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专题2.3 一元二次方程的应用
模块1：学习目标
1. 能运用一元二次方程解决有关变化率问题；
2. 能运用一元二次方程解决有关传播、分裂、握手、比赛等问题；
3. 能运用一元二次方程解决有关销售利润问题；
4. 能运用一元二次方程解决有关几何图形（面积）、几何动点等问题；
5. 正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。
模块2：知识梳理
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；③依据等量关系式和未知数x建立方程；④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
2.一元二次方程应用题常见类型：
1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。
3. 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础
1.增长率问题：a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题：a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.
总结：有关增长率和降低率的有关数量关系
4.传播问题实例探索
数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
5. 碰面问题（循环问题）
（1）不重叠类型（单循环）：
n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；则m=
（2）重叠类型（双循环）：
n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m；则m=
模块3：核心考点与典例
考点1. 面积问题
例1．（2023·浙江杭州市·八年级模拟）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则长度为（ ）
A．15 B．10 C．10或15 D．12.5
【答案】A
【分析】根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=（50-2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【详解】解：设AB=x米，则BC=（50-2x）米．根据题意可得，x（50-2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50-10-10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据．
变式1．（2023·山西吕梁市·九年级二模）2020年12月25日，太原市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成． （1）求原计划每天铺设轨道多少米？（2）图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米？
图1 图2
【答案】（1）80米；（2）0.2米
【分析】（1）设原计划每天铺设轨道x米，根据等量关系，列出一元一次方程，即可求解；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米．根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的”列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：（1）设原计划每天铺设轨道x米． 根据题意，得300x=120（x+120）． 解得x=80．
答：原计划每天铺设轨道80米；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米．
根据题意，得．解得y1=-3.2（不合题意，舍去），y2=0.2．
答：镶上的木质框架的宽度为0.2米．
【点睛】本题考查一元一次方程与一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题关键．
变式2.（2023.浙江温州市·九年级期中）如图，学校在长方形士地上铺设一条宽为的等宽度的“L”形石板路（图中阴影部分），余下两块长方形（图中白色区城①②）种植花卉，且区域①②的周长相等．经测量这条石板路的总铺设面积为．设的长度为．
（1）图中线段的长为_________，（用含x代数式表示）图中阴影部分的周长为_______．
（2）设长方形的面积为．①用含x的代数式表示_______．②若区域②恰好是一个正方形，求S的值．（请写出解答过程）
（3）已知种植花卉的单价为20元/，铺设石板路单价为100元/，工程总费用为12080元．若x为奇数，则_______．
【答案】（1）31-x，64；（2）①S=；②480；（3）17
【分析】（1）根据石板路的总面积可得GF×HG+IC×EC=31，从而表示出GF，再将阴影部分各边相加，可得周长；（2）①根据白色区城①②的周长相等，列式得出BI的长，从而得到CD，根据长方形面积公式可得结果；②根据正方形得到EF=GF，可得x值，代入计算即可；（3）根据种植花卉的费用加上铺设石板路的费用为12080可得方程，解之即可得到x值．
【详解】解：（1）∵石板路的总铺设面积为，即GF×HG+IC×EC=31，即GF+x=31，∴GF=31-x，
则阴影部分的周长=GF+HG+HI+IC+EC+EF=31-x+1+31-x+1+x+1+x-1=64；
（2）①∵白色区城①②的周长相等，IC=x，则2（AB+BI）=2（EF+GF），
即GF+1+BI=x-1+GF，∴BI=AH=x-2，∵AB=CD=DE+CE=GF+CE=31-x+1=32-x，
∴S=BC×CD=（BI+IC）×CD=（x-2+x）（32-x）=；
②∵区域②恰好是一个正方形，∴GF=EF，即31-x=x-1，解得：x=16，∴S==480m2；
（3）由题意可得：31×100+（S-31）×20=12080，
即，解得：x=16或x=17，∵x为奇数，∴x=17．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂图形，正确表示出相应线段长和图形的面积．
考点2. 平均变化率问题
例1．（2023·安徽池州市·九年级三模）某工厂为了降低生产成本进行技术革新，已知2019年的生产成本为万元，以后每年的生产成本的平均降低率为，则预计2021年的生产成本为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据每年的生产成本的平均降低率为，可得2020年、2021年的生产成本．
【详解】解：每年的生产成本的平均降低率为x，
∴2020年的生产成本为a（1-x）
2021年生产成本为a（1-x）（1-x）=a（1-x）2，故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是找准数量关系，正确列出代数式．
变式1.（2023·黑龙江哈尔滨市·九年级二模）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2019年投入3000万元，预计2021年投入5000万元，设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的（ ）
A．3000（1+x）2＝5000 B．3000x2＝5000
C．3000（1+2x）＝5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000
【答案】A
【分析】根据题意，根据“2019年投入金额增长率2021年投入金额”列式即可得解．
【详解】根据“2019年投入金额增长率2021年投入金额”列式得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了增长率的实际应用，熟练掌握相关基本等量关系式是解决本题的关键．
变式2.（2023·山西九年级三模）收官之年，为了进一步巩固提升脱贫攻坚成果，夯实增收基石，壮大产业“龙头”．某火龙果果园去年栽种果树600株，现计划扩大栽种面积，使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年（包括去年）的总栽种量为2503，求这个相同的百分数．若设这个相同的百分数为，则根据题意，可列方程为________．
【答案】
【分析】由题意，找出题目的等量关系，然后列出方程即可．
【详解】解：根据题意，得今年的栽种量为，明年的栽种量为，
∴三年的总栽种量为：．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是一道增长率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用．正确掌握题意，正确的列出方程是关键．
考点3. 传播问题
例2．（2023·河南初三期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【答案】：（1）7人 （2）512人
【解析】：（1）
①列写等量关系式：此题是传播问题（个体传染后依旧传染），关系式为：=，其中b表示2轮传播后的人数，a表示传播前的人数，p为平均一人传播的人数，n为传播的轮次。
②设未知数∵已知：a=1，b=64，n=2，仅p不知 ∴设平均一人传播x人
③根据等量关系式列方程：方程为：1＝64
④求解方程并解答：整理得：＝ 解得：，
∵依题意，传播人数为正值 ∴x=7∴平均一人传播7人
（2）直接利用公式，第3轮传播人数=＝人
答:略。
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式1．（2023·武汉初三开学考试）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共73．若设主干长出x个支干，则可列方程是（ ）
A．（1＋x）2＝73 B．1＋x＋x2＝73 C．（1＋x）x＝73 D．1＋x＋2x＝73
【答案】B
【解析】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程得：x2+x+1=73．故选B．
点睛：此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
变式2. （2023 莆田九年级期中）“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉…”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为 ．
【分析】根据经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：1+n+n2＝111，整理得：n2+n﹣110＝0，
解得：n1＝10，n2＝﹣11（不合题意，舍去）．故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
考点4. 循环问题
例1．（2023·广西河池市·九年级二模）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有名学生，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为(x-1)张，根据“全班共送出了2550张相片”可得方程为x(x-1)=2550.
【详解】解：∵全班有x名学生，
∴每名学生应该送的相片为(x-1)张，∴x(x-1)=2550.故选：B．
【点睛】本题要注意题目中是共送，也是互送，所以要把握关键语．
变式1．（2023·天津九年级期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
【详解】解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝90．故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
变式2．（2023·陕西延安初三期末）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛.
【解析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得： ，
解之，得，. 不合题意舍去，.
答：比赛组织者应邀请8个队参赛.
“点睛”本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．
考点5. 数字问题
例1．（2023.浙江绍兴市·八年级期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可；
【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3，
由题意可得：．故答案选C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键．
变式1.（2023 昌平区九年级期末）如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为192，那么根据题意可列方程为（ ）
A．x（x+3）＝192 B．x（x+16）＝192
C．（x﹣8）（x+8）＝192 D．x（x﹣16）＝192
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，列出方程即可．
【解答】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）＝192，故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．
变式2.（2023 沧州九年级期末）如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是 ．
【分析】据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案．
【解答】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：x+8，根据题意可得：
x（x+8）＝128，整理得：x2+8x﹣128＝0，（x﹣8）（x+16）＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣16，则这4个数中最小的数是8．故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出最大数是解题关键．
考点6. 销售利润问题
例1．（2023.绵阳市九年级期中）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。经试销发现每件衣服涨价1元，其月销售量就减少1件，物价部门规定，每件衣服售价不得高于80元，为实现每月利润8700元，应涨价多少元？
【答案】：10元
【解析】①依据题意，寻找等量关系式：
此题是利润问题，等量关系式为：每件衣服的利润×衣服的销售量=利润
②设未知数：
∵利润已知，每件衣服的利润、衣服的销售量都与衣服涨价量有关
∴设每每件衣服涨价x元
③根据等量关系式建立方程：
每件衣服的利润为：（50－30+x）=（20+x）元
销售重量为：（300－x）件
方程为：（20+x）（300－x）=8700
④解方程并解答：
方程化简得：，继续化简得：（x－10）（x－270）=0
解答：，
∵售价不得高于80元 ∴x≤30 ∴x=10
答：应涨价10元。
【点睛】本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键．
变式1. （2023 澧县期末）某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价上涨m元，每月能售出 个排球（用m的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．
【分析】（1）由销售数量＝600﹣20×上涨价格，即可得出结论；
（2）设每个排球降价x元，则11月份可售出该种排球（200x+600）个，根据月利润＝单件利润×月销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：600﹣20m．故答案为：600﹣20m．
（2）设每个排球降价x元，则11月份可售出该种排球（200x+600）个，
根据题意得：（40﹣x﹣30）（200x+600）＝8400，解得：x1＝3，x2＝4．
当x＝3时，销量为1200＜1300，适合题意；
当x＝4时，销量为1400＞1300，舍去．∴40﹣x＝37．
答：每个排球的售价为37元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式2．（2023·广东佛山市·九年级一模）春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况．
小李：“该商品的进价为50元/件．”成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．”
成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．”根据他们的对话，完成下列问题：
（1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出______件；
（2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？
【答案】（1）700；（2）该商品应该定价为70元/件
【分析】（1）根据题意，直接列出算式，即可求解；
（2）设该商品应该定价为x元/件，列出关于x的方程，进而即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：800-(65-60)÷5×100=700（件）；
（2）设该商品应该定价为x元/件，
由题意得：，解得：，，
∵尽可能扩大销售量，∴，答：该商品应该定价为70元/件．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·黑龙江·九年级三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
【答案】A
【分析】根据等量关系：（40-30+涨价的价格）×（原来卖出的数量-10×涨价的价格）=8000，把相关数值代入求合适的解即可．
【详解】解：设售价定为元时，每天赚取利润8000元，
由已知得：，整理得：，解得：或
∵尽量减少库存，∴，故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，能理解题意，正确列出方程是解题的关键．
2．（2023·合肥市九年级三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设每人每轮平均感染x人，根据“两轮传染后共有81人患了流感”列出方程即可．
【详解】设每人每轮平均感染人，由题意得，
x（x+1）+x+1=81，即．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，本题的等量关系是两轮传染后共有81人患了流感．
3.（2023·云南·九年级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
【答案】B
【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案．
【详解】解：设每个支干长出x根小分支，根据题意可得：1＋x＋x2＝31故选：B．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
4．（2023·浙江杭州市·八年级模拟）某年级举行篮球比赛，赛制为双循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了42场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛．
A．7 B．6 C．12 D．14
【答案】A
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝x（x﹣1），即可列方程求解．
【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）＝42，解得x＝7或x＝﹣6（舍去）．故应邀请7支队伍参加比赛．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1），进而得出方程是解题关键．
5．（2023·河南洛阳市·九年级二模）2018年7月，郑州龙子湖智慧岛开通河南省首个5G基站，2020年全省已累计建成5G基站万个，规划到2022年5G基站数量将达到万个．设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为，可列方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为，
由题意得：．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.（2023·浙江上虞初三期末）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（40-2x）m，宽为（26-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（40-2x）（26-x）=144×6．
【解析】解：设道路的宽为xm，由题意得：（40-2x）（26-x）=144×6．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解题的关键．
7、（2023·重庆市初三期末）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C. D.
【答案】D
【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，
所以等量关系为：×学生数×（学生数﹣1）=总握手次数，把相关数值代入即可求解
【解析】参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x﹣1）次，
∴可列方程为x（x﹣1）=253，故选：D．
【点评】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
8．（2023·如皋市初二月考）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜（ ）
A．10场 B．11场 C．12场 D．13场
【答案】B
【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，
依题意，得：x（x+1）=66，整理，得：x2+x-132=0，解得：x1=11，x2=-12（不合题意，舍去）．
所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. （2023·北京九年级二模）某厂家2021年1－5月份的产量如图所示． 下面有三个推断：①从1月份到5月份产量在逐月增长；②1月份到2月份产量的增长率是60%；③若设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则可列方程为220（1＋x）2＝480，所有正确的推断是（ ）
A．② B．③ C．①② D．②③
【答案】D
【分析】根据图中的信息一一判断，利用增长率计算公式以及列出一元二次方程即可找出答案．
【详解】解：①由图知，2月份到3月份产量减少，故①错误；
②由图，1月份的产量为：150万只，2月份的产量为：240万只，增长率为：；故②正确；③设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则4月份产量为220（1＋x）；5月份产量为220（1＋x）2＝480，故③正确；故选：D．
【点睛】此题考查的是数据分析，解题的关键是掌握增长率的计算公式以及找准等量关系，正确列出一元二次方程．
10．（2023·河南平顶山市·九年级期末）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2023 锡山区九年级期中）根据疫情需要，某防疫物资制造厂原来每件产品的成本是100元，为提高的生产效率改进了生产技术，连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是 ．
【分析】设平均每次降低成本的百分率是x，根据生产该产品原来的成本价及经过连续两次降低成本后的成本价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降低成本的百分率是x，依题意，得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2023·浙江九年级期末）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为_________．
【答案】50.7（1+x）2=125.6
【分析】根据2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，到2020年为125.6万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一二次方程
【详解】解：依题意，得：50.7（1+x）2=125.6．故答案为：50.7（1+x）2=125.6．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13. （2021·山西中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【答案】5
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．
【详解】解：设这个最小数为．根据题意，得．
解得，（不符合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【点睛】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．
14.（2023 和平区九年级校级月考）某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为 。
【答案】n2＝a
【分析】第一轮分裂成n个细胞，第二轮分裂成n n＝n2个细胞，结合题意可得答案．
【解答】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为n2＝a．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮分裂后细胞的人数，再根据题意得出第二轮分裂后细胞的人数，而已知第二轮分裂后细胞的人数，故可得方程．
15．（2023·江苏东海初三期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为 ．
【答案】（x﹣3）（x﹣2）=20．
【分析】设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出．
【解析】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）=20．故答案为（x﹣3）（x﹣2）=20．
【点睛】本题主要考点为由实际问题抽象出一元二次方程．
16．（2023·山西九年级模拟）某菜农在2022年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天．
【答案】5
【分析】设储藏x天出售这批黄瓜可获利1175元，则需要支付费用40x元，损失10x千克，价格为（6+0.5x）元，根据获利1175元，列方程求解．
【详解】解：设储藏x天出售这批黄瓜可获利1175元，
由题意得（6+0.5x）×（400-10x）-(1600+40x)=1175，解得：x1=5，x2=15
∵储藏时间不超过10天，∴x2=15舍去．故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
17．（2023·浙江杭州市·八年级期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出个小分支，可列方程___________．
【答案】1+x+x2=91
【分析】如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．
【详解】解：依题意得支干的数量为x个，小分支的数量为x x=x2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x2=91，故答案为：1+x+x2=91．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
18．（2023·江苏灌云初三月考）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）
【答案】②．
【分析】仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积，可求出，此题得解．
【解析】解：即，
构造如图中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广西九年级二模）某超市经营款新电动玩具进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．
（1）若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？
（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y（y为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？
【答案】（1）30元；（2）有三种销售方案：方案一：销售价为22元；方案二：销售价为23元；方案三，销售价为24元，第三种方案利润最大．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；（2）根据题意可以得到利润与销售单价的函数关系，再根据玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据销售单价为整数，计算每种方案的实际利润，选取其中利润最大的方案即可．
【详解】解：（1）设销售单价为x元（），
，解得，，，，
∴销售单价定为30元时，顾客更容易接受；
（2）由题意得，解得：，
因为y取正整数，所以y取22或23或24，所以有三种销售方案：
方案一：销售价为22元，销售利润为（元），
方案二：销售价为23元，销售利润为（元），
方案三，销售价为24元，销售利润为（元），
，第三种方案利润最大．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答可以是解答变得简捷．
20.（2023 广西一模）每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的某款沙发每套成本为5000元，在标价8000元的基础上打9折销售．
（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？
（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售相同的沙发，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出8套，现乙卖家先将标价提高m%，再大幅降价40m元，使得这款沙发在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%，这样一天的利润达到了50000元，求m的值．
【分析】（1）设降价x元，根据利润＝售价﹣成本结合利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）根据总利润＝每套的利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设降价x元，依题意，得：8000×0.9﹣x﹣5000≥5000×20%，解得：x≤1200．
答：最多降价1200元，才能使利润率不低于20%．
（2）依题意，得：[8000（1+m%）﹣40m﹣5000]×8（1m%）＝50000，
整理，得：m2+275m﹣16250＝0，解得：m1＝50，m2＝﹣325（不合题意，舍去）．
答：m的值为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21.（2023 扶风县九年级期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有169人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+12），即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（2023·黑龙江大兴安岭地区·九年级期中）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
【答案】（Ⅰ）（x﹣1），x（x﹣1）；（Ⅱ）10家
【分析】（1）理解题意，列出代数式即可；
（2）根据“所有公司共签订了45份合同”得到等量关系，列出方程并求解即可．
【详解】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，
所有公司共签订了x（x﹣1）份合同，故答案为：（x﹣1），x（x﹣1）；
（Ⅱ）根据题意列方程得：x（x﹣1）＝45，
解得x1＝10，x2＝﹣9（舍去）检验：x＝﹣9不合题意舍去，所以x＝10．
答：共有10家公司参加商品交易会．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．
23.（2023 萧山区九年级期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
【分析】（1）由木栏总长为45米，即可求出BC的长；
（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝（48﹣3x）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为27米（AD＝BC），即可确定结论；
（3）设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝（48﹣3y）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为210平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣24＜0，即可得出饲养场的面积不能达到210平方米．
【解答】解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．故答案为：24．
（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，整理得：x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．
答：边CD的长为10米．
（3）不能，理由如下：设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵△＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，∴饲养场的面积不能达到210平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2023·四川武侯初三月考）随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
【答案】（1）甲工厂最多可生产1000万片的口罩；（2）m的值为4．
【分析】（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得关于x的一元一次不等式，求解即可；（2）根据乙工厂实际每天生产的口罩数量乘以每万片的实际成本等于乙工厂实际每天生产口罩的成本，列出关于m的一元二次方程，求解即可．
【解析】解：（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得：
0.6x≤0.8（2000﹣x）×，解得：x≤1000．
答：甲工厂最多可生产1000万片的口罩．
（2）由题意得：（6﹣0.5m）（0.8+0.2m）＝6×0.8+1.6，
整理得：m2﹣8m+16＝0．解得：m1＝m2＝4．答：m的值为4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出不等式或方程是解题的关键．
25．（2023·山东青岛市·九年级一模）问题提出：
如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成几部分？
问题探究：为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．
探究一：如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为．
探究二：如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可记为．
探究三：当在平测内而2条使线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相变（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面分成4部分，因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可记为，我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多
探究四：当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图 5），该平面被分成6部分；若3条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3 部分，该平面被分成7部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．
探究五：当在平面内画4条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3 个交点，该直线被3个交点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11分．因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为．
探究六：在平面内面5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）__________
问题解决：如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成 部分．
应用与拓展：（1）如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至多被分成 个部分．（2）如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有 条．
（3）一个正方体蛋糕切5刀，被分成的块数至多为 块．
【答案】探究六：16；问题解决：1+；应用与拓展：（1）73；（2）31条．（3）16．
【分析】探究六：平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得到1+1+2+3+4+5=16个部分；
问题解决：寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论；
应用与拓展：（1）根据10条直线将平面分成了50个部分，少了6个部分，再按12条直线，计算出平面的个数减去6，即可得出结论；（2）根据公式1+=497，那计算得出结果即可；
（3）当切1刀时，块数为1+1=2块；当切2刀时，块数为1+1+2=4块；当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；当切4刀时，块数为1+1+2+3+4=11块；当切5刀时，块数为1+1+2+3+4+5=16块；…
继而可得出切n刀时所得的蛋糕块数．
【详解】解：探究六：根据规律得，平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得到1+1+2+3+4+5=16个部分，所以，5条直线最多可以把平面分割成16个部分；
问题解决：根据规律得，n条直线最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+n=1+，故答案为1+；
应用与拓展：（1）如果一个平面内的10条直线时，最多可分为1+=部分，现在只有50个部分，少了6个部分，当再增加2条直线，即n=12时，则最多有个部分；（2）当被分成了497部分时，1+=497，解得(舍去)，那么直线的条数至少有31条．
（3）当切1刀时，块数为1+1=2块；当切2刀时，块数为1+1+2=4块；当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；…当切n刀时，块数=1+（1+2+3…+n）=1+．
则切5刀时，块数为1+=16块；故答案为：16．
【点睛】本题考查了规律的寻找，连续n个正整数的和的公式，解本题的关键是申清题意，找出变化规律，是一道中等难度的题目．
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专题2.3 一元二次方程的应用
模块1：学习目标
1. 能运用一元二次方程解决有关变化率问题；
2. 能运用一元二次方程解决有关传播、分裂、握手、比赛等问题；
3. 能运用一元二次方程解决有关销售利润问题；
4. 能运用一元二次方程解决有关几何图形（面积）、几何动点等问题；
5. 正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。
模块2：知识梳理
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；③依据等量关系式和未知数x建立方程；④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
2.一元二次方程应用题常见类型：
1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。
3. 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础
1.增长率问题：a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题：a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.
总结：有关增长率和降低率的有关数量关系
4.传播问题实例探索
数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
5. 碰面问题（循环问题）
（1）不重叠类型（单循环）：
n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；则m=
（2）重叠类型（双循环）：
n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m；则m=
模块3：核心考点与典例
考点1. 面积问题
例1．（2023·浙江杭州市·八年级模拟）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则长度为（ ）
A．15 B．10 C．10或15 D．12.5
变式1．（2023·山西吕梁市·九年级二模）2020年12月25日，太原市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成． （1）求原计划每天铺设轨道多少米？（2）图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米？
图1 图2
变式2.（2023.浙江温州市·九年级期中）如图，学校在长方形士地上铺设一条宽为的等宽度的“L”形石板路（图中阴影部分），余下两块长方形（图中白色区城①②）种植花卉，且区域①②的周长相等．经测量这条石板路的总铺设面积为．设的长度为．
（1）图中线段的长为_________，（用含x代数式表示）图中阴影部分的周长为_______．
（2）设长方形的面积为．①用含x的代数式表示_______．②若区域②恰好是一个正方形，求S的值．（请写出解答过程）
（3）已知种植花卉的单价为20元/，铺设石板路单价为100元/，工程总费用为12080元．若x为奇数，则_______．
考点2. 平均变化率问题
例1．（2023·安徽池州市·九年级三模）某工厂为了降低生产成本进行技术革新，已知2019年的生产成本为万元，以后每年的生产成本的平均降低率为，则预计2021年的生产成本为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023·黑龙江哈尔滨市·九年级二模）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2019年投入3000万元，预计2021年投入5000万元，设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的（ ）
A．3000（1+x）2＝5000 B．3000x2＝5000
C．3000（1+2x）＝5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000
变式2.（2023·山西九年级三模）收官之年，为了进一步巩固提升脱贫攻坚成果，夯实增收基石，壮大产业“龙头”．某火龙果果园去年栽种果树600株，现计划扩大栽种面积，使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年（包括去年）的总栽种量为2503，求这个相同的百分数．若设这个相同的百分数为，则根据题意，可列方程为________．
考点3. 传播问题
例2．（2023·河南初三期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
变式1. （2023·武汉初三开学考试）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共73．若设主干长出x个支干，则可列方程是（ ）
A．（1＋x）2＝73 B．1＋x＋x2＝73 C．（1＋x）x＝73 D．1＋x＋2x＝73
变式2. （2023 莆田九年级期中）“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉…”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为 ．
考点4. 循环问题
例1．（2023·广西河池市·九年级二模）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有名学生，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·天津九年级期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
变式2．（2023·陕西延安初三期末）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？
考点5. 数字问题
例1．（2023.浙江绍兴市·八年级期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023 昌平区九年级期末）如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为192，那么根据题意可列方程为（ ）
A．x（x+3）＝192 B．x（x+16）＝192 C．（x﹣8）（x+8）＝192 D．x（x﹣16）＝192
变式2.（2023 沧州九年级期末）如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是 ．
考点6. 销售利润问题
例1．（2023.绵阳市九年级期中）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。经试销发现每件衣服涨价1元，其月销售量就减少1件，物价部门规定，每件衣服售价不得高于80元，为实现每月利润8700元，应涨价多少元？
变式1. （2023 澧县期末）某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价上涨m元，每月能售出 个排球（用m的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．
变式2．（2023·广东佛山市·九年级一模）春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况．
小李：“该商品的进价为50元/件．”成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．”
成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．”根据他们的对话，完成下列问题：
（1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出______件；
（2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·黑龙江·九年级三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
2．（2023·合肥市九年级三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·云南·九年级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
4．（2023·浙江杭州市·八年级模拟）某年级举行篮球比赛，赛制为双循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了42场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛．
A．7 B．6 C．12 D．14
5．（2023·河南洛阳市·九年级二模）2018年7月，郑州龙子湖智慧岛开通河南省首个5G基站，2020年全省已累计建成5G基站万个，规划到2022年5G基站数量将达到万个．设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为，可列方程为（ ）．
A． B． C． D．
6.（2023·浙江上虞初三期末）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7、（2023·重庆市初三期末）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C. D.
8．（2023·如皋市初二月考）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜（ ）
A．10场 B．11场 C．12场 D．13场
9. （2023·北京九年级二模）某厂家2021年1－5月份的产量如图所示． 下面有三个推断：①从1月份到5月份产量在逐月增长；②1月份到2月份产量的增长率是60%；③若设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则可列方程为220（1＋x）2＝480，所有正确的推断是（ ）
A．② B．③ C．①② D．②③
10．（2023·河南平顶山市·九年级期末）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
A． B．或 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2023 锡山区九年级期中）根据疫情需要，某防疫物资制造厂原来每件产品的成本是100元，为提高的生产效率改进了生产技术，连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是 ．
12．（2023·浙江九年级期末）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为_________．
13. （2021·山西中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
14.（2023 和平区九年级校级月考）某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为 。
15．（2023·江苏东海初三期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为 ．
16．（2023·山西九年级模拟）某菜农在2022年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天．
17．（2023·浙江杭州市·八年级期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出个小分支，可列方程___________．
18．（2023·江苏灌云初三月考）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是_____．（只填序号）
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广西九年级二模）某超市经营款新电动玩具进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．
（1）若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？
（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y（y为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？
20.（2023 广西一模）每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的某款沙发每套成本为5000元，在标价8000元的基础上打9折销售．
（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？
（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售相同的沙发，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出8套，现乙卖家先将标价提高m%，再大幅降价40m元，使得这款沙发在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%，这样一天的利润达到了50000元，求m的值．
21.（2023 扶风县九年级期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
22．（2023·黑龙江大兴安岭地区·九年级期中）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
23.（2023 萧山区九年级期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
24．（2023·四川武侯初三月考）随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
25．（2023·山东青岛市·九年级一模）问题提出：
如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成几部分？
问题探究：为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．
探究一：如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为．
探究二：如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可记为．
探究三：当在平测内而2条使线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相变（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面分成4部分，因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可记为，我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多
探究四：当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图 5），该平面被分成6部分；若3条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3 部分，该平面被分成7部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．
探究五：当在平面内画4条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3 个交点，该直线被3个交点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11分．因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为．
探究六：在平面内面5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）__________
问题解决：如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成 部分．
应用与拓展：（1）如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至多被分成 个部分．（2）如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有 条．
（3）一个正方体蛋糕切5刀，被分成的块数至多为 块．
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