浙教版数学八年级下学期第二章 一元二次方程 单元测试（培优卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m>-1 B．m≠0 C．m=1 D．m≠-1
2．将方程化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是（ ）
A．-3，3 B．-1，-3 C．1，3 D．1，-3
3．用因式分解法解下列方程，变形正确的是（ ）
A．(3x-3)(3x-4)=0，于是3x-3=0或3x-4=0
B．(x+3)(x-1)=1，于是x+3=1或x-1=1
C．(x-2)(x-3)=6，于是x-2=2或x-3=3
D．x(x+2)=0，于是x+2=0
4．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或2 B．24 C．2 D．8或24
5．空地上有一段长为20米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园DCBA(如图)，已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为 198平方米，则AB的长为 （ ）
A．9米 B．11米 C．(10+ )米 D．9米或11米
6．一个长方形纸片内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图1放置，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分(阴影部分)的面积为8cm ；按照图2 放置，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分的面积为11 cm .当把两个小正方形纸片按照图3放置时，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
7．已知 是一元二次方程 的两个实数根， 则 等于 （ ）
A．0 B．4 C．8 D．10
8．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（2017八下·丰台期末）关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
10．（2022八下·瑶海期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2019八下·包河期中）关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ．
12．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE ，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则=
13．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱的利润为 12元.为了扩大销售，超市准备适当降价.据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出 20 箱，如果要使每天销售饮料获利1 400元，那么每箱应降价多少元 设每箱应降价x 元，则可列方程为
.
14．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
15．（2023八下·杭州月考）已知关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ．(填写序号)
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习）设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a= ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．已知m是方程x2-2x-1=0的一个根，求代数式2m2-4m+19的值
18．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax-b=0的一个解，求代数式a2+b2-2ab的值
19．已知关于x的一元二次方程 =0.
（1）当m=1时，试求出该方程的解.
（2）求证：不论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根.
20．已知关于x的方程
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求 n的取值范围.
（2）当x=n是原方程的一个根时，求n的值与方程的根.
21．某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支.若主干、分支、小分支的总数为73，求每个分支长出的小分支的数目
22．已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）若k=3，请判断△ABC的形状并说明理由；
（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．
23．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 .
（1） 求实数 的取值范围.
（2）若 满足 ， 求 的值.
24．已知关于x的方程(k-1)x2-2kx+k+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1，x2是方程(k-1)x2-2kx+k+2=0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程是一元二次方程，
∴m+1≠0，
解之：m≠-1.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0），据此可得到二次项的系数不等于0，可得到m的取值范围.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：原方程可化为x2-3x-3=0，
∴二次项系数为1，常数项为-3.
故答案为：D.
【分析】先将原方程转化为二元一次方程的一般形式，可得到二次项系数和常数项.
3．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、 (3x-3)(3x-4)=0，于是3x-3=0或3x-4=0 ，故A符合题意；
B、(x+3)(x-1)=1，x2+2x-4=0，故B不符合题意；
C、 (x-2)(x-3)=6，则x2-5x-12=0，故C不符合题意；
D、x(x+2)=0，于是x+2=0或x=0，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】若一元二次方程能转化为A·B=0（A、B是关于x的一次式），则这样的方程能用因式分解法解.
4．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵(x-6)(x-10)=0，
∴x-6=0或x-10=0
解之：x1=6，x2=10，
当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，
∴此三角形是等腰三角形，
底边上的高为，
∴此时三角形的面积为；
x=10时，
∵62+82=102，
∴此时的三角形是直角三角形，
此三角形的面积为，
∴此三角形的面积为 8或24 .
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解。再分情况讨论：当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，利用勾股定理求出底边上的高，再利用三角形的面积公式求出此时的三角形的面积；x=10时，利用勾股定理的逆定理可证得三角形是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可求出此时的三角形的面积.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，则BC=40-2x，
根据题意得x（40-2x）=198，
解得x1=9，x2=11，
由题意得40-2x≤20，解得x≥10，
∴x=11，即AB=11米.
故答案为：B.
【分析】设AB=x，则BC=40-2x，根据矩形的面积公式建立方程，解之并检验即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，
由图1可得：xy＝42+3(x 4)+8①；
由图2可得：xy＝42+3(y 4)+11②；
则②-①得：0=3x-3y-3，
即：y-x+1=0，
∴x=y+1③．
将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，
整理，得：y2-2y-15=0，
解得：y1=5，y2=-3（舍去），
∴x=5+1=6；
在图3中，阴影部分的面积为（x-4）（y-3）+（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7cm2；
故答案为：C.
【分析】设矩形的长为xcm，宽为ycm，分别根据图1和图2中阴影部分的面积列出方程式，求出x=y+1；代入即可求得y和x的值；根据阴影部分的面积进行计算即可.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴
将m代入方程中可得，
∴
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，根与系数关系为，据此即可得出的值，将m代入方程中，即可得出的值，代入所求式子即可求解.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】由一元二次方程 有两个实数根，可得△=4-4k≥0，且k≠0，解得 k≤1且k≠0，
故答案为：C
【分析】一元二次方程有两个根说明△0，注意一元二次方程二次项系数不为0.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由，表明方程有实数根-1，表明一元二次方程有实数解，则，故①符合题意；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②符合题意；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③不符合题意；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
11．【答案】m=1或m>2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】①当1-m2 =0时，m=±1，
当m=1，可得出2x-1=0，x=，符合题意，
当m=-1，可得出-2x-1=0，x=，不符合题意，
②当1-m2≠0时，
（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出
x1=，x2=
根据题意可得出，
0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2，
综上，m=1或m＞2.
【分析】分别讨论1-m2是否等于0的情况，根据根的条件，可解出m的取值范围。
12．【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程；三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵图中AF=a，DF=b，
∴ED=AF=a，EH=EF=DF-DE=b-a，
∵△ADE与△BEH的面积相等，
∴.
∴.
∴a2=b2-ab，
∴，
解得（负值已舍）.
∴=3.
故答案为：3.
【分析】根据△ADE与△BEH的面积相等，列出式子a2=b2-ab，转化为关于的二次方程求解，舍去负值后，代入求值.
13．【答案】(12-x)(100+20x)=1400
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每箱应降价x 元， 商场日销量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12-x）元，
根据题意得：(12-x)(100+20x)=1400.
故答案为：(12-x)(100+20x)=1400.
【分析】设每箱应降价x 元， 商场日销量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12-x）元，根据销售利润=每箱饮料利润×商场日销量，列出方程即可.
14．【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
15．【答案】①②③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①若a-b+c=0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，又a≠0，则b2－4ac≥0正确；
② 若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2， 由根与系数的关系得1×2=，整理得2a=c，即2a-c=0，故正确；
③ 若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根 ，则-4ac＞0， 所以b2-4ac＞0，所以方程ax2＋bx＋c＝0 一定有两个不相等的实数根，故正确；
④ 若b＝2a＋c， 则b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，由于a≠0，故4a2+c2＞0，∴ 方程有两个不相等的实数根正确.
故答案为：①②③④.
【分析】①若a-b+c=0，说明原方程有一个根为1，又a≠0，说明原方程是一元二次方程，一元二次方程有根必有两个，故 b2－4ac≥0；②已知方程的两根，用根与系数关系的式子变形即可得出结论；③判断方程根的情况，只需要看根的判别式b2－4ac的值的符号就可以了；④ 把b＝2a＋c代入b2-4ac就可以判断根的情况.
16．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，
∴x22+5x2﹣3=0，
∴x22+5x2=3，
∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，
∴2x1 x2+a=4，
∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，
∴x1x2=﹣3，
∴2×（﹣3）+a=4，
∴a=10.
故答案为：10.
【分析】根据方程根的定义可把 x2代入方程，变形得x22+5x2=3，把此式代入2x1（x22+6x2﹣3）+a=4可得2x1 x2+a=4，再由根与系数的关系得x1x2=﹣3，从而求出a的值.
17．【答案】∵m是方程x2-2x-1=0的一个根，∴m2-2m-1=0，∴m2-2m=1，
∴2m2-4m+19=2(m2- 2m)+19= 2×1+19=21．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】把x=m代入方程中，可得m2-2m=1，再将原式化为2(m2- 2m)+19，然后整体代入计算即可.
18．【答案】解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2+ax -b=0的一个解，
∴1+a-b=0，∴a-b=-1，∴a2+b2-2ab=(a-b)2=(-1)2=1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】把x=1代入方程x2+ax -b=0中，得a-b=-1，将原式化为a2+b2-2ab=(a-b)2，再代入计算即可.
19．【答案】（1）解： =0.
当m=1时 ，方程为，
（x-4）（x+2）=0，
解得：；
（2）证明：=0，
△=（-2m）2-4（-5m2-3）=24m2+12，
∵m2≥0，
∴△=24m2+12＞0，
∴ 不论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）把m=1代入方程中并解方程即可；
（2）先计算出△的值，根据结果即可判断.
20．【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=4-4n＞0，
解得：n＜1，
故n的取值范围是n＜1.
（2）解：将x=n代入方程x2+2x+n=0，得n2+2n+n=0，
整理得：n（n+3）=0，
∵n≠0，
∴n+3=0，
解得：n=-3；
故原方程为x2+2x-3=0，
整理得：（x+3）（x-1）=0
即x+3=0或x-1=0，
解得：x1=1，x2=-3.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根可得Δ=4-4n＞0，求解即可；
（2）将x=n代入方程，结合题意求出n的值，然后代入原方程，根据因式分解法求一元二次方程的解即可.
21．【答案】解：设每个分支长出小分支的数目为x，
依题意得：1+x+x2=73，
整理得：x2+x-72=0，
解得：x1=8，x2=-9（不合题意，舍去）；
故每个分支长出小分支的数目为8.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设每个分支长出小分支的数目为x，根据主干、分支、小分支的总数为73，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可.
22．【答案】（1）解：△ABC是直角三角形.
理由：k=3时，方程为
解得x =3，x =4，∴AB=3，AC=4.
∴△ABC是直角三角形.
（2）解：
∴AB≠AC，∴AB，AC 中有一个为5.
当x=5时，原方程为：
即k2-9k+20=0，解得
当k=4时，原方程为
解得由三角形的三边关系，可知4，5，5能围成等腰三角形，∴k=4符合题意；
当k=5时，原方程为
解得x =5，x =6，由三角形的三边关系，可知5，5，6能围成等腰三角形，∴k=5符合题意.
综上所述，k的值为4或5.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)k=3时，方程为 利用因式分解法解方程，得AB=3，AC=4，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC是直角三角形；
（2）判别式，得AB≠AC，当x=5时，原方程为：解得，然后利用三角形三边关系检验，即可得解.
23．【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得；
（2）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
∵
∴
解得满足条件的解为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可求出k的取值范围；
（2）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，根与系数关系为，据此可求出的值，再代入 ，即可求解满足条件的k的值.
24．【答案】（1）解：当k-1=0，即k=1时，方程为-2x+3=0，x= ，即方程有实数根；当k-1≠0时，b2-4ac=(-2k)2-4(k-1) ·(k+2)≥0，方程有实数根，即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．
（2）解：存在，x1 ，x2是方程(k-1)x2-2kx+k+2=0的两个实数根，
∴(k-1)x12-2kx1+k+2=0 ①，
x1+x2= ，，
∵(k-1)x12-2kx1+k+2=4x1x2， ∴(k-1)x12+2k(-x1)+k+2=， 即(k-1)x12 -2kx1 +k+2+=②，
把①代人②得，解得k=2或h=-1．
由(1)可知k≤2且k≠1，∴k=2或-1．存在实数k，k=2或-1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）分两种情况：①当k-1=0，②当k-1≠0时，据此分别解答即可；
（2）存在，理由：根据一元二次方程根的定义及根与系数的关系，可得(k-1)x12-2kx1+k+2=0 ①，x1+x2，，由(k-1)x12-2kx1+k+2=4x1x2，可得(k-1)x12 -2kx1 +k+2+=②，把①代人②可求出k值.
1 / 1浙教版数学八年级下学期第二章 一元二次方程 单元测试（培优卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m>-1 B．m≠0 C．m=1 D．m≠-1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程是一元二次方程，
∴m+1≠0，
解之：m≠-1.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0），据此可得到二次项的系数不等于0，可得到m的取值范围.
2．将方程化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是（ ）
A．-3，3 B．-1，-3 C．1，3 D．1，-3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：原方程可化为x2-3x-3=0，
∴二次项系数为1，常数项为-3.
故答案为：D.
【分析】先将原方程转化为二元一次方程的一般形式，可得到二次项系数和常数项.
3．用因式分解法解下列方程，变形正确的是（ ）
A．(3x-3)(3x-4)=0，于是3x-3=0或3x-4=0
B．(x+3)(x-1)=1，于是x+3=1或x-1=1
C．(x-2)(x-3)=6，于是x-2=2或x-3=3
D．x(x+2)=0，于是x+2=0
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、 (3x-3)(3x-4)=0，于是3x-3=0或3x-4=0 ，故A符合题意；
B、(x+3)(x-1)=1，x2+2x-4=0，故B不符合题意；
C、 (x-2)(x-3)=6，则x2-5x-12=0，故C不符合题意；
D、x(x+2)=0，于是x+2=0或x=0，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】若一元二次方程能转化为A·B=0（A、B是关于x的一次式），则这样的方程能用因式分解法解.
4．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或2 B．24 C．2 D．8或24
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵(x-6)(x-10)=0，
∴x-6=0或x-10=0
解之：x1=6，x2=10，
当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，
∴此三角形是等腰三角形，
底边上的高为，
∴此时三角形的面积为；
x=10时，
∵62+82=102，
∴此时的三角形是直角三角形，
此三角形的面积为，
∴此三角形的面积为 8或24 .
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解。再分情况讨论：当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，利用勾股定理求出底边上的高，再利用三角形的面积公式求出此时的三角形的面积；x=10时，利用勾股定理的逆定理可证得三角形是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可求出此时的三角形的面积.
5．空地上有一段长为20米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园DCBA(如图)，已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为 198平方米，则AB的长为 （ ）
A．9米 B．11米 C．(10+ )米 D．9米或11米
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，则BC=40-2x，
根据题意得x（40-2x）=198，
解得x1=9，x2=11，
由题意得40-2x≤20，解得x≥10，
∴x=11，即AB=11米.
故答案为：B.
【分析】设AB=x，则BC=40-2x，根据矩形的面积公式建立方程，解之并检验即可.
6．一个长方形纸片内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图1放置，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分(阴影部分)的面积为8cm ；按照图2 放置，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分的面积为11 cm .当把两个小正方形纸片按照图3放置时，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，
由图1可得：xy＝42+3(x 4)+8①；
由图2可得：xy＝42+3(y 4)+11②；
则②-①得：0=3x-3y-3，
即：y-x+1=0，
∴x=y+1③．
将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，
整理，得：y2-2y-15=0，
解得：y1=5，y2=-3（舍去），
∴x=5+1=6；
在图3中，阴影部分的面积为（x-4）（y-3）+（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7cm2；
故答案为：C.
【分析】设矩形的长为xcm，宽为ycm，分别根据图1和图2中阴影部分的面积列出方程式，求出x=y+1；代入即可求得y和x的值；根据阴影部分的面积进行计算即可.
7．已知 是一元二次方程 的两个实数根， 则 等于 （ ）
A．0 B．4 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴
将m代入方程中可得，
∴
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，根与系数关系为，据此即可得出的值，将m代入方程中，即可得出的值，代入所求式子即可求解.
8．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
9．（2017八下·丰台期末）关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】由一元二次方程 有两个实数根，可得△=4-4k≥0，且k≠0，解得 k≤1且k≠0，
故答案为：C
【分析】一元二次方程有两个根说明△0，注意一元二次方程二次项系数不为0.
10．（2022八下·瑶海期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由，表明方程有实数根-1，表明一元二次方程有实数解，则，故①符合题意；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②符合题意；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③不符合题意；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2019八下·包河期中）关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m=1或m>2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】①当1-m2 =0时，m=±1，
当m=1，可得出2x-1=0，x=，符合题意，
当m=-1，可得出-2x-1=0，x=，不符合题意，
②当1-m2≠0时，
（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出
x1=，x2=
根据题意可得出，
0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2，
综上，m=1或m＞2.
【分析】分别讨论1-m2是否等于0的情况，根据根的条件，可解出m的取值范围。
12．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE ，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则=
【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程；三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵图中AF=a，DF=b，
∴ED=AF=a，EH=EF=DF-DE=b-a，
∵△ADE与△BEH的面积相等，
∴.
∴.
∴a2=b2-ab，
∴，
解得（负值已舍）.
∴=3.
故答案为：3.
【分析】根据△ADE与△BEH的面积相等，列出式子a2=b2-ab，转化为关于的二次方程求解，舍去负值后，代入求值.
13．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱的利润为 12元.为了扩大销售，超市准备适当降价.据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出 20 箱，如果要使每天销售饮料获利1 400元，那么每箱应降价多少元 设每箱应降价x 元，则可列方程为
.
【答案】(12-x)(100+20x)=1400
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每箱应降价x 元， 商场日销量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12-x）元，
根据题意得：(12-x)(100+20x)=1400.
故答案为：(12-x)(100+20x)=1400.
【分析】设每箱应降价x 元， 商场日销量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12-x）元，根据销售利润=每箱饮料利润×商场日销量，列出方程即可.
14．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
15．（2023八下·杭州月考）已知关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ．(填写序号)
【答案】①②③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①若a-b+c=0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，又a≠0，则b2－4ac≥0正确；
② 若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2， 由根与系数的关系得1×2=，整理得2a=c，即2a-c=0，故正确；
③ 若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根 ，则-4ac＞0， 所以b2-4ac＞0，所以方程ax2＋bx＋c＝0 一定有两个不相等的实数根，故正确；
④ 若b＝2a＋c， 则b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，由于a≠0，故4a2+c2＞0，∴ 方程有两个不相等的实数根正确.
故答案为：①②③④.
【分析】①若a-b+c=0，说明原方程有一个根为1，又a≠0，说明原方程是一元二次方程，一元二次方程有根必有两个，故 b2－4ac≥0；②已知方程的两根，用根与系数关系的式子变形即可得出结论；③判断方程根的情况，只需要看根的判别式b2－4ac的值的符号就可以了；④ 把b＝2a＋c代入b2-4ac就可以判断根的情况.
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习）设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a= ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，
∴x22+5x2﹣3=0，
∴x22+5x2=3，
∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，
∴2x1 x2+a=4，
∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，
∴x1x2=﹣3，
∴2×（﹣3）+a=4，
∴a=10.
故答案为：10.
【分析】根据方程根的定义可把 x2代入方程，变形得x22+5x2=3，把此式代入2x1（x22+6x2﹣3）+a=4可得2x1 x2+a=4，再由根与系数的关系得x1x2=﹣3，从而求出a的值.
三、解答题（共8题，共66分）
17．已知m是方程x2-2x-1=0的一个根，求代数式2m2-4m+19的值
【答案】∵m是方程x2-2x-1=0的一个根，∴m2-2m-1=0，∴m2-2m=1，
∴2m2-4m+19=2(m2- 2m)+19= 2×1+19=21．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】把x=m代入方程中，可得m2-2m=1，再将原式化为2(m2- 2m)+19，然后整体代入计算即可.
18．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax-b=0的一个解，求代数式a2+b2-2ab的值
【答案】解：∵x=1是关于x的一元二次方程x2+ax -b=0的一个解，
∴1+a-b=0，∴a-b=-1，∴a2+b2-2ab=(a-b)2=(-1)2=1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】把x=1代入方程x2+ax -b=0中，得a-b=-1，将原式化为a2+b2-2ab=(a-b)2，再代入计算即可.
19．已知关于x的一元二次方程 =0.
（1）当m=1时，试求出该方程的解.
（2）求证：不论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根.
【答案】（1）解： =0.
当m=1时 ，方程为，
（x-4）（x+2）=0，
解得：；
（2）证明：=0，
△=（-2m）2-4（-5m2-3）=24m2+12，
∵m2≥0，
∴△=24m2+12＞0，
∴ 不论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）把m=1代入方程中并解方程即可；
（2）先计算出△的值，根据结果即可判断.
20．已知关于x的方程
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求 n的取值范围.
（2）当x=n是原方程的一个根时，求n的值与方程的根.
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=4-4n＞0，
解得：n＜1，
故n的取值范围是n＜1.
（2）解：将x=n代入方程x2+2x+n=0，得n2+2n+n=0，
整理得：n（n+3）=0，
∵n≠0，
∴n+3=0，
解得：n=-3；
故原方程为x2+2x-3=0，
整理得：（x+3）（x-1）=0
即x+3=0或x-1=0，
解得：x1=1，x2=-3.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根可得Δ=4-4n＞0，求解即可；
（2）将x=n代入方程，结合题意求出n的值，然后代入原方程，根据因式分解法求一元二次方程的解即可.
21．某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支.若主干、分支、小分支的总数为73，求每个分支长出的小分支的数目
【答案】解：设每个分支长出小分支的数目为x，
依题意得：1+x+x2=73，
整理得：x2+x-72=0，
解得：x1=8，x2=-9（不合题意，舍去）；
故每个分支长出小分支的数目为8.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设每个分支长出小分支的数目为x，根据主干、分支、小分支的总数为73，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可.
22．已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）若k=3，请判断△ABC的形状并说明理由；
（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．
【答案】（1）解：△ABC是直角三角形.
理由：k=3时，方程为
解得x =3，x =4，∴AB=3，AC=4.
∴△ABC是直角三角形.
（2）解：
∴AB≠AC，∴AB，AC 中有一个为5.
当x=5时，原方程为：
即k2-9k+20=0，解得
当k=4时，原方程为
解得由三角形的三边关系，可知4，5，5能围成等腰三角形，∴k=4符合题意；
当k=5时，原方程为
解得x =5，x =6，由三角形的三边关系，可知5，5，6能围成等腰三角形，∴k=5符合题意.
综上所述，k的值为4或5.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)k=3时，方程为 利用因式分解法解方程，得AB=3，AC=4，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC是直角三角形；
（2）判别式，得AB≠AC，当x=5时，原方程为：解得，然后利用三角形三边关系检验，即可得解.
23．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 .
（1） 求实数 的取值范围.
（2）若 满足 ， 求 的值.
【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得；
（2）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
∵
∴
解得满足条件的解为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可求出k的取值范围；
（2）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，根与系数关系为，据此可求出的值，再代入 ，即可求解满足条件的k的值.
24．已知关于x的方程(k-1)x2-2kx+k+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1，x2是方程(k-1)x2-2kx+k+2=0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当k-1=0，即k=1时，方程为-2x+3=0，x= ，即方程有实数根；当k-1≠0时，b2-4ac=(-2k)2-4(k-1) ·(k+2)≥0，方程有实数根，即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．
（2）解：存在，x1 ，x2是方程(k-1)x2-2kx+k+2=0的两个实数根，
∴(k-1)x12-2kx1+k+2=0 ①，
x1+x2= ，，
∵(k-1)x12-2kx1+k+2=4x1x2， ∴(k-1)x12+2k(-x1)+k+2=， 即(k-1)x12 -2kx1 +k+2+=②，
把①代人②得，解得k=2或h=-1．
由(1)可知k≤2且k≠1，∴k=2或-1．存在实数k，k=2或-1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）分两种情况：①当k-1=0，②当k-1≠0时，据此分别解答即可；
（2）存在，理由：根据一元二次方程根的定义及根与系数的关系，可得(k-1)x12-2kx1+k+2=0 ①，x1+x2，，由(k-1)x12-2kx1+k+2=4x1x2，可得(k-1)x12 -2kx1 +k+2+=②，把①代人②可求出k值.
1 / 1
