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专题2.2 一元二次方程的解法
模块1：学习目标
1. 理解并掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程；
2. 理解并掌握求根公式法解一元二次方程；
3. 理解并掌握因式分解法、换元法等解一元二次方程；
4. 理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程的根的情况。
模块2：知识梳理
1.一元二次方程的解法：直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成(x+a）2=b（b≥0）的形式，则x＝.
2.一元二次方程的解法：配方法
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
（1）一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)
（2）公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
（3）一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac)
①当时，方程有两个不相等的实根；② 当时，方程有两个相等的实根；③ 当时，方程没有实根。
判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
4.因式分解法：将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
2）即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
3）因式分解的主要方法：
提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。
①平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）； ②完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。
4）解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种解法的一定要合理选用，一般按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．
如：2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
模块3：核心考点与典例
考点1、直接开平方法解一元二次方程
例1．（2023 环江县九年级期末）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
【分析】根据直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
变式1. （2023 南岗区九年级月考）若（4x﹣3）2＝m+3无实数解，则m的取值范围是 ．
【分析】根据方程无实数根，得到方程右边为负数，求出m的范围即可．
【解答】解：∵（4x﹣3）2＝m+3无实数解，∴m+3＜0，解得：m＜﹣3．故答案为：m＜﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．
变式2．（2023 广州九年级期中）解方程：
（1）4（2x﹣1）2﹣36＝0．（2）（y+2）2＝（3y﹣1）2．
【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．（2）直接开平方法解一元二次方程，关键把方程化为x2＝p或（mx+n）2＝p（p≥0）形式，再运用算术平方根意义求解．
【解答】解：（1）∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣1
（2）解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），解得：y1，y2．
【点评】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
考点2、用配方法解一元二次方程
例1．（2023·浙江杭州市·八年级期中）解方程：
解：两边同时加_________，得________________
则方程可化为（_______）2=________
两边直接开平方得_____________
即_________或_____________
所以__________，___________．
【答案】9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：两边同时加9，得99，则方程可化为1，
两边直接开平方得x+3=±1，即x+3=1或x+3=-1，所以-2，-4．
故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4．
【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
变式1. （2023 山东聊城市·九年级一模）用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____．
【答案】1
【分析】先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答．
【详解】解：3x2-6x+2=0，,,，即 m=1．故填1．
【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
变式2. （2023 江苏 九年级月考）用配方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【答案】（1）；（2）原方程无实数根；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】（1）方程两边加上1，再进行配方即可求解；（2）移项后，方程两边都加上一半的平方，再进行配方即可求解；（3）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；（4）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；（5）先将方程整理后，再进行配方即可求解；（6）先将方程整理后，再进行配方即可求解．
【解析】（1） 配方，得， ．
（2） 移项，得． 配方，得．
，原方程无实数根．
（3） 移项，得． 配方，得， ．
（4） 移项，得．配方，得， ．
（5） 原方程化为一般形式为．
移项，得． 配方，得， ．
（6）原方程化为一般形式为．
二次项系数化为1得．
配方，得，．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即加上一次项系数一半的平方．
考点3、配方法的应用
配方思想的主要应用：①证明代数式的正负性；②比较代数式大小；③求代数式的最值等。
例1．（2023 历城区九年级期中）阅读下列材料：
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，
例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2 x 4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，
∵x2﹣2x+3＝（x﹣ ）2+ ；所以x2﹣2x+3 0（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；
（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
【分析】（1）模仿题干的例题配方即可，利用平方的非负性与0比较大小；
（2）将多项式配方，根据平方的非负性求出多项式的最小值；
（3）对多项式进行配方即可证明多项式的值总为正数．
【解答】解：（1）x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，
∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+2＞0，∴x2﹣2x+3＞0，故答案为：1；2；＞；
（2）x2+6x﹣9＝x2+6x+9﹣18＝（x+3）2﹣18，
∵（x+3）2≥0，∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣9有最小值，最小值为﹣18；
（3）证明：x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1＞0，
∴x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
变式1 ．（2023·河北九年级专题练习）阅读：我们知道一个分式有意义的条件是字母的取值使得分母不为零，所以分式中取值往往会受到限制，但分式中b却可以取任意实数，理由是b2+3≥3，所以不可能为0且分母的最小值为3，根据你的理解回答下列问题：（1）多项式x2+2x﹣3有最大值还是最小值？如果有，请求出这个最值；（2）已知关于x的多项式A＝4x2﹣3x+a2（a为常数）和多项式B＝3x2+5x﹣17，试比较A和B的大小，并说明理由；（3）已知关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3（m为常数）的最大值为2，求x和m的值．
【答案】（1）有最小值，最小值是﹣4；（2）A＞B，见解析；（3）x的值为1，m的值为﹣．
【分析】（1）原式配方后，利用非负数的性质确定出最值即可；（2）利用作差法判断即可；（3）先将关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3配方，再根据最大值为2，得出关于m的方程，解得m的值，然后可求得x的值．
【详解】解：（1）∵x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴多项式x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4；
（2）∵A＝4x2﹣3x+a2，B＝3x2+5x﹣17，
∴A﹣B＝4x2﹣3x+a2﹣（3x2+5x﹣17）＝x2﹣8x+a2+17＝（x﹣4）2+a2+1，
∵（x﹣4）2≥0，a2+1≥1，∴（x﹣4）2+a2+1≥1，∴A＞B；
（3）﹣x2﹣4mx+4m+3＝﹣（x2+4mx）+4m+3＝﹣（x+2m）2+4m2+4m+3，
∵最大值为2，∴4m2+4m+3＝2，∴（2m+1）2＝0，∴m1＝m2＝﹣，∴x＝﹣2m＝1．
∴x的值为1，m的值为﹣．
【点睛】本题考查了配方法在最值问题以及多项式比较大小中的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
变式2. （2023 南京九年级月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣6m﹣7．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出这个最小值；
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值．
【分析】（1）将多项式加9再减9，利用配方法可得；（2）将多项式配方后可得结论；（3）将多项式配方后可得结论．
【解答】解：（1）原式＝m2﹣6m﹣7＝m2﹣6m+9﹣9﹣7＝（m﹣3）2﹣16＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4）＝（m+1）（m﹣7）．
（2）a2+b2﹣4a+6b+20＝a2﹣4a+4+b2+6b+9+7＝（a﹣2）2+（b+3）2+7．
∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值为：7．
（3）a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28＝a2﹣2a（b+1）+b2+2b+1+b2﹣6b+9+18＝[a﹣（b+1）]2+（b﹣3）2+18．
∵[a﹣（b+1）]2≥0，（b﹣3）2≥0，
∴当a﹣（b+1）＝0，b﹣3＝0时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值．
即当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值18．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．
考点4、用公式法解一元二次方程
例1．（2022·重庆市·九年级期中）解下列方程：
(1) (2) (3)
【答案】(1)x1=，x2=(2)x1=，x2=(3)方程无解
【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可；（3）用公式法求解即可．
【解析】 (1)解：，2x2+8x-1=0，
∵Δ==72>0，
∴x=，
∴x1=，x2=；
(2)解：，3x2-11x+9=0，
∵Δ=>0，
∴x=
∴x1=，x2=；
(3)解：，∵Δ=(-6)2-4×1×10＝-4<0，∴方程无解．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开方法、公式法、配方法、因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．
变式1．（2023 福州九年级模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．1
【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案．
【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1，x2，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣b，x1 x21，∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．
变式2.（2023 达川区九年级期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：3x2﹣4x+2＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24，
∴x，则x1，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式x是解题的关键．
考点5、判别式及其运用
例1．（2023 山东菏泽市·中考模拟）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】B
【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可．
【详解】解：∵关于的方程有实数根，
∴，且，解得，且，故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．
变式1. （2023 河南九年级模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0
【分析】利用根的判别式△＝b2﹣4ac逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出结论．
【解答】解：A、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；
B、方程变形为x2﹣2x+1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根；
C、方程变形为x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，
∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有两个不相等的实数根；
D、∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2+1＝0没有实数根．故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
变式2.（2023 浙江台州市·中考模拟）关于x的方程x2-4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【答案】D
【分析】根据方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜4，故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则判别式大于零，是解题的关键．
考点6、用提公因式法解一元二次方程
例1．（2023 建平县九年级期末）用分解因式解方程：2y2+4y＝y+2
【分析】先变形为2y（y+2）﹣（y+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；
【解答】解：2y（y+2）﹣（y+2）＝0，
（y+2）（2y﹣1）＝0，y+2＝0或2y﹣1＝0，所以y1＝﹣2，y2；
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
变式1. （2023 揭西县九年级月考）用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x（5x+4）﹣（4+5x）＝0，∴（5x+4）（x﹣1）＝0，
则5x+4＝0或x﹣1＝0，则．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
考点7、用乘法公式解一元二次方程
例1．（2023 长白县九年级期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，
分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，
可得4﹣x＝0或3x+2＝0，
解得：x1＝4，x2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
变式1.（2023 呼和浩特九年级期末）解用分解因式解方程：（2x﹣1）2＝x2+6x+9．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（2x﹣1）2＝x2+6x+9．∴（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0，
因式分解得（3x+2）（x﹣4）＝0，∴3x+2＝0或x﹣4＝0，∴x1，x2＝4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
考点8、用十字相乘法解一元二次方程
例1．（2023 郫都区九年级期中）解用分解因式解方程：x2﹣10x+16＝0；
【分析】十字相乘法因式分解，再求解即可；
【解答】解：x2﹣10x+16＝0，
因式分解得，（x﹣2）（x﹣8）＝0，
由此得，x﹣2＝0，x﹣8＝0，所以，x1＝2，x2＝8；
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据题目要求的方法求解．
变式1.（2023 简阳市九年级月考）用因式分解法解方程：x20
【分析】利用因式分解法把方程化为x0或x0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（x）（x）＝0，x0或x0，所以x1，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
考点9.因式分解法解一元二次方程的运用
例1．（2023 浙江杭州市·九年级期中）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．17 D．13或11
【答案】B
【分析】首先从方程x2-6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【详解】解：由方程x2-6x+8=0，得：解得x1=2或x2=4，
当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．
变式1. （2023 阳信县九年级模拟）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为 ．
【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．
【解答】解：x2﹣9x+20＝0，（x﹣4）（x﹣5）＝0，x﹣4＝0或x﹣5＝0，∴x1＝4，x2＝5，
∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，
∵菱形的另一条对角线长＝26，
∴菱形的面积6×8＝24．故答案为：24．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．
变式2.（2023 新会九年级期末）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是 ．
【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．
【解答】解：x≥﹣x，即x≥0时，x＝x2﹣6，x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2（舍去）；
x＜﹣x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣6，x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，解得x3＝﹣3，x4＝2（舍去）．
故方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是x＝3或﹣3．故答案为：3或﹣3．
【点评】考查了解一元二次方程﹣因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．
考点10. 用换元法解一元二次方程
例1．（2023 太原九年级期末）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．
当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．
所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．
【分析】设x2+2x＝m，用m代替方程中的x2+2x，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程．
【解答】解：设x2+2x＝m，
则m2﹣2m﹣3＝0，
∴（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m﹣3＝0或m+1＝0，
解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
当m＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
解得x3＝x4＝﹣1；
综上，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
变式1. （2023·山西太原市·九年级期末）解方程时，我们将作为一个整体，设，则原方程化为．解得．当时，，解得或．当时，，解得或．所以，原方程的解为．
模仿材料中解方程的方法，求方程的解．
【答案】x1=-3，x2=1，x3=x4=-1．
【分析】设x2+2x=m，用m代替方程中的x2+2x，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程．
【详解】解：设x2+2x=m，则m2-2m-3=0，∴（m-3）（m+1）=0，
∴m-3=0或m+1=0，解得m=3或m=-1，
当m=3时，x2+2x=3，即x2+2x-3=0，∴（x+3）（x-1）=0，则x+3=0或x-1=0，解得x1=-3，x2=1；
当m=-1时，x2+2x=-1，即x2+2x+1=0，∴（x+1）2=0，解得x3=x4=-1；
综上，原方程的解为x1=-3，x2=1，x3=x4=-1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
考点11. 含绝对值的一元二次方程的解法
例1．（2023 蚌埠九年级月考）阅读下面的例题：
解方程m2﹣|m|﹣2＝0的过程如下：
（1）当m≥0时，原方程化为m2﹣m﹣2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去）．
（2）当m＜0时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1（舍去）．
原方程的解：m1＝2，m2＝﹣2．
请参照例题解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0．
【分析】分类讨论：当m≥1时，原方程化为m2﹣m＝0；当m＜1时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，然后利用因式分解法解两个方程，再利用m的范围确定满足原方程的解．
【解答】解：当m≥1时，原方程化为m2﹣m＝0，解得：m1＝1，m2＝0（舍去）．
当m＜1时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1 （舍去）．
原方程的解：m1＝1，m2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
变式1. （2023 西城区九年级校级期中）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
①解得： ．
②综上，原方程的根是 ．
③请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是 ．
【分析】去掉绝对值，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：①当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
解这个方程，x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
②综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2；
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2；
③当x≥3时，原方程化为x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1（均不合题意，舍）．
当x＜3时，原方程化为x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
∴原方程的根为x1＝2，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，读懂题目信息，理解分情况讨论去掉绝对值号把方程整理成一元二次方程的一般形式是解题的关键．
考点12. 降次法解一元三次方程
例1．（2023·河北九年级模拟）阅读理解：
对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解．
解决问题：（1）因式分解：___________（2）求方程的解
【答案】（1）；（2）或或
【分析】（1）由可知符合材料的公式形式，直接套用公式即可解答；
（2）先将方程左边按材料的公式形式分解因式，再求出每个因式为0时的解即可．
【详解】解：（1）
故答案为：
（2）解：，，
∴，或，解得或，
【点睛】本题主要考查了因式分解和高次方程的解法，解高次方程一般要通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．本题解题关键是学习材料内容，根据材料公式和方法解题．
变式1.（2023·浙江·九年级课时练习）阅读下列材料，按要求解答问题：
阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c，则将c代入方程得：,移项得：，即有： ，由于与c及m都是整数，所以c是m的因数．
上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数．
例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．
解决问题：①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？
②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.
【答案】①1、－1、7、－7；②该方程有整数解， x=3是该方程的整数解
【分析】①认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x3+px2+qx+m=0的整数解只可能是m的因数”，再作答；②根据分析（1）得出3的因数后再代入检验可得出答案．
【解析】解：①由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，-1，7，-7这四个数．②该方程有整数解．
方程的整数解只可能是3的因数，即1，-1，3，-3，将它们分别代入方程x3-2x2-4x+3=0
进行验证得：x=3是该方程的整数解．
【点睛】本题考查同学们的阅读能力以及自主学习、自我探究的能力，该类型的题是近几年的热点考题．认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x3+px2+qx+m=0的整数解只可能是m的因数”是解答问题的基础．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江杭州·二模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别计算出四个方程的根的判别式的值，然后利用判别式的意义判断各方程的根的情况即可．
【详解】解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×＝0，∴方程有两个相等的实数解，∴选项不符合题意；
B．∵Δ＝22﹣4×3＝﹣8＜0， ∴方程没有实数解，∴选项不符合题意；
C．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2＝﹣7＜0，∴方程没有实数解，∴选项不符合题意；
D．∵Δ＝（﹣3）2﹣4×0＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数解，∴选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
2．（2023·重庆九年级期末）用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
【答案】A
【分析】根据配方法的步骤：①将二次项系数化为1；②将常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④利用完全平方公式完成配方，即可解答．
【详解】解：A、化为，即，此选项错误，符合题意；B、化为，即，此选项正确，不符合题意；
C、化为，即，此选项正确不符合题意；
D、化为，即，此选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键．
3．（2023·广西南宁市·九年级一模）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解法即可求解．
【详解】解
∴或 解得故选：D．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
4.（2023 和平区九年级期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
【分析】根据公式得出m，求出即可．
【解答】解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m，
∴m，解得：b2m，故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．
5. （2023 河南南阳市·九年级一模）定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】根据新定义，得，转化成一元二次方程，利用根的判别式判断即可．
【详解】∵，∴，
∴变形为，
∴△＝＝＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，故选C．
【点睛】本题考查了新定义问题，一元二次方程根的判别式，准确理解新定义，灵活运用根的判别式是解题的关键．
6．（2023·广东九年级专题练习）不论x、y为何实数，代数式的值（ ）
A．总小于2 B．总不小于7 C．为任何实数 D．不能为负数
【答案】D
【分析】把代数式利用配方法化成几个完全平方和的形式，再进行求解．
【详解】解：，
故不论、为何实数，代数式恒成立．故选：D．
【点睛】本题考查了配方法、完全平方公式及非负数的性质，解题的关键是利用配方法把代数式化成几个完全平方和的形式．
7．（2022·河南南阳·一模）已知关于x的方程，则下列分析正确的是（ ）
A．当p=0时，方程有两个相等的实数根 B．当p>0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p<0时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关
【答案】B
【分析】本题主要先求出根的判别式，再根据p的取值范围对各个选项进行一一判断即可
【详解】方程可整理为，∴=，
当p=0时，=16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误；
当p＞0时，=＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项B正确；
当p<0时，的正负无法确定，故无法判断该方程实数根的情况，故选项C错误；
方程的根的情况和p的值有关，故选项D错误．故选B．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键．
8.（2023 晋江市九年级期中）若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝x2＝m，则下列结论正确的是（ ）
A．n＝0且n是该方程的根 B．n＝m且n是该方程的根
C．n＝m但n不是该方程的根 D．n＝0但n不是该方程的根
【分析】解方程得到方程的根，然后根据方程有两个相等的实数根，于是得到结论．
【解答】解：∵x2﹣（m+n）x+mn＝0，∴（x﹣m）（x﹣n）＝0，
∴x﹣m＝0，x﹣n＝0，∴x1＝m，x2＝n，
∴方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝m，x2＝n，
∵x1＝x2＝m，∴n＝m且n是该方程的根，故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9．（2022·湖南永州·模拟预测）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2 7x+12=0的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
【答案】C
【分析】通过解一元二次方程x2-7x+12=0求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．
【详解】解：由一元二次方程x2-7x+12=0，得（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0或x-4=0，解得x=3，或x=4；∴等腰三角形的两腰长是3或4；
①当等腰三角形的腰长是3时，3+3=6，构不成三角形，所以不合题意，舍去；
②当等腰三角形的腰长是4时，0＜6＜8，所以能构成三角形，
所以该等腰三角形的周长=6+4+4=14；故选：C．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程－因式分解法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想．
10．（2023 汾阳市九年级期末）定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（ ）
A．x2﹣16＝0与x2＝25 B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0
【分析】分别求出选项中两个方程的解，再结合“相似方程”的定义即可确定结论．
【解答】解：A、方程x2﹣16＝0的实数根是±4，x2＝25的实数根是±5，
∵4：（﹣4）＝5：（﹣5），∴一元二次方程x2﹣16＝0与x2＝25为相似方程；
B、方程（x﹣6）2＝0的实数根是6，x2+4x+4＝0的实数根是﹣2，
∵6：6＝﹣2：﹣2，∴一元二次方程（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0为相似方程；
C、方程x2﹣7x＝0的实数根是0或7，x2+x﹣6＝0的实数根是﹣3或2，
∵0：7≠﹣3：2，∴一元二次方程x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0不是相似方程；
D、方程（x+2）（x+8）＝0的实数根是﹣2或﹣8，x2﹣5x+4＝0的实数根是1或4，
∵﹣2：﹣8＝1：4，∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0为相似方程；故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，读懂题意，正确理解“相似方程”的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山东初三期中）定义为不大于实数x的最大整数，如，．函数的图象如图所示，则方程的解为 。
【答案】0
【分析】根据图象确定出[x]的可能值，进而求出x的值确定出方程的解即可．
【解析】当时，原方程可化为，
解得，均不符合题意，舍去；
当时，原方程可化为，解得（舍去）；
当时，原方程可化为，此时无实数解；
当时，原方程化为，此时无实数解．
综上所述，方程的解为．
【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，以及函数的图象，熟练掌握运算法则是解本题关键．
12．（2023·江苏南通·二模）若，是关于x的方程的两个根，且，则k＝______．
【答案】9
【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式等于0，进而即可求解．
【详解】解：∵若，是关于x的方程的两个根，且，
∴．解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
13．（2023·山东淄博·九年级期中）阅读理解：设，，若，则，即，已知，，且，则的值为______．
【答案】1或-4
【分析】根据题意列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：由，则，即，=(-2，x+1)，=(3，x+2)，且，
可得，解方程得，，，故答案为：1或-4
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是准确理解题意，列出一元二次方程．
14．（2023·云南文山·九年级期末）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
【答案】20
【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．
【详解】解：，
则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，
则菱形的边长为，故菱形的周长为5×4=20，故答案为20
【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．
15．（2023·四川绵阳市·九年级二模）已知实数满足，那么的值为______．
【答案】1
【分析】设，将已知方程转化为关于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】设，∴原式可转化为：，
整理得，，解得，或，
∵，∴将(舍去)∴的值为1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程、完全平方式等知识点，解答本题的关键是将设为一个整体，并对所求值进行取舍．
16．（2023·上海·八年级期末）方程x3﹣x＝0在实数范围内的解是 _____
【答案】x1＝0，x2＝-1，x3＝1．
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：x3﹣x＝0，x（x2﹣1）＝0，
x（x+1）（x﹣1）＝0，x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝-1，x3＝1．
【点睛】本题考查了解高次方程，能把解高次方程转化成解低次方程是解此题的关键．
17．（2023·上海·八年级专题练习）二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是_____ 或_____．
【答案】 x﹣4y＝0 x+2y＝0
【分析】把x2﹣2xy﹣8y2＝0看作是关于x的一元二次方程，方程左边进行因式分解得到（x﹣4y）（x+2y）＝0，于是得到两个一次方程：x﹣4y＝0或x+2y＝0．
【详解】解：∵x2﹣2xy﹣8y2＝0，∴（x﹣4y）（x+2y）＝0，
∴x﹣4y＝0或x+2y＝0．故答案为：x﹣4y＝0；x+2y＝0．
【点睛】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
18．（2023·上海·九年级专题练习）如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是较大边与较小边的比）．比如等边三角形就是一个优比为1的优三角形．若△ABC是优三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．则这个三角形的面积是 _____．
【答案】或
【分析】根据题意画出图形，过A作AH⊥CB交CB的延长线于H．分两种情形：若AB＜BC，则AB+AC＝2BC＝8；若AB≥BC，则AC+BC＝2AB，分别利用参数构建方程求解即可．
【详解】解：过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
①若AB＜BC，则AB+AC＝2BC＝8，设BH＝x，
在Rt△ABH中，∠H＝90°，∠ABH＝180°﹣120°＝60°，
∴AB＝2x，AH＝BH＝x，∴AC＝8﹣2x，
在Rt△ACH中，则有（x）2+（x+4）2＝（8﹣2x）2，
解得x＝，∴AH＝，∴S△ABC＝BC×AH＝×4×＝；
（2）若AB≥BC，则AC+BC＝2AB，设BH＝x，则AB＝2x，AH＝x，AC＝4x﹣4，
在Rt△ACH中，则有（x）2+（x+4）2＝（4x﹣4）2，解得x＝或x＝0（舍去），
∴S△ABC＝BC×AH＝×4×＝，故答案为：或．
【点睛】本题考查了“优三角形”以及“优比”的新定义问题，解题时用到了三角形的三边关系、勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·海门市初二期中）用指定的方法解下列方程：
（1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0；
（3）用因式分解法解方程：
【答案】（1），；（2），；（3）.
【分析】（1）采用配方法将方程转化为，然后利用直接开平方法计算即可；
（2）直接利用公式法，求解即可；（3）采用因式分解法转化为求解即可.
【解析】（1）
故方程的解为，；
（2）5x2+2x﹣1=0
故方程的解为，；
（3）
解得， 故方程的解为.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，熟练掌握，即可解题.
20.（2023·浙江杭州市·八年级期末）请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）x1=，x2=；（2）x1=-2，x2=1；（3）x1=，x2=；
（4）x1=3或x2=-3
【分析】（1）根据公式法即可求出答案；（2）移项，再根据因式分解法即可求出答案；（3）整理后根据公式法即可求出答案；（4）令x-2=t，得到关于t的一元二次方程，再利用因式分解法求解．
【详解】解：（1）∵2x2+6x+3=0，∴a=2，b=6，c=3，
∴△=36-4×2×3=12，∴x=，∴x1=，x2=；
（2）∵（x+2）2=3（x+2），∴（x+2）2-3（x+2）=0，∴（x+2）（x+2-3）=0，∴x1=-2，x2=1；
（3）整理得：x2-6x-5=0，b2-4ac=（-6）2-4×1×（-5）=56，x=，∴x1=，x2=；
（4）令x-2=t，则，∴，∴t-1=0，t+5=0，∴t=1或-5，
∴x-2=1或x-2=-5，∴x1=3或x2=-3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
21．（2023·北京西城·二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．
【答案】(1)见解析；(2)当m=1时，或满足题意（答案不唯一）．
【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值．
【解析】 (1)解：∵二次函数为 ，∴，，．
∴，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵当m=1时，原方程为：，∴原式可化为，则，∴或，
∴当m=1时，或满足题意（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程．
22. （2023·山西九年级二模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：．
解：．
．第一步
，第二步
．第三步
，第四步
，或．第五步
，．第六步
任务一：①小颖解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
②解方程过程中第二步变形的依据是______；
任务二：请你用“公式法”解该方程．
【答案】任务一：① C；②等式的基本性质或等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式；任务二：，
【分析】任务一：①根据前三步可得知小颖解方程的方法是配方法，②方程两边同时加上一个相同的数是运用了等式的基本性质；任务二：根据方程得知、和的值，再根据公式法把、和的值代入求解．
【详解】解： 任务一：①根据前三步可得知小颖解方程的方法是配方法，故选C；②解方程过程中第二步变形的依据是：等式的基本性质或等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式；
任务二：解方程：．
，，．
，
．，．
【点睛】本题考查了二次根式和实数的运算和一元二次方程的解法，正确化简，掌握配方法和公式法是解题的关键．
23.（2023 安居区九年级期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式△＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．
【解答】（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）题需要分类讨论，以防漏解．
24．（2023·福建九年级期中）（阅读理解）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
例如：利用配方法将变形为的形式．
＝＝．
（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式化成的形式．
（2）求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）根据配方法配方，即可得出答案
（2）根据配方法把变形成，再根据平方的非负性，可得答案．
【详解】（1）解：＝＝；
（2）证明：＝＝，
故不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数．
【点睛】本题考查了配方法的应用、因式分解以及平方差公式，利用完全平方公式：配方是解题关键．
25．（2023·吉林长春初三月考）阅读理解：
解方程：．
解：方程左边分解因式，得，
解得，，．
问题解决：（1）解方程：．（2）解方程：．
（3）方程的解为 ．
【答案】（1），，；（2），，，；（3），．
【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
【解析】解：（1），∴，∴，，
解得：，，；
（2），∴，∴，，
解得：，，，；
（3），整理得：，
开方得：，∴，，
解方程得：，；
方程中，此方程无解，
所以原方程的解为：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键．
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专题2.2 一元二次方程的解法
模块1：学习目标
1. 理解并掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程；
2. 理解并掌握求根公式法解一元二次方程；
3. 理解并掌握因式分解法、换元法等解一元二次方程；
4. 理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程的根的情况。
模块2：知识梳理
1.一元二次方程的解法：直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成(x+a）2=b（b≥0）的形式，则x＝.
2.一元二次方程的解法：配方法
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
（1）一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)
（2）公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
（3）一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac)
①当时，方程有两个不相等的实根；② 当时，方程有两个相等的实根；③ 当时，方程没有实根。
判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
4.因式分解法：将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
2）即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
3）因式分解的主要方法：
提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。
①平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）； ②完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。
4）解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种解法的一定要合理选用，一般按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．
如：2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
模块3：核心考点与典例
考点1、直接开平方法解一元二次方程
例1．（2023 环江县九年级期末）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
变式1. （2023 南岗区九年级月考）若（4x﹣3）2＝m+3无实数解，则m的取值范围是 ．
变式2．（2023 广州九年级期中）解方程：
（1）4（2x﹣1）2﹣36＝0．（2）（y+2）2＝（3y﹣1）2．
考点2、用配方法解一元二次方程
例1．（2023·浙江杭州市·八年级期中）解方程：
解：两边同时加_________，得________________
则方程可化为（_______）2=________
两边直接开平方得_____________
即_________或_____________
所以__________，___________．
变式1. （2023 山东聊城市·九年级一模）用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____．
变式2. （2023 江苏 九年级月考）用配方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
考点3、配方法的应用
配方思想的主要应用：①证明代数式的正负性；②比较代数式大小；③求代数式的最值等。
例1．（2023 历城区九年级期中）阅读下列材料：
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，
例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2 x 4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，
∵x2﹣2x+3＝（x﹣ ）2+ ；所以x2﹣2x+3 0（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；
（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
变式1 ．（2023·河北九年级专题练习）阅读：我们知道一个分式有意义的条件是字母的取值使得分母不为零，所以分式中取值往往会受到限制，但分式中b却可以取任意实数，理由是b2+3≥3，所以不可能为0且分母的最小值为3，根据你的理解回答下列问题：（1）多项式x2+2x﹣3有最大值还是最小值？如果有，请求出这个最值；（2）已知关于x的多项式A＝4x2﹣3x+a2（a为常数）和多项式B＝3x2+5x﹣17，试比较A和B的大小，并说明理由；（3）已知关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3（m为常数）的最大值为2，求x和m的值．
变式2. （2023 南京九年级月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣6m﹣7．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出这个最小值；
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值．
考点4、用公式法解一元二次方程
例1．（2022·重庆市·九年级期中）解下列方程：
(1) (2) (3)
变式1．（2023 福州九年级模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．1
变式2.（2023 达川区九年级期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．
考点4.判别式及其运用
例1．（2023 山东菏泽市·中考模拟）关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
变式1. （2023 河南九年级模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0
变式2.（2023 浙江台州市·中考模拟）关于x的方程x2-4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
考点6、用提公因式法解一元二次方程
例1．（2023 建平县九年级期末）用分解因式解方程：2y2+4y＝y+2
变式1. （2023 揭西县九年级月考）用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．
考点7、用乘法公式解一元二次方程
例1．（2023 长白县九年级期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
变式1.（2023 呼和浩特九年级期末）解用分解因式解方程：（2x﹣1）2＝x2+6x+9．
考点8、用十字相乘法解一元二次方程
例1．（2023 郫都区九年级期中）解用分解因式解方程：x2﹣10x+16＝0；
变式1.（2023 简阳市九年级月考）用因式分解法解方程：x20
解法解一元二次方程的运用
例1．（2023 浙江杭州市·九年级期中）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．17 D．13或11
变式1. （2023 阳信县九年级模拟）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为 ．
2.（2023 新会九年级期末）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是 ．
考点10. 用换元法解一元二次方程
例1．（2023 太原九年级期末）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．
当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．
所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．
变式1. （2023·山西太原市·九年级期末）解方程时，我们将作为一个整体，设，则原方程化为．解得．当时，，解得或．当时，，解得或．所以，原方程的解为．
模仿材料中解方程的方法，求方程的解．
考点11. 含绝对值的一元二次方程的解法
例1．（2023 蚌埠九年级月考）阅读下面的例题：
解方程m2﹣|m|﹣2＝0的过程如下：
（1）当m≥0时，原方程化为m2﹣m﹣2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去）．
（2）当m＜0时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1（舍去）．
原方程的解：m1＝2，m2＝﹣2．
请参照例题解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0．
变式1. （2023 西城区九年级校级期中）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
①解得： ．
②综上，原方程的根是 ．
③请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是 ．
考点12. 降次法解一元三次方程
例1．（2023·河北九年级模拟）阅读理解：
对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
理解运用：
如果，那么，即有或，
因此，方程和的所有解就是方程的解．
解决问题：（1）因式分解：___________（2）求方程的解
变式1.（2023·浙江·九年级课时练习）阅读下列材料，按要求解答问题：
阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程 有整数解c，则将c代入方程得：,移项得：，即有： ，由于与c及m都是整数，所以c是m的因数．
上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数．
例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．
解决问题：①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？
②方程 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江杭州·二模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·重庆九年级期末）用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
3．（2023·广西南宁市·九年级一模）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4.（2023 和平区九年级期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
5.（2023 河南南阳市·九年级一模）定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．（2023·广东九年级专题练习）不论x、y为何实数，代数式的值（ ）
A．总小于2 B．总不小于7 C．为任何实数 D．不能为负数
7．（2022·河南南阳·一模）已知关于x的方程，则下列分析正确的是（ ）
A．当p=0时，方程有两个相等的实数根 B．当p>0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p<0时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关
8.（2023 晋江市九年级期中）若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x1＝x2＝m，则下列结论正确的是（ ）
A．n＝0且n是该方程的根 B．n＝m且n是该方程的根
C．n＝m但n不是该方程的根 D．n＝0但n不是该方程的根
9．（2022·湖南永州·模拟预测）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2 7x+12=0的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
10．（2023 汾阳市九年级期末）定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（ ）
A．x2﹣16＝0与x2＝25 B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山东初三期中）定义为不大于实数x的最大整数，如，．函数的图象如图所示，则方程的解为 。
12．（2023·江苏南通·二模）若，是关于x的方程的两个根，且，则k＝______．
13．（2023·山东淄博·九年级期中）阅读理解：设，，若，则，即，已知，，且，则的值为______．
14．（2023·云南文山·九年级期末）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
15．（2023·四川绵阳市·九年级二模）已知实数满足，那么的值为______．
16．（2023·上海·八年级期末）方程x3﹣x＝0在实数范围内的解是 _____
17．（2023·上海·八年级专题练习）二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是_____ 或_____．
18．（2023·上海·九年级专题练习）如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是较大边与较小边的比）．比如等边三角形就是一个优比为1的优三角形．若△ABC是优三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．则这个三角形的面积是 _____．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·海门市初二期中）用指定的方法解下列方程：
（1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：5x2+2x﹣1＝0；
（3）用因式分解法解方程：
20.（2023·浙江杭州市·八年级期末）请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；（2）；（3）；（4）．
21．（2023·北京西城·二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．
22. （2023·山西九年级二模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：．
解：．
．第一步
，第二步
．第三步
，第四步
，或．第五步
，．第六步
任务一：①小颖解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
②解方程过程中第二步变形的依据是______；
任务二：请你用“公式法”解该方程．
23.（2023 安居区九年级期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
24．（2023·福建九年级期中）（阅读理解）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
例如：利用配方法将变形为的形式．
＝＝．
（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式化成的形式．
（2）求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数．
25．（2023·吉林长春初三月考）阅读理解：
解方程：．
解：方程左边分解因式，得，
解得，，．
问题解决：（1）解方程：．（2）解方程：．
（3）方程的解为 ．
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