2024年浙教版数学八年级下学期第四章 平行四边形单元测试（培优卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020·烟台）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可．
2．（2019八下·北海期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：(n-2)×180°=3×360°，
解得：n=8；
故答案为：C.
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列式，求出n即可。
3．如果正多边形的每个外角等于40°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】正多边形的每一个外角都相等，利用多边形的外角和为360°求解．
【解答】360°÷40°=9．
故选B．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和定理，比较基础，准确把握外角和定理是做题的关键．
4．（2024八上·朝阳期末）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质证，可得OE=OF，AE=CF，进而可得，最后求出四边形ABFE的周长即可．
5．如图，在 ABCD中，CD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为F.若AF=6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC
∵AD平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∴∠AEB=∠ABE
∵AF⊥BE
∴BF=EF==8
∴BE=8+8=16
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质以及等量代换原则，可得∠AEB=∠ABE；根据勾股定理和等腰三角形的性质，可得BE的值.
6．如图，△ABC的面积为 24，点D为边AC 上的一点，连结BD 并延长，交 BC 的平行线AG 于点E，连结EC，以DE，EC为邻边作□DECF，DF 交边BC 于点 H，连结 AH.当 时，△AHC 的面积为 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
的面积为，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积公式．先连接，根据的面积为，，可推出；又知，可推出，
由面积的和差关系可求得，再结合可得出答案．
7．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点若AE=AD，DF=2，则BD的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D是AC的中点，F是CE中点，DF=2，
∴AE=2DF=4，
∵AE=AD，
∴AD=4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD=AD=4，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中位线性质可知AE=2DF，从而得知AD=4，再根据直角三角形的中线性质，中线等于斜边的一半可得出答案.
8．如图，在△ABC中，D，E分别是边 AB，BC的中点，点F 在射线DE 上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B=∠F B．DE=EF C．AC=CF D．AD=CF
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D，E分别是边 AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC，
A、当∠B=∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意；
B、 ∵DE=EF ，
∴DE=DF，
∴AC=DF，
∵AC∥DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故符合题意；
C、由AC=CF不能得出AC=DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意；
D、∵AD=CF ，AD=BD，
∴BD=CF，
由BD=CF，∠BED=∠CEF，BE=CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用三角形中位线定理可得DE∥AC，DE=AC，再根据平行四边形的判定定理逐一判断即可.
9．（2023八下·龙岗期中）用反证法证明：在△ABC中，∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角时，假设，∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，令∠A＞90°，∠B＞90°，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（ ）
A．已知 B．三角形内角和等于180°
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，
令∠A＞90°，∠B＞90°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，
很显然，与三角形内角和等于180°矛盾，
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此解答即可.
10．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2024八上·汉阳期末）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小是 ．
【答案】135
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：本题考查的是任意多边形内角和的公式，以及正多边形的各内角计算，
根据任意多边形的公式可知：180°(n-2)，n≥3，将n=8代入得，180°×（8-2）=1080°，
所以正八边形的各内角为：1080°÷8=135°；
故答案为：135°.
【分析】任意n边形内角和：180°(n-2)，n≥3，且为自然数 ，正n边形各内角为180°(n-2)÷n，n≥3且为自然数.
12．（2024八上·黄石港期末）一个正多边形的内角和是，则它的一个外角是 度．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n-2）·180°=2160°，
解得：n=14，
则该正多边形的每个外角为；
故答案为：.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式求得n的值，根据多边形的外角和等于360°，正多边形的外角都相等即可求解.
13．（2023八下·遂川期末）如图，等腰三角形纸片ABC中，于点D，，，沿AD剪成两个三角形.用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形较长对角线的长为 .
【答案】5，或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如下图所示：
∵等腰三角形纸片ABC中，于点D，，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为；
② 如下图所示：
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为：；
③如下图所示：
由①得：CD=2，
∵于点D，，
∴该平行四边形较长对角线的长为 ：；
综上所述：该平行四边形较长对角线的长为5，或 ，
故答案为： 5，或 .
【分析】根据题意先作图，再分类讨论，利用等腰三角形的性质，勾股定理以及平行四边形的性质计算求解即可。
14．（2024九上·双流期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB，CD于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接CP并延长交AD于点Q，连接BQ．若时，则与的周长之差为 ．
【答案】5
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】根据题干中的作图方法CQ平分∠BCD，
∴∠BCQ=∠DCQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD//BC，
∴∠BCQ=∠DQC，
∴∠DCQ=∠DQC，
∴DQ=DC=5，
∴与的周长之差=（BC+BQ+CQ）-（DC+DQ+CQ）=8+7+CQ-5-5-CQ=5，
故答案为：5.
【分析】利用平行四边形的性质可得CD=AB=5，∠BCQ=∠DQC，再利用角平分线的定义可得∠BCQ=∠DCQ，再利用等量代换可得∠DCQ=∠DQC，再利用等角对等边的性质可得DQ=DC=5，再利用三角形的周长公式求解即可.
15．如图，在 ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF=DE；②AE=CF；③∠EAB=∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF 是平行四边形的有 (填序号).
【答案】①③④
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 在 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
①∵ BF=DE ，
∴ BF-OA=DE-OD，即OF=OE，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
②∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
由AB=CD， AE=CF，根据SSA不能判定△ABE≌△CDF，
则不能证明四边形AECF 是平行四边形 ，故不符合题意；
③∵∠ABE=∠CDF，AB=CD， ∠EAB=∠FCD ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD ，
∴∠AEF=∠CFE ，
∴AE∥CF，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
④∵ AF∥CE.
∴∠AFB=∠CED ，
∵∠ABF=∠CDE ，AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS）
∴BFDE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意.
故答案为：①③④.
【分析】根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质逐一判断即可.
16．（2024八上·依安期末）如图，等边的边长为1，第一次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第一个等边；第二次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第二个等边；第三次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第三个等边；…；按此做法依次进行下去，则得到的第个等边的边长为 .
【答案】
【知识点】探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 、、分别是边、、的中点 ，
∴，
即是边长为的等边三角形；
同理，第二个等边的边长为；
第三个等边的边长为；
……
第n个等边的边长为．
故答案为：．
【分析】根据中位线定理，得出是边长为的等边三角形，的边长为， 的边长为，则第n个等边三角形的边长为．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明下列问题。
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O。
求证：BD和CE不可能互相平分。
【答案】证明：连结DE假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD.
∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，
∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾，故假设不成立，原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分。
【知识点】平行四边形的判定与性质；反证法
【解析】【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，先连结DE，则先假设BD和CE互相平分，利用平行四边形的判定定理，结合平行线的定义，即可证明.
18．如图，CD∥AF，∠D=∠A，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°.求∠F的度数.
【答案】解：连接AD，
∵ AB⊥BC ，
∴∠B=90°，
∵ ∠C=120°，
∴∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C=150°，
∵ CD∥AF ，
∴∠DAF=∠ADC，
∵ ∠CDE=∠BAF ，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠DAF+∠EDA=∠BAD+∠ADC=150°，
∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°，
∴∠F+∠E=210°，
∵ ∠E=80°，
∴ ∠F=130°.
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】连接AD，由四边形内角和可求∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C=150°，根据平行线的性质可得∠DAF=∠ADC，再利用四边形内角和及∠CDE=∠BAF即可求解.
19．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
20．如图，在平面直角坐标系中，点 A(-4，2)，B(-1，-2)， ABCD的对角线相交于坐标原点O.
（1）请直接写出点 C，D的坐标.
（2）写出从线段 AB到线段CD 的变换过程.
（3）求△AOB 的面积.
【答案】（1）解：点C(4，-2)，D(1，2)
（2）解：线段AB到线段CD的变换过程：绕点O旋转180°；
（3）解：∵ A（-4，2），D（1，2），
∴AD=5，点A到x轴的距离为2，AD∥x轴，
∴ S△AOD=×5×2=5；
又∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△AOB=S△AOD=5.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；平行四边形的性质；旋转的性质；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形ABCD关于点O中心对称，
∵ A(-4，2)，B(-1，-2)，
∴ C（4，-2），D（1，2）；
【分析】（1）根据中心对称图形的性质可得点A与点C，点B与点D分别关于原点对称，进而根据关于坐标原点对称的点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”即可求得；
（2）根据中心对称的性质即可求得；
（3）根据平行四边形的性质可得S△AOB=S△AOD ，利用三角形的面积公式即可求得.
21．如图，将 ABCD的AD 边延长至点E，使 DE 连结CE，F 是 BC 的中点，连结 FD.
（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形.
（2）若 求CE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点F是BC的中点，
∴FC=BC，
∵ DE
∴DE=CF，
∴四边形CEDF是平行四边形.
（2）解：过点D作DG⊥BC于点G，
∴∠DGC=90°，
∵平行四边形ABCD，
∴∠A=∠DCB=60°，AB=CD=2，AD=BC=3，
∴∠CDG=90°-60°=30°，
∴CG=CD=1，
∴，
∵点F是BC的中点，
∴FC=BC=1.5，
∴FG=1.5-1=0.5，
∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DF=CE，
∴，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AD=BC，AD∥BC，利用已知可知DE=CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）过点D作DG⊥BC于点G，利用平行四边形的性质可求出CD，BC的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CG的长，利用勾股定理求出DG的长，由此可求出FG的长；再利用平行四边形的性质可证DF=CE，然后利用勾股定理求出DF的长，可得到CE的长.
22．如图，在 ABCD中，点 E，F 在对角线 AC 上，且AE=EF=FC.
（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
（2）若∠CDE=90°，DC=8，DE=6，求四边形DEBF 的周长.
【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
（2）解：∵∠CDE=90°，EF=CF，
∴，
∴DF是Rt△DEC斜边的中线，
∴DF=CE=5，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF=6，BE=DF=5，
∴四边形DEBF的周长为6+6+5+5=22.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接BD，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得OD=OB，OA=OC，由此可推出OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出CE的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，利用平行四边形的性质可求出四边形DEBF的周长.
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
24．已知E在△ABC内部（如图1），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC.
（1）求证：AE=DC.
（2）当AE⊥BD时，求CD的长.
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图2），求旋转过程中EF的取值范围.
【答案】（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△BDE 都是等边三角形，
∴ BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∴ ∠ABE=∠CBD，
∴ △ABE≌△CBD (SAS)，
∴AE=CD；
（2）解：延长AE交BD于点J.
∵EJ⊥BD，EB=ED，
∴ BJ= JD=2，
∴，
由（1）可知CD=AE，
.
（3）解：延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，
∵PE=DE，DF=CF，
∴EF是△CDP的中位线，
∴EF=PC，
∵BE=DE=PE，
∴∠EPB=∠EBP，∠EBD=∠EDB，
∴∠PBD=∠PBE+∠DBE=90°，
∴，
∵BC=6，
∴
∴.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，推出∠ABE= ∠CBD，从而可用SAS判断出△ABE≌△CBD，根据全等三角形的对应边相等得AE=CD；
（2）延长AE交BD于点J，由等边三角形的三线合一得BJ= JD=2，从而用勾股定理算出EJ及AJ，结合（1）的结论，根据AE=AJ-EJ即可算出答案；
（3）延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，利用三角形中位线定理得EF=PC，进而根据等边对等角及三角形内角和定理可推出∠PBD=90°，由勾股定理算出BP的长，然后根据三角形三边关系可判断出PC得取值范围，从而即可得出EF的取值范围.
1 / 12024年浙教版数学八年级下学期第四章 平行四边形单元测试（培优卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020·烟台）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八下·北海期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如果正多边形的每个外角等于40°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
4．（2024八上·朝阳期末）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
5．如图，在 ABCD中，CD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为F.若AF=6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
6．如图，△ABC的面积为 24，点D为边AC 上的一点，连结BD 并延长，交 BC 的平行线AG 于点E，连结EC，以DE，EC为邻边作□DECF，DF 交边BC 于点 H，连结 AH.当 时，△AHC 的面积为 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点若AE=AD，DF=2，则BD的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
8．如图，在△ABC中，D，E分别是边 AB，BC的中点，点F 在射线DE 上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B=∠F B．DE=EF C．AC=CF D．AD=CF
9．（2023八下·龙岗期中）用反证法证明：在△ABC中，∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角时，假设，∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，令∠A＞90°，∠B＞90°，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（ ）
A．已知 B．三角形内角和等于180°
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
10．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2024八上·汉阳期末）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小是 ．
12．（2024八上·黄石港期末）一个正多边形的内角和是，则它的一个外角是 度．
13．（2023八下·遂川期末）如图，等腰三角形纸片ABC中，于点D，，，沿AD剪成两个三角形.用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形较长对角线的长为 .
14．（2024九上·双流期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB，CD于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接CP并延长交AD于点Q，连接BQ．若时，则与的周长之差为 ．
15．如图，在 ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF=DE；②AE=CF；③∠EAB=∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF 是平行四边形的有 (填序号).
16．（2024八上·依安期末）如图，等边的边长为1，第一次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第一个等边；第二次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第二个等边；第三次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第三个等边；…；按此做法依次进行下去，则得到的第个等边的边长为 .
三、解答题（共8题，共66分）
17．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明下列问题。
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O。
求证：BD和CE不可能互相平分。
18．如图，CD∥AF，∠D=∠A，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°.求∠F的度数.
19．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
20．如图，在平面直角坐标系中，点 A(-4，2)，B(-1，-2)， ABCD的对角线相交于坐标原点O.
（1）请直接写出点 C，D的坐标.
（2）写出从线段 AB到线段CD 的变换过程.
（3）求△AOB 的面积.
21．如图，将 ABCD的AD 边延长至点E，使 DE 连结CE，F 是 BC 的中点，连结 FD.
（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形.
（2）若 求CE的长.
22．如图，在 ABCD中，点 E，F 在对角线 AC 上，且AE=EF=FC.
（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
（2）若∠CDE=90°，DC=8，DE=6，求四边形DEBF 的周长.
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知E在△ABC内部（如图1），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC.
（1）求证：AE=DC.
（2）当AE⊥BD时，求CD的长.
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图2），求旋转过程中EF的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：(n-2)×180°=3×360°，
解得：n=8；
故答案为：C.
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列式，求出n即可。
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】正多边形的每一个外角都相等，利用多边形的外角和为360°求解．
【解答】360°÷40°=9．
故选B．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和定理，比较基础，准确把握外角和定理是做题的关键．
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质证，可得OE=OF，AE=CF，进而可得，最后求出四边形ABFE的周长即可．
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC
∵AD平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∴∠AEB=∠ABE
∵AF⊥BE
∴BF=EF==8
∴BE=8+8=16
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质以及等量代换原则，可得∠AEB=∠ABE；根据勾股定理和等腰三角形的性质，可得BE的值.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
的面积为，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积公式．先连接，根据的面积为，，可推出；又知，可推出，
由面积的和差关系可求得，再结合可得出答案．
7．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D是AC的中点，F是CE中点，DF=2，
∴AE=2DF=4，
∵AE=AD，
∴AD=4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD=AD=4，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中位线性质可知AE=2DF，从而得知AD=4，再根据直角三角形的中线性质，中线等于斜边的一半可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D，E分别是边 AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC，
A、当∠B=∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意；
B、 ∵DE=EF ，
∴DE=DF，
∴AC=DF，
∵AC∥DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故符合题意；
C、由AC=CF不能得出AC=DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意；
D、∵AD=CF ，AD=BD，
∴BD=CF，
由BD=CF，∠BED=∠CEF，BE=CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用三角形中位线定理可得DE∥AC，DE=AC，再根据平行四边形的判定定理逐一判断即可.
9．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，
令∠A＞90°，∠B＞90°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，
很显然，与三角形内角和等于180°矛盾，
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此解答即可.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
11．【答案】135
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：本题考查的是任意多边形内角和的公式，以及正多边形的各内角计算，
根据任意多边形的公式可知：180°(n-2)，n≥3，将n=8代入得，180°×（8-2）=1080°，
所以正八边形的各内角为：1080°÷8=135°；
故答案为：135°.
【分析】任意n边形内角和：180°(n-2)，n≥3，且为自然数 ，正n边形各内角为180°(n-2)÷n，n≥3且为自然数.
12．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n-2）·180°=2160°，
解得：n=14，
则该正多边形的每个外角为；
故答案为：.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式求得n的值，根据多边形的外角和等于360°，正多边形的外角都相等即可求解.
13．【答案】5，或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如下图所示：
∵等腰三角形纸片ABC中，于点D，，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为；
② 如下图所示：
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为：；
③如下图所示：
由①得：CD=2，
∵于点D，，
∴该平行四边形较长对角线的长为 ：；
综上所述：该平行四边形较长对角线的长为5，或 ，
故答案为： 5，或 .
【分析】根据题意先作图，再分类讨论，利用等腰三角形的性质，勾股定理以及平行四边形的性质计算求解即可。
14．【答案】5
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】根据题干中的作图方法CQ平分∠BCD，
∴∠BCQ=∠DCQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD//BC，
∴∠BCQ=∠DQC，
∴∠DCQ=∠DQC，
∴DQ=DC=5，
∴与的周长之差=（BC+BQ+CQ）-（DC+DQ+CQ）=8+7+CQ-5-5-CQ=5，
故答案为：5.
【分析】利用平行四边形的性质可得CD=AB=5，∠BCQ=∠DQC，再利用角平分线的定义可得∠BCQ=∠DCQ，再利用等量代换可得∠DCQ=∠DQC，再利用等角对等边的性质可得DQ=DC=5，再利用三角形的周长公式求解即可.
15．【答案】①③④
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 在 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
①∵ BF=DE ，
∴ BF-OA=DE-OD，即OF=OE，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
②∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
由AB=CD， AE=CF，根据SSA不能判定△ABE≌△CDF，
则不能证明四边形AECF 是平行四边形 ，故不符合题意；
③∵∠ABE=∠CDF，AB=CD， ∠EAB=∠FCD ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD ，
∴∠AEF=∠CFE ，
∴AE∥CF，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
④∵ AF∥CE.
∴∠AFB=∠CED ，
∵∠ABF=∠CDE ，AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS）
∴BFDE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意.
故答案为：①③④.
【分析】根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质逐一判断即可.
16．【答案】
【知识点】探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 、、分别是边、、的中点 ，
∴，
即是边长为的等边三角形；
同理，第二个等边的边长为；
第三个等边的边长为；
……
第n个等边的边长为．
故答案为：．
【分析】根据中位线定理，得出是边长为的等边三角形，的边长为， 的边长为，则第n个等边三角形的边长为．
17．【答案】证明：连结DE假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD.
∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，
∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾，故假设不成立，原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分。
【知识点】平行四边形的判定与性质；反证法
【解析】【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，先连结DE，则先假设BD和CE互相平分，利用平行四边形的判定定理，结合平行线的定义，即可证明.
18．【答案】解：连接AD，
∵ AB⊥BC ，
∴∠B=90°，
∵ ∠C=120°，
∴∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C=150°，
∵ CD∥AF ，
∴∠DAF=∠ADC，
∵ ∠CDE=∠BAF ，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠DAF+∠EDA=∠BAD+∠ADC=150°，
∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°，
∴∠F+∠E=210°，
∵ ∠E=80°，
∴ ∠F=130°.
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】连接AD，由四边形内角和可求∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C=150°，根据平行线的性质可得∠DAF=∠ADC，再利用四边形内角和及∠CDE=∠BAF即可求解.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
20．【答案】（1）解：点C(4，-2)，D(1，2)
（2）解：线段AB到线段CD的变换过程：绕点O旋转180°；
（3）解：∵ A（-4，2），D（1，2），
∴AD=5，点A到x轴的距离为2，AD∥x轴，
∴ S△AOD=×5×2=5；
又∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△AOB=S△AOD=5.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；平行四边形的性质；旋转的性质；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形ABCD关于点O中心对称，
∵ A(-4，2)，B(-1，-2)，
∴ C（4，-2），D（1，2）；
【分析】（1）根据中心对称图形的性质可得点A与点C，点B与点D分别关于原点对称，进而根据关于坐标原点对称的点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”即可求得；
（2）根据中心对称的性质即可求得；
（3）根据平行四边形的性质可得S△AOB=S△AOD ，利用三角形的面积公式即可求得.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点F是BC的中点，
∴FC=BC，
∵ DE
∴DE=CF，
∴四边形CEDF是平行四边形.
（2）解：过点D作DG⊥BC于点G，
∴∠DGC=90°，
∵平行四边形ABCD，
∴∠A=∠DCB=60°，AB=CD=2，AD=BC=3，
∴∠CDG=90°-60°=30°，
∴CG=CD=1，
∴，
∵点F是BC的中点，
∴FC=BC=1.5，
∴FG=1.5-1=0.5，
∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DF=CE，
∴，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AD=BC，AD∥BC，利用已知可知DE=CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）过点D作DG⊥BC于点G，利用平行四边形的性质可求出CD，BC的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CG的长，利用勾股定理求出DG的长，由此可求出FG的长；再利用平行四边形的性质可证DF=CE，然后利用勾股定理求出DF的长，可得到CE的长.
22．【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
（2）解：∵∠CDE=90°，EF=CF，
∴，
∴DF是Rt△DEC斜边的中线，
∴DF=CE=5，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF=6，BE=DF=5，
∴四边形DEBF的周长为6+6+5+5=22.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接BD，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得OD=OB，OA=OC，由此可推出OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出CE的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，利用平行四边形的性质可求出四边形DEBF的周长.
23．【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
24．【答案】（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△BDE 都是等边三角形，
∴ BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∴ ∠ABE=∠CBD，
∴ △ABE≌△CBD (SAS)，
∴AE=CD；
（2）解：延长AE交BD于点J.
∵EJ⊥BD，EB=ED，
∴ BJ= JD=2，
∴，
由（1）可知CD=AE，
.
（3）解：延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，
∵PE=DE，DF=CF，
∴EF是△CDP的中位线，
∴EF=PC，
∵BE=DE=PE，
∴∠EPB=∠EBP，∠EBD=∠EDB，
∴∠PBD=∠PBE+∠DBE=90°，
∴，
∵BC=6，
∴
∴.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，推出∠ABE= ∠CBD，从而可用SAS判断出△ABE≌△CBD，根据全等三角形的对应边相等得AE=CD；
（2）延长AE交BD于点J，由等边三角形的三线合一得BJ= JD=2，从而用勾股定理算出EJ及AJ，结合（1）的结论，根据AE=AJ-EJ即可算出答案；
（3）延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，利用三角形中位线定理得EF=PC，进而根据等边对等角及三角形内角和定理可推出∠PBD=90°，由勾股定理算出BP的长，然后根据三角形三边关系可判断出PC得取值范围，从而即可得出EF的取值范围.
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