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专题2.4 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
模块1：学习目标
1. 理解掌握一元二次方程根与系数的关系；
2. 能运用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值；
3. 能运用一元二次方程根与系数的关系求参数的值。
模块2：知识梳理
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。
1）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则，
注意：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
2）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根
则：时，有; 时，有
时，有
模块3：核心考点与典例
考点1.利用根与系数的关系求方程的根
例1．（2023.广东汕尾市·九年级一模）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系直接求解即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是2，设另一个根是，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确一元二次方程两根之积等于常数项除以二次项系数的商．
变式1. （2023·江苏南通市·九年级二模）若2＋，2－是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则m＋n的值为（ ）
A．－4 B．－3 C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求解m、n的值，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
考点2.利用根与系数的关系求有关根的代数式的值
例1．（2023·陕西西安市·九年级模拟）若方程的两根为，，则_____．
【答案】7
【分析】先根据根与系数的关系得出x1+x2=-5，x1x2=-6，再根据即可求解．
【详解】解：∵x1、x2是方程的两个实数根，∴x1+x2=-5，x1x2=-6，
∴；故答案为：7
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的性质，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：
变式1．（2023·江西·九年级模拟）已知方程的两个解分别为，，则______．
【答案】24
【分析】根据根的系数的关系得到，，再把原式因式分解即可代入求解．
【详解】∵方程的两个解分别为，，∴，，
∴．故答案为：24．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知一元二次方程根的系数的关系．
变式2. （2023·江苏南通市·九年级期中）方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2++2020＝_____．
【答案】2001.5
【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，将其代入+2x1x2++2020＝+2x1x2+2020中即可求出结论．
【详解】解：∵方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，
∴+2x1x2++2020＝+2x1x2++2020＝+2x1x2+2020，＝+2x1x2+2020＝+2×（﹣8）+2020＝﹣2.5﹣16+2020＝2001.5，
故答案为：2001.5；
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，分式的加减混合运算，解题的关键是正确得到x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，从而进行解题．
考点3.利用根与系数的关系及代根法综合求值
例1．（2023·湖北武汉市·中考模拟）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
【答案】D
【分析】先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可．
【详解】解：∵已知，是方程的两根 ∴，，a+b=3
∴=0+5+30+1=36．故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键．
变式1. （2023·江苏南通市·九年级二模）设，是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】1
【分析】根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解．
【详解】解:∵是一元二次方程的两个根，∴， ，
∴原式＝＝7－6＝1．
【点睛】本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键．
变式2.（2023 宜宾九年级期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
【分析】根据方程根的定义得到α2＝a+1，即可得到α4＝α2+2α+1，然后根据根与系数的关系即可求得α4+3β的值．
【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴α2﹣α﹣1＝0，α+β＝1，∴α2＝a+1，∴α4＝α2+2α+1，
则α4+3β＝α2+2α+1+3β＝α2﹣α﹣1+3α+3β+2＝3×1+2＝5．故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．
考点4.利用根与系数的关系求参数值（对称）
例1．（2023·湖北随州市·中考模拟）已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出以及，然后根据条件变形代入求解即可．
【详解】由题意，，，
∵，∴，即：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键．
变式1．（2023·湖北黄石市·九年级模拟）已知关于的方程有两个实数根、．（1）求的取值范围（2）若、满足等式，求的值．
【答案】（1）且；（2）-1．
【分析】（1）根据一元二次方程成立的条件及根的判别式列不等式组计算求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系列方程求解．
【详解】解：（1）∵关于的方程有两个实数根、
∴，解得：且
（2）由题意可得：，
由（1）可得，∴ ∴ ，
∴解得：（不合题意舍去），∴k的值为-1．
【点睛】本题考查一元二次方程成立的条件以及一元二次方程的根与判别式和根与系数的关系，掌握相关概念正确计算是解题关键．
变式2．（2023·浙江杭州市·八年级期末）设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根后．（1）若，求m值；（2）令，求T的取值范围．
【答案】（1）；（2）且
【分析】首先根据方程有两个不相等的实数根及是不小于的实数，确定的取值范围，根据根与系数的关系，用含的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形为，代入用含表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据的取值范围得到的值；（2）化简，用含的式子表示出，根据的取值范围，得到的取值范围．
【详解】解：方程由两个不相等的实数根，所以△，
所以，又是不小于的实数，．
，；
（1），，即．
整理，得．解得；，所以．
（2）
．
当时，方程为，解得或．此时没有意义．
当时，，所以．即且．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是掌握根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的差的式子．
考点5.利用根与系数的关系求参数值（非对称）
例1．（2023黑龙江绥化市·九年级期末）已知关于的一元二次方程
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根为，且满足，求实数的值，
【答案】（1）；（2）6
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，计算即可；
（2）根据根与系数的关系求出x2=2，代入原方程计算即可．
【详解】解：（1）方程有实数根，
∵，，，，解得：；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2=5，
∵3x1-2x2=5，∴3x1+3x2-5x2=5，即15-5x2=5，∴-5x2=-10，解得，x2=2，
把x=2代入原方程得，，∴m=6．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，是一元二次方程()的两根时，，．
变式1. （2023.合肥九年级期末）已知关于x 的一元二次方程x2 -5x + m = 0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3 x1-2x2 =5，求实数m 的值．
【答案】（1）；（2）6
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式计算即可；
（2）根据根与系数的关系求出，，即可求出m的值．
【详解】（1）∵一元二次方程有实数根，∴，∴，解得；
（2）∵方程两实数根为x1，x2，∴，∴，
∵3 x1-2x2 =5，∴，解得，∴，∵，∴m=6．
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟记根的判别式的三种情况及根与系数的两个关系式是解题的关键．
考点6.构造一元二次方程求代数式的值
例1．（2023·浙江杭州市·八年级模拟）设，且，则代数式的值为______．
【答案】7
【分析】由a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，可以设a、b为方程设x2﹣3x+1＝0的两个根，则a+b＝3，ab＝1，由此整理整体代入即可．
【详解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，∴设a、b为方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴a+b＝3，ab＝1，∴＝＝＝＝7．故答案为：7．
【点睛】此题考查根与系数的关系，正确理解题意，把a、b看作方程x2﹣3x+1＝0的两个根是解决问题的关键．
变式1．（2023·浙江杭州市·八年级模拟）已知、满足，，求的值．
【答案】2或-47
【分析】由a，b满足，，可分别从与去分析求解，注意当，则a，b是关于x的方程的两根，再利用根与系数的关系求解即可；
【详解】∵、满足，，∴若，则；
若，则a，b是关于x的方程的两根，
∴，，∴，
∴；∴值为2或-47．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，准确分析计算是解题的关键．
变式 2．（2023·山东枣庄·九年级一模）阅读材料：
已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1，∴p≠．
∵1﹣q﹣q2＝0可变形为﹣1＝0，根据p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征，
∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p+，即．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求：（1）mn的值；（2）．
【答案】(1)；29．
【分析】（1）由题意可知：可以将方程化简为的形式，根据根与系数的关系直接得：的值；（2）将变形为求解．
【详解】解：由知m≠0，∴，
∵，m≠n，∴，∴和是方程的两个根，
（1）由和是方程的两个根得，∴；
经检验：是原方程的根，且符合题意．
（2）由和是方程的两个根得，，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键．
考点7. 根与系数的关系与三角形综合
例1．（2023 吉安期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
【分析】（1）先计算出△＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先求出方程的解，根据此方程的两个根都是正整数列出关于m的不等式，解不等式即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得到关于m的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，x1，x2＝1，
∵此方程的两个根都是正整数，∴0，当m+1＞0，m﹣1＞0时，解得m＞1，
当m+1＜0，m﹣1＜0时，解得m＜﹣1，∴m＝2或m＝3；
（3）∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0的解为x1，x2＝1，
∵△ABC是等腰三角形，第三边BC的长为5，
∴5，解得m＝1.5，经检验，m＝1.5是原方程的解．故m的值是1.5．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
变式1.（2023 西湖区九年级校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；①求代数式4x1x2的最大值；②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
【分析】（1）通过判别式△求解．（2）①通过两根之积与两根之和的关系将4x1x2配方求解．
②把x＝6代入方程求出m，再将m代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和大于第三边确定x的值．
【解答】解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）①4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，∵x1+x22m+4，x1x2＝m2+4m，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，
∴当m＝﹣2时4x1x2的最大值为24．
②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，
当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6，
三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，三角形边长为2，2，6时不存在．
当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，解得x＝6或x＝10．
三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．
∴等腰三角形周长为14或22或26．
【点评】本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式与根与系数的关系．
考点8. 根与系数关系中的新定义问题
例1．（2023 武侯区九年级校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；
④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断．
【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，则|x2﹣2＝|x2﹣2|，①正确；
②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，则x1＝﹣1，x2，
∵5m＝﹣n，∴x2＝5，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，满足2的等距方程；
当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2，
∵方程是2的等距方程，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，∴x1＝x2或x1+x2＝4，
当x1＝x2时，x1＝x2，不能判断a与b之间的关系，
当x1+x2＝4时，即4，∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
④对于方程px2﹣x0有两根满足x1＝3x2，
由韦达定理得：x1x2，x1+x2，∴x1x2（x1+x2），
∴3x22（3x2+x2）＝3x2，∴x2＝1或x2＝0（舍去），∴x1＝3x2＝3，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x0是关于2的等距方程，故④正确，故正确的有①④，故答案为①④．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于2的等距方程”的定义是解题的关键．
变式1.（2023 石狮市九年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”，即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是 ；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；
（2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2n＝0是倍根方程，求此倍根方程．
【分析】(1)据倍根方程定义判断即可；(2)根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2得到m＝﹣n或mn，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝0；
(3)设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，从而得倍根方程满足b2ac＝0，据此求解可得．
【解答】解：(1)①x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x1＝﹣1，x2＝2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
②x2﹣6x+8＝0，（x﹣2)(x﹣4)＝0,x1＝2，x2＝4，
∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；故答案为②；
（2）mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，
因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，解得：x1＝2，x2，
∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，
∴2或4，即m＝﹣n或mn，∴m+n＝0或4m+n＝0；
∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；
（3）设其中一根为t，则另一个根为2t，
则ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，∴b2ac＝0，
∵x2n＝0是倍根方程，∴（）22n＝0，整理，得：m＝3n，
∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，∴n＝3m﹣8，∴n＝1，m＝3，
∴此倍根方程为x2x0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2023 抚州九年级期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1 x2＝1，将x12+3x2+x1x2+1变形为3（x1+x2）+x1x2，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x12﹣3x1+1＝0，x1+x2＝3，x1 x2＝1，∴x12＝3x1﹣1，
则x12+3x2+x1x2+1＝3x1﹣1+3x2+x1x2+1＝3（x1+x2）+x1x2＝3×3+1＝10，故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1 x2＝1是解题的关键．
2．（2023·广东佛山市·九年级一模）已知Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得，进而即可求解．
【详解】解：设一元二次方程的两个实数根分别是：，∴，
∵Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，
∴的面积=32÷2=16．故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握（a≠0）的两个实数根，满足，是解题的关键．
3.（2023 九龙坡区校级期末）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，将α2+β﹣2αβ变形为α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，故选：A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
4．（2023·贵州遵义市·九年级期中）若和为一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，化简代入求值即可．
【详解】和为一元二次方程的两个根
．故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，代数式求值，利用一元二次方程根与系数的关系求出是解题的关键．
5．（2023·广西八步初二期末）设是方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可以把变形为的形式，然后由一元二次方程根与系数的关系可以得解．
【解析】由已知得：，=－2∴== 5．故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，把所求问题转化为含有两根积或两根和的代数式是解题关键．
6．（2023·安徽马鞍山市·九年级期末）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，则ab-mn的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】C
【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn2=0，b2+（m+n）b+mn2=0，则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab=mn2，从而得到abmn的值．
【详解】解：∵（a+m）（a+n）=2，（b+m）（b+n）=2，
∴a2+（m+n）a+mn2=0，b2+（m+n）b+mn2=0，而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的两实数根，∴ab=mn2，∴abmn=2．故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
7．（2023·浙江八年级期中）若a≠b，且则的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
【答案】B
【解析】解：由得：
∴
又由可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1∴故答案为B.
【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解。
8．（2023·长沙初三期末）x1，x2是关于x的一元二次方程x2 －mx ＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＝0成立？则正确的结论是( )
A．m＝0 时成立 B．m＝2 时成立 C．m＝0 或2时成立 D．不存在
【答案】A
【解析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－bx＋b－2＝0的两个实数根∴Δ=（b-2）2+4>0
x1+x2=b，x1×x2=b-2 ∴ 使＋＝0，则
故满足条件的b 的值为0 故选A.
9．（2023·浙江丽水初二期末）若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解．
【解析】关于的方程的解中，仅有一个正数解，即一正一负或一正一零
，解得．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到．
10．（2023·浙江宁波·九年级校考期末）设关于的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出a的取值范围，再由根与系数的关系求出a的取值范围，找到公共解集即可解答．
【详解】解：根据题意得，
，解得 或，无解
综上，故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2023 雅安九年级期末）设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为 ．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，4x1﹣1，∴4x1，
∴原式＝4x1+4x1﹣1＝4（）﹣1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，
故答案为：55
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
12.（2023 柯桥区九年级月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝ ．
【分析】由题意可知m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代数式的值．
【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027＝2+3+2027＝2032．故答案为：2032．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
13.（2023 普宁市九年级期末）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝ ．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
∴原式＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4，故答案为：4
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
14．（2023·江苏南京市·中考模拟）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【答案】2
【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．
【详解】解：由根与系数的关系可得：，，
∵，∴，∴，∴，∴;故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为．
15．（2023·江苏南通市·九年级二模）已知、是方程的两个实数根，则代数式______．
【答案】
【分析】利用韦达定理可得出，，再通过代入移项可得到，分别代入运算即可．
【详解】解：∵，和是方程的两个根
∴，，
∴故答案为：
【点睛】本题主要考查了韦达定理，代数式的运算，熟练掌握韦达定理公式是解题的关键．
16.（2023·河北唐山市·九年级二模）若，且，，则（1）的值为______；（2）的值为_____．
【答案】4 1
【分析】（1）根据题意，a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数关系定理求解即可；（2）变形，得，，化简后，利用（1）的结论计算即可．
【详解】（1）∵，且，，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，∴a+b=4,故答案为：4；
利用根与系数关系定理求解即可；
（2）∵，，∴，，
∴=，∵，且，，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴a+b=4,ab=1，∴==1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数关系定理，熟练构造一元二次方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．
17.（2023 武侯区九年级校级月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值 ．
【分析】先由根与系数的关系得到2m+1＝﹣（α+β），α β＝m2﹣2m（m﹣1）20，那么α和β同号，再由|α|+|β|＝4，分α+β＝﹣4或α+β＝4进行讨论即可．
【解答】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m0的两个实数根为α和β，
∴α+β＝﹣（2m+1），α β＝m2﹣2m，∴2m+1＝﹣（α+β），α β＝m2﹣2m（m﹣1）20，
∴α β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．
当α+β＝﹣4时，2m+1＝4，解得m；当α+β＝4时，2m+1＝﹣4，解得m．
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2m）＝4m2+4m+1﹣4m2+8m﹣6＝12m﹣5≥0，
∴m；∴m不合题意，舍去，则m．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
18.（2023 蕲春县九年级期中）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为 ．
【分析】原方程变为（）﹣3（）﹣1＝0，得到、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．
【解答】解：∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，
∴、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴β＝3，1，1，
∴原式＝13β＝1+3（β）＝1+3×3＝10，故答案为10．
【点评】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广东汕头市·九年级一模）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为（1）求a，b的值；（2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将代入方程②求出b的值，将代入方程①求得a的值，即可得出答案，（2）再将a，b的值代入中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值．
【详解】解：（1）根据题意得解得
（2）当时，一元二次方程化为，
由根与系数关系得，
联成方程组得，解得
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
20．（2023·广西福绵初二期末）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；（2）如果x1，x2满足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据判别式的意义得到＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝，再变形已知条件得到4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，于是有4+6×＞1，解得m＞﹣2，所以m的取值范围为﹣2＜m≤﹣，然后找出此范围内的整数即可．
【解析】（1）根据题意得＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，解得m≤﹣．
故实数m的取值范围是m≤﹣；
（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝，∵4+4x1x2＞x12+x22，∴4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，
即4+6x1x2＞（x1+x2）2，∴4+6×＞1，解得m＞﹣2，∴﹣2＜m≤﹣，∴整数m的值为﹣1．
【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系和根与系数的关系是解决此题的关键．
21．（2023·合肥市九年级期末）已知关于的方程．（1）取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程有两个实数根、，且，求的值．
【答案】（1）k≥；（2）k=．
【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；（2）|x1|=x2，即方程的两根相等或互为相反数，当两根相等时判别式△=0；当方程的两根互为相反数时，两根的和是0，利用根与系数的关系可以得到关于k的方程，然后解方程即可求出k的值．
【详解】解：（1）△=[-（k+1）]2-4（k2+1）=2k-3，
∵当△≥0，方程有两个实数根，∴2k-3≥0，∴k≥，∴当k≥时，方程有两个实数根；
（2）由|x1|=x2，①当x1≥0时，得x1=x2，∴方程有两个相等实数根，∴△=0，即2k-3=0，∴k=．
又当k=时，有x1=x2=＞0∴k=符合条件；
②当x1＜0时，得x2=-x1，∴x1+x2=0由根与系数关系得k+1=0，∴k=-1，
由（1）知，与当k≥矛盾，∴k=-1舍去，综上可得，k=．
【点睛】解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根；（4）x1+x2= ；（5）x1 x2= ．
22.（2023 崇川区九年级校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到1，整理即可得到b2＝a2+4a．
【解答】解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝﹣5，∴|x1﹣x2|6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，∴x1+x2，x1 x2，
∴|x1﹣x2|1，∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，因式分解得：x（x+2a）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，∴2a＝±1，即a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2，x1 x2，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，∴|x1﹣x2|1，即1，∴b2＝a2+4a．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
23．（2023·宜宾市·九年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．（1）求的取值范围；（2）若，且为整数，求的值．
【答案】（1）；（2）m=-1或m=0
【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；
（2）由根与系数的关系，用m表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围，再求其值即可．
【详解】解：（1）由题可得，
方程有两个不相等的实数根， 即．解得
（2）由根与系数的关系可得，．
即，解得
由（1）可得 又为整数，或
【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得m的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．
24．（2023·绵阳市九年级期中）阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：
如果一元二次方程在的两根分别可表示为，．那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题：
（1）已知方程的两根分别为、，求与的值．
（2）已知方程的两根分别、，若，求与的值．
（3）已知一元二次方程的一根大于2，另一根小于2求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）=；=；（3）
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出结论；（2）根据完全平方公式的变形和分式减法变形，然后代入求值即可；（3）设一元二次方程的两根分别、，根据根与系数的关系可得，根据题意可得，代入即可求出a的取值范围．
【详解】解：（1）∵方程的两根分别为、 ∴；
（2）由（1）知：
∴===
∴==
∵∴∴ ∴===；
（3）设一元二次方程的两根分别、，∴
由题意可得∴∴
∵无论a为何值，恒为正，故①恒成立；解②，得；综上：．
【点睛】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题关键．
25．（2023·浙江杭州市·九年级期中）已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有实数根，求的取值范围；（2）若是方程的两个实数根，且，求的值；（3）已知等腰的一边长为10，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】（1）m≥-1；（2）m=0；（3）24或38
【分析】（1）令判别式△≥0，解不等式即可；（2）根据方程得出，，再由得到，代入得到方程，解之即可；（3）分10为等腰三角形的腰和底两种情况分别求解．
【详解】解：（1）∵方程有实数根，
∴，解得：m≥-1；
（2）∵是方程的两个实数根，∴，，
∵，∴，解得：m=0；
（3）当腰长为10时，则x=10是一元二次方程的一个解，
把x=10代入方程得，解得m1=8，m2=15，
当m=8时，x1+x2=2（m-1）=14，解得x2=4，则三角形周长为4+10+10=24；
当m=15时，x1+x2=2（m-1）=28，解得x2=18，则三角形周长为10+10+18=38；
当10为等腰三角形的底边时，则x1=x2，所以m=-1，方程化为，解得x1=x2=-2，故舍去；综上所述，这个三角形的周长为24或38．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．
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专题2.4 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
模块1：学习目标
1. 理解掌握一元二次方程根与系数的关系；
2. 能运用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值；
3. 能运用一元二次方程根与系数的关系求参数的值。
模块2：知识梳理
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。
1）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则，
注意：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
2）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根
则：时，有; 时，有
时，有
模块3：核心考点与典例
考点1.利用根与系数的关系求方程的根
例1．（2023.广东汕尾市·九年级一模）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．
变式1. （2023·江苏南通市·九年级二模）若2＋，2－是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则m＋n的值为（ ）
A．－4 B．－3 C．3 D．5
考点2.利用根与系数的关系求有关根的代数式的值
例1．（2023·陕西西安市·九年级模拟）若方程的两根为，，则_____．
变式1．（2023·江西·九年级模拟）已知方程的两个解分别为，，则______．
变式2. （2023·江苏南通市·九年级期中）方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2++2020＝_____．
考点3.利用根与系数的关系及代根法综合求值
例1．（2023·湖北武汉市·中考模拟）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
变式1. （2023·江苏南通市·九年级二模）设，是一元二次方程的两个根，则______．
变式2.（2023 宜宾九年级期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
考点4.利用根与系数的关系求参数值（对称）
例1．（2023·湖北随州市·中考模拟）已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．
变式1．（2023·湖北黄石市·九年级模拟）已知关于的方程有两个实数根、．（1）求的取值范围（2）若、满足等式，求的值．
变式2．（2023·浙江杭州市·八年级期末）设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根后．（1）若，求m值；（2）令，求T的取值范围．
考点5.利用根与系数的关系求参数值（非对称）
例1．（2023黑龙江绥化市·九年级期末）已知关于的一元二次方程
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根为，且满足，求实数的值，
变式1. （2023.合肥九年级期末）已知关于x 的一元二次方程x2 -5x + m = 0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3 x1-2x2 =5，求实数m 的值．
考点6.构造一元二次方程求代数式的值
例1．（2023·浙江杭州市·八年级模拟）设，且，则代数式的值为______．
变式1．（2023·浙江杭州市·八年级模拟）已知、满足，，求的值．
变式 2．（2023·山东枣庄·九年级一模）阅读材料：
已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1，∴p≠．
∵1﹣q﹣q2＝0可变形为﹣1＝0，根据p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征，
∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p+，即．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求：（1）mn的值；（2）．
考点7. 根与系数的关系与三角形综合
例1．（2023 吉安期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
变式1.（2023 西湖区九年级校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；①求代数式4x1x2的最大值；②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
考点8. 根与系数关系中的新定义问题
例1．（2023 武侯区九年级校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
变式1.（2023 石狮市九年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”，即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是 ；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；
（2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2n＝0是倍根方程，求此倍根方程．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2023 抚州九年级期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．（2023·广东佛山市·九年级一模）已知Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
3.（2023 九龙坡区校级期末）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
4．（2023·贵州遵义市·九年级期中）若和为一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5．（2023·广西八步初二期末）设是方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽马鞍山市·九年级期末）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，则ab-mn的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
7．（2023·浙江八年级期中）若a≠b，且则的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
8．（2023·长沙初三期末）x1，x2是关于x的一元二次方程x2 －mx ＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＝0成立？则正确的结论是( )
A．m＝0 时成立 B．m＝2 时成立 C．m＝0 或2时成立 D．不存在
9．（2023·浙江丽水初二期末）若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江宁波·九年级校考期末）设关于的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2023 雅安九年级期末）设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为 ．
12.（2023 柯桥区九年级月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝ ．
13.（2023 普宁市九年级期末）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝ ．
14．（2023·江苏南京市·中考模拟）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
15．（2023·江苏南通市·九年级二模）已知、是方程的两个实数根，则代数式______．
16.（2023·河北唐山市·九年级二模）若，且，，则（1）的值为______；（2）的值为_____．
17.（2023 武侯区九年级校级月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值 ．
18.（2023 蕲春县九年级期中）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广东汕头市·九年级一模）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为（1）求a，b的值；（2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．
20．（2023·广西福绵初二期末）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；（2）如果x1，x2满足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．
21．（2023·合肥市九年级期末）已知关于的方程．（1）取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程有两个实数根、，且，求的值．
22.（2023 崇川区九年级校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
23．（2023·宜宾市·九年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．（1）求的取值范围；（2）若，且为整数，求的值．
24．（2023·绵阳市九年级期中）阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：
如果一元二次方程在的两根分别可表示为，．那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题：
（1）已知方程的两根分别为、，求与的值．
（2）已知方程的两根分别、，若，求与的值．
（3）已知一元二次方程的一根大于2，另一根小于2求a的取值范围．
25．（2023·浙江杭州市·九年级期中）已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有实数根，求的取值范围；（2）若是方程的两个实数根，且，求的值；（3）已知等腰的一边长为10，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
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