2024年浙教版数学八年级下学期第六章 反比例函数 单元测试（培优卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（初中数学浙教版八下精彩练习6.1反比例函数（1））已知函数 是反比例函数，则 的值为（ )
A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数
2．（2023·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·鹤岗模拟）用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是P=I2R，下面说法正确的是（ ）
A．P为定值，I与R成反比例 B．P为定值，I2与R成反比例
C．P为定值，I与R成正比例 D．P为定值，I2与R成正比例
4．（2023九上·宁远期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020八下·泰兴期末）已知反比例函数y＝﹣ ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点(﹣1，2) B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0
6．若点A(x ，-2)，B(x ，1)，C(x ，2)都在反比例函数的图象上，则x ，x ，x 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
9．（2022八下·镇海区期末）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点O，交于点G，反比例函数的图象经过线段的中点E，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·肇源开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，下列结论：①；②四边形与的面积相等；③；④若，，则点的坐标为．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023八下·衡山期末）若点在反比例函数图像上，则代数式 ．
12．（2023·静安模拟）已知，那么 ．
13．（初中数学浙教版八下精彩练习6.1反比例函数（1））把 化为 的形式为比例系数为 自变量 的取值范围是 .
14．（2023九上·龙泉驿期末）反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ．
15．（2024九上·双流期末）若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是 ．
16．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(cm)与粗细(横截面面积)x(cm2)之间的函数关系如图所示.如果将这个面团做成粗细为0.16 cm2 的拉面，那么做出来的面条的长度为 cm.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2024九上·蛟河期末）已知直线与轴、轴交于、两点，是该直线上在第一象限内的一点，轴，为垂足，．
（1）求点的坐标；
（2）求过点的反比例函数解析式．
18．（2022八下·温州期末）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y=（k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．
（1）求k的值．
（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？
（3）现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？
19．（2022八下·婺城期末）已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
（1）类比反比例函数可知，函数的自变量的取值范围是 ，这个函数值的取值范围是 ．
（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数的图象和性质，请根据函数的图象，画出函数的图象；
（3）结合函数的图象解答下列问题：
①求出方程的根；
②如果方程有2个实数根，请直接写出的取值范围．
20．（2022八下·金东期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，BA＝3，BC＝5，有一反比例函数图象刚好过点B．
（1）分别求出过点B的反比例函数和过A，C两点的一次函数的表达式．
（2）动点P在射线CA（不包括C点）上，过点P作直线l⊥x轴，交反比例函数图象于点D．是否存在这样的点Q，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2023八下·滨江期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知某种药物在燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间成正比例；一次性燃烧完以后，y与x成反比例（如图所示）．在药物燃烧阶段，实验测得在燃烧5分钟后，此时教室内每立方米空气含药量为．
（1）若一次性燃烧完药物需10分钟．
①分别求出药物燃烧时及一次性燃烧完以后y关于x的函数表达式．
②当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时间段学生不能停留在教室里？
（2）已知室内每立方米空气中的含药量不低于时，才能有效消毒，如果有效消毒时间要持续120分钟，问要一次性燃烧完这种药物需多长时间？
22．（2023八下·东阳期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD'，点 A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点 D'的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
23．（2023九上·崂山期中） 如图，已知A（－3，2），B（n，－3）是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积；
（4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2023八下·温州期末）根据以下素材，探索完成任务．
制作检测酒精的漂浮吸管
素材1 如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2 小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数与液体密度ρ（）之间的几组数据如下表： h（cm）……ρ（）……
素材3 浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为，）：
问题解决
任务1 求ρ关于h的函数表达式．
任务2 由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=（m-2）xm -5，
∴m-2≠0，且m2-5=-1，
整理，解得：m=-2.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数定义，y=kx-1（k≠0），可得m-2≠0，且m2-5=-1，求解即可得到m的值.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵k=-4，
∴在反比例函数图像上的点横纵坐标相乘等于-4，
∴1×4=（-1）×（-4）=2×2=4，（-2）×2=-4，
∴在函数图象上，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数k的性质，结合题意对选项逐一计算即可求解。
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】根据P=I2R可以得到：当P为定值时，I2与R的乘积是定值，所以I2与R成反比例．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义可知，当P为定值时，I2与R的乘积是定值，即可判定I2与R关系.
4．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，∴二者的取值范围相同，符合题意；
、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，∴二者取值范围不相同，不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质逐一分析判断即可．在同一个坐标系中，K的取值是相同的。
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： A、把点（-1，2）代入反比例函数y= ，得2=2成立，故说法正确，不符合题意；
B、∵k= ＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，故答案为：错误，符合题意；
C、∵k=-2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故说法正确，不符合题意；
D、当x=1时，y=-2，故当x＞1时，-2＜y＜0说法正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质，k= ＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，反比例函数的图象是中心对称图形解答.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把 A(x ，-2)代入中，得x1=1，
把B(x ，1)代入中，得x2=-2，
把C(x ，2) 代入中，得x3=-1，
∵-2＜-1＜1，
∴ .
故答案为：D.
【分析】把A、B、C的坐标分别代入中，可求出x ，x ，x 的值，再比较即可.
7．【答案】B
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形且AB=2，
∴BC=2=AD，
∵点E是AD的中点，
∴AE=1，
∴设C（2，a），则E（1，2+a），
∵点C、E都在反比例函数 的图象上，
∴2a=1×（2+a），
解得a=2，
∴C（2，2），
∴k=2×2=4.
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质得BC=2=AD，由中点定义得AE=1，设C（2，a），则E（1，2+a），根据反比例函数图象上任意两点的乘积都相等建立方程可求出a的值，从而此题得解了.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），
∵反比例函数（x＞0）经过点E，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO=BD=4，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴，，
∵E为CD的中点， 轴， 连接OE，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，而
∴
∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r，
在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴，
解得：，
∴AG= .
故答案为：B.
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），根据点E在反比例函数图象上可得ab=，根据菱形的性质可得BD⊥AC，DO=BD=4， 易得四边形MENO是矩形， 则ME∥x轴，EN∥y轴，连接OE，则OE=DE=CE，进而推出DM=OM，ON=CN，则DO·CO=4ab=，据此可得CO、CD，由菱形的性质可得AB=AD=BD=8，推出△ABD为等边三角形，得到∠1=∠2=30°，设DG=r，则AG=r，GO=-r，根据勾股定理可得r的值，据此解答.
10．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数图象关于一、三象限平分线轴对称，正方形关于OB所在直线轴对称，且CB=AB，
故点B在一、三象限平分线上，
∴反比例函数图象与正方形的组合图形关于OB所在直线轴对称，点C与A对应，点M与N对应，
∴ON=OM，CN=AM；
又∵OC=AO，∠OCN=∠OAM=90°，
∴△OCN≌△OAM，①正确，
∵ON=OM，
无法证明ON与MN相等，③错误；
∵CN⊥CO，MA⊥AO，
∴，
∴S四边形DAME=S△ONE，
∴S四边形DAMN=S四边形DAME+S△MNE=S△MNE+S△ONE=S△MNO，②正确；
由轴对称性质得到NB=MB，，
∴Rt△NBM中，，
在OC上取点F，使CN=CF，设CN=CF=m，
得到∠CFN=45°，∠FON=∠FNO=22.5°，
得，
∴，
得m=1，点C的坐标为，④正确．
综上所述，正确的为①②④，
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数的轴对称性质，正方形的轴对称性质，得到图形关于一、三象限平分线轴对称，得到ON=OM，CN=AM，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，判断出①正确，③错误；再由反比例函数的几何性质得到，，根据割补法转换面积，判断②正确；再由④中的长度和角度关系，构造直角三角形，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算得到OC长度，判断④正确．
11．【答案】
【知识点】代数式求值；反比例函数的概念
【解析】【解答】解：点A（a，b）在反比例函数y=-上，
b=-，即ab=-3，
ab-1=-3-1=-4，
故答案为：-4
【分析】根据函数图象上的点的坐标与函数的关系求出ab的值，代入ab-1即可求解.
12．【答案】
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：
【分析】根据反比例函数的定义，代入求值即可求解。
13．【答案】--1；x≠0
【知识点】等式的基本性质；反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵-xy=+1，
∴y=，
∴比例系数为--1，
∴自变的取值范围是x≠0.
故答案为：--1；x≠0.
【分析】原式两边同除以-x，得y=，即可得到比例系数及自变量的取值范围.
14．【答案】m>－1
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象在第一、三象限，
∴m+1＞0
解之：m＞-1.
故答案为：m＞-1
【分析】利用反比例函数的性质：（k≠0），当k＞0时图象分支在第一、三象限；当k＜0时，图象分支在第二、四象限，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限中，y随x的增大而增大，
∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴点A、B不在同一象限，且点A在第四象限，点B在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】先利用反比例函数的图象和性质与系数的关系可得点A、B不在同一象限，且点A在第四象限，点B在第二象限，再利用点坐标与象限的关系可得，再求出m的取值范围即可.
16．【答案】800
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，过
∴
当x=0.16时，
故答案为：800cm.
【分析】因为面条的总长度y(cm)是面条粗细(横截面面积)x (cm2)反比例函数，且从图象上可看出过(0.05，3200)，从而可确定函数式，再把x=0.16代入求出答案.
17．【答案】（1）解：设的坐标是，
则，，
直线交于点，
∴当时，，
的坐标是，
，
，
解得：，，
在第一象限，
，
即的坐标是．
（2）解：设过点的反比例函数的解析式是，
则，
∴过点的反比例函数的解析式是．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用直线上点的坐标特征，可设的坐标是，再求直线与x轴交点点坐标，最后根据列出方程求解即可；
（2）用待定系数法求反比例函数的解析式。先设出函数解析式，再将点坐标代入求解即可．
18．【答案】（1）解：∵使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，
∴v=5，x=1，y=2，
∴2=，
∴k=-0.1．
（2）解：∵v=5，
∴y=，
∵反比例函数y=，在x>0的范围内y随x的增大而减少，
∴当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，
∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．
（3）解：由（1）得y=，
∴xy=-0.1v+2.5，即x2y=-0.1vx+2.5x，
∵将20升水等分成x次，
∴vx=20，
∴x2y=-2+2.5x，
∵y=0.5，
∴0.5x2=-2+2.5x，
即x2-5x+4=0，
∴x1=4，x2=1（舍去，x＞1），
∴当x=4时，每次漂洗用水v=20÷4=5升.
答：每次漂洗用水5升.
【知识点】一元二次方程的其他应用；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，即得v=5，x=1，y=2，代入解析式中即可求出值；
（2）把v=5代入函数解析式得y=，根据反比例函数的性质，即在x>0的范围内y随x的增大而减少，可求出当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，再由漂洗次数为正整数，即可得出至少漂洗的次数；
（3）由（1）得y=，整理得x2y=-0.1vx+2.5x，由将20升水等分成x次可得vx=20，再由y=0.5，再次化简得x2-5x+4=0，解之即可求得符合题意的x值，进而求出每次漂洗用水升数.
19．【答案】（1）x≠-3；y≠-2
（2）解：函数的图象，如图所示：
（3）解：①方程该方程的根是；
②如果方程有2个实数根，则的取值范围是或
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：（1）的自变量的取值范围是，这个函数值的取值范围是
故答案为：；；
【分析】（1）根据分式有意义的条件可得x+3≠0，求出x的范围即为自变量的取值范围，进而可得函数值y的范围；
（2）根据函数的平移可知，函数可看作反比例函数的图象向左平移3个单位，再向下移动2个单位得到；将函数y=-2的图象下方部分沿x轴翻折至上方，即可得到y=|-2|的图象；
（3）①由（2）中的函数图象可得出方程 ＝0的根；
②方程 根的个数情况，可看作函数y=|-2|与y＝a的交点的个数问题，由图象可得出结果．
20．【答案】（1）解： ∵BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，BA＝3，BC＝5，
∴点B（5，3），A（5，0），C（0，3）
设反比例函数解析式为（≠0），
∵点B在反比例函数图象上，
∴k=3×5=15
∴反比例函数解析式为；
设一次函数解析式为y=ax+b，
将A（5，0），C（0，3）分别代入得
解之：
∴一次函数解析式为.
（2）解：设点P，点D
∴PD=，
∵以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，
当点Q在直线BA上，且PD=BD=BQ时
整理得
解之：
当时，，
∵ BA＝3
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q；
当当时，，
∵ BA＝3
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q；
当点Q在直线AC上时，PD与BQ互相垂直平分，
∴BQ∥x轴，
∴点Q的纵坐标为3，
∴
解之：
∵m＞0
∴
∴点Q，
∴点Q的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到点B，A，C的坐标，利用待定系数法分别求出反比例函数和一次函数的解析式.
（2）利用函数解析式设点P，点D，可表示出PD的长，利用以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，分情况讨论：当点Q在直线BA上，且PD=BD=BQ时，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到PD，BQ的长，利用BA的长，可求出点Q的纵坐标；当点Q在直线AC上时，PD与BQ互相垂直平分，可知点Q和点B的纵坐标相等，可得到点Q的纵坐标为3，利用点D和点P的中点的纵坐标也为3，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，此时m的值为正数，由此可得到点Q的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.
21．【答案】（1）解：①设药物燃烧时的函数解析式为，药物燃烧后的解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧时的函数解析式为，
∴药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧后的解析式为；
②在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而增大，
∴当时，学生不能在教室停留；
在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，
∴当时，学生不能在教室停留；
综上所述，当时，学生不能在教室停留；
（2）解：设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，
同理可得当时，，
当药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
同理可得时，，
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
综上所述，当时为有效消毒时间，
∵有效消毒时间为120分钟，
∴，
解得（负值舍去），
∴要一次性燃烧完这种药物需11分钟．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1） ① 先利用待定系数法求出药物燃烧时的函数解析式为，进而求出药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为7mg，从而即可利用待定系数法求出药物燃烧后的解析式；② 分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时x的值即可得到答案；
（2）设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，仿照(1)①求出对应时间段的函数解析式，进而求出当y=0.7时x的值，再根据有效消毒时间为120分钟建立方程求解即可.
22．【答案】（1）解：作CH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，
∴C（9，3）；
（2）解：由（1）同理可得，点D（6，9），
∵点A'恰好落在反比例函数的图象上，
∴当y＝6时，x＝，
∴m＝，
∴D'（6+，9），即D'（，9）
（3）解：Q（，）或（，-）或（-，6）或（，）
【知识点】反比例函数的图象；菱形的性质；正方形的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）当OA'＝OP时，如图，
∵A'（，6），
∴OA'＝，
∵四边形OPQA'是菱形，
∴A'Q∥OP，A'Q＝OP，
∴Q′（，），
当点Q在第四象限时，Q（，-），
当A'O＝A'P时，如图，
则点A'与Q关于y轴对称，
∴Q（-，6），
当PO＝PA'时，如图，设P（0，m），
则PO＝PA'，
∴m2＝（6-m）2+（）2，
解得m＝，
∴OP＝A'Q＝，
∴Q（，），
综上：Q（，）或（，-）或（-，6）或（，）．
【分析】（1）作CH⊥x轴于H，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，由同角的余角相等可得∠OAB＝∠CBH，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得到BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，据此可得点C的坐标；
（2）由（1）同理可得：点D（6，9），令反比例函数解析式中的y=6，求出x的值，据此可得点D′的坐标；
（3）当OA'＝OP时，根据点A′的坐标可得OA'＝，由菱形的性质可得A'Q∥OP，A'Q＝OP，据此可得点Q的坐标；当A'O＝A'P时，则点A'与Q关于y轴对称，据此可得点Q的坐标；当PO＝PA'时，设P（0，m），则PO＝PA'，利用两点间距离公式可得m的值，进而可得点Q的坐标.
23．【答案】（1）解：将A（－3，2）代入得：m＝－6，
则反比例函数的解析式是，
将B（n，－3）代入得：n＝2，
则B的坐标为（2，－3），
将A（－3，2），B（2，－3）代入y＝kx＋b得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝－x－1．
（2）解：根据图象可得x的取值范围为：x＜－3或0＜x＜2；
（3）解：设一次函数与y轴交点为点C，
由一次函数解析式y＝－x－1，
当x＝0时，代入解析式得y＝－1，
∴点C（0，－1），即OC＝1，
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×1×3＋×1×2＝，
∴△AOB的面积为；
（4）（－6，0），（－，0），（－，0），（，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（4）在x轴上存在点P，使△AOP是等腰三角形
由A（－3，2）可得：
OA＝＝，
当△AOP是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当AO＝AP时，
由等腰三角形三线合一的性质得：P1（－6，0），
②当PA＝PO时，
过A作AD⊥x轴于点D，
由A点坐标可得OD＝3，AD＝2，
设OP＝AP＝m，
则DP＝OD－OP＝3－m，
在Rt△ADP中，由勾股定理可得：
AP2＝AD2＋DP2，
即m2＝22＋(3－m)2，
解得：m＝，
∴P2（－，0），
③当OA＝OP时，
∵OA＝，
P点在O点左侧时，P3（－，0），
P点在O点左侧时，P4（，0），
综上所述，当P点坐标为（－6，0），（－，0），（－，0），（，0）时，△AOP是等腰三角形．
【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式和反比例函数解析式即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）先求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式及割补法求出三角形的面积即可；
（4）分类讨论：①当AO＝AP时，②当PA＝PO时，③当OA＝OP时，再利用等腰三角形的性质求解即可.
24．【答案】解：任务1：
解：由题意，得ρ是关于h的反比例函数，设，把，代入，得，
∴，
∴．
任务2：
解：由题意可得，
，
∴，标注如图，
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：利用已知：ρ是关于h的反比例函数，设，将ρ和h的值代入可求出k的值，可得到ρ与h的函数解析式.
任务2：利用已知可求出ρ的值，再代入函数解析式，可求出h的值，然后在图形中标注即可.
1 / 12024年浙教版数学八年级下学期第六章 反比例函数 单元测试（培优卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（初中数学浙教版八下精彩练习6.1反比例函数（1））已知函数 是反比例函数，则 的值为（ )
A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=（m-2）xm -5，
∴m-2≠0，且m2-5=-1，
整理，解得：m=-2.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数定义，y=kx-1（k≠0），可得m-2≠0，且m2-5=-1，求解即可得到m的值.
2．（2023·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵k=-4，
∴在反比例函数图像上的点横纵坐标相乘等于-4，
∴1×4=（-1）×（-4）=2×2=4，（-2）×2=-4，
∴在函数图象上，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数k的性质，结合题意对选项逐一计算即可求解。
3．（2017·鹤岗模拟）用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是P=I2R，下面说法正确的是（ ）
A．P为定值，I与R成反比例 B．P为定值，I2与R成反比例
C．P为定值，I与R成正比例 D．P为定值，I2与R成正比例
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】根据P=I2R可以得到：当P为定值时，I2与R的乘积是定值，所以I2与R成反比例．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义可知，当P为定值时，I2与R的乘积是定值，即可判定I2与R关系.
4．（2023九上·宁远期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，∴二者的取值范围相同，符合题意；
、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，∴二者取值范围不相同，不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质逐一分析判断即可．在同一个坐标系中，K的取值是相同的。
5．（2020八下·泰兴期末）已知反比例函数y＝﹣ ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点(﹣1，2) B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： A、把点（-1，2）代入反比例函数y= ，得2=2成立，故说法正确，不符合题意；
B、∵k= ＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，故答案为：错误，符合题意；
C、∵k=-2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故说法正确，不符合题意；
D、当x=1时，y=-2，故当x＞1时，-2＜y＜0说法正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质，k= ＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，反比例函数的图象是中心对称图形解答.
6．若点A(x ，-2)，B(x ，1)，C(x ，2)都在反比例函数的图象上，则x ，x ，x 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把 A(x ，-2)代入中，得x1=1，
把B(x ，1)代入中，得x2=-2，
把C(x ，2) 代入中，得x3=-1，
∵-2＜-1＜1，
∴ .
故答案为：D.
【分析】把A、B、C的坐标分别代入中，可求出x ，x ，x 的值，再比较即可.
7．如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形且AB=2，
∴BC=2=AD，
∵点E是AD的中点，
∴AE=1，
∴设C（2，a），则E（1，2+a），
∵点C、E都在反比例函数 的图象上，
∴2a=1×（2+a），
解得a=2，
∴C（2，2），
∴k=2×2=4.
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质得BC=2=AD，由中点定义得AE=1，设C（2，a），则E（1，2+a），根据反比例函数图象上任意两点的乘积都相等建立方程可求出a的值，从而此题得解了.
8．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
9．（2022八下·镇海区期末）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点O，交于点G，反比例函数的图象经过线段的中点E，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），
∵反比例函数（x＞0）经过点E，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO=BD=4，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴，，
∵E为CD的中点， 轴， 连接OE，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，而
∴
∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r，
在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴，
解得：，
∴AG= .
故答案为：B.
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），根据点E在反比例函数图象上可得ab=，根据菱形的性质可得BD⊥AC，DO=BD=4， 易得四边形MENO是矩形， 则ME∥x轴，EN∥y轴，连接OE，则OE=DE=CE，进而推出DM=OM，ON=CN，则DO·CO=4ab=，据此可得CO、CD，由菱形的性质可得AB=AD=BD=8，推出△ABD为等边三角形，得到∠1=∠2=30°，设DG=r，则AG=r，GO=-r，根据勾股定理可得r的值，据此解答.
10．（2023八上·肇源开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，下列结论：①；②四边形与的面积相等；③；④若，，则点的坐标为．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数图象关于一、三象限平分线轴对称，正方形关于OB所在直线轴对称，且CB=AB，
故点B在一、三象限平分线上，
∴反比例函数图象与正方形的组合图形关于OB所在直线轴对称，点C与A对应，点M与N对应，
∴ON=OM，CN=AM；
又∵OC=AO，∠OCN=∠OAM=90°，
∴△OCN≌△OAM，①正确，
∵ON=OM，
无法证明ON与MN相等，③错误；
∵CN⊥CO，MA⊥AO，
∴，
∴S四边形DAME=S△ONE，
∴S四边形DAMN=S四边形DAME+S△MNE=S△MNE+S△ONE=S△MNO，②正确；
由轴对称性质得到NB=MB，，
∴Rt△NBM中，，
在OC上取点F，使CN=CF，设CN=CF=m，
得到∠CFN=45°，∠FON=∠FNO=22.5°，
得，
∴，
得m=1，点C的坐标为，④正确．
综上所述，正确的为①②④，
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数的轴对称性质，正方形的轴对称性质，得到图形关于一、三象限平分线轴对称，得到ON=OM，CN=AM，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，判断出①正确，③错误；再由反比例函数的几何性质得到，，根据割补法转换面积，判断②正确；再由④中的长度和角度关系，构造直角三角形，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算得到OC长度，判断④正确．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023八下·衡山期末）若点在反比例函数图像上，则代数式 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；反比例函数的概念
【解析】【解答】解：点A（a，b）在反比例函数y=-上，
b=-，即ab=-3，
ab-1=-3-1=-4，
故答案为：-4
【分析】根据函数图象上的点的坐标与函数的关系求出ab的值，代入ab-1即可求解.
12．（2023·静安模拟）已知，那么 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：
【分析】根据反比例函数的定义，代入求值即可求解。
13．（初中数学浙教版八下精彩练习6.1反比例函数（1））把 化为 的形式为比例系数为 自变量 的取值范围是 .
【答案】--1；x≠0
【知识点】等式的基本性质；反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵-xy=+1，
∴y=，
∴比例系数为--1，
∴自变的取值范围是x≠0.
故答案为：--1；x≠0.
【分析】原式两边同除以-x，得y=，即可得到比例系数及自变量的取值范围.
14．（2023九上·龙泉驿期末）反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ．
【答案】m>－1
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象在第一、三象限，
∴m+1＞0
解之：m＞-1.
故答案为：m＞-1
【分析】利用反比例函数的性质：（k≠0），当k＞0时图象分支在第一、三象限；当k＜0时，图象分支在第二、四象限，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
15．（2024九上·双流期末）若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限中，y随x的增大而增大，
∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴点A、B不在同一象限，且点A在第四象限，点B在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】先利用反比例函数的图象和性质与系数的关系可得点A、B不在同一象限，且点A在第四象限，点B在第二象限，再利用点坐标与象限的关系可得，再求出m的取值范围即可.
16．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(cm)与粗细(横截面面积)x(cm2)之间的函数关系如图所示.如果将这个面团做成粗细为0.16 cm2 的拉面，那么做出来的面条的长度为 cm.
【答案】800
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，过
∴
当x=0.16时，
故答案为：800cm.
【分析】因为面条的总长度y(cm)是面条粗细(横截面面积)x (cm2)反比例函数，且从图象上可看出过(0.05，3200)，从而可确定函数式，再把x=0.16代入求出答案.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2024九上·蛟河期末）已知直线与轴、轴交于、两点，是该直线上在第一象限内的一点，轴，为垂足，．
（1）求点的坐标；
（2）求过点的反比例函数解析式．
【答案】（1）解：设的坐标是，
则，，
直线交于点，
∴当时，，
的坐标是，
，
，
解得：，，
在第一象限，
，
即的坐标是．
（2）解：设过点的反比例函数的解析式是，
则，
∴过点的反比例函数的解析式是．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用直线上点的坐标特征，可设的坐标是，再求直线与x轴交点点坐标，最后根据列出方程求解即可；
（2）用待定系数法求反比例函数的解析式。先设出函数解析式，再将点坐标代入求解即可．
18．（2022八下·温州期末）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y=（k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．
（1）求k的值．
（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？
（3）现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？
【答案】（1）解：∵使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，
∴v=5，x=1，y=2，
∴2=，
∴k=-0.1．
（2）解：∵v=5，
∴y=，
∵反比例函数y=，在x>0的范围内y随x的增大而减少，
∴当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，
∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．
（3）解：由（1）得y=，
∴xy=-0.1v+2.5，即x2y=-0.1vx+2.5x，
∵将20升水等分成x次，
∴vx=20，
∴x2y=-2+2.5x，
∵y=0.5，
∴0.5x2=-2+2.5x，
即x2-5x+4=0，
∴x1=4，x2=1（舍去，x＞1），
∴当x=4时，每次漂洗用水v=20÷4=5升.
答：每次漂洗用水5升.
【知识点】一元二次方程的其他应用；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，即得v=5，x=1，y=2，代入解析式中即可求出值；
（2）把v=5代入函数解析式得y=，根据反比例函数的性质，即在x>0的范围内y随x的增大而减少，可求出当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，再由漂洗次数为正整数，即可得出至少漂洗的次数；
（3）由（1）得y=，整理得x2y=-0.1vx+2.5x，由将20升水等分成x次可得vx=20，再由y=0.5，再次化简得x2-5x+4=0，解之即可求得符合题意的x值，进而求出每次漂洗用水升数.
19．（2022八下·婺城期末）已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
（1）类比反比例函数可知，函数的自变量的取值范围是 ，这个函数值的取值范围是 ．
（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数的图象和性质，请根据函数的图象，画出函数的图象；
（3）结合函数的图象解答下列问题：
①求出方程的根；
②如果方程有2个实数根，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）x≠-3；y≠-2
（2）解：函数的图象，如图所示：
（3）解：①方程该方程的根是；
②如果方程有2个实数根，则的取值范围是或
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：（1）的自变量的取值范围是，这个函数值的取值范围是
故答案为：；；
【分析】（1）根据分式有意义的条件可得x+3≠0，求出x的范围即为自变量的取值范围，进而可得函数值y的范围；
（2）根据函数的平移可知，函数可看作反比例函数的图象向左平移3个单位，再向下移动2个单位得到；将函数y=-2的图象下方部分沿x轴翻折至上方，即可得到y=|-2|的图象；
（3）①由（2）中的函数图象可得出方程 ＝0的根；
②方程 根的个数情况，可看作函数y=|-2|与y＝a的交点的个数问题，由图象可得出结果．
20．（2022八下·金东期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，BA＝3，BC＝5，有一反比例函数图象刚好过点B．
（1）分别求出过点B的反比例函数和过A，C两点的一次函数的表达式．
（2）动点P在射线CA（不包括C点）上，过点P作直线l⊥x轴，交反比例函数图象于点D．是否存在这样的点Q，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： ∵BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，BA＝3，BC＝5，
∴点B（5，3），A（5，0），C（0，3）
设反比例函数解析式为（≠0），
∵点B在反比例函数图象上，
∴k=3×5=15
∴反比例函数解析式为；
设一次函数解析式为y=ax+b，
将A（5，0），C（0，3）分别代入得
解之：
∴一次函数解析式为.
（2）解：设点P，点D
∴PD=，
∵以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，
当点Q在直线BA上，且PD=BD=BQ时
整理得
解之：
当时，，
∵ BA＝3
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q；
当当时，，
∵ BA＝3
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q；
当点Q在直线AC上时，PD与BQ互相垂直平分，
∴BQ∥x轴，
∴点Q的纵坐标为3，
∴
解之：
∵m＞0
∴
∴点Q，
∴点Q的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到点B，A，C的坐标，利用待定系数法分别求出反比例函数和一次函数的解析式.
（2）利用函数解析式设点P，点D，可表示出PD的长，利用以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，分情况讨论：当点Q在直线BA上，且PD=BD=BQ时，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到PD，BQ的长，利用BA的长，可求出点Q的纵坐标；当点Q在直线AC上时，PD与BQ互相垂直平分，可知点Q和点B的纵坐标相等，可得到点Q的纵坐标为3，利用点D和点P的中点的纵坐标也为3，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，此时m的值为正数，由此可得到点Q的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.
21．（2023八下·滨江期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知某种药物在燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间成正比例；一次性燃烧完以后，y与x成反比例（如图所示）．在药物燃烧阶段，实验测得在燃烧5分钟后，此时教室内每立方米空气含药量为．
（1）若一次性燃烧完药物需10分钟．
①分别求出药物燃烧时及一次性燃烧完以后y关于x的函数表达式．
②当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时间段学生不能停留在教室里？
（2）已知室内每立方米空气中的含药量不低于时，才能有效消毒，如果有效消毒时间要持续120分钟，问要一次性燃烧完这种药物需多长时间？
【答案】（1）解：①设药物燃烧时的函数解析式为，药物燃烧后的解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧时的函数解析式为，
∴药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧后的解析式为；
②在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而增大，
∴当时，学生不能在教室停留；
在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，
∴当时，学生不能在教室停留；
综上所述，当时，学生不能在教室停留；
（2）解：设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，
同理可得当时，，
当药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
同理可得时，，
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
综上所述，当时为有效消毒时间，
∵有效消毒时间为120分钟，
∴，
解得（负值舍去），
∴要一次性燃烧完这种药物需11分钟．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1） ① 先利用待定系数法求出药物燃烧时的函数解析式为，进而求出药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为7mg，从而即可利用待定系数法求出药物燃烧后的解析式；② 分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时x的值即可得到答案；
（2）设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，仿照(1)①求出对应时间段的函数解析式，进而求出当y=0.7时x的值，再根据有效消毒时间为120分钟建立方程求解即可.
22．（2023八下·东阳期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD'，点 A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点 D'的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：作CH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，
∴C（9，3）；
（2）解：由（1）同理可得，点D（6，9），
∵点A'恰好落在反比例函数的图象上，
∴当y＝6时，x＝，
∴m＝，
∴D'（6+，9），即D'（，9）
（3）解：Q（，）或（，-）或（-，6）或（，）
【知识点】反比例函数的图象；菱形的性质；正方形的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）当OA'＝OP时，如图，
∵A'（，6），
∴OA'＝，
∵四边形OPQA'是菱形，
∴A'Q∥OP，A'Q＝OP，
∴Q′（，），
当点Q在第四象限时，Q（，-），
当A'O＝A'P时，如图，
则点A'与Q关于y轴对称，
∴Q（-，6），
当PO＝PA'时，如图，设P（0，m），
则PO＝PA'，
∴m2＝（6-m）2+（）2，
解得m＝，
∴OP＝A'Q＝，
∴Q（，），
综上：Q（，）或（，-）或（-，6）或（，）．
【分析】（1）作CH⊥x轴于H，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，由同角的余角相等可得∠OAB＝∠CBH，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得到BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，据此可得点C的坐标；
（2）由（1）同理可得：点D（6，9），令反比例函数解析式中的y=6，求出x的值，据此可得点D′的坐标；
（3）当OA'＝OP时，根据点A′的坐标可得OA'＝，由菱形的性质可得A'Q∥OP，A'Q＝OP，据此可得点Q的坐标；当A'O＝A'P时，则点A'与Q关于y轴对称，据此可得点Q的坐标；当PO＝PA'时，设P（0，m），则PO＝PA'，利用两点间距离公式可得m的值，进而可得点Q的坐标.
23．（2023九上·崂山期中） 如图，已知A（－3，2），B（n，－3）是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积；
（4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将A（－3，2）代入得：m＝－6，
则反比例函数的解析式是，
将B（n，－3）代入得：n＝2，
则B的坐标为（2，－3），
将A（－3，2），B（2，－3）代入y＝kx＋b得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝－x－1．
（2）解：根据图象可得x的取值范围为：x＜－3或0＜x＜2；
（3）解：设一次函数与y轴交点为点C，
由一次函数解析式y＝－x－1，
当x＝0时，代入解析式得y＝－1，
∴点C（0，－1），即OC＝1，
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×1×3＋×1×2＝，
∴△AOB的面积为；
（4）（－6，0），（－，0），（－，0），（，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（4）在x轴上存在点P，使△AOP是等腰三角形
由A（－3，2）可得：
OA＝＝，
当△AOP是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当AO＝AP时，
由等腰三角形三线合一的性质得：P1（－6，0），
②当PA＝PO时，
过A作AD⊥x轴于点D，
由A点坐标可得OD＝3，AD＝2，
设OP＝AP＝m，
则DP＝OD－OP＝3－m，
在Rt△ADP中，由勾股定理可得：
AP2＝AD2＋DP2，
即m2＝22＋(3－m)2，
解得：m＝，
∴P2（－，0），
③当OA＝OP时，
∵OA＝，
P点在O点左侧时，P3（－，0），
P点在O点左侧时，P4（，0），
综上所述，当P点坐标为（－6，0），（－，0），（－，0），（，0）时，△AOP是等腰三角形．
【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式和反比例函数解析式即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）先求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式及割补法求出三角形的面积即可；
（4）分类讨论：①当AO＝AP时，②当PA＝PO时，③当OA＝OP时，再利用等腰三角形的性质求解即可.
24．（2023八下·温州期末）根据以下素材，探索完成任务．
制作检测酒精的漂浮吸管
素材1 如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2 小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数与液体密度ρ（）之间的几组数据如下表： h（cm）……ρ（）……
素材3 浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为，）：
问题解决
任务1 求ρ关于h的函数表达式．
任务2 由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到）
【答案】解：任务1：
解：由题意，得ρ是关于h的反比例函数，设，把，代入，得，
∴，
∴．
任务2：
解：由题意可得，
，
∴，标注如图，
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：利用已知：ρ是关于h的反比例函数，设，将ρ和h的值代入可求出k的值，可得到ρ与h的函数解析式.
任务2：利用已知可求出ρ的值，再代入函数解析式，可求出h的值，然后在图形中标注即可.
1 / 1
