浙教版数学八年级下学期第五章 特殊平行四边形 单元测试（培优卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD 于点E，F，则阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：O是矩形ABCD对角线的交点
阴影部分的面积是矩形ABCD面积的
故答案选：B.
【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论.
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的四边形是矩形是错误的，符合题意；
B、四个角都相等的四边形是矩形是正确的，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形是正确的，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据矩形的判定进行判断即可解答.
3．如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，若AC=6， BD=8，则BE的长是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
∵，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质、勾股定理可得菱形边长，再由菱形的面积公式可求BE的长.
4．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结BD，AD，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．∠ABC=∠ACB B．AB=AD C．∠BAC=∠DAC D．AC⊥BD
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解： △ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB=AD时， 四边形ABCD是菱形 ，故选项B不符合题意；
当∠BAC=∠DAC时，
∵AD∥BC，∴，
∴，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形 ，故选项C不符合题意；
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 ，故选项D不符合题意；
当∠ABC=∠ACB时，AB=AC，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】由平移的性质得AB∥CD，AB=CD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定方法：①一组邻边相等得平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可逐个判断得出答案.
5．已知，O是矩形ABCD 对角线的交点，作 DE∥AC，AE∥BD，连结BE.有下列说法：①四边形DEAO为菱形；②AE=AB；③∠BAE=120°；④若∠BED=90°，则AD=BE.其中正确的是 （ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵DEAC，AEBD，
∴四边形DEAO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴四边形DEAO为菱形，故①正确；
②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误；
③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误；
④如图，连接OE，
∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点，
∴OE＝OB＝OD，
∵四边形DEAO为菱形，
∴DE＝OD，
∴△DEO是等边三角形，
∴∠EDO＝60°，
∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°，
∴∠ADB＝∠EBD，
又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB，
∴△ABD≌△EDB（AAS），
∴AD＝BE，故④正确；
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．已知DEAC，AEBD，可证明四边形DEAO是平行四边形，再根据四边形ABCD是矩形，可推出OA＝OD，进而证明四边形DEAO为菱形，①正确；当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，②错误；当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，③错误；连接OE，求出OE＝OB＝OD，结合DE＝OD可证明△DEO是等边三角形，可得∠ADB＝∠EBD＝30°，再结合∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB可证明△ABD≌△EDB即可得出④正确．
6．（初中数学浙教版八下精彩练第五章质量评估卷）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形 ，若 ，则菱形 的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D′作D′M⊥AB于点M，
∵，
∴，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AD′=AB，
∴S菱形ABC′D′=AB×D′M= ，
∵S正方形ABCD=AB2，
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比为 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意得到菱形的边长和正方形的边长相等，再根据∠D'AB=30°得到菱形的高等于其边长的一半，最后分别表示出正方形的面积和菱形的面积，然后求出比值即可.
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则AF 的长为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC=AB=，∠BCD=∠B=90°，
∵ DE⊥CF ，
∴∠CDE+∠DCO=∠DCO+∠FCB=90°，
∴∠FCB= ∠CDE=30° ，
∴BC=BF=，
∴BF=4，
∴AF=AB-BF=-4.
故答案为：D.
【分析】根据余角的性质可推出∠FCB= ∠CDE=30° ，从而得出BC=BF=，据此求出BF，利用AF=AB-BF即可求解.
8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA 上，且 DE∥CA，DF∥BA.有下列说法：
①四边形AEDF 是平行四边形；
②若∠BAC=90°，则四边形AEDF 是矩形；
③若 AD平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形；
④若AD⊥BC，且AB=AC，则四边形AEDF 是正方形.
其中正确的是 （ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵ DE∥CA，DF∥BA ，
∴ 四边形AEDF 是平行四边形，故①正确；
若∠BAC=90°，
∴四边形AEDF 是矩形，故②正确；
若AD平分∠BAC ，
∴∠EAD=∠FAD，
∵ DE∥CA ，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴ 四边形AEDF 是菱形，故③正确；
若AD⊥BC，且AB=AC，
∴AD平分∠BAC ，
由③知四边形AEDF 是菱形，故④错误.
故答案为：C.
【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判断①正确；若∠BAC=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知②正确；若AD平分∠BAC ，结合DE∥CA ，可推出∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断③正确；由AD⊥BC，且AB=AC，可得AD平分∠BAC ，由③知四边形AEDF 是菱形，故④错误.
9．（2022九下·重庆开学考）如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，连接 、 ， 与对角线 交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO=BC，
在Rt△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6.
故答案为：D.
【分析】连接BO，根据矩形的性质可得DC∥AB，∠DCB=90°，根据平行线的性质可得∠FCO=∠EAO，证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，推出∠EAO=∠EOA，则EA=EO=OF=FC=2，证明Rt△BFO≌Rt△BFC，得到BO=BC，易得△BOC是等边三角形，得到∠BCO=60°，∠BAC=30°，则∠FEB=2∠CAB=60°，进而推出△BEF是等边三角形，则EB=EF=4，然后根据AB=AE+EB进行计算.
10．如图，在 Rt△ABC中，LACB=90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH 上，CG与EF相交于点P，CM 与BE相交于点Q.若HF=FG则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABE=∠ABP+∠EBP=90°，∠ABP+∠CAB=90°，
∴∠EBP=∠CAB，
在△ABQ和△BEP中
∴△ABQ≌△BEP（AAS）
故S四边形PCQE=S三角形ABC，
∵∠HAF+∠FAC=90°，∠FAC+∠BAC=90°，
∴∠HAF=∠BAC，
在△ABC和△AFH中
∴△ABC≌△AFH（AAS）
∴S四边形PCQE=S三角形ABC=S三角形AFH=HF·AH=HF·2HF=HF2，
S正方形ABEF=AF2=HF2+AH2=HF2+（2HF）2=5HF2，
∴
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质，可以得到S四边形PCQE=S三角形ABC，而△ABC≌△AFH，所以四边形的面积就转换成求△AFH的面积，从而可以求出答案.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．如图，在矩形ABCD中，E是边AD 上一点，F 是边AB 上一点，EF=CE，且EF⊥CE，连结CF.若 DE= 2cm ，矩形 ABCD的周长为16 cm，求 AE 及 CF 的长.
【答案】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠A=∠D=90°，
∵ EF⊥CE，
∴ ∠FEC=90°，
∴ ∠AEF+∠DEC=90°，
∵ ∠DCE+∠DEC=90°，
∴ ∠AEF=∠DCE，
∵ EF=CE，
∴ △AEF≌△DCE（AAS），
∴ AE=DC，
∵ DE=2 cm，矩形ABCD的周长为16 cm，
∴ 2（AD+DC）=16cm，
即 2AE+2=8 cm，
∴ AE=3 cm.
∴ DC=3 cm，
∴ CE=cm，
∵ EF=CE，且∠ FEC=90°，
∴ CF== cm.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 根据矩形的性质和同角的余角相等可得∠AEF=∠DCE，依据AAS判定△AEF≌△DCE，根据全等三角形的性质得AE=DC，再根据勾股定理求得EF，CF.
12．如图，在矩形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，E 是边AD 的中点，点 F 在对角线AC 上，且AF=AC，连结 EF.若AC=10，则EF .
【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，AC=10
∴ AO=OC=AC，BD=AC=10，
∴ OD=BD=5，
∵ AF=AC，
∴ F是AO的中点，
∵ E是边AD的中点，
∴ EF=OD=.
【分析】根据矩形的性质可得OD=AO=5，根据三角形的中位线得 EF=OD.
13．如图，有两张矩形纸片 ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.将两纸片按如图所示的方式叠放，使点D 与点G 重合，且重叠部分为 MNDK.若两张纸片交叉所成的角记为α，则当a=30°时，BM= cm；当α最小时，重叠部分的面积为 cm2.
【答案】4-2 ；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ABCD和EFGH是矩形，
∴∠ADC=∠HDF=∠H=∠C=90°
∵
∴∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°
∴△CDN≌△HDL（ASA）
∴ND=LD，且四边形DLMN是平行四边形
∴四边形DLMN是菱形
∴
过点M作MK⊥FD于点K，则cm
当时，cm
又
∴cm
∴cm
∴cm
当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，如图，
设DN=a=BN，则CN=8-a，
∵ND2=CD2+NC2，
∴a2=4+（8-a）2，
∴a=，
∴重叠部分的面积=cm2，
故答案为：cm；cm2
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质.根据∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°，由“ASA”可证△CDN≌△LDN，可证ND=DL，结合四边形DLMN是平行四边形可推出四边形DLMN是菱形，当时，过点M作MK⊥FD于点K，可求出MK，KC，从而可求出DM，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，可求DN，即求出本题答案．
14．如图，在菱形ABCD中，E是边CD上一点，连结AE 交对角线 BD 于点F，连结CF.若∠AED=40°，则∠BCF的度数为 °.
【答案】40
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=CD， AD∥ BC， ∠ADF = ∠BDC，
∵ AD=CD， ∠ADF = ∠BDC，
DF = DF，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
.'. ∠DAF = ∠DCF，
∵ ∠AED = 40°，
∴∠DAE + ∠ADE = 140°， ∠ADE + ∠DCF=140°，
∵ AD∥ BC，
∴ ∠ADE + ∠BCD = 180°，
∴ ∠ADE + ∠BCF + ∠DCF=180°
∴ ∠BCF =40°，
故答案为：40.
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得∠DAF = ∠DCF，由三角形内角和定理和平行线的性质可求解.
15．（2023九上·章丘月考）正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°
延长AD交EF于M，连接AC，CF
则AM=BC+CE=4，FM=EF-AB=2，∠AMF=90°
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形
∵H为AF的中点
故答案为：
【分析】延长AD交EF于M，连接AC，CF，根据正方形性质及勾股定理即可求出答案.
16．（2023九上·埇桥期中）四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
图1 图2
（1）如图1，当点E与点A重合时， ；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，，则 ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)作FH⊥AB于H，如图所示：
则∠FHE=90°，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=4，EF=CE，∠ADC=∠DAH=∠BAD=∠CEF=90°，
∴∠FEH=∠CED，
在△EFH和△CED中，
，
∴△EFH≌△CED(AAS)，
∴FH=CD=4，AH=AD=4，
∴BH=AB+AH=8，
∴BF===；
故答案为： 。
(2) 过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图所示：
则FM=AH，AM=FH，因为BM=AB+AM=4+3=7，FM=AE+EH=5，
∴BF===.
故答案为： .
【分析】(1)作FH⊥AB于H，根据AAS证明△EFH≌△CED，得出FH=CD=4，AH=AD=4，求出BH=AB+AH=8，根据勾股定理即可得出答案；
(2)根据正方形的性质和全等三角形的性质求出BM=AB+AM=7，FM=AE+EH=5，根据勾股定理即可得出答案.
三、解答题（共8题，共66分）
17．如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E 分别是线段 BC，AD的中点，过点 A 作 BC 的平行线交BE 的延长线于点 F，连结 CF.求证：
（1）△BDE≌△FAE.
（2）四边形 ADCF 是矩形.
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）.
（2）证明：∵△BDE≌△FAE，
∴AF=BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形；
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠DBE，结合题意可得AE=DE，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等即可证明；
（2）根据全等三角形的的对应边相等得到AF=BD，结合题意可推得AF=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形西边上的高和底边上的中线，顶角的角平分线三线合一可得∠ADC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明.
18．（2023八下·椒江期末）如图，点是一次函数图象上一点.过点分别作轴，轴的垂线段，垂足为点A，B.
（1）矩形OAPB的周长是否为定值 若是请求出此定值，若不是，请说明理由；
（2）连接的周长是否为定值 若是请求出此定值，如不是，请求出其最小值.
【答案】（1）解：是定值，理由如下：
如图，点是一次函数图象上一点
，
，
，
矩形OAPB的周长是定值，为20；
（2）解：不是定值，理由如下：
当OP最小即时最小
令y=-x+10中的x=0，得y=10，
∴C（0，10），
令y=-x+10中的y=0，得x=10，
∴D（10，0），
∴OC=OD=10，
，
，
，
Rt的周长不是定值，有最小值为.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可知OA=a，OB=b，再通过一次函数的解析式可得a+b=10，进而得到矩形OAPB的周长是定值；
（2）由（1）可知OA+PA是定值，而OP不是定值，故的周长不是定值，故当时，OP值最小，此时的周长有最小值；先利用坐标轴上点的特征通过一次函数解析式求得OC、OD的长，再通过勾股定理求得CD的长，然后利用等面积法得到OP的最小值，进而求得的周长的最小值.
19．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F．
（1）求证：EO=DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA=60°，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥ BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD的对角线相交于点O，
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，
∴四边形AEBO是矩形，
∴EO=AB．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= DC，
∴EO=DC；
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形，
∴∠EBO= 90°．
∵∠EBA =60° ，
∴∠ABO=30°．
在Rt△ABO中，AB=10，∠ABO=30°，
∴AO=5，BO=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=，AC=10，
∴菱形ABCD的面积=．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AEBO是平行四边形，由菱形得性质得AC⊥BD，AB= DC，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBO是矩形，根据矩形的对角线相等即可得解；
（2）根据矩形的性质及角的和差可得∠ABO=30°，在Rt△ABO中，由含30°角直角三角形的性质先求出AO=5，BO=，进而根据菱形的性质得BD=，AC=10，进而根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半计算求解即可.
20．如图，在△ABF中，∠A=90°，AB=2，AF=3，E 是边 BF 的中点，D是边 AF 上一点，连结DE 并延长至点C，使得CE=DE.
（1）求证：四边形 BDFC 是平行四边形.
（2）若CD⊥BF，求CD长.
【答案】（1）证明：∵ E是边BF的中点，
∴BE=EF，
∵ CE=DE ，
∴ 四边形 BDFC 是平行四边形.
（2）解：∵ CD⊥BF ，四边形BDFC是平行四边形，
∴四边形BDFC是菱形，
设BD=DF=x，
∵AB2+AD2=BD2，
∴22+（3-x）2=x2，解得：x=，
∵BF=，
∴菱形BDFC面积为DF·AB=BF·CD，即×2=×CD，
∴CD=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可；
（2）先证四边形BDFC是菱形，设BD=DF=x，利用勾股定理求出BF，再根据菱形的面积公式建立方程，继而得解.
21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，过点 B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连结BE，CF.
（1）求证：△BDF≌△CDE.
（2）当 ED 与BC 满足什么数量关系时，四边形BECF 是正方形 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵ AD是BC 边上的中线 ，
∴BD=CD，
∵ BF∥EC ，
∴∠ECD=∠DBF，
∵∠BDF=∠EDC，
∴△BDF≌△CDE（ASA）；
（2）解：当时，四边形BECF 是正方形.
理由：∵△BDF≌△CDE
∴DE=DF，BF=CE，
∵BF∥EC
∴四边形BECF是平行四边形，
∵ AB=AC，AD是BC 边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴四边形BECF是菱形，
∵，DE=DF=EF，
∴EF=BC，
∴ 四边形BECF 是正方形 .
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据ASA证明△BDF≌△CDE；（2）先证四边形BECF是平行四边形，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可证四边形BECF是菱形，由可得EF=BC，从而证四边形BECF是正方形 .
22．（2022八下·鄞州期末）如图1，矩形ABCD中，过对角线AC的中点O画EF⊥AC分别交AB，CD于点E，F，连结AF，CE．
（1）[证明体验]
求证：四边形AECF是菱形．
（2）[基础巩固]
若AB=8，BC=6，求菱形AECF的边长．
（3）[拓展延伸]
如图2，在对角线AC上取点G，H，使得四边形EHFG是正方形，若正方形EHFG的边长为，且AE=5CH，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，
∵AO=CO，
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：设AE=x，则EC=x，BE=8-x，
在Rt△BEC中，
，
，
解得，
∴AE=.
（3）解：连结AF，CE，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∵四边形EHFG是正方形，EG=3，
∴OG=OH=OF=OE=3，
∵OA=OC，
∴AG=CH，
∵AE=5CH，
∴AE=5AG，
，
，
解得：AG=1，
∴AE=CE=5，AC=8，
，
，
解得：，
∴矩形ABCD的面积=
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质求出有关角或边相等，利用AAS证明△AOE≌△COF，得出FC=AE，结合FC∥AE，证出四边形AECF是平行四边形，结合AC⊥EF，则可证明四边形AECF是菱形．
(2)设AE=x，则EC=x，BE=8-x，在Rt△BEC中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；
(3)连结AF，CE，根据正方形的性质求出OG=OH=OF=OE=3，结合AE=5AG，在Rt△AOE中，根据勾股定理建立方程求出AG，则可求出AE和CE，然后在Rt△CBE和△ABC中，根据勾股定理建立等式求出BE长，最后根据勾股定理求出BC和AB长，即可解答.
23．如图，四边形 ABCD为正方形，E 为对角线AC 上一点，连结 DE，过点 E 作EF⊥DE，交BC于点 F，以DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连结 CG.
（1）求证：矩形 DEFG 是正方形.
（2）若 求 CG 的长.
（3）当 时，求∠EFC的度数.
【答案】（1）证明：如图，过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，
则∠EMC=∠ENC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴四边形ENCM是矩形；
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
又∵∠EMC=∠ENC=90°，
∴EN=EM，
∴四边形CMEN是正方形，
∴∠MEN=90°，
即∠MEF+∠FEN=90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF=90°，
即∠MEF+∠DEM=90°，
∴∠FEN=∠DEM，
在△FEN和△DEM中，
，
∴△FEN≌△DEM（ASA），
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形.
（2）解：如图：过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，
∵矩形DEFG是正方形，四边形CMEN是正方形，
∴DE=EF=GF，EN=NC=MC=EM，
在Rt△ENC中，CE2=CN2+EN2=2EN2，
即，
解得：，
∵△FEN≌△DEM，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
在Rt△DEM中，，
∴DE=2；
∴FG=DE=2.
（3）解：∵∠ADE=40°，∠ADC=90°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-40°=50°；
∵△FEN≌△DEM，
∴∠EDC=∠EFC=50°.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，根据正方形的四个角是直角可得∠BCD=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形ENCM是矩形，根据正方形的对角线平分对角可得∠ACB=∠ACD=45°，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得EN=EM，根据邻边相等的矩形是正方形，正方形和矩形的四个角是直角可推得∠FEN=∠DEM，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得EF=ED，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；
（2）过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，根据正方形的四条边都相等可得DE=EF=GF，EN=NC=MC=EM，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得EN的值，得到EM和MV的值，求出DM的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出DE的值，即可求解；
（3）根据题意可求得∠EDC=50°，根据全等三角形的对应角相等即可求解.
24．（2023八下·深圳期末）【定义】对于没有公共点的两个图形，，点是图形上任意一点，点是图形上任意一点，把、两点之间的距离的最小值称为图形与图形的距离，记为．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，若点，的坐标分别为，，点是边上任意一点．
（1）当点在边上时，的最小值是 ，因此[点，线段]＝ ；
（2）当点在任意边上时，的最小值是 ，因此[点，]＝ ；
（3）【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，平分，点，的坐标分别为，，点是对角线上与点，，不重合的一点，点是对角线上与点，，不重合的一点．
当[线段，]时，则的取值范围为 ；
（4）当时， （结果用含的式子表示）；
（5）【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，请直接写出所需彩绳的长度．
【答案】（1）4；4
（2）3；3
（3）或
（4）
（5）解：所需彩绳的长度为：．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）A(4，3)，B(-4，3)，四边形ABCD是平行四边形，
·根据题意可知，当点G在边AD上时，即OGLAD时，.OG的最小值是4，因此d|点O，线段AD]= 4，
故答案为：4，4；
（2）∵A（4，3），B（-4，3），四边形是平行四边形，
∴根据题意可知，当点G在任意边上时，即OG⊥AB或OG⊥CD时，
∴OG的最小值是3，因此 [点，]=3；
故答案为：3，3.
（3）如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB = CD，
∴∠BAC=∠DCA
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC
∴∠DAC = ∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC和∠ADC，
∴线段EF到四边形ABCD的距离为，
[线段，]=
∴
解得：或
(4)由 (3) 得：四边形ABCD是菱形，过点F作FG⊥AB于点G，交CD于点P，作FH⊥AD于点H，如图，则有FG=3-n，
∴FP=FH=3+n，
；
故答案为：；
(5)由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，则所需彩绳的长度为：2×(4+6)+2×0.5=（20+）（米）.
【分析】(1)根据定义及垂线段最短即可得出答案；
(2)根据定义及垂线段最短即可得出答案；
(3)画出图形，进行分类讨论即可；
(4)根据定义画出图形，可得出答案；
(5)根据题意可列出等式，化简即可得到答案.
1 / 1浙教版数学八年级下学期第五章 特殊平行四边形 单元测试（培优卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD 于点E，F，则阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的 （ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
3．如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，若AC=6， BD=8，则BE的长是（ ）
A． B． C． D．4
4．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结BD，AD，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．∠ABC=∠ACB B．AB=AD C．∠BAC=∠DAC D．AC⊥BD
5．已知，O是矩形ABCD 对角线的交点，作 DE∥AC，AE∥BD，连结BE.有下列说法：①四边形DEAO为菱形；②AE=AB；③∠BAE=120°；④若∠BED=90°，则AD=BE.其中正确的是 （ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
6．（初中数学浙教版八下精彩练第五章质量评估卷）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形 ，若 ，则菱形 的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则AF 的长为 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA 上，且 DE∥CA，DF∥BA.有下列说法：
①四边形AEDF 是平行四边形；
②若∠BAC=90°，则四边形AEDF 是矩形；
③若 AD平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形；
④若AD⊥BC，且AB=AC，则四边形AEDF 是正方形.
其中正确的是 （ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
9．（2022九下·重庆开学考）如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，连接 、 ， 与对角线 交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
10．如图，在 Rt△ABC中，LACB=90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH 上，CG与EF相交于点P，CM 与BE相交于点Q.若HF=FG则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．如图，在矩形ABCD中，E是边AD 上一点，F 是边AB 上一点，EF=CE，且EF⊥CE，连结CF.若 DE= 2cm ，矩形 ABCD的周长为16 cm，求 AE 及 CF 的长.
12．如图，在矩形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，E 是边AD 的中点，点 F 在对角线AC 上，且AF=AC，连结 EF.若AC=10，则EF .
13．如图，有两张矩形纸片 ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.将两纸片按如图所示的方式叠放，使点D 与点G 重合，且重叠部分为 MNDK.若两张纸片交叉所成的角记为α，则当a=30°时，BM= cm；当α最小时，重叠部分的面积为 cm2.
14．如图，在菱形ABCD中，E是边CD上一点，连结AE 交对角线 BD 于点F，连结CF.若∠AED=40°，则∠BCF的度数为 °.
15．（2023九上·章丘月考）正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是 ．
16．（2023九上·埇桥期中）四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
图1 图2
（1）如图1，当点E与点A重合时， ；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，，则 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E 分别是线段 BC，AD的中点，过点 A 作 BC 的平行线交BE 的延长线于点 F，连结 CF.求证：
（1）△BDE≌△FAE.
（2）四边形 ADCF 是矩形.
18．（2023八下·椒江期末）如图，点是一次函数图象上一点.过点分别作轴，轴的垂线段，垂足为点A，B.
（1）矩形OAPB的周长是否为定值 若是请求出此定值，若不是，请说明理由；
（2）连接的周长是否为定值 若是请求出此定值，如不是，请求出其最小值.
19．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F．
（1）求证：EO=DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA=60°，求菱形ABCD的面积．
20．如图，在△ABF中，∠A=90°，AB=2，AF=3，E 是边 BF 的中点，D是边 AF 上一点，连结DE 并延长至点C，使得CE=DE.
（1）求证：四边形 BDFC 是平行四边形.
（2）若CD⊥BF，求CD长.
21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，过点 B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连结BE，CF.
（1）求证：△BDF≌△CDE.
（2）当 ED 与BC 满足什么数量关系时，四边形BECF 是正方形 请说明理由.
22．（2022八下·鄞州期末）如图1，矩形ABCD中，过对角线AC的中点O画EF⊥AC分别交AB，CD于点E，F，连结AF，CE．
（1）[证明体验]
求证：四边形AECF是菱形．
（2）[基础巩固]
若AB=8，BC=6，求菱形AECF的边长．
（3）[拓展延伸]
如图2，在对角线AC上取点G，H，使得四边形EHFG是正方形，若正方形EHFG的边长为，且AE=5CH，求矩形ABCD的面积．
23．如图，四边形 ABCD为正方形，E 为对角线AC 上一点，连结 DE，过点 E 作EF⊥DE，交BC于点 F，以DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连结 CG.
（1）求证：矩形 DEFG 是正方形.
（2）若 求 CG 的长.
（3）当 时，求∠EFC的度数.
24．（2023八下·深圳期末）【定义】对于没有公共点的两个图形，，点是图形上任意一点，点是图形上任意一点，把、两点之间的距离的最小值称为图形与图形的距离，记为．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，若点，的坐标分别为，，点是边上任意一点．
（1）当点在边上时，的最小值是 ，因此[点，线段]＝ ；
（2）当点在任意边上时，的最小值是 ，因此[点，]＝ ；
（3）【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，平分，点，的坐标分别为，，点是对角线上与点，，不重合的一点，点是对角线上与点，，不重合的一点．
当[线段，]时，则的取值范围为 ；
（4）当时， （结果用含的式子表示）；
（5）【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，请直接写出所需彩绳的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：O是矩形ABCD对角线的交点
阴影部分的面积是矩形ABCD面积的
故答案选：B.
【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论.
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的四边形是矩形是错误的，符合题意；
B、四个角都相等的四边形是矩形是正确的，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形是正确的，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据矩形的判定进行判断即可解答.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
∵，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质、勾股定理可得菱形边长，再由菱形的面积公式可求BE的长.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解： △ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB=AD时， 四边形ABCD是菱形 ，故选项B不符合题意；
当∠BAC=∠DAC时，
∵AD∥BC，∴，
∴，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形 ，故选项C不符合题意；
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 ，故选项D不符合题意；
当∠ABC=∠ACB时，AB=AC，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】由平移的性质得AB∥CD，AB=CD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定方法：①一组邻边相等得平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可逐个判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵DEAC，AEBD，
∴四边形DEAO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴四边形DEAO为菱形，故①正确；
②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误；
③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误；
④如图，连接OE，
∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点，
∴OE＝OB＝OD，
∵四边形DEAO为菱形，
∴DE＝OD，
∴△DEO是等边三角形，
∴∠EDO＝60°，
∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°，
∴∠ADB＝∠EBD，
又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB，
∴△ABD≌△EDB（AAS），
∴AD＝BE，故④正确；
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．已知DEAC，AEBD，可证明四边形DEAO是平行四边形，再根据四边形ABCD是矩形，可推出OA＝OD，进而证明四边形DEAO为菱形，①正确；当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，②错误；当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，③错误；连接OE，求出OE＝OB＝OD，结合DE＝OD可证明△DEO是等边三角形，可得∠ADB＝∠EBD＝30°，再结合∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB可证明△ABD≌△EDB即可得出④正确．
6．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D′作D′M⊥AB于点M，
∵，
∴，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AD′=AB，
∴S菱形ABC′D′=AB×D′M= ，
∵S正方形ABCD=AB2，
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比为 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意得到菱形的边长和正方形的边长相等，再根据∠D'AB=30°得到菱形的高等于其边长的一半，最后分别表示出正方形的面积和菱形的面积，然后求出比值即可.
7．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC=AB=，∠BCD=∠B=90°，
∵ DE⊥CF ，
∴∠CDE+∠DCO=∠DCO+∠FCB=90°，
∴∠FCB= ∠CDE=30° ，
∴BC=BF=，
∴BF=4，
∴AF=AB-BF=-4.
故答案为：D.
【分析】根据余角的性质可推出∠FCB= ∠CDE=30° ，从而得出BC=BF=，据此求出BF，利用AF=AB-BF即可求解.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵ DE∥CA，DF∥BA ，
∴ 四边形AEDF 是平行四边形，故①正确；
若∠BAC=90°，
∴四边形AEDF 是矩形，故②正确；
若AD平分∠BAC ，
∴∠EAD=∠FAD，
∵ DE∥CA ，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴ 四边形AEDF 是菱形，故③正确；
若AD⊥BC，且AB=AC，
∴AD平分∠BAC ，
由③知四边形AEDF 是菱形，故④错误.
故答案为：C.
【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判断①正确；若∠BAC=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知②正确；若AD平分∠BAC ，结合DE∥CA ，可推出∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断③正确；由AD⊥BC，且AB=AC，可得AD平分∠BAC ，由③知四边形AEDF 是菱形，故④错误.
9．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO=BC，
在Rt△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6.
故答案为：D.
【分析】连接BO，根据矩形的性质可得DC∥AB，∠DCB=90°，根据平行线的性质可得∠FCO=∠EAO，证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，推出∠EAO=∠EOA，则EA=EO=OF=FC=2，证明Rt△BFO≌Rt△BFC，得到BO=BC，易得△BOC是等边三角形，得到∠BCO=60°，∠BAC=30°，则∠FEB=2∠CAB=60°，进而推出△BEF是等边三角形，则EB=EF=4，然后根据AB=AE+EB进行计算.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABE=∠ABP+∠EBP=90°，∠ABP+∠CAB=90°，
∴∠EBP=∠CAB，
在△ABQ和△BEP中
∴△ABQ≌△BEP（AAS）
故S四边形PCQE=S三角形ABC，
∵∠HAF+∠FAC=90°，∠FAC+∠BAC=90°，
∴∠HAF=∠BAC，
在△ABC和△AFH中
∴△ABC≌△AFH（AAS）
∴S四边形PCQE=S三角形ABC=S三角形AFH=HF·AH=HF·2HF=HF2，
S正方形ABEF=AF2=HF2+AH2=HF2+（2HF）2=5HF2，
∴
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质，可以得到S四边形PCQE=S三角形ABC，而△ABC≌△AFH，所以四边形的面积就转换成求△AFH的面积，从而可以求出答案.
11．【答案】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠A=∠D=90°，
∵ EF⊥CE，
∴ ∠FEC=90°，
∴ ∠AEF+∠DEC=90°，
∵ ∠DCE+∠DEC=90°，
∴ ∠AEF=∠DCE，
∵ EF=CE，
∴ △AEF≌△DCE（AAS），
∴ AE=DC，
∵ DE=2 cm，矩形ABCD的周长为16 cm，
∴ 2（AD+DC）=16cm，
即 2AE+2=8 cm，
∴ AE=3 cm.
∴ DC=3 cm，
∴ CE=cm，
∵ EF=CE，且∠ FEC=90°，
∴ CF== cm.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 根据矩形的性质和同角的余角相等可得∠AEF=∠DCE，依据AAS判定△AEF≌△DCE，根据全等三角形的性质得AE=DC，再根据勾股定理求得EF，CF.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，AC=10
∴ AO=OC=AC，BD=AC=10，
∴ OD=BD=5，
∵ AF=AC，
∴ F是AO的中点，
∵ E是边AD的中点，
∴ EF=OD=.
【分析】根据矩形的性质可得OD=AO=5，根据三角形的中位线得 EF=OD.
13．【答案】4-2 ；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ABCD和EFGH是矩形，
∴∠ADC=∠HDF=∠H=∠C=90°
∵
∴∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°
∴△CDN≌△HDL（ASA）
∴ND=LD，且四边形DLMN是平行四边形
∴四边形DLMN是菱形
∴
过点M作MK⊥FD于点K，则cm
当时，cm
又
∴cm
∴cm
∴cm
当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，如图，
设DN=a=BN，则CN=8-a，
∵ND2=CD2+NC2，
∴a2=4+（8-a）2，
∴a=，
∴重叠部分的面积=cm2，
故答案为：cm；cm2
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质.根据∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°，由“ASA”可证△CDN≌△LDN，可证ND=DL，结合四边形DLMN是平行四边形可推出四边形DLMN是菱形，当时，过点M作MK⊥FD于点K，可求出MK，KC，从而可求出DM，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，可求DN，即求出本题答案．
14．【答案】40
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=CD， AD∥ BC， ∠ADF = ∠BDC，
∵ AD=CD， ∠ADF = ∠BDC，
DF = DF，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
.'. ∠DAF = ∠DCF，
∵ ∠AED = 40°，
∴∠DAE + ∠ADE = 140°， ∠ADE + ∠DCF=140°，
∵ AD∥ BC，
∴ ∠ADE + ∠BCD = 180°，
∴ ∠ADE + ∠BCF + ∠DCF=180°
∴ ∠BCF =40°，
故答案为：40.
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得∠DAF = ∠DCF，由三角形内角和定理和平行线的性质可求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°
延长AD交EF于M，连接AC，CF
则AM=BC+CE=4，FM=EF-AB=2，∠AMF=90°
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形
∵H为AF的中点
故答案为：
【分析】延长AD交EF于M，连接AC，CF，根据正方形性质及勾股定理即可求出答案.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)作FH⊥AB于H，如图所示：
则∠FHE=90°，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=4，EF=CE，∠ADC=∠DAH=∠BAD=∠CEF=90°，
∴∠FEH=∠CED，
在△EFH和△CED中，
，
∴△EFH≌△CED(AAS)，
∴FH=CD=4，AH=AD=4，
∴BH=AB+AH=8，
∴BF===；
故答案为： 。
(2) 过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图所示：
则FM=AH，AM=FH，因为BM=AB+AM=4+3=7，FM=AE+EH=5，
∴BF===.
故答案为： .
【分析】(1)作FH⊥AB于H，根据AAS证明△EFH≌△CED，得出FH=CD=4，AH=AD=4，求出BH=AB+AH=8，根据勾股定理即可得出答案；
(2)根据正方形的性质和全等三角形的性质求出BM=AB+AM=7，FM=AE+EH=5，根据勾股定理即可得出答案.
17．【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）.
（2）证明：∵△BDE≌△FAE，
∴AF=BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形；
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠DBE，结合题意可得AE=DE，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等即可证明；
（2）根据全等三角形的的对应边相等得到AF=BD，结合题意可推得AF=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形西边上的高和底边上的中线，顶角的角平分线三线合一可得∠ADC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明.
18．【答案】（1）解：是定值，理由如下：
如图，点是一次函数图象上一点
，
，
，
矩形OAPB的周长是定值，为20；
（2）解：不是定值，理由如下：
当OP最小即时最小
令y=-x+10中的x=0，得y=10，
∴C（0，10），
令y=-x+10中的y=0，得x=10，
∴D（10，0），
∴OC=OD=10，
，
，
，
Rt的周长不是定值，有最小值为.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可知OA=a，OB=b，再通过一次函数的解析式可得a+b=10，进而得到矩形OAPB的周长是定值；
（2）由（1）可知OA+PA是定值，而OP不是定值，故的周长不是定值，故当时，OP值最小，此时的周长有最小值；先利用坐标轴上点的特征通过一次函数解析式求得OC、OD的长，再通过勾股定理求得CD的长，然后利用等面积法得到OP的最小值，进而求得的周长的最小值.
19．【答案】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥ BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD的对角线相交于点O，
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，
∴四边形AEBO是矩形，
∴EO=AB．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= DC，
∴EO=DC；
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形，
∴∠EBO= 90°．
∵∠EBA =60° ，
∴∠ABO=30°．
在Rt△ABO中，AB=10，∠ABO=30°，
∴AO=5，BO=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=，AC=10，
∴菱形ABCD的面积=．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AEBO是平行四边形，由菱形得性质得AC⊥BD，AB= DC，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBO是矩形，根据矩形的对角线相等即可得解；
（2）根据矩形的性质及角的和差可得∠ABO=30°，在Rt△ABO中，由含30°角直角三角形的性质先求出AO=5，BO=，进而根据菱形的性质得BD=，AC=10，进而根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半计算求解即可.
20．【答案】（1）证明：∵ E是边BF的中点，
∴BE=EF，
∵ CE=DE ，
∴ 四边形 BDFC 是平行四边形.
（2）解：∵ CD⊥BF ，四边形BDFC是平行四边形，
∴四边形BDFC是菱形，
设BD=DF=x，
∵AB2+AD2=BD2，
∴22+（3-x）2=x2，解得：x=，
∵BF=，
∴菱形BDFC面积为DF·AB=BF·CD，即×2=×CD，
∴CD=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可；
（2）先证四边形BDFC是菱形，设BD=DF=x，利用勾股定理求出BF，再根据菱形的面积公式建立方程，继而得解.
21．【答案】（1）证明：∵ AD是BC 边上的中线 ，
∴BD=CD，
∵ BF∥EC ，
∴∠ECD=∠DBF，
∵∠BDF=∠EDC，
∴△BDF≌△CDE（ASA）；
（2）解：当时，四边形BECF 是正方形.
理由：∵△BDF≌△CDE
∴DE=DF，BF=CE，
∵BF∥EC
∴四边形BECF是平行四边形，
∵ AB=AC，AD是BC 边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴四边形BECF是菱形，
∵，DE=DF=EF，
∴EF=BC，
∴ 四边形BECF 是正方形 .
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据ASA证明△BDF≌△CDE；（2）先证四边形BECF是平行四边形，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可证四边形BECF是菱形，由可得EF=BC，从而证四边形BECF是正方形 .
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，
∵AO=CO，
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：设AE=x，则EC=x，BE=8-x，
在Rt△BEC中，
，
，
解得，
∴AE=.
（3）解：连结AF，CE，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∵四边形EHFG是正方形，EG=3，
∴OG=OH=OF=OE=3，
∵OA=OC，
∴AG=CH，
∵AE=5CH，
∴AE=5AG，
，
，
解得：AG=1，
∴AE=CE=5，AC=8，
，
，
解得：，
∴矩形ABCD的面积=
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质求出有关角或边相等，利用AAS证明△AOE≌△COF，得出FC=AE，结合FC∥AE，证出四边形AECF是平行四边形，结合AC⊥EF，则可证明四边形AECF是菱形．
(2)设AE=x，则EC=x，BE=8-x，在Rt△BEC中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；
(3)连结AF，CE，根据正方形的性质求出OG=OH=OF=OE=3，结合AE=5AG，在Rt△AOE中，根据勾股定理建立方程求出AG，则可求出AE和CE，然后在Rt△CBE和△ABC中，根据勾股定理建立等式求出BE长，最后根据勾股定理求出BC和AB长，即可解答.
23．【答案】（1）证明：如图，过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，
则∠EMC=∠ENC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴四边形ENCM是矩形；
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
又∵∠EMC=∠ENC=90°，
∴EN=EM，
∴四边形CMEN是正方形，
∴∠MEN=90°，
即∠MEF+∠FEN=90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF=90°，
即∠MEF+∠DEM=90°，
∴∠FEN=∠DEM，
在△FEN和△DEM中，
，
∴△FEN≌△DEM（ASA），
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形.
（2）解：如图：过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，
∵矩形DEFG是正方形，四边形CMEN是正方形，
∴DE=EF=GF，EN=NC=MC=EM，
在Rt△ENC中，CE2=CN2+EN2=2EN2，
即，
解得：，
∵△FEN≌△DEM，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
在Rt△DEM中，，
∴DE=2；
∴FG=DE=2.
（3）解：∵∠ADE=40°，∠ADC=90°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-40°=50°；
∵△FEN≌△DEM，
∴∠EDC=∠EFC=50°.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，根据正方形的四个角是直角可得∠BCD=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形ENCM是矩形，根据正方形的对角线平分对角可得∠ACB=∠ACD=45°，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得EN=EM，根据邻边相等的矩形是正方形，正方形和矩形的四个角是直角可推得∠FEN=∠DEM，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得EF=ED，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；
（2）过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，根据正方形的四条边都相等可得DE=EF=GF，EN=NC=MC=EM，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得EN的值，得到EM和MV的值，求出DM的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出DE的值，即可求解；
（3）根据题意可求得∠EDC=50°，根据全等三角形的对应角相等即可求解.
24．【答案】（1）4；4
（2）3；3
（3）或
（4）
（5）解：所需彩绳的长度为：．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）A(4，3)，B(-4，3)，四边形ABCD是平行四边形，
·根据题意可知，当点G在边AD上时，即OGLAD时，.OG的最小值是4，因此d|点O，线段AD]= 4，
故答案为：4，4；
（2）∵A（4，3），B（-4，3），四边形是平行四边形，
∴根据题意可知，当点G在任意边上时，即OG⊥AB或OG⊥CD时，
∴OG的最小值是3，因此 [点，]=3；
故答案为：3，3.
（3）如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB = CD，
∴∠BAC=∠DCA
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC
∴∠DAC = ∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC和∠ADC，
∴线段EF到四边形ABCD的距离为，
[线段，]=
∴
解得：或
(4)由 (3) 得：四边形ABCD是菱形，过点F作FG⊥AB于点G，交CD于点P，作FH⊥AD于点H，如图，则有FG=3-n，
∴FP=FH=3+n，
；
故答案为：；
(5)由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，则所需彩绳的长度为：2×(4+6)+2×0.5=（20+）（米）.
【分析】(1)根据定义及垂线段最短即可得出答案；
(2)根据定义及垂线段最短即可得出答案；
(3)画出图形，进行分类讨论即可；
(4)根据定义画出图形，可得出答案；
(5)根据题意可列出等式，化简即可得到答案.
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