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专题2.1 一元二次方程
模块1：学习目标
1. 掌握一元二次方程的相关概念；
2. 会把一元二次方程化为一般形式并确定各项及各项的系数；
3. 掌握一元二次方程的解（根）及方程的近似解，会运用其解决相关问题；
4. 掌握一元二次方程的特征根问题，会用整体思想求解相关问题。
模块2：知识梳理
1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
3.一元二次方程的根
1）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
2）一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
3）常考点:为利用根的概念求代数式的值；
4）一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
模块3：核心考点与典例
考点1. 一元二次方程的辨别
例1．（2023·江苏九年级专题练习）下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】依据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】①当a＝0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程；②x2+ =6＝6是分式方程，不是一元二次方程；
③x2＝0是一元二次方程；④x＝3x2是一元二次方程；⑤（x＋1）（x 1）＝x2＋4x，整理后不含x的二次项，不是一元二次方程．故选A．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
变式1. （2023 仓山区九年级校级月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【解答】解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程；
②x24＝0属于分式方程；③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定义；
④x2﹣2+x3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．故选：A．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
变式2. （2023·江苏无锡市·九年级期中）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3＝x（x+4） B．x2﹣＝3 C．x2﹣10x＝﹣5 D．4x+6xy＝33
【答案】C
【分析】按照一元二次方程的定义判断，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：A、方程化简得：4x+3＝0，是一元一次方程，不符合题意；
B、x2﹣＝3为分式方程，不符合题意；C、x2﹣10x＝﹣5是一元二次方程，符合题意；
D、4x+6xy＝5是二元二次方程，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
考点2. 利用一元二次方程的概念求参数值
例1．（2023·江苏九年级一模）若方程是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．
【详解】解：∵(m-1)x2+x+=0是关于x的一元二次方程，∴m-1≠0，解得m≠1，故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
变式1.（2023 绵阳市九年级期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是
【分析】如果方程是一元二次方程，那么a﹣3≠0，同时有意义，a≥1，确定a的取值范围．
【解答】解：∵方程是一元二次方程，∴a﹣3≠0，得 a≠3，
又∵二次根式有意义，∴a﹣1≥0，得 a≥1，∴a≥1且a≠3．故本题的答案是a≥1且a≠3．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，要求二次项系数不能为0，同时要满足二次根式有意义的条件，然后确定a的取值范围．
变式2.（2023 新都区九年级校级月考）关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足 时，方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程．
【分析】利用一元二次方程定义和一元一次方程定义进行解答即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣4≠0，解得：m≠±2，
由题意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，故答案为：m≠±2；m＝﹣2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义和一元一次方程定义．
考点3. 一元二次方程的一般形式
例1．（2023 拱墅区校级九年级期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ．
【分析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括号，再移项，后合并即可．
【解答】解：（3x+2）（2x﹣3）＝5，去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，
移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0．
故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0，二次项系数为：6．
故答案为：6x2﹣5x﹣11＝0；6．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，可以得到一元二次方程的一般形式，写出二次项系数．
变式1. （2023·河南郑州市·九年级期中）已知一元二次方程的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，－2 B．－3，2 C．3，2 D．－3，－2
【答案】A
【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．
【详解】解：一元二次方程3x2=-4+2x化为一般形式可得：3x2-2x+4=0，
∴二次项系数、一次项系数分别为：3，-2．故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
变式2. （2023 乌苏市九年级月考）将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【分析】首先把方程化成一般式，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：x（x﹣2）＝5，x2x﹣5＝0，x2﹣2x﹣15＝0，
二次项系数是1，一次项系数是﹣2，常数项是﹣15，
故答案为：x2﹣2x﹣15＝0；1；﹣2；﹣15．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
考点4. 利用一元二次方程的解求参数（代数式）值
例1．（2023·河南九年级期末）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解定义把x＝0代入一元二次方程得﹣a2+4＝0，解得a＝±2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【详解】解：把x＝0代入方程得﹣a2+4＝0，解得a＝2或a＝﹣2，
而a﹣2≠0，所以a的值为﹣2．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的 定义以及一元二次方程的根，掌握以上定义的解题的关键．
变式1.（2023·江苏新北初三一模）若x＝﹣2是方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个解，则代数式1﹣8a+4b的值是_____．
【答案】7
【分析】先把代入方程可得，从而可得，再化简所求的代数式，然后利用整体思想代入求值即可得．
【解析】把代入方程得，即，
则，故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义、代数式求值，根据一元二次方程的解得出关于a、b的等式是解题关键．
变式2. （2023 黄冈九年级月考）关于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一个根为﹣2，则m的值等于（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
【分析】把x＝﹣2代入原方程得3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15
得3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15，解得m．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
考点5、 赋值法求一元二次方程的定根
例1．（2023 萧山区九年级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，则x﹣1＝2021，解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
变式1. （2023·安徽合肥市·九年级期中）若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】解：∵，把代入得：，即方程的一个解是，
把代入得：，即方程的一个解是；故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．
变式2. （2023·浙江初二期末）若则关于x的方程的解是______.
【答案】或
【分析】由，即可得到方程的解．
【解析】解：
令时，有；令时，有；∴，
则关于x的方程的解是：或；故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解进行解题．
考点6. 一元二次方程的近似解（根）问题
例1．（2023·浙江·衢州市兴华中学九年级阶段练习）下表是用计算器探索函数y＝2x2﹣2x﹣10所得的数值，则方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）
x ﹣2.1 ﹣2.2 ﹣2.3 ﹣2.4
y ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56
A．x≈﹣2.15 B．x≈﹣2.21 C．x≈﹣2.32 D．x≈﹣2.41
【答案】C
【分析】根据表可得，方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个解应在﹣2.3与﹣2.4之间，再由y的值可得，它的根近似的看作是﹣2.3．
【详解】∵当x＝﹣2.3时，y＝﹣0.11，当x＝﹣2.4时，y＝0.56，则方程的根﹣2.3＜x＜﹣2.4，
∵|﹣0.11|＜|0.56|，∴方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为x≈﹣2.32．故选：C．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是看y值的变化．
变式1. （2023·山西太原·九年级期中）在探究一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，计算结果如表：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x﹣15 -0.59 0.84 2.29 3.76
小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的十分位是 ___．
【答案】1
【分析】由表格可知当时，；时，，故方程的一个解在1.1和1.2之间，即可得出答案．
【详解】由表可知，当x取1.1与1.2之间的某个数时，，即此时这个数是方程的一个解，
∴方程的一个解x的取值范围是．故答案为1．
【点睛】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键．
变式2. （2023·山东·八年级期末）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（ ）
-1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
【答案】B
【分析】根据表格中的数据，可判断代数式的值为4.61和4.56时，对应的值为-1.12和-1.11，观察原方程可理解为求代数式的值为4.6时，对应的的值，由此判断即可．
【详解】解：∵时，；时，；
∴时，对应应满足，∴原方程的近似解为：-1.118，故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的近似解，理解表格中的数据，掌握求近似解的方法是解题关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2023 扬州九年级期末）下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0； ②ax2+bx+c＝0； ③3x﹣5＝0；
④﹣x2＝0； ⑤（x﹣1）2+y2＝2； ⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
③3x﹣5＝0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程．综上所述，一元二次方程共有2个．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（2023·湖北伍家岗初三月考）已知一元二次方程，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将方程的两边同时乘以，可以把二次项系数化成正数且使得方程根不变.
【解析】将方程的两边同时乘以，得： 故选：B.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式和等式的基本性质：①等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；②等式两边同时乘（或除）相等的数或式子，两边依然相等；③等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.熟练掌握等式的基本性质是关键.
3.（2023 凤凰县九年级期末）关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠±1 B．a＝﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定义即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，
∴|a|+1＝2且a+1≠0，∴a＝1，故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，要注意二次项的系数不等于0．
4.（2023·上海九年级专题练习）下列方程中，常数项为0的是（ ）
A． x2+x+1=0 B．2x2-x-12=12 C． D．
【答案】D
【分析】要确定方程的常数项，首先要把方程化成一般形式．
【详解】A、x2+x+1=0，常数项为1，故本选项不符合；
B、2x2-x-24=0，常数项为-24，故本选项不符合；
C、2x2-3x+1=0，常数项为1，故本选项不符合；
D、2x2-x=0，常数项为0，故本选项符合．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意一元二次方程的一般形式是：a+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5.（2023 浙江九年级期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【分析】根据m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴m2﹣3m﹣2＝0，∴m2﹣3m＝2，
∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出代数式的值．
6.（2022·杭州市 八年级期中）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（ ）
A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】B
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋2＝0，设t＝x﹣1得到at2＋bt＋2＝0，利用at2＋bt＋2＝0有一个根为t＝2019得到x﹣1＝2019，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．
【详解】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＋2＝0，设t＝x﹣1，所以at2＋bt＋2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，
所以at2＋bt＋2＝0有一个根为t＝2019，则x﹣1＝2019，解得x＝2020，
所以一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，考查方程中的整体未知数，掌握以上知识是解题的关键．
7.（2023 东城区九年级期中）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±
【分析】把x＝0代入方程计算，检验即可求出a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，（a﹣2）（a+2）＝0，
可得a﹣2＝0或a+2＝0，解得：a＝2或a＝﹣2，
当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；则a的值为﹣2．故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
8.（2023 阜阳九年级月考）若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则代数式2a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a2﹣3a+1＝0，两边除以a得到a3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，∴a2﹣3a+1＝0，
∵a≠0，∴a﹣30，即a3，∴2a＝2﹣（a）＝2﹣3＝﹣1．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9.（2023 麦积区九年级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】由a是方程x2﹣2010x+1＝0的一个根，将x＝a代入方程，得到关于a的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，
则2020a﹣1﹣2019aa﹣111＝2019．故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10．（2022·上海·八年级专题练习）方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（ ）
A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜
【答案】C
【分析】当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围．
【详解】解：将代入方程得，∴x≠0，∴原方程可化为，
∵，∴，∴，当时，，∴，∴，∴，
故选C．
【点睛】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023 南岗区九年级校级月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m2﹣1＝2且m0，解得：m．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，注意未知数的最高次数是2是解题的关键．
12.（2023 渝北区九年级校级月考）若关于x的一元二次方程（a）x2﹣（4a2﹣1）x+1＝0的一次项系数为0，则a的值为 ．
【分析】利用一元二次方程定义进行计算即可．
【解答】解：由题意得：﹣（4a2﹣1）＝0，且a0，解得：a，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
13．（2024·湖北·九年级一模）方程化为一般形式后，的值分别是 。
【答案】
【分析】先通过移项把方程化成一般形式，再找二次项系数 一次项系数和常数项即可．
【详解】解：由原方程移项，得，
所以．．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项，解题关键是利用移项化一元二次方程一般式．
14.（2023 瑶海区九年级期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣bc＝0，则方程必有一根为 ．
【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．
【解答】解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣bc＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，故答案是：x＝﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
15．（2023·浙江杭州市·八年级期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为________．
【答案】x=2019
【分析】对于一元二次方程，设t=x+1得到at2+bt=1，利用at2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020，从而可判断一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0必有一根为x=2019．
【详解】解：对于一元二次方程，设t=x+1，所以at2+bt=1，即at2+bt-1=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2020，
所以at2+bt-1=0有一个根为t=2020，则x+1=2020，解得x=2019，
所以必有一根为x=2019．故答案为：x=2019．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16．（2023 宝应县九年级月考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1、b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根为 ．
【分析】把x＝﹣1代入ax2+bx+c﹣1＝0中计算求出
【解答】解：把x＝﹣1代入ax2+bx+c﹣1＝0得：a﹣b+c﹣1＝0，
把a＝1，b＝4代入得：1﹣4+c﹣1＝0，解得：c＝4，
方程为x2+4x+4＝0，即（x+2）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣2．故答案为：x1＝x2＝﹣2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，确定出正确的c值是解本题的关键．
17．（2023.浙江八年级期中）关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为______．
【答案】##1.5##
【分析】根据方程根的定义得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54变形后，利用整体代入，得到关于a的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．
【详解】解：∵关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，
∴，∴，
∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，∴[2（am2－2bm＋a）] [3(an2－2bn)－2a]＝54
∴ 解得或 ∵ab≠0∴a，b均为非零实数，∴故答案为：
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．
18．（2023·浙江嘉兴初二期中）已知方程x2﹣3x+m＝0与方程x2+（m+3）x﹣6＝0有一个共同根，则这个共同根是_____．
【答案】x=1
【分析】由题意设公共解，再用②-①得（m+6）（t-1）=0得出t=1.
【解析】由题意设同一共同根为t，则
②-①得（m+6）（t-1）=0 ∴当唯一公共根t=1时，两方程有公共根.
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的意义.
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023 简阳市九年级月考）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
【分析】根据二阶行列式计算方法列出方程．
【解答】解：根据题意，得：（x+1） 2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22，
整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22，
即：x2+2x﹣18＝0，
它符合一元二次方程的定义．
【点睛】考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，有理数的混合运算，掌握新定义运算法则是解题的关键．
20．（2023.陕西九年级期中）已知关于的方程是一元二次方程，求的值．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程的定义，即可得出关于的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，解得，∴的值为2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、绝对值以及解一元一次不等式等知识，理解并掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
21．（2022-2023学年浙江八年级数学课后练习）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
(1)，且； (2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据已知设，代入列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出a，b及c的值，写出方程即可；
（2）利用非负数之和为0，非负数分别为0求出a，b及c的值，写出方程即可．
【详解】（1）解：（1），设，
，∴，解得：，
∴，则方程为：；
（2）解：∵，∴，
解得：，则方程为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式并根据已知求出的值是解答此题的关键．
22．（2023 扬州九年级期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1＝1或m+1＝0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m＝1，
此时方程为2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2；
（2）由题可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0时方程可能为一元一次方程
当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x．
当m2+1＝0时，方程无解．
【点睛】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义，对（2）中容易漏掉m2+1＝1的情况．
23．（2023 南岗区九年级校级月考）阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案；（2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，答案：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．
24．（2022·浙江杭州·模拟预测）完成下列问题：
（1）已知，为实数，且，求的值．
（2）若是关于的方程的根，求的值．
【答案】（1）-15；（2）-4
【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
（2）利用方程解的定义找到相等关系n2+mn+4n=0，再把所求的代数式化简后整理出m+n=-4，即为所求；
【详解】解：（1）由题意得，2x-5≥0且5-2x≥0，
解得x≥且x≤，所以，x＝，y=-3，∴2xy=-15；
（2）由题意得n2+mn+4n=0，
∵n≠0，∴n+m+4=0，得m+n=-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及二次根式有意义的条件，解题的关键是能够了解方程的解的定义，难度不大．
25．（2022·浙江·八年级统考期末）如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数： (2)设．①请用含的代数式表示与的长； ②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
【答案】（1）；（2）①，；②是，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，即可得到结论；
（2）①根据线段的和差即可得到结论；
②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，，
又，
是等边三角形．．
（2）①∵
又，．
②∵
∴线段的长是方程的一个根．
若与的长同时是方程的根，则，
即，，
，∴当时，与的长同时是方程的根．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．
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专题2.1 一元二次方程
模块1：学习目标
1. 掌握一元二次方程的相关概念；
2. 会把一元二次方程化为一般形式并确定各项及各项的系数；
3. 掌握一元二次方程的解（根）及方程的近似解，会运用其解决相关问题；
4. 掌握一元二次方程的特征根问题，会用整体思想求解相关问题。
模块2：知识梳理
1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
3.一元二次方程的根
1）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
2）一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
3）常考点:为利用根的概念求代数式的值；4）一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
模块3：核心考点与典例
考点1. 一元二次方程的辨别
例1．（2023·江苏九年级专题练习）下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1. （2023 仓山区九年级校级月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2. （2023·江苏无锡市·九年级期中）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3＝x（x+4） B．x2﹣＝3 C．x2﹣10x＝﹣5 D．4x+6xy＝33
考点2. 利用一元二次方程的概念求参数值
例1．（2023·江苏九年级一模）若方程是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．且 D．
变式1.（2023 绵阳市九年级期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是
变式2.（2023 新都区九年级校级月考）关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足 时，方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程．
考点3. 一元二次方程的一般形式
例1．（2023 拱墅区校级九年级期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ．
变式1. （2023·河南郑州市·九年级期中）已知一元二次方程的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，－2 B．－3，2 C．3，2 D．－3，－2
变式2. （2023 乌苏市九年级月考）将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
考点4. 利用一元二次方程的解求参数（代数式）值
例1．（2023·河南九年级期末）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．1
变式1.（2023·江苏新北初三一模）若x＝﹣2是方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个解，则代数式1﹣8a+4b的值是_____．
变式2. （2023 黄冈九年级月考）关于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一个根为﹣2，则m的值等于（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
考点5、 赋值法求一元二次方程的定根
例1．（2023 萧山区九年级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
变式1. （2023·安徽合肥市·九年级期中）若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
变式2. （2023·浙江初二期末）若则关于x的方程的解是____.
考点6. 一元二次方程的近似解（根）问题
例1．（2023·浙江·衢州市兴华中学九年级阶段练习）下表是用计算器探索函数y＝2x2﹣2x﹣10所得的数值，则方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）
x ﹣2.1 ﹣2.2 ﹣2.3 ﹣2.4
y ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56
A．x≈﹣2.15 B．x≈﹣2.21 C．x≈﹣2.32 D．x≈﹣2.41
变式1. （2023·山西太原·九年级期中）在探究一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，计算结果如表：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x﹣15 -0.59 0.84 2.29 3.76
小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的十分位是 ___．
变式2. （2023·山东·八年级期末）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（ ）
-1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2023 扬州九年级期末）下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0； ②ax2+bx+c＝0； ③3x﹣5＝0；
④﹣x2＝0； ⑤（x﹣1）2+y2＝2； ⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·湖北伍家岗初三月考）已知一元二次方程，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023 凤凰县九年级期末）关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠±1 B．a＝﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
4.（2023·上海九年级专题练习）下列方程中，常数项为0的是（ ）
A． x2+x+1=0 B．2x2-x-12=12 C． D．
5.（2023 浙江九年级期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
6.（2022·杭州市 八年级期中）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（ ）
A．2017 B．2020 C．2019 D．2018
7.（2023 东城区九年级期中）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±
8.（2023 阜阳九年级月考）若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则代数式2a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5
9.（2023 麦积区九年级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
10.（2022·上海·八年级专题练习）方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（ ）
A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023 南岗区九年级校级月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
12.（2023 渝北区九年级校级月考）若关于x的一元二次方程（a）x2﹣（4a2﹣1）x+1＝0的一次项系数为0，则a的值为 ．
13.（2024·湖北·九年级一模）方程化为一般形式后，的值分别是 。
14.（2023 瑶海区九年级期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣bc＝0，则方程必有一根为 ．
15．（2023·浙江杭州市·八年级期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为________．
16．（2023 宝应县九年级月考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1、b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小1，则原方程的根为 ．
17．（2023.浙江八年级期中）关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为______．
18．（2023·浙江嘉兴初二期中）已知方程x2﹣3x+m＝0与方程x2+（m+3）x﹣6＝0有一个共同根，则这个共同根是_____．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023 简阳市九年级月考）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
20．（2023.陕西九年级期中）关于的方程是一元二次方程，求的值．
21．（2022-2023学年浙江八年级数学课后练习）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
(1)，且； (2)．
22．（2023 扬州九年级期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
23.（2023 南岗区九年级校级月考）阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
24．（2022·浙江杭州·模拟预测）完成下列问题：
（1）已知，为实数，且，求的值．
（2）若是关于的方程的根，求的值．
25．（2022·浙江·八年级统考期末）如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数： (2)设．①请用含的代数式表示与的长； ②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
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