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专题3-3 方差和标准差
模块1：学习目标
1.了解极差和方差、标准差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征。
2.体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法。
3.从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用,养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度。
模块2：知识梳理
1）极差：一组数据中最大值与最小值的差。
极差反映了一组数据中极端值的变化。当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。
2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2.
方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定。
3）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性。
模块3：核心考点与典例
考点1、求方差
例1．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）有一组数据如下：92，93，a，94，95，它们的平均数是93，则这组数据的方差是 ．
【答案】2
【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．先由平均数计算出的值，再计算方差，一般地设个数据，的平均数为，，则方差
【详解】解：，
，故答案为：2．
变式1. （2024上·贵州铜仁·九年级统考期末）德江某板鸭加工厂，为调查一批旱鸭的品质，从中随机选取了4只，以斤为计量单位（1斤等于500克），记录其质量分别为6斤、7斤、8斤、7斤，则估计这批旱鸭质量的方差是（ ）
A． B． C．7 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了方差，解题的关键是先计算平均数，然后根据方差的计算公式计算即可．
【详解】解：这批旱鸭质量的平均数为：（斤），
方差：（斤）．故选：B．
变式2.（2024上·山东聊城·八年级统考期末）一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查方差．根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案．
【详解】解：平均数为：，
故方差是：．故答案为：．
变式3.（2023·山东枣庄·校考模拟预测）已知一组数据、、、…、，其平均数为1，方差为；则另一组数据、、、…、的平均数为________，方差为________．
【答案】 3 5
【分析】一组数据中的每一个数加或减一个数，它的平均数也加或减这个数；一组数据中的每一个数都变为原数的n倍，平均数变为原数的n倍，它的方差变为原数据的倍，由此即可求解．
【详解】解：∵一组数据、、、…、，其平均数为1，
∴数据、、、…、的平均数为：，
∵、、、…、的方差为，∴、、、…、的方差是．
故答案为：3，5．
【点睛】本题考查根据已知数据的平均数和方差，求另一组数据的平均数和方差，掌握平均数公式和方差公式是解题关键．
考点2、利用方差求参数值
例1．（2024上·江苏无锡·九年级统考期末）若一组数据2，3，4，的方差比另一组数据5，6，7，8的方差大，则的值可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】本题考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义．观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解．
【详解】解：数据5，6，7，8，每2个数相差1；数据2，3，4， x的前3个数据也相差1，若或，两组数据方差相等，而数据2，3，4，的方差比另一组数5，6，7，8的方差大，说明2，3，4，的波动大，则x的值可能是7，故D正确．故选D．
变式1（2024上·江苏南京·九年级校联考期末）若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查方差，观察两组数据分布特点，根据方差表示的是数据波动大小求解．
【详解】数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2，一组数据1，3，5，7，前4个数据也是相差2，数据波动一致，∴若或时，两组数据方差相等，
当时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19小，即方差更小，
当或时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19大，即方差更大，
则的值不可能是10．故选：A．
考点3、根据方差判断稳定性
例1．（2024上·山西晋中·八年级统考期末）某校成立了甲，乙，丙，丁四支升国旗护旗队，各队队员身高的平均数与方差如下表所示，则四支护旗队中身高最整齐的是（ ）
甲 乙 丙 丁
165.2
A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队
【答案】A
【分析】本题主要考查了方差与数据波动之间的关系，熟知方差越小，波动性越小，方差越大，波动性越大是解题的关键．
【详解】解：∵，∴四支护旗队中身高最整齐的是甲队，故选：A．
变式1. （2024上·山东济南·八年级统考期末）某中学八年级（1）班甲、乙两名学生参加同一学期的五次数学测试，两人的平均分和方差分别为，，，，那么成绩较稳定的是 ．
【答案】乙
【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可．
【详解】解：甲、乙两个班的平均分相同，，因此成绩较稳定的是乙．故答案为：乙．
变式2. （2024上·四川成都·八年级统考期末）双流区某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，甲、乙两班分别派5名学生参加，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛得分：
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 87 93 88 88 94
乙班 90 96 87 91 86
根据上表，回答下列问题：
(1)填空：甲班5名学生的比赛得分的众数是_____分，乙班5名学生的比赛得分的中位数是_____分；
(2)分别计算甲班、乙班参赛学生比赛得分的方差，并判断哪一个班选手的比赛得分较为整齐．
【答案】(1)88，90 (2)甲班选手的比赛得分较为整齐
【分析】本题考查统计综合，涉及众数定义与求法、中位数定义与求法、平均数求法、方差求法及利用方差作决策等知识，熟练掌握相关统计量的定义及求法是解决问题的关键．
（1）根据众数的定义及中位数定义和求法直接求解即可得到答案；
（2）先求出甲乙班的平均数，再由方差定义求出甲乙两班的成绩方差，比较大小即可得到答案．
【详解】（1）解：由表可知，甲班5名学生的比赛得分的众数是分；
，乙班5名学生的比赛得分的中位数是分；故答案为：，；
（2）解：甲班5名学生的比赛得分的平均数是分；
乙班5名学生的比赛得分的平均数是分；
；
；
，甲班5名学生的比赛得分较为整齐．
考点4、运用方差做决策
例1．（2023上·四川成都·八年级统考期末）果农小明随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 ．
甲 乙 丙
【答案】甲
【分析】本题考查了方差和平均数，先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定，即可求解，掌握方差越小数据越稳定是解题的关键．
【详解】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；
故答案为：甲．
变式1. （2024上·山东淄博·八年级统考期末）为备战运动会，对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9.6 8.9 9.6 9.6
1.4 0.8 2.3 0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
【答案】丁
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．根据平均数和方差的意义求解即可．
【详解】解：由表格知，甲、丙、丁，平均成绩较好，而丁成绩的方差小，成绩更稳定，
所以要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁．故答案为：丁．
变式2. （2023上·河南郑州·八年级统考期末）新郑红枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某外贸公司从甲、乙两个红枣厂家各随机抽取15盒进行检测，平均质量都是200克/盒，方差分别是，，你认为外贸公司会选择 红枣厂家．（填“甲”或“乙”）．
【答案】乙
【分析】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据方差的意义可作出判断．
【详解】解：∵甲、乙两个红枣厂家各随机抽取15盒进行检测，平均质量都是200克/盒，方差分别是，，，
∴较整齐的是乙厂，外贸公司会选择乙红枣厂家，故答案为：乙．
变式3．（2024上·河北唐山·九年级统考期末）某中学从校射击队队员中选拔一名选手参加男子射击比赛，小明和小刚入选，二人最近10次校内比赛的平均成绩均为9.6环，小明成绩的方差，小刚成绩的方差．若教练组根据平均成绩和方差决定派小刚去参加比赛，则的值可能为（ ）
A．0.34 B．0.36 C．0.4 D．0.42
【答案】A
【分析】本题考查根据方差和平均数做决策．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：小明和小刚的平均成绩均为9.6环，
∴派小刚去参加比赛是因为小刚的方差小，相对稳定，
∴，符合条件的为0.34，故选A．
考点5、求标准差
例1．（2023上·江苏·九年级专题练习）已知一个样本1、a、3、4、7，它的平均数是4，则这个样本的标准差是 ．
【答案】
【分析】先由平均数的公式计算出a的值，根据方差的公式计算出方差，再计算标准差．
【详解】解：由题意得：解得：
方差∴标准差故答案为：．
【点睛】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：
（1）计算数据的平均数；
（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；
（3）计算偏差的平方和；
（4）偏差的平方和除以数据个数．
标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
变式1．（2023·浙江八年级期中）已知一组数，，，，的平均数为，那么这一组数的标准差为 ．
【答案】
【分析】先由平均数的公式求出a的值，再求出方差，由此得到标准差．
【详解】解：∵数，，，，的平均数为，∴，解得，
∴这组数据为2，4，5，1，3，∴方差为，
∴数据的标准差为，故答案为：．
【点睛】此题考查了利用平均数求数据中的未知数，计算方差和标准差，正确掌握各计算公式是解题的关键．
变式2．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知四个数据的方差是，那么四个数据的标准差是 ．
【答案】
【分析】本题考查了标准差，先求出四个数据的方差，再根据标准差是方差的算术平方根即可求解，掌握方差的计算公式是解题的关键．
【详解】解：设原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了，则平均数变为，
则原数据的方差，
现在的方差，
，
∴数据的标准差为，故答案为：．
考点6、求极差
例1．（2024上·广东佛山·八年级统考期末）2023年立冬（11月8日）后某市一周内每天的最高气温如下表：
日期 9日 10日 11日 12日 13日 14日 15日
最高气温（℃） 28 28 24 24 19 18 23
分析表格中的数据可知，这周每天的最高气温的极差是 ℃；
【答案】
【分析】本题考查了极差的概念；理解极差的概念是解题的关键．根据极差的概念，表示最大数据与最小数据的差值进行求解即可．
【详解】解：这周每天的最高气温的极差为（）故答案为：10．
变式1. （2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）小明连续5天的体温数据如下（单位：）：，，，，，这组数据的极差是 .
【答案】
【分析】本题考查了极差的定义，极差是最大数据和最小数据的差，据此解答．
【详解】解：这组数据的极差是：（）．故答案为：．
变式2. （2024上·江苏泰州·九年级统考期末）已知一组数据96，89，92，95，98，这组数据的极差是 ．
【答案】9
【分析】本题考查极差，理解极差的定义是解题的关键．根据极差的定义“极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差”，即可求解．
【详解】解：数据96，89，92，95，98中，最大值为98，最小值为89，
因此这组数据的极差是：，故答案为：9
考点7、利用极差求参数值
例1．（2023·福建福州·八年级校考期中）如果有一组数据-2，0，1，3，的极差是6，那么的值是 ．
【答案】4或-3/-3或4
【分析】根据极差的定义求解．分两种情况：x为最大值或最小值．
【详解】解：∵3-（-2）=5，一组数据-2，0，1，3，x的极差是6，
∴当x为最大值时，x-（-2）=6，解得x=4；
当x是最小值时，3-x=6，解得：x=-3．故答案为：4或-3．
【点睛】此题主要考查了极差的定义，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题的关键．
变式1. （2023·浙江·统考三模）若五个数据2，，3，x，5的极差为8，则x的值为 ．
【答案】7或
【分析】根据题目给的数据和极差的定义，可分两种情况讨论：x是最大值和x是最小值，分别列式计算，可求解．
【详解】解：由题意可得：极差是8，故x不可能是中间值，
若x是最大值，则，∴，
若x是最小值，则，∴，
则x的值为7或，故答案为：7或．
【点睛】本题考查了极差的定义，熟记概念是解题的关键．
变式2. （2023·江苏宿迁·九年级统考期中）某地一周的日最高气温分别本周的日最高气温的极差是，则x的值可能是（ ）．
A．2 B．14 C．2或14 D．8
【答案】C
【分析】根据极差的定义：一组数据中的最大值减去最小值即为极差，进行解答即可．
【详解】解：根据题意可得：或，
解得：或，∴x的值可能是2或14，故选：C．
【点睛】本题考查了极差的定义，熟知一组数据中的最大值减去最小值所得的结果即为极差是解本题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·云南文山·八年级统考期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，四人10次射击的平均成绩都是9.2环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，根据方差越小，成绩越稳定进行求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，∴这四个人成绩最稳定的是乙，故选：B．
2．（2023上·山东威海·八年级统考期末）若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（ ）．
A． B．8或 C．8 D．7或
【答案】D
【分析】当x为最大值和最小值时分别根据极差列方程即可．
【详解】解：当x为最大值时，，解得；
当x为最小值时，，解得，故选D．
【点睛】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
4．（2023下·江苏南通·八年级校考阶段练习）白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．中位数是4 B．众数是4 C．平均数是4 D．方差是
【答案】D
【分析】本题主要考查方差、众数、中位数及平均数的定义，解题的关键是掌握方差、众数、中位数及平均数的定义．根据方差公式得出这组数据，中位数是第二位数和第三位数的平均数；众数是出现次数最多的4；四个数相加之和再除以4求其平均数；每个数据与平均数的差的平方之和，再除以4求出方差．
【详解】解：这组数据按照从小到大排列是：3、4、4、5，
中位数是4，众数是4，平均数是，
∴答案A、B、C均正确，，∴答案D错误，故选：D．
5．（2024下·北京东城·九年级景山学校校考开学考试）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本题主要考查了求平均数和方差，分别求出两所中学5名学生的成绩的平均数和方差，即可求解．
【详解】解：根据题意得：甲所中学名学生的成绩为，，，，，
乙所中学名学生的成绩为，，，，，
∴，，
，
，
∴，．故选：D
6．（2024上·山东菏泽·八年级统考期末）一组数据1，，0，，1的方差是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】此题考查了方差，掌握方差公式是解题的关键．一般地，设n个数据，，，，的平均数为，则方差．先算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．
【详解】，，
所以数据1，，0，，1的方差是．故选：D．
7．（2024上·山东威海·八年级统考期末）已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（ ）
A．2、 B．3、 C．、 2 D．、3
【答案】A
【分析】此题考查计算方差和标准差，熟练掌握计算公式是解题的关键，先求出数据的平均数，再根据方差及标准差公式求出方差．
【详解】解：这组数据的平均数，
方差，标准差，故选：A．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）某地统计最近五年报名参加中考人数增长率分别为：3.9%，4.3%，3.7%，4.3%，4.7%，业内人士评论说：“这五年中考人数增长率相当平稳”，从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据（ ）比较小
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】A
【分析】据方差的意义:是反映一组数据波动大小，稳定程度的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立，故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小．
【详解】根据方差的意义知，数据越稳定，说明方差越小，故选：A．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定;反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：，后来老师发现每人都少加了一道2分的题，每人补加2分后，这5人新成绩的以下数据特征①极差；②众数；③中位数；④平均数；⑤方差，其中不变的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查数据的集中趋势和波动大小的量，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差和极差不变．
【详解】解：∵每人补加2分后，这5人新成绩为，
∴众数、中位数、平均数都同时加2，而方差，极差不受影响，故选：B．
10．（2024上·山东聊城·八年级统考期末）一组数据的平均数是，方差是，则另一组数据、、、、、、的平均数和方差分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用已知数据的平均数和方差求相关数据的平均数和方差，掌握平均数和方差的计算公式是解题关键．
【详解】解：由题意得：，
，
∴
∵，…，
∴数据、、、、、、的方差为：
故选：D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·山东威海·八年级校联考期末）跳远运动员李阳对训练效果进行测试．6次跳远的成绩如下：7.5，7.7，7.6，7.7，7.9，7.8（单位：）这六次成绩的平均数为，方差为．如果李阳再跳两次，成绩为分别为，．则李阳这8次跳远成绩的方差 （填“变大”、“不变”或“变小”）．
【答案】变小
【分析】本题主要考查平均数和方差，掌握平均数和方差的求法是解题的关键．
【详解】解：∵李阳再跳两次，成绩为，，
∴这组数据的平均数是，∴这7次跳远成绩的方差是：
，
∴方差变小；故答案为：变小．
12．（2024上·陕西西安·八年级校考期末）已知一组数据1，3，5，6，x的众数为5，则这组数据的方差A为 ．
【答案】
【分析】本题考查了众数、求方差；掌握方差与众数的计算是关键．由题意可求得x的值，则由方差公式即可求解．
【详解】解：∵数据1，3，5，6，x的众数为5，∴；∵数据的平均数为：，
∴方差为：，故答案为：．
13．（2023·山东青岛·统考一模）如图，是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，那么 （填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了求方差，条形统计图，掌握方差的求法是解题的关键．
根据方差的计算方法进行计算即可．
【详解】解：解：乙的成绩为：8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，平均分为，
∴乙的成绩的方差为：
如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，
甲的成绩为：8，8，8，8，9，9，10，10，10，10，9，9，9，9，9，平均分为，
则甲的成绩的方差为：，∴．故答案为：．
14．（2024上·山东济南·八年级统考期末）甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的游泳队是 ．
【答案】丙
【分析】本题主要考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵，，，，∴，
∵平均身高都是，∴高比较整齐的游泳队是丙．故选：丙．
15．（2023上·福建宁德·八年级统考期末）在对一组样本数据进行分析时，小明列出了计算方差的式子：，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查方差和平均数的应用，解题的关键是根据方差的定义得出这组数据．
根据公式找出这组数据、平均数，根据平均数公式计算出x即可．
【详解】
这组数据为：3，5，x，4，3，平均数为：4，
，故答案为：5
16．（2023·山东·八年级统考期末）一组数据：，2，2，5，5的极差是4，则这组数据的方差为 ．
【答案】2.8
【分析】本题考查了极差、求平均数、求方差，根据这组数据的极差是4，求出的值，再根据平均数的定义和方差的定义进行计算即可，解题的关键是根据极差求出的值．
【详解】解：∵数据：，2，2，5，5的极差是4，或，或6，
当时，这组数据的平均数是，
方差，
当时，这组数据的平均数是，
方差，
∴这组数据的方差为，故答案为：．
17．（2023春·八年级单元测试）已知一组数据，，3，，6的中位数是1，则这组数据的标准差为_________．
【答案】##
【分析】先中位数的概念列出方程，求出的值，再根据方差的公式进行计算即可．
【详解】解：由题意知，数据，，3，，6的中位数是1，，
这组数据的平均数为：，
这组数据的方差为：，
∴标准差为故答案为：．
【点睛】本题考查了中位数和方差．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，关键是根据中位数的概念求得的值．
18．（2023春·浙江八年级期中）已知样本的平均数为100，方差是2，则________．
【答案】
【分析】先根据平均数的定义得到，则根据完全平方公式推出，再根据方差为2推出，进而推出，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵样本的平均数为100，
∴，∴，
∴，∴，
∵这组数据的方差是2，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平均数，方差和完全平方公式，正确根据方差和平均数的定义得到x、y的两个关系式是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）今年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦，测得其麦穗长（单位：）分别为8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，求这一组数据的方差．
【答案】1.2
【分析】本题考查了方差，掌握方差的计算方法是解决本题的关键．先计算这组数据的平均数，再计算这组数据的方差．
【详解】解：8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，
这十个数的平均数：．
．
即这一组数据的方差为1.2
20．（2023·浙江·八年级统考期末）某校为加强学生消防安全教育，要了解全校共1200名同学对消防知识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别为：
78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩分别为：
81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97．
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 100 a
乙 90 b 91
【应用数据】（1）根据以上信息，可以求出：_____分，______分；
（2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的______，______；
（3）结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析．
【答案】（1）93，87；（2）15，90；（3）见解析．
【分析】本题主要考查了方差，求平均数和中位数，熟练掌握方差，平均数和中位数的意义是解题的关键．（1）根据平均数和中位数的意义求出a，b的值，即可求解；
（2）根据方差公式，即可求解；（3）从平均数或方差两方面分析，即可求解．
【详解】（1）解：把甲班15名学生测试成绩从小到大排列为
78，83，85，87，89，90，92，93，97，94，95，98，99，100，100，
位于正中间的数为93分，∴，乙班15名学生测试成绩中87分的人数最多，
∴乙班的众数，故答案为：93，87；
（2）解：根据题意得：，；故答案为：15，90；
（3）解：从平均分看，甲班成绩的平均数大于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班；
从方差看，甲班成绩的方差大于乙班，所以乙班成绩更稳定．
21．（2023上·江苏南京·九年级统考期末）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：
上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．
(1)计算这7天最低气温的平均数和方差．(2)阅读冷空气等级标准表：
序号 等级 冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况
① 弱冷空气 降温幅度小于6℃
② 中等强度冷空气 降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃
③ 较强冷空气 降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃
④ 强冷空气 降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃
⑤ 寒潮 降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃
本次来临的冷空气的等级是 ．（填序号）
(3)本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．
【答案】(1)℃；℃(2)②(3)随着气温下降，风力逐渐增强
【分析】（1）先确定最低气温，再计算平均数和方差即可．
（2）计算相邻两天的最低气温的变化，对照标准确定答案即可．（3）答案不唯一，风力逐渐增强．
本题考查了平均数，方差的计算，温差的计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，七天的最低气温的平均数为：℃；
℃．
（2）∵周四与周五的温差为℃，降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃
∴来临的冷空气的等级是中等强度冷空气，故答案为：②．
（3）风力逐渐增强．
22．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）某学校调查九年级学生对宪法知识的了解情况，进行了宪法知识竞赛，随机抽取了20名学生的成绩，统计信息如下：
信息一：成绩频数分布表：
成绩x（分）
人数 4 2 6 8
信息二：成绩在这一组的数据是：92，92，93，93，94，94 .
根据以上信息，解答下列问题：(1)小明同学的竞赛成绩为93分，他的成绩 （填“达到”或“没有达到”）中上等水平，请说明理由；(2)计算成绩在这一组的数据的方差.
【答案】(1)没有达到(2)成绩在这一组的数据的方差是
【分析】（1）根据中位数的意义解答即可；（2）根据方差公式计算即可；
本题考查频数分布表、中位数和方差，理解中位数意义和掌握方差公式是正确求解的前提．
【详解】（1）他的成绩没有达到中上等水平，理由如下：因为这组数据的中位数是93.5，
，所以小明没有达到班级中间水平；
（2）∵（分）；
∴
答：成绩在这一组的数据的方差是．
22．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）小明、小颖准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学进行了6次测试，获得如下测试成绩的折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
(1)小明的平均成绩______分；小颖的平均成绩______分；(2)求小明成绩的方差；(3)现求得小颖成绩的方差为，根据折线统计图及上述计算结果，请说明哪位同学更适合參加学校竞赛？
【答案】(1)8，8(2)小明成绩的方差为3(3)小颖更适合参加学校竞赛
【分析】本题主要考查了求平均数和方差，以及根据方差作决策：
（1）分别将小聪和小明6次测验成绩相加，再除以6，即可求解；
（2）根据方差的定义：方差等于各个数据与平均数的差的平方的平均数，即可求解；
（3）分别比较两人成绩的平均数和方差，根据方差越小越稳定，即可做出决策．
【详解】（1）解：，
所以，小明、小颖的平均成绩均为8分．故答案为：8；8
（2）解：所以小明成绩的方差为3；
（3）解：从平均数看，两人的平均水平一样；从方差看，小颖的成绩比较稳定．
所以，小颖更适合参加学校竞赛．
23．（2024上·江苏连云港·九年级统考期末）小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：
小聪：，，，，小明：，，，，
(1)填写下表：
平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 8
小明 9 3.2
(2)根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？
(3)如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差______．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】(1)8，0.4，8，9(2)选择小聪，理由见解析(3)变小
【分析】本题考查求一组数据的众数、方差、中位数、平均数，利用平均数、方差作决策：
（1）根据众数、方差、中位数、平均数的定义求解；（2）利用平均数、方差作决策；
（3）根据方差公式计算出新方差，与原方差比较大小即可．
【详解】（1）解：小聪5次成绩为，，，，，众数为：8，
方差为：；
小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10，中位数为：9
平均数为：，故答案为：8，0.4，8，9；
（2）解：选择小聪，理由为：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定；
（3）解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分，
方差变为：，故答案为：变小．
24．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
Ⅰ．甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图；
甲 乙 丙
平均数
中位数
Ⅱ．丙家民宿“综合满意度”评分：
，，，，，，，，，．
Ⅲ．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数，如表22：根据以上信息，回答下列问题：(1)请求出表中x的值；(2)设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，，观察图形数据通过分析写出、、之间的大小关系；(3)据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）．
【答案】(1)(2)(3)推荐乙，理由见解析
【分析】本题考查了折线统计图，求一组数据的中位数，方差的意义；
（1）将丙甲家民宿“综合满意度”评分，重新排序，求得中位数即可求解；
（2）根据数据的波动范围即可求解；（3）根据平均数与方差两方面分析即可求解．
【详解】（1）解：丙家民宿“综合满意度”评分：
，，，，，，，，，
从小到大排列为：，，，，，，，，，
中位数
（2）根据折线统计图可知，甲的评分数据在分与分之间波动
乙的评分数据在分与分之间波动
根据丙的数据可知，丙的评分数据在分与分之间波动
（3）推荐乙 理由：乙的平均数较高，中位数较大，方差最小，数据稳定．答案不唯一，合理即可．
25．（2024上·江苏常州·九年级统考期末）目前我国射击运动发展较快，许多中小学开始推广普及射击运动．下图为甲、乙两名射击爱好者在相同条件下6次射击成绩．
(1)填表并判断： 的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）；
人员 平均数 方差
甲 7 1
乙 7
(2)在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的“平均差”，即，“平均差”也能描述一组数据的离散程度．请分别计算甲、乙成绩的“平均差”，并根据结果，简要概括“平均差”如何描述一组数据的离散程度．
(3)把函数中自变量的一组值和对应的函数值分别看成样本；样本．这两个样本的方差与之间有怎样的函数关系？请直接写出结果．
【答案】(1)甲；4(2)，，一组数据的“平均差”越小（大），该组数据的离散程度越小（大）(3)
【分析】此题主要考查了方差与极差以及平均差的求法，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；方差是各变量值与其均值之差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．（1）先计算出甲、乙的方差，再根据方差的意义得出谁的成绩更稳定即可；（2）根据“平均差”的定义计算并描述一组数据的离散程度即可；
（3）设自变量、、的平均数为，分别计算出自变量及函数值的方差，并得出结论即可．
【详解】（1），
，甲的成绩稳定，故答案为：甲；4；
（2）；
．
且由（1）可得甲的成绩更稳定，
一组数据的“平均差”越小（大），该组数据的离散程度越小（大）．
（3）解：设自变量、、的平均数为，，
、、的平均数为，，，；
．．
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专题3-3 方差和标准差
模块1：学习目标
1.了解极差和方差、标准差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征。
2.体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法。
3.从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用,养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度。
模块2：知识梳理
1）极差：一组数据中最大值与最小值的差。
极差反映了一组数据中极端值的变化。当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。
2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2.
方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定。
3）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性。
模块3：核心考点与典例
考点1、求方差
例1．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）有一组数据如下：92，93，a，94，95，它们的平均数是93，则这组数据的方差是 ．
变式1. （2024上·贵州铜仁·九年级统考期末）德江某板鸭加工厂，为调查一批旱鸭的品质，从中随机选取了4只，以斤为计量单位（1斤等于500克），记录其质量分别为6斤、7斤、8斤、7斤，则估计这批旱鸭质量的方差是（ ）
A． B． C．7 D．4
变式2.（2024上·山东聊城·八年级统考期末）一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ．
变式3.（2023·山东枣庄·校考模拟预测）已知一组数据、、、…、，其平均数为1，方差为；则另一组数据、、、…、的平均数为________，方差为________．
考点2、利用方差求参数值
例1．（2024上·江苏无锡·九年级统考期末）若一组数据2，3，4，的方差比另一组数据5，6，7，8的方差大，则的值可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
变式1（2024上·江苏南京·九年级校联考期末）若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
考点3、根据方差判断稳定性
例1．（2024上·山西晋中·八年级统考期末）某校成立了甲，乙，丙，丁四支升国旗护旗队，各队队员身高的平均数与方差如下表所示，则四支护旗队中身高最整齐的是（ ）
甲 乙 丙 丁
165.2
A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队
变式1. （2024上·山东济南·八年级统考期末）某中学八年级（1）班甲、乙两名学生参加同一学期的五次数学测试，两人的平均分和方差分别为，，，，那么成绩较稳定的是 ．
变式2. （2024上·四川成都·八年级统考期末）双流区某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，甲、乙两班分别派5名学生参加，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛得分：
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 87 93 88 88 94
乙班 90 96 87 91 86
根据上表，回答下列问题：
(1)填空：甲班5名学生的比赛得分的众数是_____分，乙班5名学生的比赛得分的中位数是_____分；
(2)分别计算甲班、乙班参赛学生比赛得分的方差，并判断哪一个班选手的比赛得分较为整齐．
考点4、运用方差做决策
例1．（2023上·四川成都·八年级统考期末）果农小明随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 ．
甲 乙 丙
变式1. （2024上·山东淄博·八年级统考期末）为备战运动会，对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9.6 8.9 9.6 9.6
1.4 0.8 2.3 0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
变式2. （2023上·河南郑州·八年级统考期末）新郑红枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某外贸公司从甲、乙两个红枣厂家各随机抽取15盒进行检测，平均质量都是200克/盒，方差分别是，，你认为外贸公司会选择 红枣厂家．（填“甲”或“乙”）．
变式3．（2024上·河北唐山·九年级统考期末）某中学从校射击队队员中选拔一名选手参加男子射击比赛，小明和小刚入选，二人最近10次校内比赛的平均成绩均为9.6环，小明成绩的方差，小刚成绩的方差．若教练组根据平均成绩和方差决定派小刚去参加比赛，则的值可能为（ ）
A．0.34 B．0.36 C．0.4 D．0.42
考点5、求标准差
例1．（2023上·江苏·九年级专题练习）已知一个样本1、a、3、4、7，它的平均数是4，则这个样本的标准差是 ．
变式1．（2023·浙江八年级期中）已知一组数，，，，的平均数为，那么这一组数的标准差为 ．
变式2．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知四个数据的方差是，那么四个数据的标准差是 ．
考点6、求极差
例1．（2024上·广东佛山·八年级统考期末）2023年立冬（11月8日）后某市一周内每天的最高气温如下表：
日期 9日 10日 11日 12日 13日 14日 15日
最高气温（℃） 28 28 24 24 19 18 23
分析表格中的数据可知，这周每天的最高气温的极差是 ℃；
变式1. （2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）小明连续5天的体温数据如下（单位：）：，，，，，这组数据的极差是 .
变式2. （2024·江苏·九年级统考期末）已知一组数据96，89，92，95，98，这组数据的极差是 ．
考点7、利用极差求参数值
例1．（2023·福建福州·八年级校考期中）如果有一组数据-2，0，1，3，的极差是6，那么的值是 ．
变式1. （2023·浙江·统考三模）若五个数据2，，3，x，5的极差为8，则x的值为 ．
变式2. （2023·江苏宿迁·九年级统考期中）某地一周的日最高气温分别本周的日最高气温的极差是，则x的值可能是（ ）．
A．2 B．14 C．2或14 D．8
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·云南文山·八年级统考期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，四人10次射击的平均成绩都是9.2环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2023上·山东威海·八年级统考期末）若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（ ）．
A． B．8或 C．8 D．7或
4．（2023下·江苏南通·八年级校考阶段练习）白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．中位数是4 B．众数是4 C．平均数是4 D．方差是
5．（2024下·北京东城·九年级景山学校校考开学考试）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．（2024上·山东菏泽·八年级统考期末）一组数据1，，0，，1的方差是（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．（2024上·山东威海·八年级统考期末）已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（ ）
A．2、 B．3、 C．、 2 D．、3
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）某地统计最近五年报名参加中考人数增长率分别为：3.9%，4.3%，3.7%，4.3%，4.7%，业内人士评论说：“这五年中考人数增长率相当平稳”，从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据（ ）比较小
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
9．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：，后来老师发现每人都少加了一道2分的题，每人补加2分后，这5人新成绩的以下数据特征①极差；②众数；③中位数；④平均数；⑤方差，其中不变的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024上·山东聊城·八年级统考期末）一组数据的平均数是，方差是，则另一组数据、、、、、、的平均数和方差分别是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·山东威海·八年级校联考期末）跳远运动员李阳对训练效果进行测试．6次跳远的成绩如下：7.5，7.7，7.6，7.7，7.9，7.8（单位：）这六次成绩的平均数为，方差为．如果李阳再跳两次，成绩为分别为，．则李阳这8次跳远成绩的方差 （填“变大”、“不变”或“变小”）．
12．（2024上·陕西西安·八年级校考期末）已知一组数据1，3，5，6，x的众数为5，则这组数据的方差A为 ．
13．（2023·山东青岛·统考一模）如图，是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，那么 （填“”、“”或“”）．
14．（2024上·山东济南·八年级统考期末）甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的游泳队是 ．
15．（2023上·福建宁德·八年级统考期末）在对一组样本数据进行分析时，小明列出了计算方差的式子：，则 ．
16．（2023·山东·八年级统考期末）一组数据：，2，2，5，5的极差是4，则这组数据的方差为 ．
17．（2023春·八年级单元测试）已知一组数据，，3，，6的中位数是1，则这组数据的标准差为_________．
18．（2023春·浙江八年级期中）已知样本的平均数为100，方差是2，则________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）今年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦，测得其麦穗长（单位：）分别为8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，求这一组数据的方差．
20．（2023·浙江·八年级统考期末）某校为加强学生消防安全教育，要了解全校共1200名同学对消防知识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97．
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 100 a
乙 90 b 91
【应用数据】（1）根据以上信息，可以求出：_____分，______分；（2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的______，______；（3）结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析．
21．（2023上·江苏南京·九年级统考期末）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：
上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．
(1)计算这7天最低气温的平均数和方差．(2)阅读冷空气等级标准表：
序号 等级 冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况
① 弱冷空气 降温幅度小于6℃
② 中等强度冷空气 降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃
③ 较强冷空气 降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃
④ 强冷空气 降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃
⑤ 寒潮 降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃
本次来临的冷空气的等级是 ．（填序号）
(3)本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．
22．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）某学校调查九年级学生对宪法知识的了解情况，进行了宪法知识竞赛，随机抽取了20名学生的成绩，统计信息如下：
信息一：成绩频数分布表：
成绩x（分）
人数 4 2 6 8
信息二：成绩在这一组的数据是：92，92，93，93，94，94 .
根据以上信息，解答下列问题：(1)小明同学的竞赛成绩为93分，他的成绩 （填“达到”或“没有达到”）中上等水平，请说明理由；(2)计算成绩在这一组的数据的方差.
22．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）小明、小颖准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学进行了6次测试，获得如下测试成绩的折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
(1)小明的平均成绩______分；小颖的平均成绩______分；(2)求小明成绩的方差；(3)现求得小颖成绩的方差为，根据折线统计图及上述计算结果，请说明哪位同学更适合參加学校竞赛？
23．（2024上·江苏连云港·九年级统考期末）小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：
小聪：，，，，小明：，，，，
(1)填写下表：
平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 8
小明 9 3.2
(2)根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？
(3)如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差______．（填“变大”、“变小”或“不变”）
24．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
Ⅰ．甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图；
甲 乙 丙
平均数
中位数
Ⅱ．丙家民宿“综合满意度”评分：
，，，，，，，，，．
Ⅲ．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数，如表22：根据以上信息，回答下列问题：(1)请求出表中x的值；(2)设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，，观察图形数据通过分析写出、、之间的大小关系；(3)据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）．
25．（2024上·江苏常州·九年级统考期末）目前我国射击运动发展较快，许多中小学开始推广普及射击运动．下图为甲、乙两名射击爱好者在相同条件下6次射击成绩．
(1)填表并判断： 的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）；
人员 平均数 方差
甲 7 1
乙 7
(2)在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的“平均差”，即，“平均差”也能描述一组数据的离散程度．请分别计算甲、乙成绩的“平均差”，并根据结果，简要概括“平均差”如何描述一组数据的离散程度．
(3)把函数中自变量的一组值和对应的函数值分别看成样本；样本．这两个样本的方差与之间有怎样的函数关系？请直接写出结果．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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