利用勾股定理求出的长，在利用锐角三角函数进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
的长为；
（2）是的中线，
，
，
在中，，
，
，
的值为．
18．(1)的坐标是
(2)的值为
【分析】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．
(1)作，垂足为H，在中，根据已知条件，，结合锐角三角函数的定义，求出，然后求出的长，据此即可求得点M的坐标；
(2)，根据,求出的长，在中，利用勾股定理求得的长,进而根据角的三角函数值与三角形边的关系，即可求得结论．
【详解】（1）解：过点作，垂足为点，
由，，
，
，
故点的坐标是；
（2）解：由（1）知，
，
．
19．(1)
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，掌握特殊三角函数值是解题的关键．
（1）由边角关系式可求解；
（2）由边角关系式可求，在中，利用勾股定理可求的长．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，（舍去），
的长度为米．
20．为km
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的推论，“角所对的直角边是斜边的一半”及勾股定理．首先根据三角形的内角和定理的推论求得；再根据直角三角形的性质求得的长，最后运用勾股定理求得的长即可．
【详解】解：∵，，又，
∴，，
∵km，
∴km，由勾股定理可得： km．
21．米
【分析】本题考查了解直角三角形，作交的延长线于，在直角三角形和直角三角形中，根据已知角的正切值列方程求解即可，通过三角函数列出方程是解题的关键．
【详解】解：作交延长线于，设 米，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴ ，
解得：米，
答：该生命迹象所在位置的深度约为米．
22．(1)楼顶A到平衡臂BC的距离12米
(2)吊钩D需向右、向上分别移动10米、4米才能将材料送达A处
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）过点作于，设米，在中和在中，利用解直角三角形即可求解；
（2）由（1）得：米，在中，利用解直角三角形即可求解；
熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：过点作于，如图：
依题意得：，，
设米，
，
，，
在中，，，
，即：，
在中，，，
，即：，
，
，
解得：，
答：楼顶A到平衡臂BC的距离12米．
（2）由（1）得：米，
则米，
，且，，
米，
依题意得：，
在中，，，
，即：，
解得：米，
答：吊钩D需向右、向上分别移动10米、4米才能将材料送达A处．
答案第1页，共2页
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