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专题3-1 平均数
模块1：学习目标
1. 掌握平均数的概念，会求一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想。
2.了解加权平均数的意义和求法；理解权的差异对平均数的影响，能用加权平均数解释现实生活中一些简单的现象。
模块2：知识梳理
1）算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=。简称平均数。
算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平。
注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数。
2）结论：若=；=。
则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±；②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为+）。
③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b。
∵ax1，ax2，…，axn的平均数为a； ∴x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b。
3）加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则叫做这n个数的加权平均数。前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1。
注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆。
模块3：核心考点与典例
考点1、求一组数据的算术平均数
例1．（2024上·四川成都·八年级统考期末）小亮参加校园十佳歌手比赛，五个评委的评分分别是96、92、95、88、92．去掉一个最高分，去掉一个最低分，他的平均得分是（ ）
A．92 B．93 C．92.6 D．91.6
【答案】B
【分析】此题考查求平均数，将各数据相加除以总个数即可得到平均数，正确掌握平均数的计算公式是解题的关键．
【详解】去掉一个最高分96，去掉一个最低分88，他的平均分是，故选B．
变式1．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）一组数据4、7、6、8、10的平均数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了求平均数，根据平均数的定义即可求解．
【详解】解：，故选：C．
变式2．（2024上·安徽黄山·七年级统考期末）某班抽查了8名同学的期末质量检测成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，， ．则这8名同学的期末质量检测成绩平均分是（ ）
A．96 B．84 C．82 D．80
【答案】C
【分析】本题考查有理数的加法及实际应用，平均数的含义，掌握平均数的意义是解决本题的关键．先算出，，，，，，，的平均值，再加上基准分得到8名同学的平均分．
【详解】，（分），故选：C．
变式3．（2023上·陕西西安·八年级统考期末）2023年12月18日23时59分在甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，牵动着师生们的心．某学校立即组织师生“献爱心”捐款活动，八年级一班第一小组9名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：这9名同学捐款的平均金额为（ ）元．
金额/元
人数
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】本题考查了平均数的计算，根据题意求平均数，即可求解．
【详解】解：依题意，这9名同学捐款的平均金额为，故选：C．
考点2、利用算术平均数求参数
例1．（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查算术平均数．根据平均数的定义求解即可．
【详解】解：由题意得，∴．故答案为：5．
变式1. （2023下·北京密云·八年级校考期中）如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则 ．
分数 70 80 90 100
人数 1 3 x 1
【答案】
【分析】本题考查了平均数的计算和列方程解决问题的能力．根据平均数的定义列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意和图表可得，
解得：故答案为：．
变式2. （2023上·陕西西安·八年级校联考阶段练习）已知一组数据：，，，，，，，的平均数为，其中，求，的值．
【答案】，
【分析】本题考查算术平均数及二元一次方程组的解法，根据平均数的定义得到，结合即可求解；
【详解】解：∵，，，，，，，的平均数为，
∴，整理得： ，
∵，即：，解得：∴的值为，的值为．
考点3、利用算术平均数求相关数据的平均数
例1．（2024·浙江·七年级培优）五个有理数排成一列，前三个有理数的平均值为a，后两个有理数的平均值是b，那么这五个有理数的平均值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平均数的求法．平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先分别求出前三个有理数与后两个有理数的和，除以5即可求出五个有理数的平均值．
【详解】解：五个有理数的平均值是．故选：C．
变式1.（2024·浙江八年级课时练习）已知数据、、的平均数为，、、的平均数为，则数据、、的平均数为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平均数的计算．本题说明了一组数据若是由两组数据的和或倍数组成，则数据的平均数是这两组数据的平均数的和或倍数．
把、、的平均数表示出来即可．
【详解】解：∵、、的平均数为、、的平均数为，
，故选：A．
变式2．（2023·广东东莞·七年级校联考期末）在一次测评中，小红语文和数学两科的平均分是a分，这两科平均分比英语多9分，小红这三科的平均分是 分．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设小红这三科的平均分是x分，则三科分数的和为分，也可表示为分，于是列方程得，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设小红这三科的平均分是x分，根据题意得，解得，
∴小红这三科的平均分是分，故答案为：
考点4、运用算术平均数作决策
例1．（2023上·福建泉州·七年级统考开学考试）泉州农运会上张三和李四都参加了踢毽子比赛活动，按比赛规则每人踢5次．下面分别是李四踢毽子情况的统计表和两位同学踢毽子情况的复式统计图．
李四5次踢毽子情况统计表次数第1次第2次第3次第4次第5次个数（个）1013252030
(1)根据统计表的数据，完成统计图；(2)看图回答下面的问题．
①哪几次两人踢毽子的个数同样多？
_______________________________________________________________
②从总体情况看，谁踢毽子的水平比较高？（简要说明理由）
_______________________________________________________________
【答案】(1)见解析 (2)①第2次与第5次两人踢毽子的个数同样多；②张三踢毽子的水平比较高，因为张三五次的平均数比较高
【分析】（1）根据统计表中的数据先描点，再连线即可；
（2）①根据（1）的结果作答即可；②利用平均数的意义即可作答．
【详解】（1）完成统计图如下：
（2）①根据（1）的统计图结果可得：第2次与第5次两人踢毽子的个数同样多；
②张三五次的平均数为：（个），
李四五次的平均数为：（个），
∵，∴张三踢毽子的水平比较高，
即张三踢毽子的水平比较高，因为张三五次的平均数比较高．
【点睛】本题考查折线统计图，平均数的计算方法以及意义，根据平均数做决策，是解答本题的关键．
变式1. （2024上·湖南益阳·九年级统考期末）某地教育局为了解某校高中学生的每天平均睡眠时间的情况，随机抽取了该校50名高中学生进行调查访问，收集数据，整理数据，将数据分成7组，用频数分布直方图描述数据，请你根据图表解决以下问题：
（注：每个组取值范围包含左端点不包含右端点）
(1)该校500名高中学生中，每天平均睡眠时间至少8小时的人数约有多少？
(2)求这组数据的平均数．（提示：利用直方图求平均数时，一般取每个组的取值范围的中点值作为估算值进行计算．例如，第1组的取值范围，则取作为第1组的估算值．）
(3)如果你是当地教育局负责人，请你根据以上数据，对该学校提出一条整改建议．
【答案】(1)190人(2)(3)见解析
【分析】本题主要考查了用样本估计总体，求平均数，频数分布直方图，解题的关键是熟练掌握统计图特点，数形结合，准确计算．（1）利用样本估计总体即可；（2）根据平均数计算公式进行计算即可；（3）根据统计数据进行解答即可．
【详解】（1）解：（人）；
答：该校500名高中学生中，每天平均睡眠时间至少8小时的人数约有190人；
（2）解：，
答：这组数据的平均数为．
（3）解：建议学校减少学生课后作业量，增加学生的睡眠时间．（答案不唯一合理即可）
变式2. （2023上·福建龙岩·九年级校考期中）出行是人们日常生活必不可少的组成部分，随着人们环保观念的加深，绿色出行已成了许多人的首要选择．小健为了了解自己每年的出行方式，收集了其中60次的数据，整理成条形统计图．
(1)小健乘地铁的次数占这60次样本数据的 %；(2)小健在一段时间内出行了150次，请你估计这段时间他步行的次数是 次；(3)已知每种出行方式的平均花费如下表：小健的妈妈每年给小健的出行费用为1500元，一年按365天计算，若小健平均每天出行2次，试说明小健的出行费用是否足够？
出行方式 步行 骑自行车 乘公交车 乘地铁 乘出租车
单价（元/次） 0 0.5 1 3 11
【答案】(1)25(2)25(3)足够
【分析】（1）用乘地铁的次数除以总次数即可；（2）利用样本估计总体的方法，用150乘以百分比即可；（3）根据加权平均数的公式可以计算出平均数，然后估计全年的费用，最后比较即可．
【详解】（1）解：小健乘地铁的次数占这60次样本数据的．故答案为：25；
（2），∴小健在一段时间内出行了150次，请你估计这段时间他步行的次数是25次；
（3）解：小健的出行费用足够. 理由如下：由题意可得，小建健平均每次的出行费用为
（元），∴估计全年费用为元，
∵，∴小健的出行费用足够．
【点睛】本题考查了加权平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，掌握用样本估计总体思想是解题的关键．
考点5、求加权平均数
例1．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）《义务教育课程方案（2022年版）》在改进教育评价部分强调：要强化素养导向，注重对正确价值观、必备品格和关键能力的考查，开展综合素质评价．某校积极响应号召，期末从德、智、体、美、劳五方面对学生进行综合素质评价，将德、智、体、美、劳五项得分按的比例确定综合成绩．小亮本学期五项得分如图所示，则他期末综合素质评价成绩为（ ）
A．7分 B．8分 C．9分 D．10分
【答案】C
【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
【详解】解：分；故选C．
变式1.（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）古人云：“不学礼，无以立”！中国素来是一个温文尔雅、落落大方、谦恭礼让的文明礼仪之邦，我们的举手投足、音容笑貌，无一不体现着华夏儿女的气质与素养某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛活动，参赛选手的最终得分由三项组成：礼仪服装占，语言表达占，举止形态占，晶晶在本次比赛中礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分依次为90分、85分、80分，则晶晶本次比赛的最终得分为（ ）
A．80分 B．85分 C．88分 D．90分
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一组数据的加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的公式，准确计算．
【详解】解：晶晶本次比赛的最终得分为：．故选：B．
变式2.（2023上·山东青岛·八年级统考期末）随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是 元．
【答案】21
【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是根据题意中的数据和扇形统计图中的数据，利用加权平均数的计算方法，可以计算出所购买艾条的平均单价．
【详解】解：由图可得，
所购买艾条的平均单价是：（元），故答案为：21．
考点6、利用加权平均数求参数
例1．（2023上·山西太原·八年级校联考阶段练习）坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列的知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表：
成绩 86 90 98 100
人数 1 3 1
已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了加权平均数的定义，分式方程的应用，加权平均数：（其中）；理解定义，掌握公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得，解得：，
经检验：是所列方程的根；故选：B.
变式1. （2023·重庆巴南·八年级统考期末）已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的 ．
【答案】175
【分析】设30名男生的平均身高为acm，根据平均数的定义，列出方程即可解决问题．
【详解】解：某班共有50名学生，其中30名男生，20名女生，平均身高为168cm；
设30名男生的平均身高为acm，则有：=168，
解得a=175（cm）．故答案为：175．
【点睛】本题考查的是加权平均数的应用．本题易出现的错误是对，168这两个平均数的理解不正确．
变式2.（2023·北京朝阳·八年级统考期末）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大．
【答案】面试
【分析】设此次招聘中面试的权重为，从而可得笔试的权重为，根据加权平均数的计算公式求出的值，由此即可得出答案．
【详解】解：设此次招聘中面试的权重为，则笔试的权重为，
由题意得：，解得，，
则此次招聘中面试的权重较大，故答案为：面试．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟记公式是解题关键．
考点7、运用加权术平均数作决策
例1．（2024上·山西太原·八年级统考期末）2023年11月16日11时55分，酒泉卫星发射中心成功将新一代海洋水色观测卫星01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道．八年级某班以此为契机举行了“航天知识知多少”的主题活动，下面是小文、小玉本次活动各项成绩（单位：分）的统计表．
书面测试 知识抢答 演讲比赛
小文 89 81 85
小玉 81 83 88
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最终成绩，请说明小文、小玉谁的成绩高；(2)如果将书面测试、知识抢答、演讲比赛三项成绩按照2∶3∶5的比例计算最终成绩，请说明小文、小玉谁的成绩高．
【答案】(1)小文成绩高(2)小玉成绩高
【分析】本题考查统计问题，涉及算术平均数定义及求法、加权平均数的定义及求法、利用平均数做决策等知识，熟练掌握平均数的求法是解决问题的关键．（1）根据题意，利用算术平均数的求法得到小文和小玉的平均成绩，比较成绩大小做决策即可得到答案；（2）根据题意，利用加权平均数的求法得到小文和小玉的平均成绩，比较成绩大小做决策即可得到答案．
【详解】（1）解：小文的最后成绩为：（分），
小玉的最后成绩为：（分），，小文成绩高；
（2）解：小文的最后成绩为：（分），
小玉的最后成绩为：（分），，小玉成绩高．
变式1. （2024上·山西忻州·八年级校联考期末）杭州亚运会期间，万名志愿者“小青荷”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“小青荷”，必须经过层层考验，下面是亚运会志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）：
项目 外语能力 综合素质 形象礼仪 赛事服务经验
甲
乙
(1)如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”；(2)如果将外语能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”．
【答案】(1)乙；(2)甲．
【分析】（）利用算术平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断；
（）利用加权平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断；
本题考查了算术平均数和加权平均数，并利用算术平均数和加权平均数作决策，掌握算术平均数和加权平均数的计算公式是解题的关键．
【详解】（1）解：甲的平均分为，乙的平均分为，
∵，∴乙将成为“小青荷”；
（2）解：甲的平均分为，乙的平均分为，
∵，∴甲将成为“小青荷”．
变式2. （2024上·辽宁锦州·八年级统考期末）为了贯彻《积极推进中小学素质教育的若干意见》的文件和党的“二十大”精神，积极实施素质教育，某校举办了艺术节活动（活动包括多个项目的比赛）．在艺术节活动中，全校共有20名学生报名参加了主持人大赛，大赛内容共有三项：自由朗读、创意写作、即兴演讲，每个项目的比赛均由5位评委打分（满分100分），5位评委的平均分作为该项目比赛的实际成绩，三项比赛完成后，将自由朗读、创意写作、即兴演讲三项比赛的实际成绩按的比例计算每个主持人比赛的总评成绩．小明、小丽的三项实际成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下．
选手 实际成绩/分 总评成绩/分
自由朗读 创意写作 即兴演讲
小明 81 70 79 __________
小丽 86 __________ 75 __________
(1)在创意写作比赛中，5位评委给小丽打出的分数为：83，78，79，85，80．请你计算小丽的总评成绩；(2)如果总评成绩排在前12名的同学将进入决赛，试分析小明、小丽能否进入决赛，并说明理由．
【答案】(1)(2)不能判断小明是否入选，但能判断小丽可以入选，理由见解析
【分析】本题主要考查了求算术平均数和加权平均数，用加权平均数做决策：
（1）先求出小丽创意写作的实际成绩，进而根据加权平均数的定义求出小丽的总评成绩即可；
（2）先求出小明的总评成绩，再根据取前12名进入决赛结合得分在80分以上有10人进行求解即可．
【详解】（1）解：小丽创意写作的实际成绩为分，
∴小丽的总评成绩为分；
（2）解：不能判断小明是否入选，但能判断小丽可以入选，理由如下：
小明的总评成绩为分，
∵一共有20人参数，其中成绩不高于80分的人有10人，
∴小丽一定排名前10名，即小丽一定能入选，但是小明的总评为78分，根据现有条件无法推断小明的排名，∴不能判断小明是否入选，但能判断小丽可以入选．
考点8、出错情况下的平均数问题
例1．（2023·广东八年级课时练习）某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（ ）
A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6
【答案】B
【详解】求15个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，即使总和增加了90；那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是90÷15=6． 故选B．
变式1.（2023·浙江八年级月考）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为150，那么由此求出的平均数比实际平均数多 ．
【答案】1.5
【详解】求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为150，即使总和多了45，
那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是45÷30=1.5．
故答案为1.5．
【点睛】本题考查了平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024上·河北唐山·九年级统考期末）现有甲、乙两组数据，数据甲：1，2，3，4．数据乙：2021，2022，2023，2024．若数据甲的平均数为，乙的平均数为，则与之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查算术平均数的含义．先求解两组数据的算术平均数，从而可得答案．
【详解】解：，，
∴，故选B
2．（2023·浙江杭州·八年级校考期中）在一竞赛中，老师将90分规定为标准成绩，记作0分，高出此分记为正，不足此分记为负，五名参赛者的成绩：，，，，0．那么（ ）
A．最高成绩为90分 B．最低成绩为88分 C．平均分为90分 D．平均分为分
【答案】D
【分析】题目主要考查正负数的应用及平均分的计算，理解题意是解题关键．
【详解】解：A、最高成绩为分，选项错误，不符合题意；
B、最低成绩为分，选项错误，不符合题意；
C、， 平均分为分，选项错误，不符合题意；
D、平均分为分，选项正确，符合题意；故选：D．
3．（2023·陕西西安·八年级校联考期中）一组数据，，，，的平均值是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平均数，可直接根据平均数的定义列方程求解．
【详解】解：∵一组数据，，，，的平均值是，
∴，解得，故选：D．
4．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（ ）
A．80 B．82 C．84 D．86
【答案】B
【分析】本题主要考查了求加权平均数，用对应学科的分数乘以对应的权重求出每一科的分数，再求和，最后除以10即可得到答案，熟知加权平均数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得，平均成绩为，故选：B．
5．（2023上·河北沧州·九年级统考期中）已知，，…，的平均数为2，则，，…，的平均数是（ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查算术平均数的计算，一般的每个数据扩大n倍后，数据的平均数也扩大n倍．每个数据增加同一个常数，数据的平均数也增加同一个常数，据此解析即可．
【详解】解：∵，，…，的平均数为2，∴，
∴，故选B．
6．（2023·湖南怀化·八年级统考期末）一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（ ）分
A．86 B．88 C．90 D．92
【答案】C
【分析】设物理要考x分，根据加权平均数的计算公式得到方程，解方程即可．
【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90
即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分故选：C．
【点睛】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出方程解决，因此掌握加权平均数的计算公式是关键．
7．（2023·江苏宿迁·统考一模）甲、乙两班的数学平均成绩分别为72分和77分，现在，小明同学从乙班调到甲班，调动后再计算，结果两班成绩都有所上升，则小明同学此次数学成绩可能是（ ）
A．62分 B．72分 C．75分 D．85分
【答案】C
【分析】根据小明同学从乙班调到甲班，调动后再计算，结果两班成绩都有所上升，可以得到小明同学的平均分在72分和77分之间，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：小明同学的平均分在72分和77分之间，
∴，不符合题意，符合题意；故选C．
【点睛】本题考查平均数．熟练掌握一组数据增加一个比原平均数大的数据，或减少一个比原平均数小的数据，新的平均数会增大，是解题的关键．
8．（2023·云南昆明·八年级统考阶段练习）体育课上，小扬、小杰、蕾蕾和思思4名同学进行投沙包比赛，每人投3次，结果如下图，在这4名同学中，平均成绩大约是的是( )
A．小扬 B．小杰 C．蕾蕾 D．思思
【答案】C
【分析】根据平均数的意义，结合给出的图形，即可得出答案．
【详解】解：A、小扬有2次成绩远低于，有1次成绩稍微高于，所以平均成绩远低于；
B、小杰有2次成绩远高于，有1次成绩在，所以平均成绩远高于；
C、蕾蕾有1次成绩低于，有1次成绩高于，有1次成绩在，所以平均成绩大约是；
D、小扬有2次成绩远低于，有1次成绩在，所以平均成绩远低于；
所以在这4名同学中，平均成绩大约是的是蕾蕾．故选：C．
【点睛】此题考查了平均数，掌握平均数的意义是解题的关键．
9．（2023·河南信阳·校考三模）黄河是中华民族的母亲河，保护黄河是事关中华民族伟大复兴的千秋大计．2023年4月1日，《中华人民共和国黄河保护法》施行，为响应“保护黄河青春行”系列主题活动，在黄河岸边的某校特举行“黄河小小讲解员”选拔比赛、选拔赛主要从主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象四方面进行打分，小宇、小叶、小珍的成绩如下，下面判断正确的是（ ）
评分细则 选手
小宇 小叶 小珍
主题内容 8 9 7
语言表达 8 7 7
仪态形象 8 7 9
综合印象 7 6 8
A．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按1:1:1:1打分、小珍将会获得胜利
B．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按40%，30%，20%，10%计算平均分，则小叶将会获得胜利
C．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按40%，20%，20%，20%计算平均分，则小字将会获得胜利
D．若你认为主题内容和语言表达都很重要，所以将主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象的得分比例设计为4:3:2:1
【答案】C
【分析】根据加权平均数的定义分别计算即可判断．
【详解】A选项，按照，就是把各自四项得分相加，小宇和小珍都是31分，所以A错误；
B选项，按计算得分，就是每一项乘这个相应的“权”，例如小宇的得分为分，同理计算小叶和小珍分别为7.7和7.5，小宇会获胜，所以B错误；C选项，同上计算，C正确；
D选项，主题内容和语言表达都很重要，需要这两项的“权”最大且相等，所以按照不正确．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
10．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）每次监测考试完后，老师要对每道试题难度作分析．已知：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分．上期全市八年级期末质量监测，有11623名学生参考．数学选择题共设置了12道单选题，每题5分．最后一道单选题的难度系数约为，学生答题情况统计如表：
选项 留空 多选
人数 11 22 4209 3934 2057 1390
占参考人数比（%）
根据数据分析，可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算出最后一道单选题参考人数得分的平均分，再分别测算，进行比较即可．
【详解】解：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分，
最后一道单选题参考人数得分的平均分题目难度系数该题的满分，
如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：，
如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：，
如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：，
如果正确答案应为，则参考人数得分的平均分为：，故选：B．
【点睛】本题考查了统计表、新概念“题目难度系数”等知识，熟练掌握新概念“题目难度系数”，由统计表的数据计算出参考人数得分的平均分是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·浙江·八年级校联考期中）第届亚运会将在杭州举办，某射箭运动员在富阳射击射箭馆进行训练，他连续射靶次，所得环数分别是：，，，，，则这运动员所得环数的平均数为 ．
【答案】8环
【分析】本题主要考查了求算术平均数．根据算术平均数的公式计算，即可求解．
【详解】解：这运动员所得环数的平均数为环，故答案为：环．
12．（2023·陕西西安·八年级校考期末）已知四个数的和是33，其中一个数为12，那么其余三个数的平均数是 ．
【答案】7
【分析】本题考查求平均数，先计算出其余三个数的和，再除以3即可．
【详解】解：，故答案为：7．
13．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平均数的求法，先求前个数的和，再求后个数的和，然后利用平均数的定义求出个数的平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，
∴，，，，的平均数是，故答案为：．
14．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）在数据4，5，6，5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则你添加的这个数可以是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，先求出原数据的平均数，添加一个数使得新数据的平均数不变，则添加的数即为原数据的平均数，据此可得答案．
【详解】解：∵数据4，5，6，5的平均数为，
∴添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则添加的数为5 故答案为：5．
15．（2023上·河南信阳·七年级统考期末）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是 （已知数，则两数的平均数为）．
【答案】
【分析】本题考查阅读理解和找规律，涉及平均数及方程解应用题，设报4的人心里想的数是，由题意把所有人心想的数表示出来，列方程求解即可得到答案，读懂题意，熟练掌握平均数的求法是解决问题的关键．
【详解】解：设报4的人心里想的数是，则由题意可得
报1的人心想的数是；报3的人心想的数是；报5的人心想的数是；报2的人心想的数是，，解得，故答案为：．
16．（2022下·湖北宜昌·八年级统考期末）国家统计局2022年6月10日公布了2022年1至5月浙江居民消费价格指数上涨为1.5%，其中城市上涨1.6%，农村上涨1.2%，请问在浙江居民消费价格指数构成中，城市的权重为 ．（百分比）
【答案】
【分析】根据城市上涨1.6%，农村上涨1.2%可得相应方程，列式计算即可．
【详解】解：设城市的权重为x，根据题意得：故答案为：．
【点睛】本题考查权重的意义，根据权重的意义列式计算是解题的关键．
17．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）某同学使用计算器求20个数据的平均数时，错将其中一个数据201输入为21，那么由此求出的这组数据的平均数比实际平均数少________.
【答案】9
【分析】在输入的过程中错将其中一个数据201输入为21少输入180，在计算过程中共有20个数，所以少输入的180对于每一个数来说少，则实际平均数与求出的平均数的差即为9．
【详解】解：求20个数据的平均数时，错将其中一个数据201输入为21，即少加了，
由此求出的这组数据的平均数比实际平均数少，故答案为：9．
【点睛】本题考查平均数的性质，求数据的平均值是研究数据常做的，平均值反映数据的平均水平，可以准确的把握数据的情况．
18．（2022上·福建漳州·八年级校考期末）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至年底，按照农民人均年纯收入元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫：现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取户，统计其年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．
估计2021年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值为 千元．
【答案】
【分析】本题考查加权平均数的应用，样本估计总体，解题的关键掌握加权平均数的计算方法．据此解答即可．
【详解】解：（千元）；
∴估计2021年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值为千元．故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024·陕西咸阳·七年级统考期末）下表是某女子篮球队其中五名队员的身高情况：（单位：）．
女篮队员 A B C D E
个人身高 176 a 207 192 191
个人身高与全队平均身高的差值 b c
(1)求出a，b，c的值；
(2)求该女子篮球队这五名队员的平均身高．
【答案】(1)，，(2)这5名女篮队员的平均身高为
【分析】本题考查了平均数，有理数的运算，读懂题意，正确计算是解题的关键．
（1）先求出全队的平均身高，再分别计算出a，b，c的值；
（2）根据平均数的计算方法计算求解即可．
【详解】（1）解：该女子篮球队全队平均身高是，
，
，
．
（2）解：这5名女篮队员的平均身高为
．
20．（2024·浙江·八年级培优）有10个同学围成一圈做游戏，游戏规则是：每个人心里都想好一个数，并把想好的这个数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若这10个同学报出来的数如图所示，求报数字5的同学心里所想的数．
【答案】
【分析】本题属于阅读理解和探索规律题，考查了平均数的相关计算及方程思想的运用．解题关键是设未知数，将题中的等量关系展示出来，即可求出最终结果．先设报5的人心里想的数为，利用平均数的定义表示报9的人心里想的数；报13的人心里想的数；报17的人心里想的数；报1的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可．
【详解】解：设报5的人心里想的数是
∵报5与报9的两个人报的数的平均数是7，∴报9的人心里想的数应是，
报13的人心里想的数是，报17的人心里想的数是，
报1的人心里想的数是，
∵报1的人与报5的人心里想的数的平均数是3，∴，解得
21．（2023下·浙江衢州·八年级统考期末）某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班40名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．测试成绩与得票率分别统计如下：
测试项目 测试成绩（分）
甲 乙 丙
笔试 75 80 84
口试 90 80 80
(1)请算出三人的得票分．(2)通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选．
(3)如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩，请说明谁将被选中．
【答案】(1)甲20分，乙32分，丙28分(2)无法确定人选(3)丙被选中
【分析】（1）根据得票数，求出三人的得票分即可；
（2）分别算出甲、乙、丙三人的平均分，进行判断即可；
（3）分别算出三个人的加权平均数，然后进行判断即可．
【详解】（1）解：甲的得票分为：（分），
乙的得票分为：（分），丙的得票分为：（分）．
（2）解：甲的平均分为：（分），
乙的平均分为：（分），丙的平均分为：（分），
∵乙和丙的平均分相同，∴无法确定人选．
（3）解：甲：（分）．
乙：（分）．
丙：（分）．∴丙被选中．
【点睛】本题主要考查了加权平均数的计算，利用平均数和加权平均数做决策，解题的关键是准确求出平均数和加权平均数．
22．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）某班开展一次综合与实践活动，部分记载如下：
【活动主题】利用树叶的特征对树木进行分类．
【实践过程】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【问题解决】(1)同学们通过计算得到芒果树叶的长宽比的平均数是3.74，请你继续计算出荔枝树叶的长宽比的平均数；
(2)从树叶的长宽比的平均数来看，现有一片长13cm，宽6.5cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
【答案】(1)(2)可能来自荔枝，理由见解析
【分析】（1）根据平均数的计算公式进行计算即可；
（2）计算芒果树叶的长宽比的平均数，根据树叶的长宽比判断即可．
【详解】（1）荔枝树叶的长宽比的平均数为，
故荔枝树叶的长宽比的平均数为：．
（2）芒果树叶的长宽比的平均数为，
∵一片长13cm，宽6.5cm的树叶，长宽比为，∴这片树叶更可能来自荔枝．
【点睛】本题考查了平均数的公式，根据平均数进行判断，熟练掌握平均数的定义和计算公式是解题的关键．
23．（2023下·广西贺州·七年级统考期末）综合与实践
【问题情境】某校组织九年级名学生开展体育中考前的“引体向上提升”训练活动
【实践发现】为了考查训练效果，在进行提升训练前学校先组织全体学生进行了摸底测试，经过提升训练后再进行模拟考试，并用抽样调查的方式从中随机抽取了名学生提升训练前后的摸底测试和模拟考试的成绩，收集整理后，制成如下表格：
摸底测试 成绩（个）
人数（人）
模拟考试 成绩（个）
人数（人）
【问题解决】(1)求这名学生摸底测试的平均成绩是多少个？
(2)求这名学生经过训练后，模拟考试的平均成绩？
(3)问这名学生经过训练后，成绩有没有进步？请说明原因？
【答案】(1)摸底测试的平均成绩是个(2)模拟考试的平均成绩的平均成绩个
(3)训练后成绩是有进步的，理由见解析
【分析】（1）根据平均数是指在一组数据中，所有数的和除以这些数的个数所得出的结果即可解答；
（2）根据平均数是指在一组数据中，所有数的和除以这些数的个数所得出的结果即可解答；
（3）根据比较（1）（2）计算出的平均数的大小即可解答．
【详解】（1）解：由表格可知，摸底测试成绩平均次数：（个），
答：摸底测试的平均成绩是个；
（2）解：由表格可知，摸拟考成绩平均次数：（个），
答：模拟考试的平均成绩的平均成绩个；
（3）解：∵摸底测试的平均成绩是个，模拟考试的平均成绩的平均成绩个，
∴，∴训练后成绩是有进步的．
【点睛】本题考查了平均数是指在一组数据中，所有数的和除以这些数的个数所得出的结果，熟记平均数的定义是解题的关键．
24．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表：
项目 甲班的成绩（分） 乙班的成绩（分）
服装统一 95 90
进退场有序 90 85
动作规范 85 b
动作整齐 90 95
平均分 a 90
(1)表中a的值为___________；b的值为___________．
(2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩；(3)你认为上面四项中，哪一项最重要 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩最高
【答案】(1)90，90(2)甲班：89；乙班：91(3)见解析
【分析】本题考查了平均数和加权平均数；（1）根据求平均数的公式即可求解；（2）根据求加权平均数的公式即可求解；（3）动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩．
【详解】（1）解：，，解得：；故答案为：，
（2）解：甲班：，乙班：
（3）解：动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩，则甲班：，乙班：，
∴乙班成绩更高；
25．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色热爱篮核选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录．
成绩/分
篮球知识 身体素质 篮球技能
甲 93 94 89
乙 88 90 95
(1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜；
(2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜；
(3)如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由．
【答案】(1)甲将获胜；(2)乙将获胜；(3)见解析
【分析】本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键．
（1）利用算术平均数的定义求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案；
（2）根据加权平均数的定义列出算式，求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案；
（3）按第（2）问的标准即可．
【详解】（1）解：甲的成绩为（分），乙的成绩为（分），
∵，∴甲将获胜；
（2）解：甲的成绩为（分），乙的成绩为（分），
∵， ∴乙将获胜；
（3）解：将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，乙将获胜，
理由：因为是“篮球特色班”，要重点关注的是篮球技能，所以将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩．
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专题3-1 平均数
模块1：学习目标
1. 掌握平均数的概念，会求一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想。
2.了解加权平均数的意义和求法；理解权的差异对平均数的影响，能用加权平均数解释现实生活中一些简单的现象。
模块2：知识梳理
1）算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=。简称平均数。
算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平。
注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数。
2）结论：若=；=。
则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±；②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为+）。
③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b。
∵ax1，ax2，…，axn的平均数为a； ∴x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b。
3）加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则叫做这n个数的加权平均数。前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1。
注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆。
模块3：核心考点与典例
考点1、求一组数据的算术平均数
例1．（2024上·四川成都·八年级统考期末）小亮参加校园十佳歌手比赛，五个评委的评分分别是96、92、95、88、92．去掉一个最高分，去掉一个最低分，他的平均得分是（ ）
A．92 B．93 C．92.6 D．91.6
变式1．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）一组数据4、7、6、8、10的平均数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
变式2．（2024上·安徽黄山·七年级统考期末）某班抽查了8名同学的期末质量检测成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，， ．则这8名同学的期末质量检测成绩平均分是（ ）
A．96 B．84 C．82 D．80
变式3．（2023上·陕西西安·八年级统考期末）2023年12月18日23时59分在甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，牵动着师生们的心．某学校立即组织师生“献爱心”捐款活动，八年级一班第一小组9名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：这9名同学捐款的平均金额为（ ）元．
金额/元
人数
A．13 B．14 C．15 D．16
考点2、利用算术平均数求参数
例1．（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a的值为 ．
变式1. （2023下·北京密云·八年级校考期中）如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则 ．
分数 70 80 90 100
人数 1 3 x 1
变式2. （2023上·陕西西安·八年级校联考阶段练习）已知一组数据：，，，，，，，的平均数为，其中，求，的值．
考点3、利用算术平均数求相关数据的平均数
例1．（2024·浙江·七年级培优）五个有理数排成一列，前三个有理数的平均值为a，后两个有理数的平均值是b，那么这五个有理数的平均值是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024·浙江八年级课时练习）已知数据、、的平均数为，、、的平均数为，则数据、、的平均数为（）
A． B． C． D．
变式2．（2023·广东东莞·七年级校联考期末）在一次测评中，小红语文和数学两科的平均分是a分，这两科平均分比英语多9分，小红这三科的平均分是 分．
考点4、运用算术平均数作决策
例1．（2023上·福建泉州·七年级统考开学考试）泉州农运会上张三和李四都参加了踢毽子比赛活动，按比赛规则每人踢5次．下面分别是李四踢毽子情况的统计表和两位同学踢毽子情况的复式统计图．
李四5次踢毽子情况统计表次数第1次第2次第3次第4次第5次个数（个）1013252030
(1)根据统计表的数据，完成统计图；(2)看图回答下面的问题．
①哪几次两人踢毽子的个数同样多？
_______________________________________________________________
②从总体情况看，谁踢毽子的水平比较高？（简要说明理由）
_______________________________________________________________
变式1. （2024上·湖南益阳·九年级统考期末）某地教育局为了解某校高中学生的每天平均睡眠时间的情况，随机抽取了该校50名高中学生进行调查访问，收集数据，整理数据，将数据分成7组，用频数分布直方图描述数据，请你根据图表解决以下问题：
（注：每个组取值范围包含左端点不包含右端点）
(1)该校500名高中学生中，每天平均睡眠时间至少8小时的人数约有多少？
(2)求这组数据的平均数．（提示：利用直方图求平均数时，一般取每个组的取值范围的中点值作为估算值进行计算．例如，第1组的取值范围，则取作为第1组的估算值．）
(3)如果你是当地教育局负责人，请你根据以上数据，对该学校提出一条整改建议．
变式2. （2023上·福建龙岩·九年级校考期中）出行是人们日常生活必不可少的组成部分，随着人们环保观念的加深，绿色出行已成了许多人的首要选择．小健为了了解自己每年的出行方式，收集了其中60次的数据，整理成条形统计图．
(1)小健乘地铁的次数占这60次样本数据的 %；(2)小健在一段时间内出行了150次，请你估计这段时间他步行的次数是 次；(3)已知每种出行方式的平均花费如下表：小健的妈妈每年给小健的出行费用为1500元，一年按365天计算，若小健平均每天出行2次，试说明小健的出行费用是否足够？
出行方式 步行 骑自行车 乘公交车 乘地铁 乘出租车
单价（元/次） 0 0.5 1 3 11
考点5、求加权平均数
例1．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）《义务教育课程方案（2022年版）》在改进教育评价部分强调：要强化素养导向，注重对正确价值观、必备品格和关键能力的考查，开展综合素质评价．某校积极响应号召，期末从德、智、体、美、劳五方面对学生进行综合素质评价，将德、智、体、美、劳五项得分按的比例确定综合成绩．小亮本学期五项得分如图所示，则他期末综合素质评价成绩为（ ）
A．7分 B．8分 C．9分 D．10分
变式1.（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）古人云：“不学礼，无以立”！中国素来是一个温文尔雅、落落大方、谦恭礼让的文明礼仪之邦，我们的举手投足、音容笑貌，无一不体现着华夏儿女的气质与素养某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛活动，参赛选手的最终得分由三项组成：礼仪服装占，语言表达占，举止形态占，晶晶在本次比赛中礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分依次为90分、85分、80分，则晶晶本次比赛的最终得分为（ ）
A．80分 B．85分 C．88分 D．90分
变式2.（2023上·山东青岛·八年级统考期末）随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是 元．
考点6、利用加权平均数求参数
例1．（2023上·山西太原·八年级校联考阶段练习）坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列的知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表：
成绩 86 90 98 100
人数 1 3 1
已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式1. （2023·重庆巴南·八年级统考期末）已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的 ．
变式2.（2023·北京朝阳·八年级统考期末）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大．
考点7、运用加权术平均数作决策
例1．（2024上·山西太原·八年级统考期末）2023年11月16日11时55分，酒泉卫星发射中心成功将新一代海洋水色观测卫星01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道．八年级某班以此为契机举行了“航天知识知多少”的主题活动，下面是小文、小玉本次活动各项成绩（单位：分）的统计表．
书面测试 知识抢答 演讲比赛
小文 89 81 85
小玉 81 83 88
(1)如果根据三项成绩的平均分计算最终成绩，请说明小文、小玉谁的成绩高；(2)如果将书面测试、知识抢答、演讲比赛三项成绩按照2∶3∶5的比例计算最终成绩，请说明小文、小玉谁的成绩高．
变式1. （2024上·山西忻州·八年级校联考期末）杭州亚运会期间，万名志愿者“小青荷”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“小青荷”，必须经过层层考验，下面是亚运会志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）：
项目 外语能力 综合素质 形象礼仪 赛事服务经验
甲
乙
(1)如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”；(2)如果将外语能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”．
变式2. （2024上·辽宁锦州·八年级统考期末）为了贯彻《积极推进中小学素质教育的若干意见》的文件和党的“二十大”精神，积极实施素质教育，某校举办了艺术节活动（活动包括多个项目的比赛）．在艺术节活动中，全校共有20名学生报名参加了主持人大赛，大赛内容共有三项：自由朗读、创意写作、即兴演讲，每个项目的比赛均由5位评委打分（满分100分），5位评委的平均分作为该项目比赛的实际成绩，三项比赛完成后，将自由朗读、创意写作、即兴演讲三项比赛的实际成绩按的比例计算每个主持人比赛的总评成绩．小明、小丽的三项实际成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下．
选手 实际成绩/分 总评成绩/分
自由朗读 创意写作 即兴演讲
小明 81 70 79 __________
小丽 86 __________ 75 __________
(1)在创意写作比赛中，5位评委给小丽打出的分数为：83，78，79，85，80．请你计算小丽的总评成绩；(2)如果总评成绩排在前12名的同学将进入决赛，试分析小明、小丽能否进入决赛，并说明理由．
考点8、出错情况下的平均数问题
例1．（2023·广东八年级课时练习）某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（ ）
A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6
变式1.（2023·浙江八年级月考）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为150，那么由此求出的平均数比实际平均数多 ．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024上·河北唐山·九年级统考期末）现有甲、乙两组数据，数据甲：1，2，3，4．数据乙：2021，2022，2023，2024．若数据甲的平均数为，乙的平均数为，则与之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江杭州·八年级校考期中）在一竞赛中，老师将90分规定为标准成绩，记作0分，高出此分记为正，不足此分记为负，五名参赛者的成绩：，，，，0．那么（ ）
A．最高成绩为90分 B．最低成绩为88分 C．平均分为90分 D．平均分为分
3．（2023·陕西西安·八年级校联考期中）一组数据，，，，的平均值是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（ ）
A．80 B．82 C．84 D．86
5．（2023上·河北沧州·九年级统考期中）已知，，…，的平均数为2，则，，…，的平均数是（ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
6．（2023·湖南怀化·八年级统考期末）一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（ ）分
A．86 B．88 C．90 D．92
7．（2023·江苏宿迁·统考一模）甲、乙两班的数学平均成绩分别为72分和77分，现在，小明同学从乙班调到甲班，调动后再计算，结果两班成绩都有所上升，则小明同学此次数学成绩可能是（ ）
A．62分 B．72分 C．75分 D．85分
8．（2023·云南昆明·八年级统考阶段练习）体育课上，小扬、小杰、蕾蕾和思思4名同学进行投沙包比赛，每人投3次，结果如下图，在这4名同学中，平均成绩大约是的是( )
A．小扬 B．小杰 C．蕾蕾 D．思思
9．（2023·河南信阳·校考三模）黄河是中华民族的母亲河，保护黄河是事关中华民族伟大复兴的千秋大计．2023年4月1日，《中华人民共和国黄河保护法》施行，为响应“保护黄河青春行”系列主题活动，在黄河岸边的某校特举行“黄河小小讲解员”选拔比赛、选拔赛主要从主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象四方面进行打分，小宇、小叶、小珍的成绩如下，下面判断正确的是（ ）
评分细则 选手
小宇 小叶 小珍
主题内容 8 9 7
语言表达 8 7 7
仪态形象 8 7 9
综合印象 7 6 8
A．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按1:1:1:1打分、小珍将会获得胜利
B．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按40%，30%，20%，10%计算平均分，则小叶将会获得胜利
C．若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按40%，20%，20%，20%计算平均分，则小字将会获得胜利
D．若你认为主题内容和语言表达都很重要，所以将主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象的得分比例设计为4:3:2:1
10．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）每次监测考试完后，老师要对每道试题难度作分析．已知：题目难度系数该题参考人数得分的平均分该题的满分．上期全市八年级期末质量监测，有11623名学生参考．数学选择题共设置了12道单选题，每题5分．最后一道单选题的难度系数约为，学生答题情况统计如表：
选项 留空 多选
人数 11 22 4209 3934 2057 1390
占参考人数比（%）
根据数据分析，可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·浙江·八年级校联考期中）第届亚运会将在杭州举办，某射箭运动员在富阳射击射箭馆进行训练，他连续射靶次，所得环数分别是：，，，，，则这运动员所得环数的平均数为 ．
12．（2023·陕西西安·八年级校考期末）已知四个数的和是33，其中一个数为12，那么其余三个数的平均数是 ．
13．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ．
14．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）在数据4，5，6，5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则你添加的这个数可以是 ．
15．（2023上·河南信阳·七年级统考期末）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是 （已知数，则两数的平均数为）．
16．（2022下·湖北宜昌·八年级统考期末）国家统计局2022年6月10日公布了2022年1至5月浙江居民消费价格指数上涨为1.5%，其中城市上涨1.6%，农村上涨1.2%，请问在浙江居民消费价格指数构成中，城市的权重为 ．（百分比）
17．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）某同学使用计算器求20个数据的平均数时，错将其中一个数据201输入为21，那么由此求出的这组数据的平均数比实际平均数少________.
18．（2022上·福建漳州·八年级校考期末）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至年底，按照农民人均年纯收入元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫：现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取户，统计其年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．
估计2021年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值为 千元．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024·陕西咸阳·七年级统考期末）下表是某女子篮球队其中五名队员的身高情况：（单位：）．
女篮队员 A B C D E
个人身高 176 a 207 192 191
个人身高与全队平均身高的差值 b c
(1)求出a，b，c的值；(2)求该女子篮球队这五名队员的平均身高．
20．（2024·浙江·八年级培优）有10个同学围成一圈做游戏，游戏规则是：每个人心里都想好一个数，并把想好的这个数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若这10个同学报出来的数如图所示，求报数字5的同学心里所想的数．
21．（2023下·浙江衢州·八年级统考期末）某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班40名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．测试成绩与得票率分别统计如下：
测试项目 测试成绩（分）
甲 乙 丙
笔试 75 80 84
口试 90 80 80
(1)请算出三人的得票分．(2)通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选．
(3)如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩，请说明谁将被选中．
22．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）某班开展一次综合与实践活动，部分记载如下：
【活动主题】利用树叶的特征对树木进行分类．
【实践过程】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【问题解决】(1)同学们通过计算得到芒果树叶的长宽比的平均数是3.74，请你继续计算出荔枝树叶的长宽比的平均数；(2)从树叶的长宽比的平均数来看，现有一片长13cm，宽6.5cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
23．（2023下·广西贺州·七年级统考期末）综合与实践
【问题情境】某校组织九年级名学生开展体育中考前的“引体向上提升”训练活动
【实践发现】为了考查训练效果，在进行提升训练前学校先组织全体学生进行了摸底测试，经过提升训练后再进行模拟考试，并用抽样调查的方式从中随机抽取了名学生提升训练前后的摸底测试和模拟考试的成绩，收集整理后，制成如下表格：
摸底测试 成绩（个）
人数（人）
模拟考试 成绩（个）
人数（人）
【问题解决】(1)求这名学生摸底测试的平均成绩是多少个？(2)求这名学生经过训练后，模拟考试的平均成绩？(3)问这名学生经过训练后，成绩有没有进步？请说明原因？
24．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表：
项目 甲班的成绩（分） 乙班的成绩（分）
服装统一 95 90
进退场有序 90 85
动作规范 85 b
动作整齐 90 95
平均分 a 90
(1)表中a的值为___________；b的值为___________．
(2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩；(3)你认为上面四项中，哪一项最重要 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩最高
25．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色热爱篮核选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录．
成绩/分
篮球知识 身体素质 篮球技能
甲 93 94 89
乙 88 90 95
(1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜；(2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜；(3)如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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